Test: ecuații algebrice cu coeficienți întregi și raționali

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică metoda prin care se rezolvă efectiv, la clasă și la examen, o ecuație algebrică de grad mai mare decât $2$: nu prin formule, ci prin căutarea organizată a unei rădăcini „cuminți", urmată de coborârea gradului. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: teorema rădăcinilor întregi — orice rădăcină întreagă a unei ecuații cu coeficienți întregi este divizor al termenului liber — și generalizarea ei, teorema rădăcinilor raționale: dacă fracția ireductibilă $\frac{p}{q}$ este rădăcină, atunci $p$ divide termenul liber, iar $q$ divide coeficientul dominant. Al doilea: construirea listei de candidați și testarea lor cu schema lui Horner, care în același pas confirmă rădăcina și dă câtul, adică ecuația de grad mai mic ce urmează a fi rezolvată. Al treilea: teoremele de conjugare — la coeficienți reali, rădăcinile nereale vin în perechi $z$, $\bar{z}$; la coeficienți raționali, rădăcinile de forma $a+b\sqrt{d}$ vin în perechi cu $a-b\sqrt{d}$ — și consecințele lor (o ecuație de grad impar cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală). Al patrulea: problema inversă — scrierea ecuației de grad minim cu rădăcini date, unde teoremele de conjugare spun câți factori sunt obligatorii.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. O rezolvare este completă doar dacă sunt date toate rădăcinile din $\mathbb{C}$, nu doar cele reale, și dacă lista candidaților raționali este scrisă explicit înainte de testare. Se depunctează: căutarea candidaților printre divizorii coeficientului dominant în loc de ai termenului liber, oprirea după prima rădăcină găsită și „uitarea" rădăcinii $x=0$ atunci când termenul liber este nul.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe lista candidaților și pe schema lui Horner.
• Formule de reținut: teorema rădăcinilor raționale — dacă ecuația $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ are toți coeficienții întregi, $a_n\ne 0$, $a_0\ne 0$, iar fracția ireductibilă $\frac{p}{q}$ este rădăcină, atunci $$p\mid a_0\text{și}q\mid a_n.$$ În particular, pentru $a_n=1$ orice rădăcină rațională este întreagă și divide termenul liber. Teorema rădăcinilor complexe conjugate: dacă $f\in \mathbb{R}[X]$ și $z$ este rădăcină a lui $f$, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină, cu același ordin de multiplicitate. Teorema rădăcinilor pătratice conjugate: dacă $f\in \mathbb{Q}[X]$ și $a+b\sqrt{d}$ este rădăcină (cu $a,b\in \mathbb{Q}$, $b\ne 0$, $\sqrt{d}$ irațional), atunci și $a-b\sqrt{d}$ este rădăcină. Consecință: o ecuație de grad impar cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală. Perechea conjugată $z$, $\bar{z}$ dă factorul $x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}$, cu coeficienți reali.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Candidați, teoreme de conjugare, primele rezolvări

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Rădăcinile întregi ale ecuației $x^3-2x^2-5x+6=0$ se caută printre divizorii numărului: A. $1$; B. $2$; C. $6$; D. $-5$.

b) Dacă fracția ireductibilă $\frac{p}{q}$ este rădăcină a ecuației $a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0=0$, cu toți coeficienții întregi, atunci: A. $p\mid a_n$ și $q\mid a_0$; B. $p\mid a_0$ și $q\mid a_n$; C. $p\mid a_n$ și $q\mid a_n$; D. $p$ și $q$ divid $a_1$.

c) Dacă o ecuație cu coeficienți reali are rădăcina $3-2i$, atunci ea are și rădăcina: A. $-3+2i$; B. $3+2i$; C. $-3-2i$; D. $2-3i$.

Itemul 2 (6 puncte)

Scrie lista completă a candidaților la rădăcini raționale pentru fiecare ecuație (câte 1,5 puncte): a) $x^3-4x^2+x+6=0$; b) $2x^3+x^2-5x+2=0$; c) $3x^2-5x+2=0$; d) $x^4-3x^3+2x-5=0$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice ecuație algebrică cu coeficienți întregi are cel puțin o rădăcină rațională." b) „Dacă o ecuație cu coeficienți raționali are rădăcina $1+\sqrt{2}$, atunci are și rădăcina $1-\sqrt{2}$." c) „Dacă o ecuație cu coeficienți complecși are rădăcina $i$, atunci are și rădăcina $-i$." d) „O ecuație de gradul al patrulea cu coeficienți reali poate avea exact trei rădăcini nereale."

Itemul 4 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{C}$: a) $x^3-x^2-4x+4=0$; (3 p) b) $3x^3-4x^2-5x+2=0$. (3 p)

Partea a II-a – Rezolvări complete, rădăcini conjugate, iraționalitate

Itemul 5 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{C}$ (câte 2 puncte): a) $x^3-3x^2-4x+12=0$; b) $x^3+x^2-10x+8=0$; c) $2x^3-x^2-8x+4=0$; d) $x^4-2x^3-x^2+2x=0$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră ecuația $x^3+a{x}^2+bx-10=0$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, care are rădăcina $x_1=1+2i$. a) Determină $a$ și $b$. (4 p) b) Rezolvă ecuația. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră ecuația $x^3+a{x}^2+bx-2=0$, cu $a,b\in \mathbb{Q}$, care are rădăcina $x_1=1+\sqrt{3}$. a) Determină $a$ și $b$. (4 p) b) Rezolvă ecuația în $\mathbb{R}$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Arată că ecuația $x^3-3x+1=0$ nu are nicio rădăcină rațională. (3 p) b) Folosind ecuația $x^3-2=0$, demonstrează că numărul $\sqrt[3]{2}$ este irațional. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-x^3-3x^2+5x-2=0$. (4 p) b) Precizează ordinul de multiplicitate al fiecărei rădăcini și verifică faptul că suma ordinelor este egală cu gradul ecuației. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează teorema rădăcinilor raționale: dacă fracția ireductibilă $\frac{p}{q}$ este rădăcină a ecuației $a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0=0$, cu coeficienți întregi și $a_n\ne 0$, atunci $p\mid a_0$ și $q\mid a_n$. (5 p) b) Aplică teorema pentru ecuația $3x^3-2x^2+6x-4=0$: scrie lista candidaților și rezolvă ecuația în $\mathbb{C}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Demonstrează că, dacă $f\in \mathbb{R}[X]$ și $z_0\in \mathbb{C}$ este rădăcină a lui $f$, atunci și $\overline{z_0}$ este rădăcină a lui $f$. (5 p) b) Deduce că orice polinom cu coeficienți reali, de grad impar, are cel puțin o rădăcină reală. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Determină ecuația algebrică de grad minim, cu coeficienți raționali și coeficient dominant $1$, care are printre rădăcini numerele $2$ și $\sqrt{5}$. (4 p) b) Determină ecuația algebrică de grad minim, cu coeficienți reali și coeficient dominant $1$, care are printre rădăcini numerele $1$ și $2-i$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $x^3+a{x}^2+bx-12=0$, cu $a,b\in \mathbb{Z}$. a) Arătați că, dacă ecuația are o rădăcină întreagă $x_1$, atunci $x_1$ este divizor al numărului $12$. (3 p) b) Determinați $a$ și $b$ știind că $x_1=2$ și $x_2=-3$ sunt rădăcini ale ecuației, apoi rezolvați ecuația. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Coeficientul dominant este $1$, deci orice rădăcină rațională este întreagă și divide termenul liber $6$. Candidații sunt $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$. b) B. Aceasta este teorema rădăcinilor raționale: numărătorul divide termenul liber, iar numitorul divide coeficientul dominant. Varianta A este inversarea greșită, foarte frecventă. c) B. Coeficienții fiind reali, rădăcinile nereale apar în perechi conjugate; conjugatul lui $3-2i$ este $3+2i$ (se schimbă doar semnul părții imaginare).

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p identificarea lui $a_0$ și $a_n$, 1 p lista completă). a) $a_n=1$, $a_0=6$: candidații sunt divizorii lui $6$, adică $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$. b) $a_n=2$, $a_0=2$: $p\in \{\pm 1,\pm 2\}$, $q\in \{1,2\}$, deci candidații sunt $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm \frac{1}{2}$. c) $a_n=3$, $a_0=2$: candidații sunt $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm \frac{1}{3}$, $\pm \frac{2}{3}$. d) $a_n=1$, $a_0=-5$: candidații sunt $\pm 1$, $\pm 5$. (Coeficientul lui $x^2$ fiind nul, el nu joacă niciun rol în listă.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Contraexemplu: $x^2-2=0$ are coeficienți întregi, dar candidații $\pm 1$, $\pm 2$ nu o verifică, iar rădăcinile ei, $\pm \sqrt{2}$, sunt iraționale. b) A. Este teorema rădăcinilor pătratice conjugate: coeficienții fiind raționali, rădăcinile de forma $a+b\sqrt{d}$ apar împreună cu $a-b\sqrt{d}$. c) F. Teorema conjugatelor cere coeficienți reali. Contraexemplu: ecuația $x-i=0$ are coeficienți complecși și singura rădăcină $i$, fără $-i$. d) F. Rădăcinile nereale ale unei ecuații cu coeficienți reali se grupează în perechi conjugate, deci numărul lor este par; trei rădăcini nereale sunt imposibile.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Coeficientul dominant este $1$, deci candidații sunt divizorii lui $4$: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$ (0,5 p). Suma coeficienților este $1-1-4+4=0$, deci $x=1$ este rădăcină (0,5 p). Schema lui Horner cu $a=1$ (coeficienții $1,-1,-4,4$) dă rândul $1,0,-4,0$, deci ecuația devine $$(x-1)(x^2-4)=0$$ (1,5 p), cu rădăcinile $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=-2$ (0,5 p).

b) (3 p) Aici $a_n=3$ și $a_0=2$, deci candidații sunt $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm \frac{1}{3}$, $\pm \frac{2}{3}$ (0,5 p). Testăm $x=2$: $24-16-10+2=0$ ✓ (0,5 p). Schema lui Horner cu $a=2$ (coeficienții $3,-4,-5,2$) dă rândul $3,2,-1,0$, deci $$(x-2)(3x^2+2x-1)=0$$ (1,5 p). Trinomul are $\Delta =4+12=16$, cu rădăcinile $\frac{-2\pm 4}{6}$, adică $\frac{1}{3}$ și $-1$. Soluțiile sunt $2$, $\frac{1}{3}$, $-1$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p prima rădăcină găsită, 1 p coborârea gradului, 0,5 p soluțiile finale).

a) Candidații sunt divizorii lui $12$; $x=2$ verifică: $8-12-8+12=0$. Horner cu $a=2$ dă rândul $1,-1,-6,0$, deci $(x-2)(x^2-x-6)=0$, iar $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Soluțiile sunt $2$, $3$, $-2$. b) Suma coeficienților este $1+1-10+8=0$, deci $x=1$ este rădăcină. Horner cu $a=1$ dă rândul $1,2,-8,0$, deci $(x-1)(x^2+2x-8)=0$, iar $x^2+2x-8=(x-2)(x+4)$. Soluțiile sunt $1$, $2$, $-4$. c) Candidații sunt $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm \frac{1}{2}$; $x=2$ verifică: $16-4-16+4=0$. Horner cu $a=2$ dă rândul $2,3,-2,0$, deci $(x-2)(2x^2+3x-2)=0$, cu $\Delta =9+16=25$ și rădăcinile $\frac{-3\pm 5}{4}$. Soluțiile sunt $2$, $\frac{1}{2}$, $-2$. d) Termenul liber este nul, deci $x=0$ este soluție și se dă factor comun $x$: $$x(x^3-2x^2-x+2)=0.$$ În paranteză grupăm: $x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)$. Soluțiile sunt $0$, $2$, $1$, $-1$.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Coeficienții fiind reali, odată cu $1+2i$ este rădăcină și conjugatul $1-2i$ (1 p). Fie $x_3$ a treia rădăcină. Din relația lui Viète pentru produs (1 p): $$(1+2i)(1-2i)\cdot x_3=10⟹5x_3=10⟹x_3=2$$ (1 p). Atunci $-a=S_1=(1+2i)+(1-2i)+2=4$, deci $a=-4$, iar $$b=S_2=(1+2i)(1-2i)+2[(1+2i)+(1-2i)]=5+4=9$$ (0,5 p). Verificare: pentru $x^3-4x^2+9x-10=0$, valoarea în $2$ este $8-16+18-10=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Ecuația devine $x^3-4x^2+9x-10=0$ (0,5 p). Cu rădăcina $2$ și schema lui Horner (coeficienții $1,-4,9,-10$, $a=2$) obținem rândul $1,-2,5,0$, deci $$(x-2)(x^2-2x+5)=0$$ (1,5 p). Trinomul are $\Delta =4-20=-16$, deci $x=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$ (0,5 p). Soluțiile sunt $2$, $1+2i$, $1-2i$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Coeficienții fiind raționali, odată cu $1+\sqrt{3}$ este rădăcină și $1-\sqrt{3}$ (1 p). Produsul acestor două rădăcini este $(1{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=-2$, iar produsul tuturor trei este $2$, deci (1 p) $$-2\cdot x_3=2⟹x_3=-1$$ (1 p). Atunci $-a=S_1=(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})-1=1$, deci $a=-1$, iar $$b=S_2=-2+(-1)[(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})]=-2-2=-4$$ (0,5 p). Verificare: pentru $x^3-x^2-4x-2=0$, valoarea în $-1$ este $-1-1+4-2=0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Ecuația este $x^3-x^2-4x-2=0$; cu rădăcina $-1$ și schema lui Horner (coeficienții $1,-1,-4,-2$, $a=-1$) obținem rândul $1,-2,-2,0$, deci (1,5 p) $$(x+1)(x^2-2x-2)=0.$$ Trinomul are $\Delta =4+8=12$, deci $x=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm \sqrt{3}$ (1 p). Soluțiile reale sunt $-1$, $1+\sqrt{3}$, $1-\sqrt{3}$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Coeficienții sunt întregi, iar coeficientul dominant este $1$, deci orice rădăcină rațională ar fi întreagă și ar divide termenul liber $1$; candidații sunt doar $1$ și $-1$ (1,5 p). Verificăm (1 p): $$1-3+1=-1\ne 0,-1+3+1=3\ne 0.$$ Niciun candidat nu este rădăcină, deci ecuația nu are rădăcini raționale (0,5 p).

b) (3 p) Numărul $\sqrt[3]{2}$ verifică ecuația $x^3-2=0$, care are coeficienți întregi (1 p). Dacă ar fi rațional, ar trebui să fie unul dintre candidații $\pm 1$, $\pm 2$ (coeficientul dominant fiind $1$, candidații sunt divizorii lui $2$) (1 p). Însă $$1-2=-1,-1-2=-3,8-2=6,-8-2=-10,$$ niciunul nul (0,5 p). Deci $x^3-2=0$ nu are rădăcini raționale, iar $\sqrt[3]{2}$, fiind rădăcină a ei, este irațional (0,5 p). $■$

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Candidații sunt divizorii lui $-2$: $\pm 1$, $\pm 2$ (0,5 p). Suma coeficienților este $1-1-3+5-2=0$, deci $x=1$ este rădăcină (0,5 p). Horner cu $a=1$ pe $1,-1,-3,5,-2$ dă rândul $1,0,-3,2,0$, deci rămâne $x^3-3x+2=0$ (1 p). Aici $1$ este din nou rădăcină ($1-3+2=0$); Horner cu $a=1$ pe $1,0,-3,2$ dă rândul $1,1,-2,0$, deci rămâne $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ (1,5 p). În concluzie $$x^4-x^3-3x^2+5x-2=(x-1{)}^3(x+2),$$ iar soluțiile sunt $x=1$ și $x=-2$ (0,5 p).

b) (2 p) Rădăcina $1$ are ordinul de multiplicitate $3$, iar rădăcina $-2$ are ordinul $1$ (1,5 p). Suma ordinelor este $3+1=4$, adică exact gradul ecuației, cum cere corolarul teoremei fundamentale a algebrei (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $\frac{p}{q}$ o rădăcină, cu $p,q\in \mathbb{Z}$, $q\ne 0$ și $(p,q)=1$ (fracție ireductibilă) (0,5 p). Înlocuind în ecuație și înmulțind cu $q^n$ obținem (1 p): $$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0.$$

Arătăm că $p\mid a_0$. Trecem ultimul termen în membrul drept și dăm factor comun $p$ în stânga (1 p): $$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}{p}^{n-2}q+\cdots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n.$$ Deci $p$ divide $a_0{q}^n$. Cum $p$ și $q$ sunt prime între ele, $p$ este prim și cu $q^n$, deci $p\mid a_0$ (1 p).

Arătăm că $q\mid a_n$. Trecem, simetric, primul termen în dreapta și dăm factor comun $q$ (1 p): $$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}{p}^{n-2}q+\cdots +a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n.$$ Deci $q$ divide $a_n{p}^n$; fiind prim cu $p^n$, rezultă $q\mid a_n$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Aici $a_0=-4$ și $a_n=3$, deci $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}$ și $q\in \{1,3\}$; candidații sunt $$\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm \frac{1}{3},\pm \frac{2}{3},\pm \frac{4}{3}$$ (1 p). Testăm $x=\frac{2}{3}$: $3\cdot \frac{8}{27}-2\cdot \frac{4}{9}+4-4=\frac{8}{9}-\frac{8}{9}=0$ ✓. Schema lui Horner cu $a=\frac{2}{3}$ pe coeficienții $3,-2,6,-4$ dă rândul $3,0,6,0$, deci ecuația se scrie $\left(x-\frac{2}{3}\right)(3x^2+6)=0$, adică $(3x-2)(x^2+2)=0$ (1,5 p). Din $x^2=-2$ obținem $x=\pm i\sqrt{2}$, deci soluțiile sunt $\frac{2}{3}$, $i\sqrt{2}$, $-i\sqrt{2}$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Fie $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu toți coeficienții reali, deci $\overline{a_k}=a_k$ pentru orice $k$ (1 p). Folosim două proprietăți ale conjugării: $\overline{u+v}=\bar{u}+\bar{v}$ și $\overline{uv}=\bar{u}\bar{v}$, de unde $\overline{z^k}={\bar{z}}^k$ (1,5 p). Conjugăm egalitatea $f(z_0)=0$ (1 p): $$0=\overline{0}=\overline{a_n{z}_0^n+\cdots +a_1{z}_0+a_0}=\overline{a_n}\cdot {\overline{z_0}}^n+\cdots +\overline{a_1}\cdot \overline{z_0}+\overline{a_0}$$ (1 p). Înlocuind $\overline{a_k}=a_k$, membrul drept este exact $f\left(\overline{z_0}\right)$, deci $f\left(\overline{z_0}\right)=0$ (0,5 p). $■$ (Ipoteza „coeficienți reali" este esențială: pentru $f=X-i$, rădăcina $i$ nu vine însoțită de $-i$.)

b) (3 p) Fie $f\in \mathbb{R}[X]$ cu $\mathrm{grad}f=n$ impar. Prin corolarul teoremei fundamentale a algebrei, $f$ are exact $n$ rădăcini în $\mathbb{C}$, numărate cu ordinul de multiplicitate (1 p). Prin punctul a), rădăcinile nereale se grupează în perechi $\{z,\bar{z}\}$ cu același ordin, deci numărul lor total este par (1,5 p). Cum $n$ este impar, nu toate rădăcinile pot fi nereale; rămâne cel puțin una reală (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Coeficienții trebuie să fie raționali, iar $\sqrt{5}$ este irațional; prin teorema rădăcinilor pătratice conjugate, și $-\sqrt{5}$ trebuie să fie rădăcină (1,5 p). Ecuația de grad minim are deci exact rădăcinile $2$, $\sqrt{5}$, $-\sqrt{5}$ (0,5 p): $$(x-2)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=(x-2)(x^2-5)=0$$ (1,5 p), adică $x^3-2x^2-5x+10=0$ (0,5 p).

b) (4 p) Coeficienții trebuie să fie reali, iar $2-i$ este nereal; prin teorema rădăcinilor complexe conjugate, și $2+i$ este rădăcină (1,5 p). Perechea conjugată dă factorul real $$(x-(2-i))(x-(2+i))=x^2-4x+5$$ (1 p). Ecuația de grad minim este așadar (1 p) $$(x-1)(x^2-4x+5)=0,\text{adica˘}{x}^3-5x^2+9x-5=0.$$ Verificare: pentru $x=1$, $1-5+9-5=0$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Fie $x_1\in \mathbb{Z}$ o rădăcină. Înlocuind în ecuație obținem $x_1^3+a{x}_1^2+b{x}_1-12=0$, deci (1,5 p) $$x_1(x_1^2+a{x}_1+b)=12.$$ Paranteza este un număr întreg (coeficienții $a$, $b$ fiind întregi), deci $x_1$ divide $12$ (1,5 p). (Este cazul particular $a_n=1$ al teoremei rădăcinilor raționale.)

b) (5 p) Fie $x_3$ a treia rădăcină. Din relația lui Viète pentru produs, $x_1{x}_2{x}_3=12$ (1 p): $$2\cdot (-3)\cdot x_3=12⟹x_3=-2$$ (1 p). Atunci, folosind celelalte două relații (1,5 p): $$-a=S_1=2-3-2=-3⟹a=3;$$ $$b=S_2=2\cdot (-3)+2\cdot (-2)+(-3)\cdot (-2)=-6-4+6=-4.$$ Ecuația este $x^3+3x^2-4x-12=0$, cu soluțiile $2$, $-3$, $-2$ (1 p). Verificare: $8+12-8-12=0$ ✓, $-27+27+12-12=0$ ✓, $-8+12+8-12=0$ ✓ (0,5 p).