Test: ecuații bipătrate și ecuații reciproce

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie capitolul de polinoame cu două familii de ecuații care se rezolvă nu prin formule, ci prin exploatarea unei simetrii. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: ecuațiile bipătrate $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ și substituția $y=x^2$ — cu observația esențială că, spre deosebire de substituțiile trigonometrice, nicio valoare a lui $y$ nu se respinge: în $\mathbb{C}$, orice număr are exact două rădăcini pătrate, deci fiecare $y$ dă două valori pentru $x$, iar ecuația are întotdeauna patru rădăcini, numărate cu ordinul de multiplicitate. Al doilea: simetria rădăcinilor — la o ecuație bipătrată ele se grupează în perechi opuse $\pm x_0$, iar la o ecuație reciprocă în perechi de numere inverse. Al treilea: recunoașterea speței — coeficienți egali de la capete (speța întâi) sau opuși (speța a doua) — și rădăcina evidentă care decurge de aici: $-1$ pentru speța întâi de grad impar, $1$ pentru speța a doua. Al patrulea: metoda specifică gradului al patrulea — împărțirea la $x^2$ (permisă, pentru că $x=0$ nu poate fi rădăcină) și substituția $y=x+\frac{1}{x}$, cu identitatea-cheie $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. O rezolvare este completă doar dacă sunt scrise toate rădăcinile din $\mathbb{C}$, cu precizarea ordinului de multiplicitate acolo unde el este mai mare decât $1$. La ecuațiile reciproce se cere justificarea faptului că $x=0$ nu este rădăcină înainte de împărțirea la $x^2$. Se depunctează: respingerea valorilor negative ale lui $y=x^2$ (în $\mathbb{C}$ ele dau rădăcini pur imaginare, perfect valabile), pierderea unei jumătăți din rădăcini prin oprirea la $x=\sqrt{y}$ și confundarea celor două spețe.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe substituții și pe simetria rădăcinilor.
• Formule de reținut: ecuația bipătrată $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, cu $a\ne 0$, se rezolvă prin substituția $y=x^2$, care o transformă în $a{y}^2+by+c=0$; pentru fiecare soluție $y_k$ se revine prin $x^2=y_k$, ecuație care are în $\mathbb{C}$ exact două soluții opuse. Dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $-x_0$ este rădăcină. Ecuația reciprocă de speța întâi: $a_k=a_{n-k}$ pentru orice $k$; de speța a doua: $a_k=-a_{n-k}$. La orice ecuație reciprocă, $x=0$ nu este rădăcină, iar odată cu $x_0$ este rădăcină și $\frac{1}{x_0}$. Rădăcina evidentă: speța întâi de grad impar are rădăcina $-1$; speța a doua are rădăcina $1$. Gradul al patrulea, speța întâi: se împarte ecuația la $x^2$, se notează $$y=x+\frac{1}{x},\text{de unde}{x}^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2,$$ iar ecuația $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ devine $a{y}^2+by+(c-2a)=0$; pentru fiecare $y_k$ se revine prin $x^2-y_{k}x+1=0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Recunoaștere, substituții, rezolvări directe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Substituția potrivită pentru rezolvarea ecuației $x^4-5x^2+4=0$ este: A. $y=x$; B. $y=x^2$; C. $y=x+\frac{1}{x}$; D. $y=x^3$.

b) Orice ecuație reciprocă de speța întâi și de gradul al treilea are rădăcina: A. $0$; B. $1$; C. $-1$; D. $2$.

c) Numărul soluțiilor distincte din $\mathbb{C}$ ale ecuației $x^4+3x^2-4=0$ este: A. $2$; B. $3$; C. $4$; D. $0$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{C}$ (câte 1,5 puncte): a) $x^4-13x^2+36=0$; b) $x^4-3x^2-4=0$; c) $x^4+5x^2+4=0$; d) $x^4-8x^2+16=0$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Ecuația $x^4+x^3-x-1=0$ este reciprocă de speța întâi." b) „Orice ecuație bipătrată are patru rădăcini în $\mathbb{C}$, numărate cu ordinul lor de multiplicitate." c) „Dacă $x_0$ este rădăcină a unei ecuații reciproce, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este rădăcină." d) „Numărul $0$ poate fi rădăcină a unei ecuații reciproce."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^4-10x^2+9=0$. (3 p) b) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $2x^4-3x^2-2=0$. (3 p)

Partea a II-a – Ecuații reciproce: rădăcina evidentă și substituția $y=x+\frac{1}{x}$

Itemul 5 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{C}$, precizând mai întâi speța fiecărei ecuații (câte 2 puncte): a) $2x^3-3x^2-3x+2=0$; b) $x^3-4x^2-4x+1=0$; c) $3x^3+4x^2+4x+3=0$; d) $2x^3+x^2-x-2=0$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$, folosind substituția $y=x+\frac{1}{x}$. (4 p) b) Verifică faptul că rădăcinile obținute se grupează în perechi de numere inverse. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+2x^2-8=0$. (4 p) b) Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $x^4-m{x}^2+9=0$ are exact două rădăcini reale distincte, fiecare dublă. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Arată că ecuația $x^5-1=0$ este reciprocă de speța a doua și că $x=1$ este rădăcină a ei. (3 p) b) Coboară gradul împărțind cu $x-1$ și arată că ecuația rămasă este reciprocă de speța întâi. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$. (4 p) b) Verifică faptul că produsul tuturor rădăcinilor este egal cu $1$ și explică de ce acest lucru era de așteptat. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, dacă $x_0$ este rădăcină a ecuației bipătrate $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, atunci și $-x_0$ este rădăcină a ei; deduce că rădăcinile unei ecuații bipătrate se grupează în perechi de numere opuse. (5 p) b) Determină numerele reale $b$ și $c$ pentru care ecuația $x^4+b{x}^2+c=0$ are rădăcinile $\pm 1$ și $\pm 3$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Demonstrează că orice ecuație reciprocă de speța întâi și de grad impar are rădăcina $-1$. (5 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^3-3x^2-3x+1=0$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră ecuația $x^4-(m+1)x^2+m=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Arată că $x=1$ și $x=-1$ sunt rădăcini ale ecuației, oricare ar fi $m$, și scrie ecuația sub formă factorizată. (4 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care toate cele patru rădăcini ale ecuației sunt reale, discutând cazurile particulare. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0$. a) Arătați că ecuația este reciprocă de speța întâi și că $x=0$ nu este soluție a ei. (3 p) b) Rezolvați ecuația în $\mathbb{C}$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Ecuația conține doar puteri pare ale lui $x$, deci notând $y=x^2$ ea devine $y^2-5y+4=0$, o ecuație de gradul al doilea. b) C. O reciprocă de speța întâi de gradul al treilea are forma $a{x}^3+b{x}^2+bx+a=0$, iar $a(-1{)}^3+b(-1{)}^2+b(-1)+a=-a+b-b+a=0$. Valoarea $1$ este rădăcina „gratuită" a ecuațiilor de speța a doua. c) C. Cu $y=x^2$ obținem $y^2+3y-4=0$, cu soluțiile $y_1=1$ și $y_2=-4$; de aici $x=\pm 1$ și $x=\pm 2i$, adică patru soluții distincte.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p ecuația în $y$, 1 p toate cele patru rădăcini). a) $y^2-13y+36=0$, cu $\Delta =169-144=25$, deci $y\in \{4,9\}$. Rezultă $x\in \{2,-2,3,-3\}$. b) $y^2-3y-4=0$, cu soluțiile $y_1=4$ și $y_2=-1$. Din $x^2=4$ obținem $x=\pm 2$, iar din $x^2=-1$ obținem $x=\pm i$. Deci $x\in \{2,-2,i,-i\}$. c) $y^2+5y+4=0$, cu soluțiile $y_1=-1$ și $y_2=-4$ — ambele negative, dar niciuna nu se respinge: în $\mathbb{C}$ ele dau $x=\pm i$, respectiv $x=\pm 2i$. Deci $x\in \{i,-i,2i,-2i\}$; ecuația nu are nicio rădăcină reală. d) $y^2-8y+16=(y-4{)}^2=0$, deci $y=4$ este rădăcină dublă. Rezultă $x=2$ și $x=-2$, fiecare cu ordinul de multiplicitate $2$; într-adevăr, $x^4-8x^2+16=(x-2{)}^2(x+2{)}^2$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Coeficienții sunt $1,1,0,-1,-1$. Cei de la capete sunt $1$ și $-1$, deci nu sunt egali; sunt însă opuși, ca și perechea $(1,-1)$ din interior, iar coeficientul din mijloc este $0=-0$. Ecuația este așadar reciprocă de speța a doua. b) A. Ecuația bipătrată este o ecuație algebrică de gradul al patrulea, iar corolarul teoremei fundamentale a algebrei garantează exact patru rădăcini în $\mathbb{C}$, numărate cu ordinul lor de multiplicitate. c) A. Din $f(x_0)=0$, împărțind cu $x_0^n$ (posibil, pentru că $x_0\ne 0$) și folosind simetria coeficienților, se obține exact $f\left(\frac{1}{x_0}\right)=0$. d) F. Valoarea în $0$ este termenul liber $a_0$, iar la o ecuație reciprocă $|a_0|=|a_n|\ne 0$, coeficientul dominant fiind nenul prin definiția gradului. Deci $f(0)\ne 0$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Notăm $y=x^2$; ecuația devine $y^2-10y+9=0$, cu $\Delta =100-36=64$ (1 p), deci $y=\frac{10\pm 8}{2}$, adică $y_1=9$ și $y_2=1$ (1 p). Revenind, $x^2=9$ dă $x=\pm 3$, iar $x^2=1$ dă $x=\pm 1$; soluțiile reale sunt $\{-3,-1,1,3\}$ (1 p).

b) (3 p) Cu $y=x^2$ obținem $2y^2-3y-2=0$, cu $\Delta =9+16=25$ (1 p), deci $y=\frac{3\pm 5}{4}$, adică $y_1=2$ și $y_2=-\frac{1}{2}$ (0,5 p). Din $x^2=2$ rezultă $x=\pm \sqrt{2}$ (0,5 p); din $x^2=-\frac{1}{2}$ rezultă $$x=\pm i\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{i\sqrt{2}}{2}$$ (0,5 p). Verificare: $2x^4-3x^2-2=(x^2-2)(2x^2+1)$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p speța și rădăcina evidentă, 1 p coborârea gradului, 0,5 p soluțiile finale).

a) Coeficienții $2,-3,-3,2$ sunt egali doi câte doi de la capete: speța întâi, grad impar, deci $x=-1$ este rădăcină. Schema lui Horner cu $a=-1$ dă rândul $2,-5,2,0$, deci $(x+1)(2x^2-5x+2)=0$. Trinomul are $\Delta =25-16=9$, cu rădăcinile $\frac{5\pm 3}{4}$. Soluțiile sunt $-1$, $2$, $\frac{1}{2}$ (ultimele două, inverse una alteia). b) Coeficienții $1,-4,-4,1$: speța întâi, deci $x=-1$ este rădăcină. Horner cu $a=-1$ dă rândul $1,-5,1,0$, deci $(x+1)(x^2-5x+1)=0$, cu $\Delta =21$. Soluțiile sunt $-1$ și $\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$; produsul ultimelor două este $1$ ✓ c) Coeficienții $3,4,4,3$: speța întâi, deci $x=-1$ este rădăcină. Horner cu $a=-1$ dă rândul $3,1,3,0$, deci $(x+1)(3x^2+x+3)=0$, cu $\Delta =1-36=-35$. Soluțiile sunt $-1$ și $\frac{-1\pm i\sqrt{35}}{6}$. d) Coeficienții $2,1,-1,-2$ sunt opuși doi câte doi de la capete: speța a doua, deci $x=1$ este rădăcină. Horner cu $a=1$ dă rândul $2,3,2,0$, deci $(x-1)(2x^2+3x+2)=0$, cu $\Delta =9-16=-7$. Soluțiile sunt $1$ și $\frac{-3\pm i\sqrt{7}}{4}$.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Coeficienții $2,-9,14,-9,2$ sunt simetrici, deci ecuația este reciprocă de speța întâi; cum $a_0=2\ne 0$, numărul $0$ nu este soluție și putem împărți cu $x^2$ (1 p): $$2x^2-9x+14-\frac{9}{x}+\frac{2}{x^2}=0⟺2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-9\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0.$$ Cu $y=x+\frac{1}{x}$ și $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ obținem (1 p) $$2(y^2-2)-9y+14=0⟺2y^2-9y+10=0.$$ Discriminantul este $\Delta =81-80=1$, deci $y=\frac{9\pm 1}{4}$, adică $y_1=\frac{5}{2}$ și $y_2=2$ (1 p). Revenim prin $x^2-y_{k}x+1=0$: pentru $y_1$ obținem $2x^2-5x+2=0$, cu rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$; pentru $y_2$ obținem $x^2-2x+1=0$, adică $x=1$, rădăcină dublă. Soluțiile sunt $2$, $\frac{1}{2}$ și $1$ (cu ordinul $2$) (1 p).

b) (3 p) Perechile de inverse sunt $\left(2,\frac{1}{2}\right)$, cu $2\cdot \frac{1}{2}=1$, și $(1,1)$, numărul $1$ fiind propriul său invers — de aceea el apare de două ori (1,5 p). Verificare prin factorizare: $(x-2)(2x-1)(x-1{)}^2=(2x^2-5x+2)(x^2-2x+1)=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2$ ✓ (1 p). Se confirmă și prin Viète: produsul tuturor rădăcinilor este $\frac{a_0}{a_4}=1$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Notăm $y=x^2$; ecuația devine $y^2+2y-8=0$, cu $\Delta =4+32=36$ (1,5 p), deci $y=\frac{-2\pm 6}{2}$, adică $y_1=2$ și $y_2=-4$ (1 p). Revenind: $x^2=2$ dă $x=\pm \sqrt{2}$, iar $x^2=-4$ dă $x=\pm 2i$ (1 p). Soluțiile sunt $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$, $2i$, $-2i$. Verificare: $x^4+2x^2-8=(x^2-2)(x^2+4)$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Cu $y=x^2$ obținem $y^2-my+9=0$. Pentru ca cele patru rădăcini să se reducă la două valori reale, fiecare dublă, ecuația în $y$ trebuie să aibă o rădăcină dublă pozitivă (1 p). Condiția ${\Delta }_y=m^2-36=0$ dă $m=6$ sau $m=-6$ (1 p). Pentru $m=6$: $y=3>0$, deci $x=\pm \sqrt{3}$, fiecare dublă — convine, iar $x^4-6x^2+9=(x^2-3{)}^2$. Pentru $m=-6$: $y=-3<0$, deci $x=\pm i\sqrt{3}$, rădăcini nereale — nu convine. Răspuns: $m=6$ (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Coeficienții ecuației, scriși complet, sunt $1,0,0,0,0,-1$ (0,5 p). Verificăm relația $a_k=-a_{5-k}$: perechea de la capete este $(1,-1)$, iar celelalte două perechi sunt $(0,0)$, cu $0=-0$ (1,5 p). Deci ecuația este reciprocă de speța a doua, iar $$f(1)=1-1=0,$$ adică $x=1$ este rădăcină, exact cum prezice regula pentru speța a doua (1 p).

b) (3 p) Aplicăm schema lui Horner cu $a=1$ pe coeficienții $1,0,0,0,0,-1$: rândul de jos este $1,1,1,1,1,0$ (1,5 p), deci $$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1).$$ Ecuația rămasă, $x^4+x^3+x^2+x+1=0$, are coeficienții $1,1,1,1,1$, evident egali de la capete, deci este reciprocă de speța întâi (1 p). (Rădăcinile ei sunt cele patru rădăcini de ordinul $5$ ale unității diferite de $1$.) (0,5 p)

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Coeficienții $1,-5,8,-5,1$ sunt simetrici: ecuație reciprocă de speța întâi, cu $x=0$ nesoluție, deci împărțim cu $x^2$ (1 p): $$x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0⟺\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+8=0.$$ Cu $y=x+\frac{1}{x}$ și $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ (1 p): $$y^2-2-5y+8=0⟺y^2-5y+6=0⟹y_1=2,y_2=3$$ (1 p). Revenim: pentru $y_1=2$, $x^2-2x+1=0$ dă $x=1$, rădăcină dublă; pentru $y_2=3$, $x^2-3x+1=0$ are $\Delta =5$, deci $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ (1 p).

b) (2 p) Produsul rădăcinilor este $$1\cdot 1\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{9-5}{4}=1$$ (1 p). Era de așteptat: prin Viète, produsul rădăcinilor unei ecuații de gradul al patrulea este $\frac{a_0}{a_4}$, iar la o ecuație reciprocă de speța întâi $a_0=a_4$; structural, rădăcinile se grupează în perechi de inverse, al căror produs este $1$ (1 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Notăm $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ (0,5 p). Puterile care apar sunt pare, deci, pentru orice număr $x$, $$f(-x)=a(-x{)}^4+b(-x{)}^2+c=a{x}^4+b{x}^2+c=f(x)$$ (2 p). Prin urmare, dacă $x_0$ este rădăcină, adică $f(x_0)=0$, atunci $f(-x_0)=f(x_0)=0$, deci și $-x_0$ este rădăcină (1,5 p). Rezultă că mulțimea rădăcinilor este simetrică față de $0$: ele se grupează în perechi $\{x_0,-x_0\}$. Singura excepție aparentă ar fi $x_0=0$, care este propriul său opus, dar acest caz apare doar când $c=0$ (1 p). $■$

b) (3 p) Ecuația căutată are exact rădăcinile $1$, $-1$, $3$, $-3$, deci se scrie ca produs (1 p): $$(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)=(x^2-1)(x^2-9)$$ (1 p). Desfăcând, obținem $x^4-10x^2+9=0$, deci $b=-10$ și $c=9$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Fie $n$ impar și fie ecuația reciprocă de speța întâi $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0,a_k=a_{n-k}\text{ pentru orice }k$$ (0,5 p). Calculăm $f(-1)={\sum }_{k=0}^n{a}_k(-1{)}^k$ (1 p). Grupăm termenii în perechi $(k,n-k)$: fiecare $k\in \{0,1,\dots ,n\}$ se împerechează cu $n-k$, iar perechile sunt disjuncte, pentru că $n$ fiind impar nu există niciun $k$ cu $k=n-k$ (1,5 p). Contribuția unei perechi este $$a_k(-1{)}^k+a_{n-k}(-1{)}^{n-k}=a_k[(-1{)}^k+(-1{)}^{n-k}]$$ (1 p), unde am folosit $a_{n-k}=a_k$. Cum $n$ este impar, exponenții $k$ și $n-k$ au parități diferite, deci $(-1{)}^k$ și $(-1{)}^{n-k}$ sunt numere opuse, iar paranteza este nulă (0,5 p). Toate perechile contribuie cu $0$, deci $f(-1)=0$, adică $-1$ este rădăcină (0,5 p). $■$

b) (3 p) Coeficienții $1,-3,-3,1$ sunt simetrici, deci ecuația este reciprocă de speța întâi, de grad impar, și are rădăcina $-1$ (1 p). Schema lui Horner cu $a=-1$ (coeficienții $1,-3,-3,1$) dă rândul $1,-4,1,0$, deci (1 p) $$(x+1)(x^2-4x+1)=0.$$ Trinomul are $\Delta =16-4=12$, deci $x=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$. Soluțiile sunt $-1$, $2+\sqrt{3}$, $2-\sqrt{3}$ (0,5 p). Control: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$ — pereche de inverse, cum cere teoria ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Înlocuim direct (1,5 p): $$1-(m+1)+m=0\text{și}1-(m+1)+m=0,$$ egalități adevărate pentru orice $m$ (puterile fiind pare, valorile în $1$ și în $-1$ coincid). Deci $\pm 1$ sunt rădăcini indiferent de $m$ (1 p). Ecuația fiind bipătrată, cu $y=x^2$ obținem $y^2-(m+1)y+m=0$, care are rădăcinile $y_1=1$ și $y_2=m$ (suma $m+1$ și produsul $m$) (1 p). Prin urmare $$x^4-(m+1)x^2+m=(x^2-1)(x^2-m)=(x-1)(x+1)(x^2-m)$$ (0,5 p).

b) (4 p) Primele două rădăcini, $\pm 1$, sunt reale pentru orice $m$; rămâne condiția ca ecuația $x^2=m$ să aibă rădăcini reale (1,5 p), adică $$m\ge 0$$ (1 p). Discuția cazurilor (1,5 p): pentru $m>0$, $m\ne 1$, cele patru rădăcini $\pm 1$, $\pm \sqrt{m}$ sunt reale și distincte; pentru $m=1$ rămân doar $1$ și $-1$, fiecare cu ordinul de multiplicitate $2$ (ecuația devine $(x^2-1{)}^2=0$); pentru $m=0$ rădăcinile sunt $1$, $-1$ și $0$, ultima dublă. Pentru $m<0$ apar două rădăcini pur imaginare, $\pm i\sqrt{-m}$, deci condiția nu mai este îndeplinită.

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Coeficienții sunt $a_4=1$, $a_3=-3$, $a_2=4$, $a_1=-3$, $a_0=1$ (0,5 p). Avem $a_4=a_0=1$ și $a_3=a_1=-3$, iar $a_2$ este propria lui pereche, deci relația $a_k=a_{4-k}$ este verificată pentru orice $k$: ecuația este reciprocă de speța întâi (1,5 p). Valoarea în $0$ este termenul liber, $1\ne 0$, deci $x=0$ nu este soluție — observație care ne permite, la punctul b), împărțirea cu $x^2$ (1 p).

b) (5 p) Împărțim ecuația cu $x^2$ și grupăm termenii simetrici (1 p): $$x^2-3x+4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0⟺\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+4=0.$$ Notăm $y=x+\frac{1}{x}$; din $y^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ rezultă $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$ (1 p), deci $$y^2-2-3y+4=0⟺y^2-3y+2=0⟹y_1=1,y_2=2$$ (1 p). Revenim prin $x^2-y_{k}x+1=0$ (1 p): – pentru $y_1=1$: $x^2-x+1=0$, cu $\Delta =1-4=-3$, deci $x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$; – pentru $y_2=2$: $x^2-2x+1=0$, adică $(x-1{)}^2=0$, deci $x=1$, rădăcină dublă. Soluțiile ecuației sunt $1$ (cu ordinul de multiplicitate $2$), $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ și $\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ (0,5 p). Verificare: $(x-1{)}^2(x^2-x+1)=(x^2-2x+1)(x^2-x+1)=x^4-3x^3+4x^2-3x+1$ ✓ (0,5 p).