Test: ecuații de gradul al doilea în mulțimea numerelor complexe

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Pentru părinți și profesori

Acest test închide prima jumătate a unității și verifică motivul istoric pentru care numerele complexe au fost inventate: în $\mathbb{C}$, orice ecuație de gradul al doilea are rădăcini. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: cazul coeficienților reali cu $\Delta <0$ — rădăcinile există, sunt nereale și sunt conjugate una alteia; sub radical intră $-\Delta$, care este pozitiv, iar cea mai frecventă greșeală este scrierea „$\sqrt{\Delta }$" cu $\Delta$ negativ. Al doilea: consecințele — descompunerea oricărui trinom în factori de gradul I peste $\mathbb{C}$ și rezolvarea completă a ecuațiilor bipătrate, unde nicio valoare a lui $t=z^2$ nu se mai respinge, deci apar patru rădăcini. Al treilea, specific mate-info: coeficienți complecși. Aici nu mai există „semnul lui $\Delta$", pentru că în $\mathbb{C}$ nu există ordine; întrebarea corectă este „există $\delta$ cu ${\delta }^2=\Delta$?", iar răspunsul este întotdeauna da — se determină prin metoda algebrică, iar rădăcinile nu mai sunt conjugate. Al patrulea: relațiile lui Viète, valabile identic pentru orice coeficienți complecși, cu cele două utilizări clasice — calculul expresiilor simetrice fără a rezolva ecuația și formarea ecuației din sumă și produs.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rădăcină se scrie sub forma algebrică $a+bi$, iar la ecuațiile cu coeficienți reali și $\Delta <0$ se cere menționarea explicită a faptului că rădăcinile sunt conjugate. Se depunctează scrierea $\sqrt{\Delta }$ pentru $\Delta$ negativ (corect: $i\sqrt{-\Delta }$), folosirea notației  ​ pentru rădăcina pătrată a unui număr complex nereal (corect: $\delta$, cu ${\delta }^2=\Delta$) și pierderea a două dintre cele patru rădăcini la ecuațiile bipătrate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe formula rădăcinilor la $\Delta <0$ și pe metoda algebrică de extragere a lui $\delta$.
• Formule de reținut: pentru ecuația $a{z}^2+bz+c=0$, cu $a\ne 0$, discriminantul este $\Delta =b^2-4ac$. Coeficienți reali cu $\Delta <0$: $$z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a},$$ iar cele două rădăcini sunt conjugate: $z_2=\overline{z_1}$, cu $|z_1|=|z_2|$ și $z_1{z}_2=|z_1{|}^2$. Coeficienți complecși: se caută $\delta \in \mathbb{C}$ cu ${\delta }^2=\Delta$ și atunci $$z_{1,2}=\frac{-b\pm \delta }{2a}.$$ Rădăcina pătrată a unui număr complex $x+yi$: din $(u+vi{)}^2=x+yi$ rezultă $u^2-v^2=x$ și $2uv=y$; adăugând $u^2+v^2=\sqrt{x^2+y^2}$ se obțin $u^2$ și $v^2$, iar semnele se aleg astfel încât $2uv$ să aibă semnul lui $y$. Relațiile lui Viète, valabile pentru orice coeficienți complecși: $$S=z_1+z_2=-\frac{b}{a},P=z_1{z}_2=\frac{c}{a},\text{iar ecuația cu }S\text{ și }P\text{ date este }{z}^2-Sz+P=0.$$ Expresii simetrice: $z_1^2+z_2^2=S^2-2P$, $z_1^3+z_2^3=S^3-3PS$, $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{S}{P}$, $(z_1-z_2{)}^2=S^2-4P$. Descompunerea: $a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Discriminant negativ, rădăcini conjugate, Viète

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Soluțiile ecuației $z^2+9=0$ în mulțimea $\mathbb{C}$ sunt: A. $\pm 3$; B. $\pm 3i$; C. $\pm 9i$; D. ecuația nu are soluții.

b) Rădăcinile ecuației $z^2+4z+13=0$ sunt: A. $-2\pm 3i$; B. $2\pm 3i$; C. $-2\pm 9i$; D. $-4\pm 3i$.

c) Dacă $z_1$ și $z_2$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-5z+7=0$, atunci produsul $z_1{z}_2$ este egal cu: A. $5$; B. $-5$; C. $7$; D. $-7$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea $\mathbb{C}$ (câte 1,5 puncte): a) $z^2+16=0$; b) $z^2+2z+5=0$; c) $2z^2+2z+5=0$; d) $z^2+z+1=0$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are exact două rădăcini în $\mathbb{C}$, eventual egale." b) „Dacă o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali are rădăcina $2+i$, atunci are și rădăcina $2-i$." c) „Ecuația $z^2+1=0$ nu are soluții." d) „Rădăcinile oricărei ecuații de gradul al doilea sunt numere conjugate."

Itemul 4 (6 puncte)

Formează ecuația de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $1$, care are rădăcinile: a) $z_1=1+3i$ și $z_2=1-3i$; (3 p) b) $z_1=2i$ și $z_2=1-i$. (3 p)

Partea a II-a – Bipătrate, coeficienți complecși și expresii simetrice

Itemul 5 (8 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4-16=0$. (3 p) b) Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^4+5z^2+4=0$. (3 p) c) Descompune în factori de gradul I, peste $\mathbb{C}$, expresia $z^2+25$. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Determină toate numerele complexe $\delta$ pentru care ${\delta }^2=-15+8i$. (4 p) b) Folosind rezultatul de la punctul a), rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2-(3+2i)z+5+i=0$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră ecuația $z^2-4z+13=0$, cu rădăcinile $z_1$ și $z_2$. Fără a rezolva ecuația, calculează: a) $z_1+z_2$ și $z_1{z}_2$; (2 p) b) $z_1^2+z_2^2$ și $\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$; (3 p) c) $(z_1-z_2{)}^2$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Determină valorile parametrului real $m$ pentru care ecuația $z^2-2z+m=0$ are rădăcini nereale. (3 p) b) Determină numărul real $m$ știind că numărul $3+2i$ este rădăcină a ecuației $z^2+mz+13=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră ecuația $z^2-8z+25=0$, cu rădăcinile $z_1$ și $z_2$. a) Rezolvă ecuația și arată că $|z_1|=|z_2|=5$. (3 p) b) Descompune trinomul $z^2-8z+25$ în produs de factori de gradul I peste $\mathbb{C}$ și verifică descompunerea prin efectuarea înmulțirii. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, dacă ecuația $a{z}^2+bz+c=0$ are coeficienții $a,b,c$ reali, cu $a\ne 0$, iar $z_0\in \mathbb{C}$ este o rădăcină a ei, atunci și $\overline{z_0}$ este rădăcină. (5 p) b) Știind că numărul $1-2i$ este rădăcină a ecuației $z^2+pz+q=0$, cu $p,q\in \mathbb{R}$, determină $p$ și $q$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^2-4z+5=0$, cu rădăcinile $z_1$ și $z_2$. a) Arătați că $z_1=2+i$ și $z_2=2-i$. (2 p) b) Calculați $z_1^2+z_2^2$. (3 p) c) Arătați că $z_1^3+z_2^3=4$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Comportarea unui amortizor de vibrații este descrisă de ecuația caracteristică $$r^2+br+25=0,$$ unde $b\ge 0$ este coeficientul de amortizare. Regimul se numește oscilant dacă ecuația are rădăcini nereale și neoscilant dacă rădăcinile sunt reale.

a) Determină valorile lui $b$ pentru care regimul este oscilant. (3 p) b) Pentru $b=6$, rezolvă ecuația caracteristică și precizează partea reală și partea imaginară a rădăcinilor. (3 p) c) Arată că, în regim oscilant, cele două rădăcini au același modul și calculează acest modul pentru $b=6$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $z^2-(2+i)z+1+i=0$. a) Arătați că discriminantul ecuației este $\Delta =-1$. (2 p) b) Determinați un număr complex $\delta$ cu ${\delta }^2=\Delta$ și rezolvați ecuația. (3 p) c) Verificați relațiile lui Viète pentru rădăcinile obținute și precizați dacă acestea sunt conjugate. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Din $z^2=-9$ rezultă $z^2=9i^2$, deci $z=\pm 3i$. Verificare: $(3i{)}^2+9=-9+9=0$ ✓. b) A. $\Delta =16-52=-36<0$, deci $z_{1,2}=\frac{-4\pm i\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i$. c) C. Din relațiile lui Viète, $P=z_1{z}_2=\frac{c}{a}=7$. (Nu e nevoie să rezolvăm ecuația, deși $\Delta =25-28=-3<0$, deci rădăcinile sunt nereale.)

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $z^2=-16=16i^2$, deci $z=\pm 4i$. b) $\Delta =4-20=-16$, deci $z_{1,2}=\frac{-2\pm i\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$. (Verificare pentru $z=-1+2i$: $(-1+2i{)}^2=1-4i-4=-3-4i$; apoi $-3-4i+2(-1+2i)+5=-3-4i-2+4i+5=0$ ✓.) c) $\Delta =4-40=-36$, deci $z_{1,2}=\frac{-2\pm 6i}{4}=\frac{-1\pm 3i}{2}$. d) $\Delta =1-4=-3$, deci $z_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Discriminantul poate fi pozitiv (două rădăcini reale distincte), nul (o rădăcină dublă) sau negativ (două rădăcini nereale conjugate); în toate cazurile avem exact două rădăcini în $\mathbb{C}$, socotite cu multiplicitate. b) A. La coeficienți reali, rădăcinile nereale apar în perechi conjugate (vezi itemul 10). Aici $S=4$ și $P=5$, deci ecuația este $z^2-4z+5=0$. c) F. În $\mathbb{R}$ ecuația nu are soluții, dar în $\mathbb{C}$ are două: $z=\pm i$, pentru că $i^2+1=0$. Chiar aceasta este ecuația care a impus introducerea unității imaginare. d) F. Proprietatea are loc numai dacă toți coeficienții sunt reali. Contraexemplu: ecuația $z^2-(1+i)z=0$, adică $z\left(z-1-i\right)=0$, are rădăcinile $0$ și $1+i$, care nu sunt conjugate.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) $S=z_1+z_2=2$ și $P=z_1{z}_2=(1+3i)(1-3i)=1+9=10$ (2 p). Ecuația este $$z^2-Sz+P=0,\text{adica˘}{z}^2-2z+10=0$$ (1 p).

b) (3 p) $S=2i+1-i=1+i$ (1 p) și $P=2i(1-i)=2i-2i^2=2+2i$ (1 p). Ecuația este $$z^2-(1+i)z+2+2i=0$$ (1 p). (Verificare pentru $z=2i$: $(2i{)}^2-(1+i)(2i)+2+2i=-4-2i+2+2+2i=0$ ✓.)

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Notăm $t=z^2$; ecuația devine $t^2=16$, deci $t=4$ sau $t=-4$ (1 p). Din $z^2=4$ obținem $z=\pm 2$ (1 p); din $z^2=-4=4i^2$ obținem $z=\pm 2i$ (1 p). Mulțimea soluțiilor este $$S=\{-2,2,-2i,2i\}.$$ (În $\mathbb{R}$ ecuația avea doar două soluții; în $\mathbb{C}$ are patru — nicio valoare a lui $t$ nu se respinge.)

b) (3 p) Cu $t=z^2$ obținem $t^2+5t+4=0$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $t_1=-1$ și $t_2=-4$ (1,5 p). Ambele valori se păstrează: din $z^2=-1$ rezultă $z=\pm i$, iar din $z^2=-4$ rezultă $z=\pm 2i$ (1,5 p). Așadar $$S=\{-i,i,-2i,2i\}.$$

c) (2 p) $z^2+25=z^2-25i^2=(z-5i)(z+5i)$. (Verificare: $(z-5i)(z+5i)=z^2-25i^2=z^2+25$ ✓. Regula generală: ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i)$.)

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Căutăm $\delta =u+vi$, cu $u,v\in \mathbb{R}$. Din $(u+vi{)}^2=u^2-v^2+2uvi=-15+8i$ obținem (1 p) $$u^2-v^2=-15\text{și}2uv=8.$$ Adăugăm relația modulelor: $u^2+v^2=|-15+8i|=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ (1,5 p). Prin adunare și scădere: $$u^2=\frac{17-15}{2}=1,v^2=\frac{17+15}{2}=16$$ (1 p). Cum $2uv=8>0$, cele două numere au același semn, deci $\delta =1+4i$ sau $\delta =-1-4i$ (0,5 p). (Verificare: $(1+4i{)}^2=1+8i-16=-15+8i$ ✓. Reține: orice număr complex nenul are exact două rădăcini pătrate, opuse; nu se folosește simbolul radical pentru ele.)

b) (3 p) $\Delta =(3+2i{)}^2-4(5+i)=9+12i-4-20-4i=-15+8i$ (1 p), adică exact numărul de la a). Cu $\delta =1+4i$ (0,5 p): $$z_{1,2}=\frac{(3+2i)\pm (1+4i)}{2}⟹z_1=\frac{4+6i}{2}=2+3i,z_2=\frac{2-2i}{2}=1-i$$ (1,5 p). (Verificare prin Viète: $z_1+z_2=3+2i$ ✓ și $z_1{z}_2=(2+3i)(1-i)=2-2i+3i+3=5+i$ ✓. Observă că rădăcinile nu sunt conjugate — coeficienții nu sunt toți reali.)

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Din relațiile lui Viète: $S=z_1+z_2=4$ și $P=z_1{z}_2=13$.

b) (3 p) $z_1^2+z_2^2=S^2-2P=16-26=-10$ (2 p). Apoi $$\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}=\frac{z_1+z_2}{z_1{z}_2}=\frac{S}{P}=\frac{4}{13}$$ (1 p). (Rezultatul negativ de la prima expresie nu e o eroare: suma pătratelor a două numere nereale poate fi negativă.)

c) (2 p) $(z_1-z_2{)}^2=S^2-4P=16-52=-36$. (Control: rădăcinile sunt $2\pm 3i$, deci $z_1-z_2=6i$ și $(6i{)}^2=-36$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $\Delta =4-4m$ (1 p). Rădăcinile sunt nereale exact când $\Delta <0$ (1 p): $$4-4m<0⟺m>1,$$ deci $m\in (1,+\infty )$ (1 p). (Pentru $m=1$ rădăcina este dublă și reală, $z=1$; pentru $m<1$ avem două rădăcini reale distincte.)

b) (3 p) Coeficienții fiind reali, odată cu $3+2i$ este rădăcină și conjugatul $3-2i$ (1 p). Verificăm întâi produsul: $(3+2i)(3-2i)=9+4=13$, ceea ce coincide cu termenul liber — deci datele sunt consistente (1 p). Din sumă: $$z_1+z_2=6=-m⟹m=-6$$ (1 p). (Verificare: $z^2-6z+13=0$ are $\Delta =36-52=-16$ și rădăcinile $\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i$ ✓.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $\Delta =64-100=-36$ (1 p), deci $$z_{1,2}=\frac{8\pm i\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6i}{2}=4\pm 3i$$ (1 p). Modulele: $|z_1|=|z_2|=\sqrt{16+9}=5$ (1 p). (Era de așteptat: rădăcinile fiind conjugate, au același modul, iar $z_1{z}_2=|z_1{|}^2=25$ — exact termenul liber.)

b) (3 p) $z^2-8z+25=(z-4-3i)(z-4+3i)$ (1,5 p). Verificare, grupând convenabil (1,5 p): $$\left[(z-4)-3i\right]\left[(z-4)+3i\right]=(z-4{)}^2-9i^2=z^2-8z+16+9=z^2-8z+25✓.$$

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $z_0$ o rădăcină, adică $a{z}_0^2+b{z}_0+c=0$ (0,5 p). Conjugăm ambii membri ai egalității; conjugatul lui $0$ este $0$ (1 p): $$\overline{a{z}_0^2+b{z}_0+c}=0.$$ Folosim proprietățile conjugatului — el se distribuie peste sumă și peste produs (1,5 p): $$\overline{a{z}_0^2}+\overline{b{z}_0}+\bar{c}=\bar{a}\cdot {\overline{z_0}}^2+\bar{b}\cdot \overline{z_0}+\bar{c}=0.$$ Coeficienții fiind reali, ei își sunt propriii conjugați: $\bar{a}=a$, $\bar{b}=b$, $\bar{c}=c$ (1,5 p). Rămâne $$a{\overline{z_0}}^2+b\overline{z_0}+c=0,$$ adică $\overline{z_0}$ verifică aceeași ecuație, deci este rădăcină (0,5 p). $■$ (Observă unde se sparge demonstrația dacă vreun coeficient este nereal: exact la pasul $\bar{a}=a$.)

b) (3 p) Coeficienții $p$ și $q$ fiind reali, a doua rădăcină este $1+2i$ (1 p). Atunci $$S=(1-2i)+(1+2i)=2,P=(1-2i)(1+2i)=1+4=5$$ (1 p). Din $S=-p$ și $P=q$ rezultă $p=-2$ și $q=5$ (1 p). (Verificare: $z^2-2z+5=0$ are $\Delta =-16$ și rădăcinile $1\pm 2i$ ✓.)

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $\Delta =16-20=-4$, deci $$z_{1,2}=\frac{4\pm i\sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm 2i}{2}=2\pm i.$$ (Verificare: $(2+i{)}^2-4(2+i)+5=3+4i-8-4i+5=0$ ✓.)

b) (3 p) Cu $S=4$ și $P=5$ (1 p): $$z_1^2+z_2^2=S^2-2P=16-10=6$$ (2 p). (Control direct: $(2+i{)}^2+(2-i{)}^2=(3+4i)+(3-4i)=6$ ✓.)

c) (3 p) Folosim identitatea $z_1^3+z_2^3=S^3-3PS$ (1,5 p): $$z_1^3+z_2^3=4^3-3\cdot 5\cdot 4=64-60=4$$ (1,5 p). (Control direct: $(2+i{)}^3=2+11i$ și $(2-i{)}^3=2-11i$, cu suma $4$ ✓.)

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) $\Delta =b^2-4\cdot 25=b^2-100$ (1 p). Regimul este oscilant când $\Delta <0$ (1 p): $$b^2<100⟺-10<b<10.$$ Cum, din context, $b\ge 0$, răspunsul este $b\in [0,10)$ (1 p).

b) (3 p) Pentru $b=6$: $\Delta =36-100=-64$ (1 p), deci $$r_{1,2}=\frac{-6\pm i\sqrt{64}}{2}=\frac{-6\pm 8i}{2}=-3\pm 4i$$ (1,5 p). Partea reală este $-3$ (ea măsoară amortizarea, adică viteza cu care se sting oscilațiile), iar părțile imaginare sunt $4$ și $-4$ (ele dau pulsația oscilației) (0,5 p).

c) (2 p) În regim oscilant coeficienții sunt reali și $\Delta <0$, deci rădăcinile sunt conjugate, iar $|\bar{r}|=|r|$ — au același modul (1 p). Pentru $b=6$: $$|-3+4i|=\sqrt{9+16}=5$$ (1 p). (Se putea și fără rezolvare: $r_1{r}_2=25$, iar la rădăcini conjugate $r_1{r}_2=|r_1{|}^2$, deci $|r_1|=\sqrt{25}=5$.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $\Delta =(2+i{)}^2-4(1+i)=4+4i-1-4-4i=-1$.

b) (3 p) Căutăm $\delta$ cu ${\delta }^2=-1$: putem lua $\delta =i$ (cealaltă posibilitate, $-i$, dă aceleași rădăcini, doar schimbate între ele) (1 p). Atunci $$z_{1,2}=\frac{(2+i)\pm i}{2}⟹z_1=\frac{2+2i}{2}=1+i,z_2=\frac{2}{2}=1$$ (2 p). (Verificare pentru $z_2=1$: $1-(2+i)+1+i=0$ ✓.)

c) (3 p) $z_1+z_2=(1+i)+1=2+i$, ceea ce coincide cu $-\frac{b}{a}=2+i$ ✓ (1 p); $z_1{z}_2=(1+i)\cdot 1=1+i$, ceea ce coincide cu $\frac{c}{a}=1+i$ ✓ (1 p). Rădăcinile nu sunt conjugate: conjugatul lui $1+i$ este $1-i$, care este diferit de $1$ (1 p). Explicația: coeficienții ecuației nu sunt toți reali, deci teorema rădăcinilor conjugate nu se aplică.