Test: ecuații matriceale și Hamilton-Cayley

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Permutări, determinanți și matrice inversabile

Pentru părinți și profesori

Acest test închide unitatea, punând la lucru tot ce s-a construit înainte: determinantul, inversa și necomutativitatea produsului. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: ecuațiile matriceale în cele trei forme standard, unde greșeala numărul unu nu este de calcul, ci de parte — la $AX=B$ se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$, la $XA=B$ la dreapta, iar cele două soluții sunt, de regulă, matrice diferite. Al doilea: aducerea la forma standard, în special $AX+\alpha X=(A+\alpha I_n)X$, unde condiția de rezolvare privește $\det (A+\alpha I_n)$, nu $\det A$. Al treilea: cazul $\det A=0$, în care ecuația poate fi fără soluții sau cu o infinitate — se cercetează notând elementele lui $X$ cu litere, nu se declară din reflex „nu are soluții". Al patrulea: urma unei matrice și ecuația Hamilton-Cayley la ordinul $2$, cu cele două consecințe ale ei — inversa scrisă într-un rând și coborârea gradului, care dă puterile matricei — plus criteriul de alegere între metodele de ridicare la putere.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare soluție a unei ecuații matriceale se consideră completă doar dacă este verificată în ecuația inițială, nu în cea transformată. Se depunctează: scrierea „$\frac{B}{A}$", înmulțirea din partea greșită, verificarea condiției pe matricea greșită la $AX+\alpha X=B$, concluzia „$\det A=0$, deci nu are soluții", ultimul termen al ecuației Hamilton-Cayley scris ca $\det A$ în loc de $(\det A)I_2$ și aplicarea acestei ecuații unei matrice de ordin $3$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe partea din care se înmulțește și pe cele două numere $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$.
• Formule de reținut: cele trei forme standard, valabile când matricele cu care se înmulțește au determinantul nenul: $$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B;XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1};AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}.$$ Factorul comun se scoate ținând seama de poziție: $AX+\alpha X=(A+\alpha I_n)X$, cu condiția $\det (A+\alpha I_n)\ne 0$. Urma este suma elementelor de pe diagonala principală, $\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$; ea este aditivă, omogenă și verifică $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$, dar nu $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$. Ecuația Hamilton-Cayley, pentru $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$: $$A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2,\text{adica˘}{A}^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2.$$ Din ea, dacă $\det A\ne 0$, $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$ — care este formula cu adjuncta scrisă mai scurt, pentru că la ordinul $2$ avem $A^{\ast }=\mathrm{tr}(A)I_2-A$. Coborârea gradului: $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$, cu $x_{n+1}=\mathrm{tr}(A)x_n-\det A\cdot x_{n-1}$, $x_1=1$, $x_2=\mathrm{tr}(A)$ și $y_n=-\det A\cdot x_{n-1}$; rațiile ies din ecuația caracteristică $r^2-\mathrm{tr}(A)r+\det A=0$. Cele trei scurtături: $\mathrm{tr}(A)=0\Rightarrow A^2=-(\det A)I_2$; $\det A=0\Rightarrow A^n=(\mathrm{tr}(A){)}^{n-1}A$; ambele nule $\Rightarrow A^2=O_2$. Cele patru metode elementare de ridicare la putere sunt inducția matematică, binomul lui Newton, șirurile recurente și structura matricei de rotație, iar ecuația Hamilton-Cayley este a cincea; calculul direct al lui $A^2$ nu se numără printre metode, este procedeul de bază care le precedă pe toate.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Cele trei forme standard și ecuația Hamilton-Cayley

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $\det A\ne 0$, soluția ecuației $XA=B$ este: A. $X=A^{-1}B$; B. $X=B{A}^{-1}$; C. $X=A{B}^{-1}$; D. $X=\frac{B}{A}$.

b) Ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& 1\end{array}\right)$ este: A. $A^2-4A+11I_2=O_2$; B. $A^2-4A+11=O_2$; C. $A^2+4A-11I_2=O_2$; D. $A^2-11A+4I_2=O_2$.

c) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ are $\mathrm{tr}(A)=0$ și $\det A=-5$, atunci $A^2$ este: A. $-5I_2$; B. $5I_2$; C. $O_2$; D. $5A$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ și scrie ecuația Hamilton-Cayley a matricei (câte 1,5 puncte): a) $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 6& 4\end{array}\right)$; d) $\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& -2\end{array}\right)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $\det A=0$, atunci ecuația $AX=B$ nu are soluții." b) „Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ are loc $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$." c) „Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ are loc $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_3=O_3$." d) „Formula binomului lui Newton se poate aplica lui $(\alpha I_n+N{)}^n$, pentru că $\alpha I_n$ comută cu orice matrice."

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 6\end{array}\right)$. a) Rezolvă ecuația $AX=B$ și verifică soluția în ecuația inițială. (3 p) b) Rezolvă ecuația $XA=B$ și compară rezultatul cu cel de la punctul a). (3 p)

Partea a II-a – Forma standard, determinant nul, parametru și puteri

Itemul 5 (8 puncte)

a) Rezolvă ecuația $AX+2X=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 1& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$, precizând pe care matrice se pune condiția de inversabilitate. (4 p) b) Rezolvă ecuația $AXB=C$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}5& 11\\ 9& 20\end{array}\right)$. (4 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right)$. a) Arată că ecuația $AX=I_2$ nu are soluții. (3 p) b) Determină toate matricele $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $AX=O_2$. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 3\\ 1& m-2\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$, și $B=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A(m)$ în formă factorizată și determină valorile lui $m$ pentru care ecuația $A(m)X=B$ are soluție unică. (3 p) b) Rezolvă ecuația pentru $m=1$, precizând mai întâi formatul matricei $X$. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$. a) Scrie ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$ și exprimă $A^3$ în funcție de $A$ și $I_2$. (3 p) b) Determină $A^{-1}$ folosind ecuația Hamilton-Cayley și arată că rezultatul coincide cu cel obținut din matricea adjunctă. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Pentru fiecare dintre matricele $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$, precizează ce metodă de ridicare la putere ai alege și de ce. Nu calcula puterile. (3 p) b) Calculează $A^{2026}$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, are loc $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$. (5 p) b) Deduce din ecuație formula inversei și aplic-o pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)$. a) Scrie ecuația Hamilton-Cayley și ecuația caracteristică a matricei $A$. (2 p) b) Determină $A^n$, pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, folosind coborârea gradului. (4 p) c) Verifică formula obținută pentru $n=2$, comparând cu înmulțirea directă. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}5& -4\\ 1& 1\end{array}\right)$. a) Arată, folosind ecuația Hamilton-Cayley, că ${\left(A-3I_2\right)}^2=O_2$. (3 p) b) Determină $A^n$ cu binomul lui Newton, justificând de ce se poate aplica formula. (4 p) c) Controlează rezultatul pentru $n=2$. (1 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$ și matricea $B=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)$. a) Calculați $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ și scrieți ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$. (2 p) b) Determinați $A^{-1}$, folosind ecuația Hamilton-Cayley. (3 p) c) Rezolvați ecuația $AX=B$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Necunoscuta stă în stânga lui $A$, deci $A^{-1}$ trebuie adus tot în dreapta, ca să se simplifice: din $(XA)A^{-1}=B{A}^{-1}$ obținem $X\left(A{A}^{-1}\right)=B{A}^{-1}$, adică $X=B{A}^{-1}$. Varianta A este soluția ecuației $AX=B$, iar D nu are sens: nu există împărțire cu o matrice.

b) A. $\mathrm{tr}(A)=3+1=4$ și $\det A=3\cdot 1-(-2)\cdot 4=3+8=11$, deci ecuația este $A^2-4A+11I_2=O_2$. Varianta B este greșită pentru că adună un număr cu o matrice — ultimul termen trebuie să conțină $I_2$; varianta D inversează rolurile urmei și determinantului.

c) B. Cu $\mathrm{tr}(A)=0$, ecuația devine $A^2+(\det A)I_2=O_2$, adică $A^2=-(\det A)I_2=5I_2$. Varianta A este greșeala de semn.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p urma, 0,5 p determinantul, 0,5 p ecuația).

a) $\mathrm{tr}(A)=2+4=6$, $\det A=8-3=5$, deci $A^2-6A+5I_2=O_2$.

b) $\mathrm{tr}(A)=1+1=2$, $\det A=1-0=1$, deci $A^2-2A+I_2=O_2$, adică ${\left(A-I_2\right)}^2=O_2$.

c) $\mathrm{tr}(A)=3+4=7$, $\det A=12-12=0$, deci $A^2-7A=O_2$, adică $A^2=7A$ (de aici, $A^n=7^{n-1}A$).

d) $\mathrm{tr}(A)=2+(-2)=0$, $\det A=-4-5=-9$, deci $A^2-9I_2=O_2$, adică $A^2=9I_2$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Condiția $\det A\ne 0$ garantează existența și unicitatea soluției, dar nu este necesară pentru existență. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\det A=0$, ecuația $AX=A$ are o infinitate de soluții, de exemplu $X=I_2$ și $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 1& 3\end{array}\right)$. Corect este: dacă $\det A=0$, ecuația poate fi fără soluții sau cu o infinitate de soluții.

b) F. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 2\end{array}\right)$ avem $AB=\left(\begin{array}{cc}10& 3\\ 20& 5\end{array}\right)$, deci $\mathrm{tr}(AB)=15$, în timp ce $\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)=5\cdot 2=10$. Egalitatea adevărată este $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$: aici $BA=\left(\begin{array}{cc}-3& -4\\ 11& 18\end{array}\right)$, tot cu urma $15$.

c) F. Ecuația Hamilton-Cayley învățată la clasa a XI-a este valabilă exclusiv la ordinul $2$. La ordinul $3$ relația analogă începe cu $A^3$ și are alți coeficienți. Contraexemplu: pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$, cu $\mathrm{tr}(A)=7$ și $\det A=13$, membrul stâng dă $\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& 1& -2\\ -3& 1& 3\end{array}\right)\ne O_3$.

d) A. Formula binomului se aplică la matrice numai când cele două comută, iar $\alpha I_n$ comută cu orice matrice de același ordin, deci condiția este automat îndeplinită. Pentru două matrice oarecare formula este falsă: $(X+Y{)}^2=X^2+XY+YX+Y^2$, iar cei doi termeni din mijloc nu se pot aduna în $2XY$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) $\det A=9-8=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă, cu $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$ (1 p). Necunoscuta stă la dreapta lui $A$, deci înmulțim la stânga cu $A^{-1}$ (0,5 p): $$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-4& 15-12\\ -4+6& -20+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -2\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}-3+4& 9-4\\ -4+6& 12-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 6\end{array}\right)=B$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Aici necunoscuta stă la stânga lui $A$, deci înmulțim la dreapta cu $A^{-1}$ (0,5 p): $$X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-20& -2+15\\ 6-24& -4+18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-17& 13\\ -18& 14\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare: $XA=\left(\begin{array}{cc}-51+52& -34+39\\ -54+56& -36+42\end{array}\right)=B$ ✓ (0,5 p). Comparația: cele două soluții, $\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -2\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}-17& 13\\ -18& 14\end{array}\right)$, sunt complet diferite, deși matricele din enunț sunt aceleași: partea din care se înmulțește schimbă rezultatul, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Scoatem factor comun pe $X$, ținând seama că $2X=2I_{2}X$: $$AX+2X=(A+2I_2)X=B,A+2I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$$ (1 p). Condiția de rezolvare privește matricea $A+2I_2$, nu $A$: aici $\det (A+2I_2)=6-5=1\ne 0$, deși $\det A=0-5=-5$ este cu totul alt număr (1 p). Inversa este ${\left(A+2I_2\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$, deci $$X=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14-15& 2-5\\ -7+9& -1+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 2\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}-1+10& -3+10\\ -1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 7\\ -1& -3\end{array}\right)$ și $2X=\left(\begin{array}{cc}-2& -6\\ 4& 4\end{array}\right)$, iar suma lor este $\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 3& 1\end{array}\right)=B$ ✓ (0,5 p).

b) (4 p) $\det A=4-3=1$ și $\det B=3-2=1$, deci ambele sunt inversabile, cu $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ și $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$ (1,5 p). Necunoscuta este prinsă între cele două matrice, deci o eliberăm în doi pași: la stânga cu $A^{-1}$, la dreapta cu $B^{-1}$, în această ordine (0,5 p): $$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}10-9& 22-20\\ -15+18& -33+40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare: $AX=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 7& 2\end{array}\right)$, iar $(AX)B=\left(\begin{array}{cc}4+1& 8+3\\ 7+2& 14+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 11\\ 9& 20\end{array}\right)=C$ ✓ (0,5 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) $\det A=12-12=0$, deci inversa nu există și metoda standard nu se poate folosi (0,5 p). Notăm $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ și calculăm (1 p): $$AX=\left(\begin{array}{cc}2x+3z& 2y+3t\\ 4x+6z& 4y+6t\end{array}\right).$$ Oricare ar fi $X$, linia a doua a produsului este dublul primei linii (1 p). În $I_2$, însă, linia a doua, $(0,1)$, nu este dublul primei, $(1,0)$: din $2x+3z=1$ ar rezulta $4x+6z=2$, dar ecuația cere $4x+6z=0$ — contradicție. Deci ecuația nu are soluții (0,5 p). (Al doilea argument, mai scurt: din $AX=I_2$ ar rezulta $\det A\cdot \det X=\det I_2=1$, adică $0=1$, imposibil.)

b) (4 p) Condiția $AX=O_2$ înseamnă că toate cele patru elemente ale produsului sunt nule; liniile a doua fiind duble față de primele, rămân doar două condiții (1,5 p): $$2x+3z=0,2y+3t=0.$$ Luăm $z=2\alpha$ și $t=2\beta$, cu $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ oarecare; atunci $x=-3\alpha$ și $y=-3\beta$ (1,5 p), deci $$X=\left(\begin{array}{cc}-3\alpha & -3\beta \\ 2\alpha & 2\beta \end{array}\right),\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$$ (0,5 p). Verificare pentru $\alpha =0$, $\beta =1$: $X=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $AX=\left(\begin{array}{cc}0& -6+6\\ 0& -12+12\end{array}\right)=O_2$ ✓ (0,5 p). (Observă că există matrice $X\ne O_2$ cu $AX=O_2$ — lucru imposibil dacă $A$ ar fi inversabilă.)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) $\det A(m)=m(m-2)-3\cdot 1=m^2-2m-3=(m-3)(m+1)$ (2 p). Ecuația $A(m)X=B$ are soluție unică exact când $\det A(m)\ne 0$, adică pentru $$m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,3\}$$ (1 p).

b) (4 p) Cum $A(1)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, necunoscuta este o matrice-coloană, $X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ (0,5 p). Pentru $m=1$ avem $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$, cu $\det A(1)=-1-3=-4\ne 0$ (1 p) și $$A(1{)}^{-1}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$$ (1 p). Prin urmare $$X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare în ecuația inițială: $1\cdot 2+3\cdot 1=5$ și $1\cdot 2-1\cdot 1=1$ ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $\mathrm{tr}(A)=3+2=5$ și $\det A=6-2=4$, deci $A^2-5A+4I_2=O_2$, adică $A^2=5A-4I_2$ (1,5 p). Înmulțim cu $A$ și înlocuim din nou: $$A^3=5A^2-4A=5(5A-4I_2)-4A=21A-20I_2$$ (1,5 p). (Control: $21A-20I_2=\left(\begin{array}{cc}63-20& 21\\ 42& 42-20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}43& 21\\ 42& 22\end{array}\right)$, exact cât dă înmulțirea directă $A^2\cdot A$.)

b) (3 p) Din ecuație, $A(A-5I_2)=-4I_2$, deci $A\cdot \frac{1}{4}(5I_2-A)=I_2$; cum $A$ comută cu $I_2$ și cu ea însăși, produsul în cealaltă ordine dă tot $I_2$ (1 p): $$A^{-1}=\frac{1}{4}(5I_2-A)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$$ (1 p). Metoda cu adjuncta dă același rezultat: $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$ și $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$. Nu e o coincidență: la ordinul $2$ avem întotdeauna $A^{\ast }=\mathrm{tr}(A)I_2-A$, deci Hamilton-Cayley nu este o metodă nouă de inversare, ci o scriere mai scurtă a celei cu adjuncta (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct pentru fiecare matrice (0,5 p metoda, 0,5 p motivul).

• $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ — binomul lui Newton: matricea se scrie $I_2+N$, cu $N=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $N^2=O_2$, iar $I_2$ comută cu orice matrice, deci dezvoltarea se oprește după al doilea termen: $A^n=I_2+nN$.
• $\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$ — matricea de rotație: are forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, cu $a=3$, $b=4$, deci se scrie $rR(\theta )$ cu $r=\sqrt{3^2+4^2}=5$, iar $A^n=r^{n}R(n\theta )$.
• $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$ — ecuația Hamilton-Cayley: matricea nu are niciuna dintre structurile de mai sus, dar are ordinul $2$, iar $\mathrm{tr}(A)=4$ și $\det A=0$, deci ecuația dă imediat $A^2=4A$.

b) (3 p) Din $\mathrm{tr}(A)=4$ și $\det A=4-4=0$, ecuația Hamilton-Cayley devine $A^2=4A$ (1 p). Prin inducție, $A^n=4^{n-1}A$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: pentru $n=1$ avem $4^{0}A=A$, iar din $A^n=4^{n-1}A$ rezultă $A^{n+1}=4^{n-1}{A}^2=4^{n-1}\cdot 4A=4^{n}A$ (1,5 p). Prin urmare $$A^{2026}=4^{2025}\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$$ (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{C}$. Cele două numere din ecuație sunt $\mathrm{tr}(A)=a+d$ și $\det A=ad-bc$ (0,5 p). Calculăm, cu regula de înmulțire „linie pe coloană", cele trei matrice care intră în relație (2 p): $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ca+dc& cb+d^2\end{array}\right),\mathrm{tr}(A)A=\left(\begin{array}{cc}(a+d)a& (a+d)b\\ (a+d)c& (a+d)d\end{array}\right),(\det A)I_2=\left(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right).$$ Adunăm element cu element, conform enunțului (2 p). Pe poziția $(1,1)$: $$a^2+bc-(a+d)a+ad-bc=a^2+bc-a^2-ad+ad-bc=0;$$ pe poziția $(1,2)$: $ab+bd-(a+d)b=0$; pe poziția $(2,1)$: $ca+dc-(a+d)c=0$; pe poziția $(2,2)$: $$cb+d^2-(a+d)d+ad-bc=cb+d^2-ad-d^2+ad-bc=0.$$ Toate cele patru elemente sunt nule, deci matricea din membrul stâng este $O_2$ (0,5 p). $■$ (Demonstrația folosește numai definiția înmulțirii și formula determinantului de ordin $2$, deci este valabilă și peste $\mathbb{R}$, și peste $\mathbb{C}$.)

b) (3 p) Presupunem $\det A\ne 0$. Punem în evidență factorul comun $A$ în primii doi termeni: $A(A-\mathrm{tr}(A)I_2)=-(\det A)I_2$, adică $$A\cdot \frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)=I_2$$ (1 p); cum $A$ comută cu $I_2$ și cu ea însăși, aceeași egalitate are loc și în cealaltă ordine, deci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$ (0,5 p). Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$ avem $\mathrm{tr}(A)=8$ și $\det A=16-15=1$, deci $$A^{-1}=8I_2-A=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare pe ambele produse: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}16-15& -12+12\\ 20-20& -15+16\end{array}\right)=I_2$ și, la fel, $A^{-1}\cdot A=I_2$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $\mathrm{tr}(A)=4+1=5$ și $\det A=4\cdot 1-(-2)\cdot 1=6$, deci $$A^2-5A+6I_2=O_2,\text{iar ecuația caracteristica˘ este}{r}^2-5r+6=0,$$ cu rădăcinile $r_1=2$ și $r_2=3$.

b) (4 p) Scriem $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$, cu recurența dată de ecuație (1 p): $$x_{n+1}=5x_n-6x_{n-1},x_1=1,x_2=5,y_n=-6x_{n-1}.$$ Cum rațiile sunt $2$ și $3$, căutăm $x_n=\alpha \cdot 2^n+\beta \cdot 3^n$ (1 p); din $x_1=1$ și $x_2=5$ obținem $2\alpha +3\beta =1$ și $4\alpha +9\beta =5$, de unde $\alpha =-1$ și $\beta =1$, deci $$x_n=3^n-2^n,y_n=-6(3^{n-1}-2^{n-1})=3\cdot 2^n-2\cdot 3^n$$ (1,5 p). Prin urmare $A^n=(3^n-2^n)A+(3\cdot 2^n-2\cdot 3^n)I_2$, adică, pe elemente, $$A^n=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 3^n-2^n& 2^{n+1}-2\cdot 3^n\\ 3^n-2^n& 2^{n+1}-3^n\end{array}\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ (0,5 p).

c) (2 p) Pentru $n=2$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}18-4& 8-18\\ 9-4& 8-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& -10\\ 5& -1\end{array}\right)$ (1 p), iar înmulțirea directă dă $$A^2=\left(\begin{array}{cc}16-2& -8-2\\ 4+1& -2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& -10\\ 5& -1\end{array}\right)$$ ✓ (1 p). (Al doilea control, pentru $n=1$: formula dă $\left(\begin{array}{cc}6-2& 4-6\\ 3-2& 4-3\end{array}\right)=A$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) $\mathrm{tr}(A)=5+1=6$ și $\det A=5\cdot 1-(-4)\cdot 1=9$, deci ecuația Hamilton-Cayley este $A^2-6A+9I_2=O_2$ (1,5 p). Membrul stâng se grupează ca un pătrat perfect, pentru că $A$ comută cu $I_2$: $A^2-6A+9I_2={\left(A-3I_2\right)}^2$, prin urmare ${\left(A-3I_2\right)}^2=O_2$ (1 p). Control direct: cu $N=A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$, obținem $N^2=\left(\begin{array}{cc}4-4& -8+8\\ 2-2& -4+4\end{array}\right)=O_2$ ✓ (0,5 p).

b) (4 p) Scriem $A=3I_2+N$, cu $N^2=O_2$ (0,5 p). Formula binomului se poate aplica pentru că cele două matrice comută: $3I_2$ comută cu orice matrice de ordin $2$ (1 p). Cum toți termenii care conțin $N^2$, $N^3$, … sunt nuli, dezvoltarea se oprește după al doilea termen (1 p): $$A^n={\left(3I_2\right)}^n+C_n^1{\left(3I_2\right)}^{n-1}N=3^n{I}_2+n{3}^{n-1}N$$ (1 p), adică, pe elemente, $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n+2n{3}^{n-1}& -4n{3}^{n-1}\\ n{3}^{n-1}& 3^n-2n{3}^{n-1}\end{array}\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ (0,5 p).

c) (1 p) Pentru $n=2$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}9+12& -24\\ 6& 9-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21& -24\\ 6& -3\end{array}\right)$, iar înmulțirea directă dă $A^2=\left(\begin{array}{cc}25-4& -20-4\\ 5+1& -4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21& -24\\ 6& -3\end{array}\right)$ ✓.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $\mathrm{tr}(A)=1+2=3$ (0,5 p) și $\det A=1\cdot 2-2\cdot 3=-4$ (0,5 p), deci ecuația Hamilton-Cayley este $$A^2-3A-4I_2=O_2$$ (1 p). (Ultimul termen este $(\det A)I_2=-4I_2$, nu numărul $-4$: un număr nu se adună cu o matrice.)

b) (3 p) Cum $\det A=-4\ne 0$, matricea este inversabilă (0,5 p), iar din ecuație $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$$ (2 p). Verificare pe ambele produse: $A\cdot A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}-2+6& 2-2\\ -6+6& 6-2\end{array}\right)=I_2$ și, analog, $A^{-1}\cdot A=I_2$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Necunoscuta este o matrice-coloană, $X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ (0,5 p). Înmulțim la stânga cu $A^{-1}$ (0,5 p): $$X=A^{-1}B=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}-16+8\\ 24-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare în ecuația inițială: $1\cdot (-2)+2\cdot 5=8$ și $3\cdot (-2)+2\cdot 5=4$ ✓ (0,5 p).