Test: ecuații și inecuații exponențiale

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică

Pentru părinți și profesori

Acest test pune la lucru proprietățile funcției exponențiale. Sunt evaluate patru deprinderi. Prima: aducerea la aceeași bază, urmată de egalarea exponenților — pas legitim tocmai pentru că funcția exponențială este injectivă ($a^u=a^v\iff u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$). A doua: substituția $t=a^x$, împreună cu condiția obligatorie $t>0$; aici se pierd cele mai multe puncte, pentru că rădăcina negativă sau nulă a ecuației de gradul al doilea trebuie respinsă explicit, cu motivare, nu ignorată în tăcere — baremul punctează separat respingerea. A treia: inecuațiile, unde totul depinde de bază: la $a>1$ sensul se păstrează la trecerea de la puteri la exponenți, iar la $0<a<1$ se schimbă; propoziția „baza este subunitară, deci sensul se răstoarnă" trebuie scrisă în rezolvare, nu doar gândită. A patra: modelarea — dobânda compusă și dezintegrarea radioactivă, unde întrebarea „cât va fi?" cere o putere, iar întrebarea „după cât timp?" cere rezolvarea unei ecuații exponențiale. Testul mai conține două sisteme, rezolvate prin notarea puterilor, nu a exponenților.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu redactare completă se cer toate etapele, inclusiv condițiile puse substituției și verificarea finală.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator (la itemul cu dobândă compusă se admite calculul scris al puterii). Un răspuns este complet doar dacă: (1) la fiecare substituție este scrisă condiția $t>0$; (2) rădăcinile care nu o respectă sunt respinse motivat; (3) fiecare soluție este verificată prin înlocuire în ecuația inițială; (4) la inecuații, soluția este scrisă ca interval sau reuniune de intervale.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe condiția $t>0$ și pe discuția după bază.
• Formule de reținut: regula fundamentală, pentru $a>0$, $a\ne 1$: $$a^u=a^v⟺u=v.$$ Ecuația elementară $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$ și are exact o soluție pentru $b>0$. Substituția: în $\alpha a^{2x}+\beta a^x+\gamma =0$ se notează $t=a^x$, cu $a^{2x}=t^2$ și condiția $t>0$. Descompuneri utile: $$a^{x+k}=a^k\cdot a^x,a^{2x+1}=a\cdot {\left(a^x\right)}^2,a^{k-x}=\frac{a^k}{a^x}.$$ Inecuațiile: pentru $a>1$, $a^u<a^v\iff u<v$; pentru $0<a<1$, $a^u<a^v\iff u>v$. Cum $a^x>0$ mereu, inecuația $a^{f(x)}>b$ cu $b\le 0$ are soluția $\mathbb{R}$, iar $a^{f(x)}<b$ cu $b\le 0$ nu are soluții. Modele: dobânda compusă $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$; dezintegrarea $N(t)=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, unde $T$ este timpul de înjumătățire.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Ecuații elementare și aducerea la aceeași bază

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Soluția ecuației $2^x=32$ este: A. $4$; B. $5$; C. $6$; D. $16$.

b) Ecuația $3^x=-9$ are: A. exact o soluție; B. exact două soluții; C. o infinitate de soluții; D. nicio soluție.

c) Mulțimea soluțiilor inecuației $2^x>8$ este: A. $(3,+\infty )$; B. $(-\infty ,3)$; C. $[3,+\infty )$; D. $(0,3)$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ (câte 1,5 puncte): a) $5^x=125$; b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=81$; c) $2^{x^2-3x}=16$; d) $9^x=27$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Ecuația $4^x=0$ are soluția $x=0$." b) „Din $2^{f(x)}=2^{g(x)}$ rezultă $f(x)=g(x)$." c) „Inecuația ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<\frac{1}{4}$ are mulțimea soluțiilor $(-\infty ,2)$." d) „La substituția $t=3^x$ se pune condiția $t\ge 0$."

Itemul 4 (6 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, folosind factorul comun: a) $2^{x+1}+2^x=24$. (3 p) b) $3^{x+2}-3^x=72$. (3 p)

Partea a II-a – Substituții, ecuații omogene și inecuații

Itemul 5 (8 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, precizând condiția pusă substituției: a) $4^x-5\cdot 2^x+4=0$. (4 p) b) $4^x-3\cdot 2^x-4=0$. (4 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația omogenă $4^x+6^x=2\cdot 9^x$. (4 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x+{\left(2-\sqrt{3}\right)}^x=4$, observând mai întâi cât este produsul bazelor. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, scriind soluția ca interval: a) $3^{x^2-x}<9$. (4 p) b) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{2x-1}\ge \frac{25}{4}$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $2^{2x}-9\cdot 2^x+8\le 0$. (3 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $5^x>-3$ și justifică răspunsul. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}{2}^x+2^y=12\\ x+y=5\end{array}$, cu $x,y\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Determină numerele naturale $x$ și $y$ pentru care $3^x\cdot 5^y=1125$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, discuție după parametru și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru $a>0$ și $a\ne 1$, are loc echivalența $a^u=a^v\iff u=v$, și arată printr-un contraexemplu de ce condiția $a\ne 1$ nu poate fi omisă. (5 p) b) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $7^{x^2}=7^{5x-6}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Rezolvă inecuația $a^{x-1}>a^{2x+3}$, discutând după valorile parametrului $a$, cu $a>0$ și $a\ne 1$. (4 p) b) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $4^x+m\cdot 2^x+4=0$ nu are soluții reale. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) a) O sumă de $5000$ de lei este depusă cu dobândă compusă de $6\%$ pe an. Calculează suma din cont după $3$ ani, rotunjită la bani (două zecimale). (4 p) b) Un izotop radioactiv are timpul de înjumătățire $T=8$ zile, iar masa lui evoluează după legea $N(t)=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{8}}$, cu $t$ măsurat în zile. Determină după câte zile mai rămâne $12,5\%$ din masa inițială și ce procent rămâne după $16$ zile. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $2^x+2^{3-x}=6$. a) Arătați că, prin notația $t=2^x$, cu $t>0$, ecuația devine $t^2-6t+8=0$. (3 p) b) Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor reale. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Aducem la aceeași bază: $32=2^5$, deci $2^x=2^5$ și, prin injectivitate, $x=5$.

b) D. Membrul stâng este strict pozitiv pentru orice $x$ real, iar membrul drept este negativ. Ecuația $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$.

c) A. $8=2^3$, iar baza $2$ este supraunitară, deci sensul se păstrează: $2^x>2^3\iff x>3$. Varianta C ar include $x=3$, pentru care obținem egalitate, nu inegalitate strictă.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p aducerea la aceeași bază, 1 p soluția).

a) $125=5^3$, deci $5^x=5^3$ și $x=3$. Verificare: $5^3=125$ ✓.

b) Scriem ambii membri în baza $3$: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3^{-x}$ și $81=3^4$, deci $3^{-x}=3^4$, de unde $-x=4$, adică $x=-4$. Verificare: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}=3^4=81$ ✓.

c) $16=2^4$, deci $x^2-3x=4$, adică $x^2-3x-4=0$, cu $\Delta =9+16=25$: $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}⟹x_1=4,x_2=-1.$$ Verificare: pentru $x=4$, exponentul este $16-12=4$ ✓; pentru $x=-1$, exponentul este $1+3=4$ ✓.

d) Baza comună este $3$: $9^x=3^{2x}$ și $27=3^3$, deci $2x=3$, adică $x=\frac{3}{2}$. Verificare: $9^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{9}\right)}^3=27$ ✓.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Dublă greșeală: $4^0=1\ne 0$, iar ecuația nu are nicio soluție, pentru că funcția exponențială ia numai valori strict pozitive și nu se anulează niciodată.

b) A. Baza $2$ îndeplinește condițiile $a>0$ și $a\ne 1$, deci funcția exponențială de bază $2$ este strict crescătoare, prin urmare injectivă; din egalitatea valorilor rezultă egalitatea argumentelor.

c) F. Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci la trecerea de la puteri la exponenți sensul se schimbă. Scriem $\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ și obținem $x>2$, adică mulțimea soluțiilor este $(2,+\infty )$. Control: pentru $x=3$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$ ✓, iar pentru $x=1$, $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$ ✗.

d) F. Condiția corectă este $t>0$, strict. Valoarea $t=0$ nu provine de la niciun $x$ real, pentru că $3^x\ne 0$ oricare ar fi $x$; dacă am accepta $t=0$, am obține „soluții" false.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Descompunem exponentul: $2^{x+1}=2^x\cdot 2$ (1 p), deci ecuația devine $$2\cdot 2^x+2^x=24⟺2^x(2+1)=24⟺2^x=8$$ (1,5 p). Cum $8=2^3$, obținem $x=3$. Verificare: $2^4+2^3=16+8=24$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Analog, $3^{x+2}=3^x\cdot 9$ (1 p), deci $$3^x(9-1)=72⟺8\cdot 3^x=72⟺3^x=9=3^2$$ (1,5 p), de unde $x=2$. Verificare: $3^4-3^2=81-9=72$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Observăm că $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2$, deci notăm $t=2^x$, cu condiția $t>0$ (1 p). Ecuația devine $$t^2-5t+4=0,\Delta =25-16=9⟹t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2},$$ adică $t_1=1$ și $t_2=4$ (1,5 p). Ambele valori sunt strict pozitive, deci niciuna nu se respinge (0,5 p). Revenim: $$2^x=1=2^0\Rightarrow x=0;2^x=4=2^2\Rightarrow x=2$$ (0,5 p). Verificare: pentru $x=0$: $1-5+4=0$ ✓; pentru $x=2$: $16-20+4=0$ ✓ (0,5 p). Soluțiile sunt $x\in \{0,2\}$.

b) (4 p) Aceeași substituție $t=2^x$, cu $t>0$ (1 p). Ecuația devine $$t^2-3t-4=0,\Delta =9+16=25⟹t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2},$$ adică $t_1=4$ și $t_2=-1$ (1,5 p). Respingem $t_2=-1$, pentru că nu respectă condiția $t>0$: nu există niciun $x$ real cu $2^x=-1$, funcția exponențială neluând valori negative (1 p). Rămâne $2^x=4=2^2$, deci $x=2$ (0,25 p). Verificare: $4^2-3\cdot 2^2-4=16-12-4=0$ ✓ (0,25 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Toate puterile sunt strict pozitive, deci putem împărți ecuația la $9^x$ fără să pierdem soluții (1 p): $${\left(\frac{4}{9}\right)}^x+{\left(\frac{6}{9}\right)}^x=2⟺{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^x-2=0.$$ Notăm $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, cu $t>0$ (1 p). Obținem $$t^2+t-2=0,\Delta =1+8=9⟹t_1=1,t_2=-2$$ (1 p). Respingem $t_2=-2$ (nu respectă $t>0$) (0,5 p). Rămâne ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1={\left(\frac{2}{3}\right)}^0$, deci $x=0$. Verificare: $4^0+6^0=1+1=2=2\cdot 9^0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Produsul bazelor este $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1$, deci bazele sunt conjugate: a doua este inversa primei (1 p). Notăm $t={\left(2+\sqrt{3}\right)}^x>0$; atunci ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x=\frac{1}{t}$, iar ecuația devine $$t+\frac{1}{t}=4⟺t^2-4t+1=0,\Delta =16-4=12,$$ $$t_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$ (1 p). Ambele valori sunt strict pozitive (căci $\sqrt{3}\approx 1,73<2$), deci ambele se acceptă. Revenim: $${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x=2+\sqrt{3}\Rightarrow x=1;{\left(2+\sqrt{3}\right)}^x=2-\sqrt{3}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-1}\Rightarrow x=-1$$ (0,5 p). Verificare: pentru $x=1$: $(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$ ✓; pentru $x=-1$: $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$ ✓ (0,5 p). Soluțiile sunt $x\in \{-1,1\}$.

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Scriem $9=3^2$ (1 p). Baza $3$ este supraunitară, deci sensul inegalității se păstrează la trecerea la exponenți (1 p): $$3^{x^2-x}<3^2⟺x^2-x<2⟺x^2-x-2<0.$$ Rădăcinile trinomului sunt $-1$ și $2$ (produs $-2$, sumă $1$), iar coeficientul dominant e pozitiv, deci expresia e negativă între rădăcini (1,5 p): $$x\in (-1,2)$$ (0,5 p). Control: pentru $x=0$, $3^0=1<9$ ✓; pentru $x=3$, $3^6=729>9$ ✗.

b) (3 p) Scriem membrul drept în baza $\frac{2}{5}$: $\frac{25}{4}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}$ (1 p). Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci sensul se schimbă (1 p): $$2x-1\le -2⟺2x\le -1⟺x\le -\frac{1}{2},$$ adică $x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ (1 p). Control: pentru $x=-\frac{1}{2}$ exponentul este $-2$ și se obține egalitate ✓; pentru $x=0$ exponentul este $-1$, iar ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{2}<\frac{25}{4}$ ✗.

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Notăm $t=2^x$, cu $t>0$; atunci $2^{2x}=t^2$ (0,5 p). Inecuația devine $t^2-9t+8\le 0$, cu rădăcinile $1$ și $8$, deci $$1\le t\le 8$$ (1 p). Revenim la $x$: $2^0\le 2^x\le 2^3$, iar baza $2$ fiind supraunitară, sensul se păstrează (1 p): $$x\in [0,3]$$ (0,5 p). Verificare prin valori de probă: pentru $x=1$ (interior) obținem $4-18+8=-6\le 0$ ✓; pentru $x=0$ și $x=3$ (capete) obținem $1-9+8=0$, respectiv $64-72+8=0$ — egalitate, deci capetele se includ ✓; pentru $x=4$ (exterior) obținem $256-144+8=120>0$ ✗.

b) (3 p) Membrul stâng este strict pozitiv pentru orice $x$ real, iar membrul drept este negativ (1,5 p). Prin urmare inegalitatea $5^x>-3$ este adevărată oricare ar fi $x$, deci mulțimea soluțiilor este $\mathbb{R}$ (1,5 p). (Atenție la simetric: inecuația $5^x<-3$ nu ar avea nicio soluție.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Notăm $u=2^x>0$ și $v=2^y>0$ (0,5 p). A doua ecuație se transformă prin ridicare la putere: din $x+y=5$ rezultă $$u\cdot v=2^x\cdot 2^y=2^{x+y}=2^5=32$$ (1 p). Avem deci $u+v=12$ și $uv=32$, adică $u$ și $v$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-12t+32=0$, cu $\Delta =144-128=16$, deci $t_1=4$ și $t_2=8$ (1 p). Ambele sunt strict pozitive, deci se acceptă. Revenim: $(u,v)=(4,8)$ dă $(x,y)=(2,3)$, iar $(u,v)=(8,4)$ dă $(x,y)=(3,2)$ (0,25 p). Verificare: $2^2+2^3=4+8=12$ ✓ și $2+3=5$ ✓ (0,25 p).

b) (3 p) Descompunem în factori primi membrul drept (1,5 p): $$1125=9\cdot 125=3^2\cdot 5^3.$$ Bazele $3$ și $5$ sunt numere prime distincte, iar descompunerea în factori primi a unui număr natural este unică, deci exponenții se identifică (1 p): $$x=2,y=3$$ (0,5 p). (Regula nu s-ar aplica dacă o bază ar fi putere a celeilalte — de exemplu la $2^x\cdot 4^y$, unde soluția nu ar mai fi unică.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $a>0$, $a\ne 1$.

Implicația „$\Leftarrow$". Dacă $u=v$, atunci evident $a^u=a^v$ (0,5 p).

Implicația „$\Rightarrow$". Presupunem $a^u=a^v$ și arătăm $u=v$. Distingem două cazuri (1 p): – dacă $a>1$, funcția $x\mapsto a^x$ este strict crescătoare; presupunând $u<v$ am obține $a^u<a^v$, iar presupunând $u>v$ am obține $a^u>a^v$ — ambele contrazic ipoteza, deci rămâne $u=v$ (1,5 p); – dacă $0<a<1$, funcția este strict descrescătoare și raționamentul este identic, cu inegalitățile răsturnate (1 p). În ambele cazuri, stricta monotonie asigură injectivitatea, deci $u=v$.

Contraexemplu pentru $a=1$ (1 p): avem $1^2=1^3=1$, dar $2\ne 3$. Funcția $x\mapsto 1^x$ este constantă, deci nu este injectivă și nu permite egalarea exponenților. $■$

b) (3 p) Baza $7$ verifică $7>0$ și $7\ne 1$, deci egalăm exponenții (1 p): $$x^2=5x-6⟺x^2-5x+6=0,\Delta =25-24=1,$$ $$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}⟹x_1=2,x_2=3$$ (1,5 p). Verificare: pentru $x=2$, ambii exponenți sunt $4$ ✓; pentru $x=3$, ambii exponenți sunt $9$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Bazele fiind identice, comparăm exponenții, dar sensul depinde de bază (1 p).

Cazul $a>1$ (funcția exponențială este strict crescătoare, sensul se păstrează) (1,5 p): $$x-1>2x+3⟺-x>4⟺x<-4,S=(-\infty ,-4).$$ Control pentru $a=2$, $x=-5$: $2^{-6}>2^{-7}$ ✓.

Cazul $0<a<1$ (funcția este strict descrescătoare, sensul se schimbă) (1,5 p): $$x-1<2x+3⟺x>-4,S=(-4,+\infty ).$$ Control pentru $a=\frac{1}{2}$, $x=0$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2>\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ ✓.

b) (4 p) Notăm $t=2^x$, cu $t>0$; ecuația devine $t^2+mt+4=0$ (0,5 p). Ecuația inițială are soluții reale dacă și numai dacă ecuația în $t$ are cel puțin o rădăcină strict pozitivă (1 p). Produsul rădăcinilor este $P=4>0$, deci, când rădăcinile există, ele au același semn; semnul lor este dat de sumă, $S=-m$ (1 p). Prin urmare există rădăcini strict pozitive dacă și numai dacă $$\Delta =m^2-16\ge 0\text{și}-m>0,$$ adică $m\le -4$ (1 p). În concluzie, ecuația nu are soluții reale pentru $$m\in (-4,+\infty )$$ (0,5 p). Controale: pentru $m=-4$ obținem $t=2$ (rădăcină dublă), deci $x=1$ — există soluție, deci $-4$ se exclude din răspuns; pentru $m=4$ obținem $t=-2<0$, respins, deci nu există soluții; pentru $m=0$ avem $\Delta <0$, deci nu există soluții.

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Modelul dobânzii compuse este $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$, cu $S_0=5000$, $p=6$ și $n=3$ (1,5 p): $$S_3=5000\cdot (1,06{)}^3.$$ Calculăm puterea pas cu pas (1,5 p): $$(1,06{)}^2=1,1236,(1,06{)}^3=1,1236\cdot 1,06=1,191016.$$ Prin urmare $$S_3=5000\cdot 1,191016=5955,08\text{ lei}$$ (1 p). (Rezultatul este exact, nu rotunjit: $5000\cdot 1,191016=5955,08$.)

b) (4 p) Punem condiția $N(t)=12,5\%\cdot N_0$, adică $N(t)=\frac{N_0}{8}$ (1 p). Simplificăm prin $N_0>0$: $$2^{-\frac{t}{8}}=\frac{1}{8}=2^{-3}.$$ Prin injectivitate, $-\frac{t}{8}=-3$, deci $t=24$ zile (1,5 p) — adică exact trei timpi de înjumătățire, ceea ce se potrivește cu $50\%\to 25\%\to 12,5\%$. Pentru $t=16$ zile (1,5 p): $$N(16)=N_0\cdot 2^{-2}=\frac{N_0}{4}=25\%\cdot N_0,$$ deci rămâne $25\%$ din masa inițială. (Observație — întrebarea inversă în cazul general: dacă procentul rămas nu este o putere „rotundă" a lui $\frac{1}{2}$, timpul se află logaritmând. Din $2^{-\frac{t}{T}}=\frac{N}{N_0}$ rezultă $$t=T\cdot \frac{\lg \left(\frac{N_0}{N}\right)}{\lg 2}.$$ Aici $\frac{N_0}{N}=8$ și $\lg 8=3\lg 2$, deci $t=8\cdot 3=24$ zile — același rezultat.)

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Descompunem exponentul celui de-al doilea termen (1 p): $$2^{3-x}=\frac{2^3}{2^x}=\frac{8}{t}.$$ Cu $t=2^x>0$, ecuația devine $t+\frac{8}{t}=6$ (1 p). Înmulțim cu $t$, operație permisă și care păstrează echivalența pentru că $t>0$ (0,5 p): $$t^2+8=6t⟺t^2-6t+8=0✓$$ (0,5 p)

b) (5 p) Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: $\Delta =36-32=4$, deci $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}⟹t_1=2,t_2=4$$ (2 p). Confruntăm cu condiția $t>0$: ambele valori sunt strict pozitive, deci niciuna nu se respinge (1 p). Revenim la necunoscuta inițială (1,5 p): $$2^x=2=2^1\Rightarrow x=1;2^x=4=2^2\Rightarrow x=2.$$ Verificare în ecuația inițială: pentru $x=1$: $2^1+2^2=2+4=6$ ✓; pentru $x=2$: $2^2+2^1=4+2=6$ ✓ (0,5 p). Mulțimea soluțiilor este $S=\{1,2\}$.