Test: elipsa

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Conice

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă cele două lecții dedicate elipsei și partea de recunoaștere care o privește, și verifică cinci lucruri. Primul: definiția geometrică — suma distanțelor la cele două focare este constantă și egală cu $2a$, cu condiția obligatorie $2a>F{F}^{\prime }$ — și deducerea ecuației canonice prin două ridicări la pătrat, fiecare justificată prin faptul că ambii membri sunt nenegativi. Al doilea: elementele citite din ecuație: semiaxele ca radicali ai numitorilor, relația $a^2=b^2+c^2$ citită ca teoremă a lui Pitagora în triunghiul $OBF$, vârfurile, focarele și excentricitatea $e=\frac{c}{a}\in (0,1)$. Al treilea: razele focale $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$, formule de gradul întâi care înlocuiesc formula distanței, și coarda dusă prin focar, perpendicular pe axa mare, de lungime $\frac{2b^2}{a}$. Al patrulea: reprezentarea grafică în cinci pași, cu dreptunghiul-schelet, cele patru vârfuri, focarele și punctele de control, plus cele trei controale rapide ale desenului. Al cincilea: elipsa scrisă ca reuniune a graficelor a două funcții cu radical, cu domeniul precizat, și recunoașterea situației în care axa mare stă pe $Oy$, adică atunci când numitorul mare apare sub $y^2$.

Testul cere de la elev o redactare pe care baremele o punctează literal: normalizarea ecuației → elementele scrise ca listă → verificarea apartenenței prin substituție → calculul cerut. Un răspuns care citește semiaxele direct din $A{x}^2+B{y}^2=D$, fără împărțirea prin $D$, pierde toate punctele care urmează.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare punct al elipsei se cere verificarea prin substituție, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice ecuație se aduce întâi la forma canonică. Se depunctează: semiaxele luate ca numitori, nu ca radicali ai lor; formula $c=\sqrt{a^2+b^2}$, care este a hiperbolei; focarele așezate pe axa mică; razele focale calculate cu ordonata în loc de abscisă; ridicarea la pătrat nejustificată la deducere; și domeniul lipsă la scrierea funcțiilor-ramură.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre definiția geometrică a elipsei și despre elementele ei, cu accent pe relația dintre $a$, $b$ și $c$.
• Formule de reținut: Definiția: elipsa este locul geometric al punctelor $M$ cu $MF+M{F}^{\prime }=2a$, unde $F{F}^{\prime }=2c$ și $a>c>0$. Ecuația canonică: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a>b>0$ și $b^2=a^2-c^2$, adică $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Elementele: centrul $O$; vârfurile $A(\pm a,0)$ și $B(0,\pm b)$; focarele $(\pm c,0)$; axa mare $2a$, axa mică $2b$, distanța focală $2c$. Excentricitatea: $e=\frac{c}{a}\in (0,1)$, cu $\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$. Razele focale: $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$, cu $x\in [-a,a]$; suma lor este $2a$ pentru orice punct. Coarda prin focar, perpendiculară pe axa mare: $\frac{2b^2}{a}$. Cei cinci pași ai trasării elipsei: citești $a$ și $b$ și calculezi $c$; desenezi punctat dreptunghiul-schelet de laturi $2a$ și $2b$; marchezi cele patru vârfuri și focarele; adaugi două-trei puncte de control; unești printr-o curbă netedă, tangentă la dreptunghi în vârfuri. Reuniunea de grafice: $f_{1,2}:[-a,a]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$. Axa mare pe $Oy$: $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$, cu vârfurile $(0,\pm a)$ și $(\pm b,0)$ și focarele $(0,\pm c)$ — litera $a$ păstrează înțelesul de semiaxă mare și schimbă doar poziția. Normalizarea: $A{x}^2+B{y}^2=D$ se împarte prin $D$, iar coeficientul mic dă numitorul mare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Onestitate despre examen: în subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă a clasei a XII-a. Formatul cu trei subpuncte folosit la itemul $11$ anticipează structura cerinței, nu prezența ei în variantele publicate până acum. Scrierea elipsei ca reuniune de grafice rămâne însă utilă imediat: de la ea pornește, la sfârșitul anului, calculul ariei interiorului elipsei cu integrala definită.

Itemi

Partea I – Definiția, elementele și excentricitatea

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) La elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a>b>0$, legătura dintre parametri este: A. $c=\sqrt{a^2+b^2}$; B. $c=\sqrt{a^2-b^2}$; C. $c=a-b$; D. $c=\sqrt{b^2-a^2}$.

b) Excentricitatea unei elipse ia valori în mulțimea: A. $(0,1)$; B. $(1,+\infty )$; C. $\{1\}$; D. $\mathbb{R}$.

c) Suma distanțelor de la un punct al elipsei la cele două focare este egală cu: A. $2b$; B. $2c$; C. $2a$; D. $a+b$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Elipsa este graficul unei funcții." b) „Dacă două elipse au aceeași excentricitate, atunci au aceeași formă, putând diferi doar prin mărime." c) „La elipsa $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{225}=1$, focarele se află pe axa $Ox$." d) „Ecuația $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=0$ descrie o elipsă cu semiaxele $15$ și $9$."

Itemul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare elipsă, determină semiaxele, focarele și excentricitatea (câte 2 puncte): a) $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$; b) $25x^2+9y^2=2025$; c) $\frac{x^2}{841}+\frac{y^2}{400}=1$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră elipsa $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$ și punctul $M\left(9,\frac{36}{5}\right)$.

a) Determină $a$, $b$, $c$ și coordonatele focarelor. (2 p) b) Arată, prin substituție, că $M$ aparține elipsei. (2 p) c) Calculează razele focale ale lui $M$ cu formulele $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$, apoi confirmă-le cu formula distanței dintre două puncte. (3 p)

Partea a II-a – Deducerea ecuației, coarde și reprezentare grafică

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră punctele $F(12,0)$ și $F^{\prime }(-12,0)$ și mulțimea punctelor $M$ din plan cu proprietatea $MF+M{F}^{\prime }=30$.

a) Justifică faptul că mulțimea este o elipsă și precizează valorile lui $a$ și $c$. (2 p) b) Deduce ecuația canonică pornind de la definiție, prin cele două ridicări la pătrat, și justifică de ce fiecare dintre ele este o echivalență. (5 p) c) Precizează semiaxele și excentricitatea curbei obținute. (1 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră elipsa $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$.

a) Determină punctele elipsei situate pe dreapta $x=9$ și lungimea coardei determinate de această dreaptă. (3 p) b) Parcurge cei cinci pași ai trasării elipsei, precizând dreptunghiul-schelet, cele patru vârfuri, focarele și punctele de control folosite. (3 p) c) Enunță cele trei controale rapide ale desenului și verifică-l pe al treilea pentru punctul $\left(9,\frac{36}{5}\right)$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră curba de ecuație $25x^2+9y^2=2025$.

a) Adu ecuația la forma canonică și precizează, cu justificare, pe ce axă se află axa mare. (2 p) b) Determină cele patru vârfuri, focarele și excentricitatea. (2 p) c) Determină funcțiile a căror reuniune de grafice este această elipsă și precizează-le domeniul. (3 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Pe un desen, o elipsă are vârfurile $(\pm 29,0)$ și $(0,\pm 20)$. Scrie ecuația ei canonică și determină focarele și excentricitatea. (3 p) b) Determină ecuația canonică a elipsei cu focarele $(\pm 21,0)$ și excentricitatea $\frac{21}{29}$. (2 p) c) Determină ecuația canonică a elipsei care trece prin punctele $A(0,9)$ și $B\left(9,\frac{36}{5}\right)$. (2 p)

Partea a III-a – Aplicație, cazuri degenerate și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

(Problemă aplicată.) O boltă de tunel are forma jumătății de deasupra a unei elipse, cu deschiderea la sol de $30$ de metri și înălțimea în centru de $9$ metri.

a) Scrie ecuația elipsei corespunzătoare, luând originea în mijlocul deschiderii, și precizează funcția al cărei grafic este bolta. (3 p) b) Determină înălțimea bolții la $12$ metri de centru. (3 p) c) Determină la ce distanță de centru înălțimea bolții este de $\frac{36}{5}$ metri. (4 p)

Itemul 10 (10 puncte)

a) Stabilește ce mulțime de puncte descrie fiecare ecuație: (i) $\frac{x^2}{841}+\frac{y^2}{400}=0$; (ii) $\frac{x^2}{841}+\frac{y^2}{400}=-1$; (iii) $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{841}=1$. (4 p) b) Pentru curba de la (iii), determină vârfurile, focarele și excentricitatea. (3 p) c) Arată că elipsele $\frac{x^2}{841}+\frac{y^2}{400}=1$ și $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{841}=1$ au aceeași excentricitate și precizează ce le deosebește. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea.) Se consideră elipsa de ecuație $9x^2+25y^2=2025$.

a) Aduceți ecuația la forma canonică și determinați semiaxele, focarele și excentricitatea. (5 p) b) Arătați că punctul $M\left(12,\frac{27}{5}\right)$ aparține elipsei și calculați razele lui focale. (5 p) c) Determinați funcțiile a căror reuniune de grafice este elipsa și calculați lungimea coardei duse prin focarul $F$, perpendicular pe axa mare. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. La elipsă focarele se află în interiorul curbei, deci $c<a$, iar sub radical stă diferența. Relația se citește ca teoremă a lui Pitagora în triunghiul dreptunghic de catete $b$ și $c$ și ipotenuză $a$. Formula cu semnul plus este a hiperbolei.

b) A. Din $c>0$ rezultă $e>0$, iar din $c<a$ rezultă $e<1$. Valoarea $1$ ar însemna $c=a$, caz în care locul geometric se turtește într-un segment, iar valoarea $0$ ar da un cerc.

c) C. Este chiar definiția geometrică a elipsei; numărul $2a$ este lungimea sforii din construcția cu două cuie și trebuie să depășească distanța dintre focare.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Dreapta verticală $x=0$ taie curba în $(0,b)$ și $(0,-b)$, deci o valoare a lui $x$ ar avea două imagini. Elipsa este însă reuniunea graficelor funcțiilor $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, definite pe $[-a,a]$.

b) A. Excentricitatea determină raportul $\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$, deci forma curbei; mărimea este dată separat, de valoarea lui $a$. Două elipse cu aceeași excentricitate sunt asemenea.

c) F. Numitorul mare, $225$, stă sub $y^2$, deci axa mare este $Oy$: semiaxa mare este $a=15$, semiaxa mică $b=9$, iar $c=\sqrt{225-81}=12$, deci focarele sunt $(0,12)$ și $(0,-12)$.

d) F. O sumă de două pătrate se anulează numai când ambele sunt nule, deci singura soluție este $x=0$ și $y=0$: mulțimea se reduce la originea reperului, un caz degenerat. Membrul drept egal cu $1$ dă o conică adevărată; egal cu $0$, nu.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Numitorul mare stă sub $x^2$, deci axa mare este $Ox$: $a=15$ și $b=9$. Atunci $c=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$, focarele sunt $(12,0)$ și $(-12,0)$, iar $e=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.

b) Împărțim prin $2025$: $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{225}=1$. Acum numitorul mare stă sub $y^2$, deci axa mare este $Oy$, cu $a=15$ și $b=9$; $c=12$, focarele sunt $(0,12)$ și $(0,-12)$, iar $e=\frac{4}{5}$. (Aceleași numere ca la a), cu rolurile axelor schimbate.)

c) $a=\sqrt{841}=29$ și $b=\sqrt{400}=20$, deci $c=\sqrt{841-400}=\sqrt{441}=21$. Focarele sunt $(\pm 21,0)$, iar $e=\frac{21}{29}$.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Din numitori, $a=15$ și $b=9$ (1 p); atunci $c=\sqrt{225-81}=12$ și focarele sunt $F(12,0)$, $F^{\prime }(-12,0)$ (1 p).

b) (2 p) Substituim coordonatele lui $M$: $$\frac{81}{225}+\frac{{\left(\frac{36}{5}\right)}^2}{81}=\frac{81}{225}+\frac{\frac{1296}{25}}{81}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$$ ✓ (2 p).

c) (3 p) Excentricitatea este $e=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$, deci $$MF=15-\frac{4}{5}\cdot 9=\frac{39}{5},M{F}^{\prime }=15+\frac{4}{5}\cdot 9=\frac{111}{5}$$ (1,5 p), cu suma $\frac{150}{5}=30=2a$ ✓ (0,5 p). Confirmare cu formula distanței: $$MF=\sqrt{(9-12{)}^2+\frac{1296}{25}}=\sqrt{\frac{1521}{25}}=\frac{39}{5},M{F}^{\prime }=\sqrt{(9+12{)}^2+\frac{1296}{25}}=\sqrt{\frac{12321}{25}}=\frac{111}{5}$$ ✓ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Distanța dintre focare este $F{F}^{\prime }=24$, deci $c=12$, iar suma constantă este $2a=30$, deci $a=15$ (1 p). Cum $a>c>0$, condiția din definiție este îndeplinită și mulțimea este o elipsă (1 p).

b) (5 p) Pentru $M(x,y)$, condiția se scrie $$\sqrt{(x+12{)}^2+y^2}=30-\sqrt{(x-12{)}^2+y^2}$$ (0,5 p). Ambii membri sunt nenegativi — cel din stânga e un radical, iar cel din dreapta este $30-MF\ge 0$, pentru că $MF\le MF+M{F}^{\prime }=30$ — deci ridicarea la pătrat este o echivalență (1 p): $$(x+12{)}^2+y^2=900-60\sqrt{(x-12{)}^2+y^2}+(x-12{)}^2+y^2.$$ Termenii $y^2$ se reduc, iar $(x+12{)}^2-(x-12{)}^2=48x$, deci $48x=900-60MF$, adică $$5\sqrt{(x-12{)}^2+y^2}=75-4x$$ (1,5 p). Membrul stâng este nenegativ, deci și cel drept este — nu ca ipoteză, ci ca urmare a egalității —, iar a doua ridicare la pătrat este tot o echivalență (1 p): $$25\left[(x-12{)}^2+y^2\right]=5625-600x+16x^2⟺9x^2+25y^2=2025$$ (0,5 p). Împărțind prin $2025$ obținem ecuația canonică $$\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$$ (0,5 p).

c) (1 p) Semiaxele sunt $a=15$ și $b=9$, iar excentricitatea $e=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Substituim $x=9$: $$\frac{81}{225}+\frac{y^2}{81}=1⟺\frac{y^2}{81}=\frac{16}{25}⟺y^2=\frac{1296}{25},$$ deci $y=\pm \frac{36}{5}$ (2 p). Punctele sunt $\left(9,\frac{36}{5}\right)$ și $\left(9,-\frac{36}{5}\right)$, iar coarda are lungimea $\frac{72}{5}=14,4$ (1 p).

b) (3 p) Pasul 1: $a=15$, $b=9$, $c=12$ (0,5 p). Pasul 2: dreptunghiul-schelet, punctat, cu laturile $x=\pm 15$ și $y=\pm 9$ (0,5 p). Pasul 3: vârfurile $(\pm 15,0)$ și $(0,\pm 9)$, în mijloacele laturilor, și focarele $(\pm 12,0)$ (1 p). Pasul 4: puncte de control — cel de abscisă $c$, adică $\left(12,\pm \frac{27}{5}\right)$, și cel de abscisă $9$, adică $\left(9,\pm \frac{36}{5}\right)$ (0,5 p). Pasul 5: curba netedă, tangentă la dreptunghi exact în cele patru vârfuri (0,5 p).

c) (2 p) Cele trei controale: curba atinge dreptunghiul în exact patru puncte și nu iese din el; focarele sunt înăuntru, pe axa mare; suma distanțelor de la un punct oarecare al desenului la cele două focare este aproximativ $2a$ (1 p). Verificarea celui de-al treilea pentru punctul dat: $\frac{39}{5}+\frac{111}{5}=30=2a$ ✓ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Împărțim prin $2025$ și obținem $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{225}=1$ (1 p). Numitorul mai mare, $225$, stă sub $y^2$, deci semiaxa mare este $a=15$ și se măsoară pe verticală: axa mare este $Oy$ (1 p).

b) (2 p) Vârfurile sunt $(0,15)$, $(0,-15)$, $(9,0)$, $(-9,0)$ (1 p). Din $c=\sqrt{225-81}=12$ rezultă focarele $(0,12)$ și $(0,-12)$, iar $e=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$ (1 p).

c) (3 p) Din ecuație scoatem $y$: $$\frac{y^2}{225}=1-\frac{x^2}{81}⟹y^2=\frac{225}{81}\left(81-x^2\right)⟹y=\pm \frac{5}{3}\sqrt{81-x^2}$$ (2 p). Prin urmare $$f_{1,2}:[-9,9]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{5}{3}\sqrt{81-x^2},$$ domeniul venind din condiția $81-x^2\ge 0$ (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (3 p) Vârfurile depărtate de centru sunt cele de pe axa $Ox$, deci $a=29$ și $b=20$, iar ecuația este $\frac{x^2}{841}+\frac{y^2}{400}=1$ (1,5 p). Atunci $c=\sqrt{841-400}=21$, focarele sunt $(\pm 21,0)$, iar $e=\frac{21}{29}$ (1,5 p).

b) (2 p) Din focare, $c=21$; din excentricitate, $a=\frac{c}{e}=21:\frac{21}{29}=29$ (1 p). Atunci $b^2=841-441=400$ și elipsa este $\frac{x^2}{841}+\frac{y^2}{400}=1$, cu $a>b>0$ ✓ — aceeași curbă ca la subpunctul a) (1 p).

c) (2 p) Punctul $A(0,9)$ este vârful de pe axa mică, deci $b=9$ (0,5 p). Înlocuind $B$ în $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{81}=1$ obținem $\frac{81}{a^2}+\frac{16}{25}=1$, deci $\frac{81}{a^2}=\frac{9}{25}$ și $a^2=225$ (1 p). Elipsa este $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$, cu $a=15>b=9$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Deschiderea la sol este axa mare, deci $2a=30$ și $a=15$; înălțimea în centru este semiaxa mică, deci $b=9$ (1,5 p). Elipsa are ecuația $$\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$$ (0,5 p), iar bolta este graficul funcției $f_1:[-15,15]\to \mathbb{R}$, $f_1(x)=\frac{3}{5}\sqrt{225-x^2}$ (1 p).

b) (3 p) Înlocuim $x=12$: $$f_1(12)=\frac{3}{5}\sqrt{225-144}=\frac{3}{5}\cdot 9=\frac{27}{5}=5,4$$ (2,5 p), deci bolta are, la $12$ metri de centru, înălțimea de $5,4$ metri (0,5 p).

c) (4 p) Rezolvăm ecuația $f_1(x)=\frac{36}{5}$ (0,5 p): $$\frac{3}{5}\sqrt{225-x^2}=\frac{36}{5}⟺\sqrt{225-x^2}=12$$ (1,5 p). Ambii membri sunt nenegativi, deci ridicarea la pătrat este echivalență: $225-x^2=144$, adică $x^2=81$ și $x=\pm 9$ (1,5 p). Înălțimea cerută se atinge la $9$ metri de centru, de o parte și de alta (0,5 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (4 p) (i) O sumă de două pătrate se anulează numai când ambele sunt nule, deci mulțimea este formată dintr-un singur punct, originea reperului (1,5 p). (ii) Membrul stâng este nenegativ, iar cel drept negativ: mulțimea vidă (1,5 p). (iii) Ambii numitori sunt pozitivi și diferiți, iar membrul drept este $1$: elipsă, cu numitorul mare sub $y^2$, deci cu axa mare pe $Oy$ (1 p).

b) (3 p) Aici $a=29$ pe axa $Oy$ și $b=20$ pe axa $Ox$ (1 p). Vârfurile sunt $(0,\pm 29)$ și $(\pm 20,0)$ (1 p); din $c=\sqrt{841-400}=21$ rezultă focarele $(0,\pm 21)$ și $e=\frac{21}{29}$ (1 p).

c) (3 p) Ambele au aceleași numere sub radical: $a=29$, $b=20$, $c=21$, deci aceeași excentricitate $e=\frac{21}{29}$ (1,5 p). Le deosebește poziția axei mari: la prima ea este $Ox$, cu vârfurile $(\pm 29,0)$ și focarele $(\pm 21,0)$; la a doua este $Oy$, cu vârfurile $(0,\pm 29)$ și focarele $(0,\pm 21)$ (1 p). Cele două curbe sunt simetrice una alteia față de prima bisectoare: aceleași numere, roluri schimbate (0,5 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Împărțim ecuația prin $2025$ (1 p): $$\frac{9x^2}{2025}+\frac{25y^2}{2025}=1⟺\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$$ (1 p). Numitorul mare stă sub $x^2$, deci axa mare este $Ox$, cu $a=15$ și $b=9$ (1,5 p). Atunci $c=\sqrt{225-81}=12$, focarele sunt $F(12,0)$ și $F^{\prime }(-12,0)$, iar $e=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$ (1,5 p).

b) (5 p) Substituim coordonatele lui $M$: $$\frac{144}{225}+\frac{\frac{729}{25}}{81}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$$ ✓ (2 p). Cu razele focale, $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$ (1 p): $$MF=15-\frac{4}{5}\cdot 12=\frac{27}{5},M{F}^{\prime }=15+\frac{4}{5}\cdot 12=\frac{123}{5}$$ (1,5 p), cu suma $\frac{150}{5}=30=2a$ ✓. Control direct: $M$ are aceeași abscisă cu focarul $F$, deci $MF=\frac{27}{5}$, iar $M{F}^{\prime }=\sqrt{24^2+\frac{729}{25}}=\sqrt{\frac{15129}{25}}=\frac{123}{5}$ ✓ (0,5 p).

c) (5 p) Din ecuația canonică, $y^2=\frac{81}{225}\left(225-x^2\right)$, deci $$f_{1,2}:[-15,15]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{225-x^2}$$ (2,5 p). Coarda dusă prin focar, perpendicular pe axa mare, are ecuația $x=12$; înlocuind, $y=\pm \frac{27}{5}$, deci lungimea ei este $\frac{54}{5}=10,8$ (1,5 p). Control cu formula $\frac{2b^2}{a}=\frac{162}{15}=\frac{54}{5}$ ✓ (1 p).