Test: evenimente și probabilitatea unui eveniment

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Probabilități

Pentru părinți și profesori

Acest test deschide unitatea de probabilități și verifică fundamentul pe care se sprijină tot restul capitolului: traducerea unei propoziții din limba română într-o submulțime a mulțimii rezultatelor posibile. Sunt evaluate patru deprinderi. Prima: scrierea corectă și completă a mulțimii $\Omega$ a rezultatelor posibile — inclusiv la experimentele în mai multe etape, unde numărul de rezultate se obține prin regula produsului, și inclusiv atunci când obiectele identice trebuie numerotate. A doua: recunoașterea evenimentului sigur ($\Omega$), a celui imposibil ($\varnothing$) și a celor elementare. A treia: aplicarea definiției clasice $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$, împreună cu proprietățile ei. A patra, cea mai importantă: condiția de echiprobabilitate. Definiția clasică funcționează numai dacă toate rezultatele din $\Omega$ sunt egal posibile; alegerea greșită a lui $\Omega$ este singura sursă de erori sistematice la acest capitol și de aceea îi sunt dedicați doi itemi întregi (itemul 3 și itemul 9), construiți în jurul erorii istorice a lui d'Alembert.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator (toate rezultatele se obțin din fracții simple). Un răspuns este complet doar dacă se văd cele două numere care intră în raport: $\mathrm{card}(\Omega )$ și $\mathrm{card}(A)$. Un rezultat corect fără justificarea numărării primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului. Fracțiile se dau simplificate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe scrierea corectă a lui $\Omega$ și pe condiția de echiprobabilitate.
• Formule de reținut: definiția clasică a probabilității — dacă toate rezultatele din $\Omega$ sunt egal posibile, atunci pentru orice eveniment $A\subseteq \Omega$ $$P(A)=\frac{\text{numa˘rul cazurilor favorabile}}{\text{numa˘rul cazurilor posibile}}=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}.$$ Proprietăți: $0\le P(A)\le 1$; $P(\varnothing )=0$; $P(\Omega )=1$; dacă $A\subseteq B$, atunci $P(A)\le P(B)$ (monotonia). Evenimente: sigur $=\Omega$, imposibil $=\varnothing$, elementar $=\{\omega \}$ cu $\omega \in \Omega$; numărul evenimentelor elementare este $\mathrm{card}(\Omega )$. Numărarea cazurilor: la extrageri simultane se folosesc combinările, $\mathrm{card}(\Omega )=C_n^k$; la extrageri succesive fără revenire, aranjamentele, $A_n^k$; la alegeri cu revenire sau la etape independente, regula produsului, $n^k$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Mulțimea rezultatelor posibile și tipuri de evenimente

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) La aruncarea a două monede, numărul rezultatelor posibile este: A. $2$; B. $3$; C. $4$; D. $8$.

b) Evenimentul imposibil se notează: A. $\Omega$; B. $\varnothing$; C. $\overline{A}$; D. $\{0\}$.

c) La aruncarea unui zar echilibrat, probabilitatea de a obține un număr mai mare decât $4$ este: A. $\frac{1}{6}$; B. $\frac{1}{3}$; C. $\frac{1}{2}$; D. $\frac{2}{3}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Scrie mulțimea $\Omega$ a rezultatelor posibile și precizează $\mathrm{card}(\Omega )$ pentru fiecare experiment (câte 1,5 puncte): a) aruncarea unui zar cu șase fețe; b) extragerea unei bile dintr-o urnă cu $3$ bile albe și $2$ bile negre (bilele se consideră numerotate); c) aruncarea a două monede; d) aruncarea simultană a unui zar și a unei monede.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Evenimentul sigur coincide cu $\Omega$ și are probabilitatea $1$." b) „Un eveniment poate avea probabilitatea $\frac{6}{5}$, dacă are foarte multe cazuri favorabile." c) „La aruncarea a două monede, cele trei rezultate «două steme», «o stemă și un ban», «doi bani» sunt egal probabile." d) „Dacă $A\subseteq B$, atunci $P(A)\le P(B)$."

Itemul 4 (6 puncte)

Se aruncă un zar echilibrat, deci $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. a) Scrie ca submulțimi ale lui $\Omega$ evenimentele $A$ = „numărul obținut este par", $B$ = „numărul obținut este prim", $C$ = „numărul obținut este mai mare decât $4$". (3 p) b) Precizează care dintre evenimentele $D$ = „numărul obținut este mai mic decât $7$", $E$ = „numărul obținut este divizibil cu $7$", $G$ = „se obține faţa $3$" este sigur, care este imposibil și care este elementar. (3 p)

Partea a II-a – Definiția clasică a probabilității și numărarea cazurilor

Itemul 5 (8 puncte)

O urnă conține $4$ bile roșii, $3$ bile albastre și $2$ bile verzi. Se extrage o bilă la întâmplare. Calculează (câte 2 puncte): a) $P(\text{bila este roșie})$; b) $P(\text{bila este albastra˘})$; c) $P(\text{bila nu este verde})$; d) $P(\text{bila este roșie sau verde})$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$ și probabilitatea ca suma feţelor să fie $7$. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca suma feţelor să fie cel puțin $10$. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca produsul feţelor să fie număr par. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

O urnă conține $5$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrag simultan două bile. a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$ și probabilitatea ca ambele bile să fie albe. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca ambele bile să fie negre. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca una să fie albă și una neagră, apoi verifică faptul că suma celor trei probabilități este $1$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se aruncă o monedă de trei ori la rând. a) Desenează diagrama arborescentă a experimentului și precizează $\mathrm{card}(\Omega )$. (2 p) b) Calculează probabilitatea de a obține exact două steme. (2 p) c) Calculează probabilitatea de a obține cel puțin o stemă. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) La aruncarea a două monede, un elev raționează astfel: „rezultatele posibile sunt «două steme», «o stemă» și «nicio stemă», deci $P(\text{exact o stema˘})=\frac{1}{3}$". Explică unde greșește și calculează corect probabilitatea. (3 p) b) Dintr-o urnă cu $2$ bile albe și $8$ bile negre se extrage o bilă. Un elev spune: „sunt doar două rezultate posibile, albă sau neagră, deci $P(\text{alba˘})=\frac{1}{2}$". Explică greșeala și calculează corect. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră un experiment aleator cu $\mathrm{card}(\Omega )=n$ rezultate egal posibile. a) Demonstrează, pornind de la definiția clasică, că pentru orice eveniment $A$ avem $0\le P(A)\le 1$ și că $P(\varnothing )=0$, $P(\Omega )=1$. (5 p) b) Demonstrează monotonia: dacă $A\subseteq B$, atunci $P(A)\le P(B)$. Ilustrează pe zar, cu $A$ = „se obține faţa $6$" și $B$ = „numărul obținut este par". (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se formează, cu cifrele $1,2,3,4,5$, toate numerele de trei cifre distincte. Se alege la întâmplare unul dintre ele. a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$ și probabilitatea ca numărul ales să fie par. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca numărul ales să înceapă cu cifra $1$. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca numărul ales să conțină cifra $5$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Într-o clasă sunt $10$ fete și $5$ băieți. Se aleg simultan trei elevi, la întâmplare. a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$ și probabilitatea ca toți trei să fie fete. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca printre cei trei să fie exact două fete. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca printre cei trei să fie cel puțin o fată. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. a) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$. Calculați probabilitatea ca elementul ales să fie pătrat perfect. (3 p) b) Se aleg simultan două elemente ale mulțimii $M$. Calculați probabilitatea ca suma lor să fie număr par. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) C. Fiecare monedă are două rezultate, iar cele două aruncări sunt etape independente, deci, prin regula produsului, $\mathrm{card}(\Omega )=2\cdot 2=4$: $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$. Varianta B ($3$) este exact capcana lui d'Alembert, reluată la itemul 3.c.

b) B. Evenimentul imposibil nu se realizează niciodată, deci nu conține niciun rezultat: el este mulțimea vidă, $\varnothing$. Atenție: $\{0\}$ nu este mulțimea vidă — este o mulțime cu un element.

c) B. Evenimentul este $\{5,6\}$, deci $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (1 p mulțimea, 0,5 p cardinalul).

a) $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, $\mathrm{card}(\Omega )=6$.

b) Bilele se numerotează, ca să devină rezultate distincte și egal posibile: $$\Omega =\{a_1,a_2,a_3,n_1,n_2\},\mathrm{card}(\Omega )=5.$$ (Fără numerotare am avea doar două „rezultate", albă și neagră, care însă nu sunt egal probabile — vezi itemul 9.b.)

c) $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$, $\mathrm{card}(\Omega )=4$. Perechile $SB$ și $BS$ sunt rezultate diferite: prima monedă a dat stemă și a doua ban, respectiv invers.

d) $\Omega =\{(1,S),(1,B),(2,S),\dots ,(6,B)\}$, adică toate perechile formate dintr-o faţă a zarului și o faţă a monedei; prin regula produsului, $\mathrm{card}(\Omega )=6\cdot 2=12$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Evenimentul sigur se realizează la orice efectuare a experimentului, deci conține toate rezultatele: $S=\Omega$ și $$P(\Omega )=\frac{\mathrm{card}(\Omega )}{\mathrm{card}(\Omega )}=1.$$

b) F. Numărul cazurilor favorabile nu poate depăși numărul cazurilor posibile, deci $\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(\Omega )$ și $P(A)\le 1$. O probabilitate mai mare decât $1$ este imposibilă; $\frac{6}{5}>1$.

c) F. Aceasta este eroarea lui d'Alembert. Mulțimea corectă a rezultatelor este $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$, cu patru rezultate egal posibile. Rezultatul „o stemă și un ban" se realizează în două moduri, deci $$P(\text{doua˘ steme})=\frac{1}{4},P(\text{o stema˘})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},P(\text{doi bani})=\frac{1}{4}.$$

d) A. Este monotonia. Dacă $A\subseteq B$, atunci $\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(B)$ și, împărțind ambele numere la $\mathrm{card}(\Omega )>0$, obținem $P(A)\le P(B)$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct: $$A=\{2,4,6\},B=\{2,3,5\},C=\{5,6\}.$$ (Atenție: $1$ nu este număr prim, deci nu intră în $B$.)

b) (3 p) — câte 1 punct. $D=\{1,2,3,4,5,6\}=\Omega$, deci $D$ este evenimentul sigur. $E=\varnothing$, pentru că niciunul dintre numerele $1,\dots ,6$ nu se divide cu $7$, deci $E$ este evenimentul imposibil. $G=\{3\}$ are un singur element, deci $G$ este un eveniment elementar.

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p pentru $\mathrm{card}(\Omega )=4+3+2=9$, 1 p numărarea cazurilor favorabile, 0,5 p simplificarea).

a) $P(\text{roșie})=\frac{4}{9}$.

b) $P(\text{albastra˘})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

c) Cazurile favorabile sunt cele $4+3=7$ bile care nu sunt verzi: $P=\frac{7}{9}$. (Se poate și prin contrar: $1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.)

d) Cazurile favorabile sunt $4+2=6$: $P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Rezultatele sunt perechile ordonate $(i,j)$ cu $i,j\in \{1,\dots ,6\}$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=6\cdot 6=36$ (0,5 p). Suma $7$ se obține în șase moduri: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ (1 p), deci $$P(\text{suma}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$ (0,5 p).

b) (2 p) Suma este cel puțin $10$ în cazurile: suma $10$ — $(4,6),(5,5),(6,4)$; suma $11$ — $(5,6),(6,5)$; suma $12$ — $(6,6)$. În total $3+2+1=6$ cazuri (1,5 p), deci $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ (0,5 p).

c) (3 p) Se lucrează prin evenimentul contrar (1 p): produsul este impar numai dacă amândouă feţele sunt impare, ceea ce se întâmplă în $3\cdot 3=9$ cazuri (1 p). Prin urmare $$P(\text{produs par})=1-\frac{9}{36}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Extragerea este simultană, deci un rezultat este o submulțime cu două bile din cele $8$ (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=C_8^2=\frac{8\cdot 7}{1\cdot 2}=28$$ (1 p). Cazurile favorabile sunt submulțimile formate din două dintre cele $5$ bile albe: $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ (1 p), deci $$P(\text{ambele albe})=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$$ (0,5 p).

b) (2 p) $C_3^2=3$ (1 p), deci $P(\text{ambele negre})=\frac{3}{28}$ (1 p).

c) (2 p) Alegem o albă din $5$ și o neagră din $3$: prin regula produsului, $5\cdot 3=15$ cazuri favorabile, deci $P=\frac{15}{28}$ (1 p). Verificarea: $$\frac{10}{28}+\frac{3}{28}+\frac{15}{28}=\frac{28}{28}=1✓$$ (1 p). Cele trei evenimente epuizează toate posibilitățile, deci suma probabilităților trebuie să fie $1$ — este cel mai bun control al unei numărări.

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) Arborele are trei niveluri, câte două ramuri la fiecare nod ($S$ sau $B$), deci $2\cdot 2\cdot 2=8$ frunze (1 p): $$\Omega =\{SSS,SSB,SBS,SBB,BSS,BSB,BBS,BBB\},\mathrm{card}(\Omega )=8$$ (1 p).

b) (2 p) Rezultatele cu exact două steme sunt $SSB$, $SBS$, $BSS$ — trei cazuri (1 p), deci $P=\frac{3}{8}$ (1 p).

c) (2 p) Prin evenimentul contrar: „nicio stemă" înseamnă un singur rezultat, $BBB$ (1 p), deci $$P(\text{cel puțin o stema˘})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$ (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Greșeala este alegerea unei mulțimi $\Omega$ ale cărei elemente nu sunt egal posibile (1,5 p). Definiția clasică se poate aplica numai pe rezultate egal probabile; or, cele trei „rezultate" enumerate de elev nu sunt așa, pentru că „o stemă" se realizează în două moduri, iar celelalte două în câte un singur mod. Pe mulțimea corectă $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$, cu patru rezultate egal posibile, $$P(\text{exact o stema˘})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ (1,5 p).

b) (3 p) Aceeași greșeală, în alt costum: „albă" și „neagră" nu sunt egal posibile, pentru că în urnă sunt $2$ bile albe și $8$ negre (1,5 p). Mulțimea corectă a rezultatelor este formată din cele $10$ bile numerotate, toate egal posibile, deci $$P(\text{alba˘})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$ (1,5 p). Regula de reținut: rezultatele egal posibile sunt obiectele fizice individuale (bilele, feţele, elevii), nu categoriile în care le grupăm.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $A$ un eveniment, adică o submulțime a lui $\Omega$, și fie $k=\mathrm{card}(A)$.

Încadrarea între $0$ și $1$ (2 p). Din $\varnothing \subseteq A\subseteq \Omega$ rezultă $0\le k\le n$. Împărțind la $n>0$: $$0\le \frac{k}{n}\le 1,\text{adica˘}0\le P(A)\le 1.$$

Valorile extreme (2 p). Evenimentul imposibil nu are niciun caz favorabil, deci $\mathrm{card}(\varnothing )=0$ și $$P(\varnothing )=\frac{0}{n}=0.$$ Evenimentul sigur are toate cazurile favorabile, deci $\mathrm{card}(\Omega )=n$ și $$P(\Omega )=\frac{n}{n}=1.$$

Interpretare (1 p). Probabilitatea este, prin construcție, o fracție cu numărătorul cuprins între $0$ și numitor; de aceea orice rezultat din afara intervalului $[0,1]$ semnalează o eroare de numărare. $■$

b) (3 p) Dacă $A\subseteq B$, atunci orice caz favorabil lui $A$ este favorabil și lui $B$, deci $\mathrm{card}(A)\le \mathrm{card}(B)$ (1,5 p). Împărțind ambii membri la $\mathrm{card}(\Omega )>0$, obținem $P(A)\le P(B)$ (0,5 p). Pe zar: $A=\{6\}\subseteq \{2,4,6\}=B$, iar $$P(A)=\frac{1}{6}\le \frac{3}{6}=\frac{1}{2}=P(B)✓$$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Cifrele sunt distincte, deci un număr este un aranjament de $3$ cifre luate dintre cele $5$ (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$$ (1 p). Numărul este par dacă ultima cifră este $2$ sau $4$ — două variante; primele două poziții se completează apoi cu $4\cdot 3=12$ variante, deci $2\cdot 12=24$ cazuri favorabile (1 p): $$P(\text{par})=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$$ (0,5 p).

b) (3 p) Prima cifră este fixată la $1$; rămân $4\cdot 3=12$ variante pentru celelalte două poziții (2 p), deci $$P(\text{ıˆncepe cu }1)=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$$ (1 p). (Observație de control: prin simetrie, fiecare dintre cele cinci cifre are aceeași șansă de a fi prima, iar $5\cdot \frac{1}{5}=1$ ✓)

c) (2 p) Prin evenimentul contrar: numerele care nu conțin cifra $5$ se formează doar cu cifrele $1,2,3,4$, deci sunt $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$ (1 p). Prin urmare $$P(\text{conține }5)=1-\frac{24}{60}=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$$ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Alegerea este simultană, deci un rezultat este o submulțime cu $3$ elevi din cei $10+5=15$ (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=C_{15}^3=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{1\cdot 2\cdot 3}=455$$ (1 p). Cazurile favorabile: $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$ (1 p), deci $$P(\text{toate trei fete})=\frac{120}{455}=\frac{24}{91}$$ (0,5 p).

b) (3 p) Alegem două fete din $10$ și un băiat din $5$; prin regula produsului, $$C_{10}^2\cdot C_5^1=45\cdot 5=225$$ (2 p), deci $P=\frac{225}{455}=\frac{45}{91}$ (1 p).

c) (2 p) Prin evenimentul contrar: „nicio fată" înseamnă toți trei băieți, adică $C_5^3=10$ cazuri (1 p). Prin urmare $$P(\text{cel puțin o fata˘})=1-\frac{10}{455}=\frac{445}{455}=\frac{89}{91}$$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) $\mathrm{card}(\Omega )=10$ (0,5 p). Pătratele perfecte din $M$ sunt $1=1^2$, $4=2^2$ și $9=3^2$, deci trei cazuri favorabile (2 p): $$P=\frac{3}{10}$$ (0,5 p).

b) (5 p) Alegerea fiind simultană, rezultatele sunt submulțimile cu două elemente (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{1\cdot 2}=45$$ (1 p). Suma a două numere este pară dacă și numai dacă amândouă sunt pare sau amândouă sunt impare (1,5 p). În $M$ sunt $5$ numere pare și $5$ impare, deci cazurile favorabile sunt $$C_5^2+C_5^2=10+10=20$$ (1,5 p), de unde $$P(\text{suma este para˘})=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$$ (0,5 p). (Control: probabilitatea ca suma să fie impară este $\frac{5\cdot 5}{45}=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$, iar $\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$ ✓)