Test: existența primitivelor și funcții pe ramuri

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă a doua parte a unității — lecțiile despre funcțiile care admit primitive și despre primitivele funcțiilor definite pe ramuri — și verifică cinci lucruri. Primul: întrebarea de existență, deosebită de întrebarea de calcul, cu formularea fixată „$f$ admite primitive pe intervalul $I$" (niciodată „$f$ este primitivabilă"). Al doilea: teorema lui Darboux, cu ipoteza pusă asupra lui $f$ (derivabilă, nu continuă) și cu cei patru pași ai demonstrației — funcția ajutătoare $g(x)=f(x)-\lambda x$, teorema lui Weierstrass (marginile unei funcții continue), interioritatea punctului de minim, teorema lui Fermat. Al treilea: cele trei întrebări cu care se decide existența în practică — continuitatea (teorema de existență), discontinuitatea de speța I (Consecința 1 a teoremei lui Darboux) și imaginea care nu e interval (Consecința 2 a teoremei lui Darboux) — plus sinceritatea de a spune, atunci când niciun criteriu nu decide, că problema iese din cerințele examenului. Al patrulea: cei patru pași ai racordării — verificarea continuității, o primitivă pe fiecare ramură, legarea constantelor prin decalajul $F_1(x_0)-F_2(x_0)$, verificarea derivabilității în punctul de racord, fie din definiție, fie cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange. Al cincilea: deosebirea dintre o funcție pe ramuri și o funcție definită pe o reuniune de intervale, unde constantele rămân independente.

Testul cere o redactare pe care baremele examenului o punctează literal: cele două limite laterale scrise → valoarea funcției în punct → concluzia, cu numele întreg al rezultatului invocat. La cerințele cu parametru se punctează separat a doua ramură a discuției — ce se întâmplă pentru celelalte valori ale parametrului —, iar la primitivele pe ramuri se punctează separat decalajul dintre constante.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare justificare se cere numele întreg al rezultatului folosit.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice rezolvare începe cu studiul continuității în punctul de racord, nu cu integrarea. Se depunctează: numele scurt „Consecința 1", fără teorema-mamă (sunt două rezultate diferite cu acest nume, unul al lui Lagrange și unul al lui Darboux); rezolvarea care se oprește după ecuația de continuitate, fără a doua ramură a discuției; „nu e continuă, deci nu are primitive" — implicația merge invers, ce exclude primitivele fiind discontinuitatea de speța I sau imaginea care nu e interval; constante independente pe ramuri, care dau o funcție ce nici măcar nu e continuă în racord; primitiva căutată în afara unui interval, adică afirmația „două primitive diferă printr-o constantă" aplicată pe o reuniune de intervale. Sunt trei dintre „cele opt capcane ale unității Primitive", strânse la sfârșitul unității.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor, cu accent pe cele trei întrebări și pe cei patru pași ai racordării.
• Formule de reținut: A admite primitive: $f:I\to \mathbb{R}$ admite primitive pe intervalul $I$ dacă există $F:I\to \mathbb{R}$ derivabilă cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Teorema lui Darboux: dacă $f:I\to \mathbb{R}$ este derivabilă pe intervalul $I$, atunci $f^{\prime }$ are proprietatea valorilor intermediare pe $I$; formularea scurtă: „derivata nu sare peste valori". Nu se cere continuitatea lui $f^{\prime }$. Teorema lui Weierstrass (marginile unei funcții continue): dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă pe intervalul închis și mărginit $[a,b]$, atunci $f$ este mărginită și își atinge marginile — se admite fără demonstrație; nu se confundă cu teorema lui Weierstrass despre șiruri monotone și mărginite, din clasa a XI-a. Consecința 1 a teoremei lui Darboux: o funcție care admite primitive pe $I$ nu are pe $I$ niciun punct de discontinuitate de speța I. Consecința 2 a teoremei lui Darboux: dacă $f$ admite primitive pe $I$, atunci $f(I)$ este interval. Teorema de existență: orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval; reciproca este falsă. Cele trei întrebări: (1) e $f$ continuă pe $I$? dacă da, admite primitive; (2) are $f$ un punct de discontinuitate de speța I? dacă da, nu admite; (3) e $f(I)$ interval? dacă nu, nu admite. Speța I: ambele limite laterale există și sunt finite; dacă una e infinită sau nu există, discontinuitatea e de speța a II-a și Consecința 1 a teoremei lui Darboux nu se aplică. Cei patru pași ai racordării: Pasul 1 — continuitatea lui $f$ în $x_0$; Pasul 2 — o primitivă pe fiecare ramură, $F_1$ și $F_2$; Pasul 3 — legarea constantelor, $c_2=c_1+F_1(x_0)-F_2(x_0)$; Pasul 4 — derivabilitatea lui $F$ în $x_0$. Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: dacă $F$ e continuă în $x_0$, derivabilă în jurul lui $x_0$ (cu excepția eventuală a lui $x_0$) și există $\underset{x\to x_0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\ell$ finită, atunci $F$ e derivabilă în $x_0$ și $F^{\prime }(x_0)=\ell$. Derivatele laterale din definiție: $F_s^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$ și $F_d^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}$. Funcțiile cu modul se rescriu pe ramuri după semnul expresiei dinăuntru; egalitatea $\int |g(x)|dx=\left|\int g(x)dx\right|$ este falsă. Reuniunea de intervale: pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ constantele celor două ramuri rămân independente, deci „două primitive diferă printr-o constantă" nu mai este valabil.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Criteriile de existență și teorema lui Darboux

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În teorema lui Darboux, ipoteza se cere asupra funcției $f$ și este: A. $f$ continuă pe $I$; B. $f$ derivabilă pe $I$; C. $f^{\prime }$ continuă pe $I$; D. $f$ monotonă pe $I$.

b) Dacă $f:I\to \mathbb{R}$ are într-un punct interior $x_0$ al intervalului $I$ o discontinuitate de speța I, atunci: A. $f$ admite primitive pe $I$; B. $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $x_0$; C. $f$ este derivabilă în $x_0$; D. nu se poate spune nimic despre primitivele lui $f$.

c) Dacă funcția $f:I\to \mathbb{R}$ admite primitive pe intervalul $I$, atunci mulțimea $f(I)$: A. este $\mathbb{R}$; B. este interval; C. este mărginită; D. este finită.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval." b) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, nu admite primitive pe $\mathbb{R}$, pentru că nu este derivabilă în $0$." c) „Dacă imaginea unei funcții definite pe un interval este interval, atunci funcția admite primitive." d) „Dacă ambele limite laterale ale funcției $f$ în punctul $x_0$ sunt infinite, atunci Consecința 1 a teoremei lui Darboux arată că $f$ nu admite primitive."

Itemul 3 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}5,& x<2\\ -1,& x\ge 2\end{array}$.

a) Calculează cele două limite laterale în $x_0=2$ și arată, cu un rezultat numit întreg, că $f$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. (3 p) b) Obține aceeași concluzie pe a doua cale, folosind imaginea funcției. (2 p) c) Arată că $f$ admite primitive pe intervalul $(2,+\infty )$ și scrie una dintre ele. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Enunță teorema lui Darboux, precizând ipoteza cerută asupra funcției $f$ și ce nu se cere despre $f^{\prime }$. (2 p) b) În demonstrația teoremei se consideră funcția ajutătoare $g(x)=f(x)-\lambda x$, unde $f^{\prime }(a)<\lambda <f^{\prime }(b)$. Arată ce semne au $g^{\prime }(a)$ și $g^{\prime }(b)$ și numește rezultatul care garantează că $g$ își atinge minimul pe $[a,b]$. (2 p) c) Explică de ce punctul de minim al lui $g$ nu poate fi capătul $b$ și precizează ce teoremă se aplică apoi în punctul de minim. (2 p)

Partea a II-a – Racordarea constantelor, funcții cu modul și reuniuni de intervale

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2+4x,& x\le 1\\ 7,& x>1\end{array}$.

a) Pasul 1. Arată că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și deduce că admite primitive. (2 p) b) Pașii 2 și 3. Determină o primitivă pe fiecare ramură, calculează decalajul dintre ele și scrie mulțimea primitivelor lui $f$. (4 p) c) Pasul 4. Arată din definiție, cu cele două rapoarte incrementale, că primitiva obținută este derivabilă în $x_0=1$. (2 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-4\right|$.

a) Scrie funcția $f$ pe ramuri, după semnul expresiei $x^2-4$, și justifică faptul că $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. (2 p) b) Determină primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(0)=0$, racordând în $-2$ și în $2$. (4 p) c) Arată, cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, că $F$ este derivabilă în $x_0=2$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{x}+1$.

a) Determină primitivele lui $f$ pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului. (2 p) b) Arată că funcția $G:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $G(x)=\{\begin{array}{ll}2\ln |x|+x-3,& x<0\\ 2\ln |x|+x+4,& x>0\end{array}$ verifică $G^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, deși $G$ nu este de forma $2\ln |x|+x+c$. (3 p) c) Explică de ce faptul de la subpunctul b) nu contrazice teorema constantei și prin ce se deosebește situația de aceea a unei funcții definite pe ramuri. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{e^x-1}{x},& x\ne 0\\ m,& x=0,\end{array}$ unde $m$ este un număr real.

a) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. (2 p) b) Determină $m$ pentru care $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, scriind ambele ramuri ale discuției. (3 p) c) Pentru $m=4$, arată că $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $0$. (2 p)

Partea a III-a – Discuție după doi parametri, criterii care nu decid și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1,& x\le 1\\ x^2+2,& 1<x\le 2\\ bx,& x>2,\end{array}$ unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) Determină $a$ și $b$ pentru care $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, cu discuția completă în fiecare dintre cele două puncte de racord. (4 p) b) Pentru valorile găsite, determină mulțimea primitivelor funcției $f$. (4 p) c) Determină primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(0)=1$. (2 p)

Itemul 10 (10 puncte)

a) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o funcție care admite primitive pe $\mathbb{R}$ și care ia numai valorile $2$ și $9$. Arată că $f$ este constantă. (3 p) b) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^2},& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$ Precizează speța discontinuității din $0$, determină imaginea funcției și arată că niciunul dintre cele două criterii de neexistență nu decide în acest caz. (4 p) c) Dă un exemplu de funcție discontinuă care admite primitive pe $\mathbb{R}$ și explică de ce el nu contrazice Consecința 1 a teoremei lui Darboux. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5,& x\le 2\\ a{e}^{x-2},& x>2,\end{array}$ unde $a$ este un număr real.

a) Determinați $a$ pentru care funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. (5 p) b) Pentru valoarea găsită, determinați mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (5 p) c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ cu proprietatea $F(2)=20$ și arătați că $F$ are un punct de minim în $x=-\frac{5}{2}$, precizând valoarea minimă. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Teorema lui Darboux se enunță pentru o funcție $f$ derivabilă pe interval și afirmă ceva despre derivata ei. Dacă s-ar cere și continuitatea lui $f^{\prime }$, concluzia ar fi banală, pentru că ar rezulta din proprietatea valorilor intermediare a funcțiilor continue, iar teorema și-ar pierde tot interesul.

b) B. Este contrapoziția Consecinței 1 a teoremei lui Darboux: o funcție care admite primitive nu poate avea discontinuități de speța I, deci existența unei asemenea discontinuități exclude primitivele pe orice interval care conține punctul.

c) B. Este chiar Consecința 2 a teoremei lui Darboux. Atenție la sensul implicației: din faptul că imaginea este interval nu rezultă nimic despre existența primitivelor — criteriul folosește numai în sens negativ.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Este teorema de existență, enunțată la lecția despre funcțiile care admit primitive și demonstrată mai târziu în unitatea următoare. Ea explică de ce toate formulele din tabelul primitivelor funcționează fără grijă: funcțiile de acolo sunt continue pe intervalele indicate.

b) F. Motivul invocat nu are legătură cu concluzia: „$f$ admite primitive" înseamnă că $f$ este derivata cuiva, nu că $f$ are derivată. Funcția modul este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive, prin teorema de existență — o primitivă explicită este $F(x)=\frac{x|x|}{2}$ —, deși ea însăși nu este derivabilă în $0$.

c) F. Consecința 2 a teoremei lui Darboux dă o condiție necesară, nu una suficientă. Contraexemplu: funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$ cu $f(x)=x$ pe $[0,1)$ și $f(x)=x-1$ pe $[1,2]$ are imaginea $[0,1]$, care este interval, dar are în $1$ o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive.

d) F. Consecința 1 a teoremei lui Darboux funcționează numai când ambele limite laterale sunt finite, adică la discontinuitățile de speța I. Când ele sunt infinite, discontinuitatea este de speța a II-a, criteriul nu se aplică, iar concluzia trebuie obținută altfel.

Itemul 3. (7 p)

a) (3 p) Pe $(-\infty ,2)$ și pe $(2,+\infty )$ funcția este constantă, deci continuă; singurul punct de verificat este $2$ (0,5 p). Calculăm: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=5,f(2)=-1,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=-1$$ (1,5 p). Ambele limite laterale există și sunt finite, iar cea din stânga diferă de valoarea funcției, deci $2$ este punct de discontinuitate de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $2$, în particular nu admite primitive pe $\mathbb{R}$ (1 p).

b) (2 p) Imaginea funcției este $f(\mathbb{R})=\{-1,5\}$ (1 p), mulțime care nu este interval: conține pe $-1$ și pe $5$, dar nu conține, de pildă, pe $0$. Prin Consecința 2 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$ (1 p).

c) (2 p) Pe intervalul $(2,+\infty )$ funcția este constantă, $f(x)=-1$, deci continuă; prin teorema de existență, admite primitive acolo (1 p). O primitivă este $F(x)=-x$, pentru că $F^{\prime }(x)=-1=f(x)$ pentru orice $x>2$ (1 p). (Obstrucția apare numai la lipirea celor două bucăți, nu pe fiecare dintre ele.)

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) Teorema lui Darboux. Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție derivabilă pe $I$. Atunci $f^{\prime }$ are proprietatea valorilor intermediare pe $I$: pentru orice $a,b\in I$ cu $a<b$ și pentru orice $\lambda$ cuprins între $f^{\prime }(a)$ și $f^{\prime }(b)$, există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=\lambda$ (1,5 p). Nu se cere continuitatea lui $f^{\prime }$ — tocmai acesta este conținutul teoremei: există derivate discontinue, dar nici ele nu pot sări peste valori (0,5 p).

b) (2 p) Din $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\lambda$ și din alegerea lui $\lambda$ rezultă $g^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-\lambda <0$ și $g^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)-\lambda >0$ (1 p). Funcția $g$ este derivabilă, deci continuă pe intervalul închis și mărginit $[a,b]$; teorema lui Weierstrass (marginile unei funcții continue) garantează că $g$ își atinge minimul pe $[a,b]$ (1 p).

c) (2 p) Din $g^{\prime }(b)>0$ rezultă că raportul $\frac{g(x)-g(b)}{x-b}$ este pozitiv pentru $x$ apropiat de $b$; luând $x<b$, numitorul este negativ, deci $g(x)-g(b)<0$, adică $g(x)<g(b)$. Există așadar puncte în care $g$ ia valori mai mici decât $g(b)$, deci $b$ nu poate fi punct de minim (1,5 p). Punctul de minim fiind interior și $g$ fiind derivabilă acolo, se aplică teorema lui Fermat, care dă $g^{\prime }(c)=0$, adică $f^{\prime }(c)=\lambda$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Pe $(-\infty ,1)$ funcția este polinomială, iar pe $(1,+\infty )$ este constantă, deci continuă pe fiecare ramură (0,5 p). În punctul de racord: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=3+4=7=f(1),\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=7$$ (1 p). Cele trei valori coincid, deci $f$ este continuă în $1$ și, prin urmare, pe $\mathbb{R}$; fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive, prin teorema de existență (0,5 p).

b) (4 p) Pe $(-\infty ,1]$, o primitivă a lui $3x^2+4x$ este $F_1(x)=x^3+2x^2$; pe $(1,+\infty )$, o primitivă a lui $7$ este $F_2(x)=7x$ (1,5 p). Valorile în punctul de racord sunt $F_1(1)=1+2=3$ și $F_2(1)=7$, deci decalajul este $F_1(1)-F_2(1)=-4$ și $c_2=c_1-4$ (1,5 p). Notând $c_1=\mathcal{C}$, obținem $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+2x^2+\mathcal{C},& x\le 1\\ 7x-4+\mathcal{C},& x>1\end{array}$$ (1 p). Control: în $x=1$ ambele expresii dau $3+\mathcal{C}$.

c) (2 p) Alegem $\mathcal{C}=0$, deci $F(1)=3$. Cele două rapoarte incrementale: $$F_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^3+2x^2-3}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(x-1)\left(x^2+3x+3\right)}{x-1}=1+3+3=7$$ (1 p), $$F_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{7x-4-3}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{7(x-1)}{x-1}=7$$ (0,5 p). Amândouă există, sunt finite și egale cu $f(1)=7$, deci $F$ este derivabilă în $1$ și $F^{\prime }(1)=f(1)$; prin urmare $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ (0,5 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (2 p) Trinomul $x^2-4=(x-2)(x+2)$ este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele, deci $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4,& x\le -2\\ 4-x^2,& -2<x<2\\ x^2-4,& x\ge 2\end{array}$$ (1 p). Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind modulul unei funcții continue, deci admite primitive, prin teorema de existență (1 p).

b) (4 p) Pe ramura din mijloc, o primitivă a lui $4-x^2$ este $4x-\frac{x^3}{3}$, care se anulează în $0$; condiția $F(0)=0$ dă acolo constanta $0$ (1 p). Racordul în $2$: expresia din mijloc valorează $8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$, iar $\frac{x^3}{3}-4x$ valorează $\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}$; decalajul este $\frac{32}{3}$ (1,5 p). Racordul în $-2$: expresia din mijloc valorează $-8+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}$, iar $\frac{x^3}{3}-4x$ valorează $-\frac{8}{3}+8=\frac{16}{3}$; decalajul este $-\frac{32}{3}$ (0,5 p). Prin urmare $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}-4x-\frac{32}{3},& x\le -2\\ 4x-\frac{x^3}{3},& -2<x<2\\ \frac{x^3}{3}-4x+\frac{32}{3},& x\ge 2\end{array}$$ (1 p).

c) (2 p) Funcția $F$ este continuă în $2$ (așa au fost alese constantele) și derivabilă în jurul lui $2$, cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru $x\ne 2$ (1 p). Cum $f$ este continuă în $2$, avem $\underset{x\to 2}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)=0$, limită finită; Consecința 3 a teoremei lui Lagrange dă atunci că $F$ este derivabilă în $2$ și $F^{\prime }(2)=0=f(2)$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Domeniul ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este reuniunea intervalelor $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$; pe fiecare dintre ele funcția este continuă, deci admite primitive (1 p). Cu rândurile 3 și 1 ale tabelului, primitivele sunt $$\int \left(\frac{2}{x}+1\right)dx=2\ln |x|+x+\mathcal{C}$$ pe fiecare dintre cele două intervale, cu constanta lui (1 p).

b) (3 p) Pe $(-\infty ,0)$, $G$ este suma dintre $2\ln |x|+x$ și constanta $-3$, deci $G^{\prime }(x)=\frac{2}{x}+1=f(x)$ (1 p). Pe $(0,+\infty )$, $G$ este suma dintre aceeași funcție și constanta $4$, deci tot $G^{\prime }(x)=f(x)$ (1 p). Prin urmare $G^{\prime }=f$ pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deși diferența dintre $G$ și $2\ln |x|+x$ valorează $-3$ pe ramura negativă și $4$ pe cea pozitivă, adică nu este constantă (1 p).

c) (2 p) Teorema constantei se sprijină pe Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, care cere ca domeniul să fie interval; mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval, deci teorema se aplică pe fiecare dintre cele două intervale separat, iar constantele obținute pot fi diferite (1 p). Deosebirea față de o funcție definită pe ramuri: acolo punctul de racord aparține domeniului, iar continuitatea primitivei în el leagă cele două constante; aici punctul $0$ nu aparține domeniului, nu există nimic de racordat, iar constantele rămân independente (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Este limita fundamentală cu exponențială, studiată în clasa a XI-a: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ (1,5 p). Ea nu depinde de partea din care ne apropiem, deci ambele limite laterale valorează $1$ (0,5 p).

b) (3 p) Pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ funcția este continuă, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul (0,5 p). În $0$ este continuă dacă și numai dacă $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$, adică $1=m$ (1 p). Prima ramură a discuției: pentru $m=1$ funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ și, prin teorema de existență, admite primitive (0,75 p). A doua ramură: pentru $m\ne 1$ ambele limite laterale sunt finite și egale cu $1$, dar diferite de $f(0)=m$, deci $0$ este punct de discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive. Răspuns: $m=1$ (0,75 p).

c) (2 p) Pentru $m=4$ avem $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=1\ne 4=f(0)$$ (1 p). Limitele laterale sunt finite, deci $0$ este punct de discontinuitate de speța I, iar Consecința 1 a teoremei lui Darboux arată că $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $0$ (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (4 p) Pe fiecare dintre cele trei bucăți funcția este polinomială, deci continuă; se verifică doar punctele de racord (0,5 p). În $x_0=1$: limita la stânga și valoarea funcției sunt $a+1$, iar limita la dreapta este $1+2=3$. Dacă $a+1=3$, adică $a=2$, funcția este continuă acolo; dacă $a\ne 2$, punctul $1$ este o discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive (1,75 p). În $x_0=2$: limita la stânga și valoarea funcției sunt $4+2=6$, iar limita la dreapta este $2b$. Dacă $2b=6$, adică $b=3$, funcția este continuă acolo; dacă $b\ne 3$, apare o discontinuitate de speța I și funcția nu admite primitive (1,75 p). Așadar $a=2$ și $b=3$, iar atunci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive.

b) (4 p) Primitive pe ramuri: $F_1(x)=x^2+x$ pentru $2x+1$, $F_2(x)=\frac{x^3}{3}+2x$ pentru $x^2+2$ și $F_3(x)=\frac{3x^2}{2}$ pentru $3x$ (1,5 p). Racordul în $1$: $F_1(1)=2$ și $F_2(1)=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$, deci decalajul este $2-\frac{7}{3}=-\frac{1}{3}$ (1 p). Racordul în $2$: pe ramura din mijloc valoarea este $\frac{8}{3}+4-\frac{1}{3}=\frac{19}{3}$, iar $F_3(2)=6$, deci pe a treia ramură se adaugă $\frac{1}{3}$ (1 p). Prin urmare $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x+\mathcal{C},& x\le 1\\ \frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{3}+\mathcal{C},& 1<x\le 2\\ \frac{3x^2}{2}+\frac{1}{3}+\mathcal{C},& x>2\end{array}$$ (0,5 p).

c) (2 p) Cum $0$ se află pe prima ramură, $F(0)=\mathcal{C}$ (1 p), deci condiția $F(0)=1$ dă $\mathcal{C}=1$ și $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x+1,& x\le 1\\ \frac{x^3}{3}+2x+\frac{2}{3},& 1<x\le 2\\ \frac{3x^2}{2}+\frac{4}{3},& x>2\end{array}$$ (1 p). Control: în $x=1$ ambele expresii dau $3$, iar în $x=2$ ambele dau $\frac{22}{3}$.

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Imaginea lui $f$ este inclusă în mulțimea $\{2,9\}$ (1 p). Dacă $f$ ar lua ambele valori, imaginea ar fi exact $\{2,9\}$, care nu este interval, pentru că nu conține niciun număr strict cuprins între $2$ și $9$ (1 p). Aceasta ar contrazice Consecința 2 a teoremei lui Darboux, deci $f$ ia o singură valoare, adică este constantă (1 p).

b) (4 p) Speța. În $0$ avem $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$: limitele laterale sunt infinite, deci discontinuitatea este de speța a II-a (1,5 p). Imaginea. Pentru $x\ne 0$ avem $\frac{1}{x^2}>0$, iar valorile parcurg întreg intervalul $(0,+\infty )$; adăugând $f(0)=0$, obținem $f(\mathbb{R})=[0,+\infty )$, care este interval (1,5 p). Concluzia. Consecința 1 a teoremei lui Darboux nu se aplică, pentru că limitele laterale nu sunt finite; Consecința 2 a teoremei lui Darboux nu se aplică, pentru că imaginea este interval. Niciunul dintre cele două criterii nu decide, iar decizia ar cere un argument direct despre o eventuală primitivă — în afara cerințelor de Bacalaureat M1 (1 p).

c) (3 p) Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $F(0)=0$. Se arată că $F$ este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, inclusiv în $0$, unde $F^{\prime }(0)=0$ (1 p). Funcția $f=F^{\prime }$, care pentru $x\ne 0$ valorează $2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$, admite primitive prin însăși construcția ei, dar nu are limită în $0$, pentru că termenul $\cos \frac{1}{x}$ oscilează la nesfârșit; deci $f$ este discontinuă în $0$ (1 p). Nu există contradicție: limitele laterale ale lui $f$ în $0$ nici nu există, deci discontinuitatea este de speța a II-a, iar Consecința 1 a teoremei lui Darboux nu se aplică (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Pe $(-\infty ,2)$ funcția este polinomială, iar pe $(2,+\infty )$ este de forma $a{e}^{x-2}$, deci continuă pe fiecare ramură (1 p). În punctul de racord: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }f(x)=2\cdot 2+5=9=f(2),\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }f(x)=a{e}^0=a$$ (2 p). Prima ramură a discuției: dacă $a=9$, funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ și, prin teorema de existență, admite primitive (1 p). A doua ramură: dacă $a\ne 9$, ambele limite laterale sunt finite și diferite, deci $2$ este punct de discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive. Răspuns: $\mathbf{a}=9$ (1 p).

b) (5 p) Pe $(-\infty ,2]$, o primitivă a lui $2x+5$ este $F_1(x)=x^2+5x$, cu $F_1(2)=4+10=14$ (1,5 p). Pe $(2,+\infty )$, o primitivă a lui $9e^{x-2}$ este $F_2(x)=9e^{x-2}$, ceea ce se verifică prin derivare cu regula funcțiilor compuse, iar $F_2(2)=9$ (1,5 p). Decalajul este $F_1(2)-F_2(2)=5$ (1 p), deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+5x+\mathcal{C},& x\le 2\\ 9e^{x-2}+5+\mathcal{C},& x>2\end{array}$$ (0,5 p). Derivabilitatea în $2$: $\underset{x\to 2}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=9$, limită finită, deci Consecința 3 a teoremei lui Lagrange dă $F^{\prime }(2)=9=f(2)$ (0,5 p).

c) (5 p) Cum $2$ se află pe prima ramură, $F(2)=14+\mathcal{C}$, iar condiția $F(2)=20$ dă $\mathcal{C}=6$ (1,5 p), deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+5x+6,& x\le 2\\ 9e^{x-2}+11,& x>2\end{array}$$ (1 p). Punctul de minim. Avem $F^{\prime }=f$; pe $(2,+\infty )$ funcția $f$ este strict pozitivă, iar pe $(-\infty ,2]$ semnul ei este semnul lui $2x+5$, negativ pentru $x<-\frac{5}{2}$ și pozitiv pentru $x>-\frac{5}{2}$ (1,5 p). Derivata lui $F$ trece deci de la minus la plus în $x=-\frac{5}{2}$, care este singurul punct de extrem: un punct de minim (0,5 p). Valoarea minimă este $$F\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=-\frac{1}{4}$$ (0,5 p).