Test: forma algebrică și operațiile cu numere complexe

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Pentru părinți și profesori

Acest test deschide unitatea numerelor complexe și verifică exact deprinderea pe care se sprijină tot restul capitolului: calculul în forma algebrică $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: citirea corectă a unui număr complex — partea reală și partea imaginară sunt numere reale, iar partea imaginară a lui $5-3i$ este $-3$, nu $-3i$; aici se pierd, an de an, primele puncte. Al doilea: egalitatea a două numere complexe, care se traduce în două egalități de numere reale și transformă orice ecuație cu $z=x+yi$ într-un sistem. Al treilea: operațiile — adunarea și scăderea pe componente, înmulțirea ca la binoame, cu singura noutate $i^2=-1$, și puterile lui $i$, care se reduc la restul împărțirii exponentului la $4$. Al patrulea: împărțirea, făcută prin amplificare cu conjugatul numitorului, singura cale de a readuce rezultatul la forma $a+bi$. Ultima parte cere și o demonstrație scurtă (periodicitatea puterilor lui $i$) și pune calculul complex la lucru într-un context real, cel al circuitelor de curent alternativ.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un rezultat este complet doar dacă este adus la forma algebrică $a+bi$, cu $a$ și $b$ numere reale scrise explicit (de exemplu $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$, nu $\frac{1+5i}{2}$). Se depunctează folosirea notației $\sqrt{-1}$ în locul lui $i$ și orice calcul în care $i^2$ rămâne nesimplificat.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe egalitatea a două numere complexe și pe împărțirea prin amplificare.
• Formule de reținut: forma algebrică $z=a+bi$, cu $a=\mathrm{Re}z$, $b=\mathrm{Im}z$, ambele reale, și $i^2=-1$. Egalitatea: $$a+bi=c+di⟺a=c\text{ și }b=d.$$ Operațiile: $$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$ Puterile lui $i$, cu $n=4q+r$ și $r\in \{0,1,2,3\}$: $$i^{4q}=1,i^{4q+1}=i,i^{4q+2}=-1,i^{4q+3}=-i.$$ Conjugatul lui $z=a+bi$ este $\bar{z}=a-bi$, iar $z\bar{z}=a^2+b^2$ este un număr real nenegativ. Împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului: $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}},\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2},(a,b)\ne (0,0).$$

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Forma algebrică, egalitate, adunare și scădere

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Partea imaginară a numărului complex $z=5-3i$ este: A. $5$; B. $-3$; C. $-3i$; D. $3i$.

b) Numărul complex $(3-i)-(3+2i)$ este egal cu: A. $-3i$; B. $3i$; C. $-i$; D. $6+i$.

c) Numărul $i^{2026}$ este egal cu: A. $1$; B. $-1$; C. $i$; D. $-i$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=3-2i$ și $z_2=-1+5i$. Calculează, scriind rezultatul sub forma algebrică (câte 1,5 puncte): a) $z_1+z_2$; b) $z_1-z_2$; c) $2z_1+3z_2$; d) $z_1\cdot z_2$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice număr real este și număr complex." b) „Numărul $i^3$ este egal cu $i$." c) „Dacă $z^2$ este un număr real, atunci $z$ este număr real." d) „Produsul a două numere pur imaginare este un număr real."

Itemul 4 (6 puncte)

Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care: a) $(2x-1)+(y+3)i=5-2i$. (3 p) b) $(x+yi)(1+i)=3+i$. (3 p)

Partea a II-a – Înmulțire, puterile lui $i$ și împărțire

Itemul 5 (8 puncte)

Efectuează calculele și scrie rezultatul sub forma $a+bi$ (câte 2 puncte): a) $(2+3i)(2-3i)$; b) $(1+i{)}^2$; c) $(2-i{)}^3$; d) $(1+i)(1-2i)(2+i)$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează $i^{35}$, $i^{58}$ și $i^{120}$, precizând de fiecare dată restul împărțirii exponentului la $4$. (3 p) b) Folosind punctul b) al itemului anterior, calculează $(1+i{)}^8$. (2 p) c) Arată că $(1-i{)}^2=-2i$ și calculează $(1-i{)}^{10}$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Scrie sub forma algebrică: a) $\frac{3+2i}{1-i}$; (3 p) b) inversul numărului $z=3-4i$; (2 p) c) $\frac{1+i}{1-i}$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea $\mathbb{C}$ ecuațiile: a) $(2+i)z=5+5i$; (3 p) b) $iz+2=3-i$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Se consideră $z=3+i$. Calculează $z^2-6z+10$. (3 p) b) Determină numerele reale $a$ și $b$ știind că numărul $z=1+i$ verifică egalitatea $z^2+az+b=0$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice $n\in \mathbb{N}$, valoarea lui $i^n$ depinde numai de restul împărțirii lui $n$ la $4$ și că $i^n\in \{1,i,-1,-i\}$. (3 p) b) Calculează suma $i+i^2+i^3+\cdots +i^{100}$. (3 p) c) Calculează suma $i+i^2+i^3+\cdots +i^{2026}$. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numărul complex $z=2+i$. a) Arătați că $z^2=3+4i$. (2 p) b) Arătați că $z^2-4z+5=0$. (3 p) c) Folosind egalitatea de la punctul b), calculați $z^3$ fără a înmulți de trei ori. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) În studiul circuitelor de curent alternativ, fiecare componentă are o impedanță scrisă ca număr complex $Z=R+Xi$, unde $R$ este rezistența, iar $X$ reactanța (ambele în ohmi). Regulile de compunere sunt: la legarea în serie, $Z=Z_1+Z_2$; la legarea în paralel, $\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}$, adică $Z=\frac{Z_1{Z}_2}{Z_1+Z_2}$. Tensiunea, curentul și impedanța sunt legate prin $U=Z\cdot I$.

a) Două componente cu $Z_1=3+4i$ și $Z_2=5-2i$ sunt legate în serie. Calculează impedanța totală. (2 p) b) Prin componenta cu $Z=3+4i$ trece curentul $I=2-i$. Calculează tensiunea $U$ și verifică rezultatul calculând $\frac{U}{Z}$. (3 p) c) Componentele cu $Z_1=2+i$ și $Z_2=3-i$ sunt legate în paralel. Calculează impedanța totală, sub forma algebrică, cu părțile scrise ca numere zecimale. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numerele complexe $z_1=1+2i$ și $z_2=3-i$. a) Arătați că $z_1+z_2=4+i$. (2 p) b) Arătați că $z_1\cdot z_2=5+5i$. (3 p) c) Determinați numărul real $a$ pentru care numărul $z_1+a{z}_2$ este real. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Prin definiție, dacă $z=a+bi$ cu $a,b\in \mathbb{R}$, atunci $\mathrm{Im}z=b$, adică un număr real. Aici $b=-3$; varianta C confundă partea imaginară cu termenul imaginar $-3i$. b) A. Scăderea se face pe componente: $(3-3)+(-1-2)i=0-3i=-3i$. c) B. Împărțim exponentul la $4$: $2026=4\cdot 506+2$, deci $i^{2026}={\left(i^4\right)}^{506}\cdot i^2=1\cdot (-1)=-1$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $z_1+z_2=(3-1)+(-2+5)i=2+3i$. b) $z_1-z_2=(3+1)+(-2-5)i=4-7i$. c) $2z_1=6-4i$ și $3z_2=-3+15i$, deci $2z_1+3z_2=3+11i$. d) Înmulțim ca la binoame și înlocuim $i^2=-1$: $$(3-2i)(-1+5i)=-3+15i+2i-10i^2=-3+17i+10=7+17i.$$

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Orice număr real $a$ se scrie $a=a+0\cdot i$, deci $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$; numerele reale sunt exact numerele complexe cu partea imaginară nulă. b) F. $i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i$. Egalitatea $i^3=i$ ar da, prin simplificare cu $i\ne 0$, $i^2=1$, contrazicând $i^2=-1$. c) F. Contraexemplu: $z=i$ nu este real, dar $z^2=-1$ este real. (Numerele pur imaginare au toate pătratul real și negativ.) d) A. Dacă $z_1=bi$ și $z_2=di$ cu $b,d\in \mathbb{R}$, atunci $z_1{z}_2=bd\cdot i^2=-bd\in \mathbb{R}$. De exemplu $(2i)(-5i)=10$ și $(3i)(4i)=-12$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară (1 p): $$2x-1=5\text{și}y+3=-2,$$ de unde $x=3$ și $y=-5$ (2 p).

b) (3 p) Dezvoltăm membrul stâng (1 p): $$(x+yi)(1+i)=x+xi+yi+y{i}^2=(x-y)+(x+y)i.$$ Identificăm părțile: $x-y=3$ și $x+y=1$ (1 p). Adunând, $2x=4$, deci $x=2$ și $y=-1$ (1 p). (Verificare: $(2-i)(1+i)=2+2i-i-i^2=3+i$ ✓.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Produsul unui număr cu conjugatul lui este real: $$(2+3i)(2-3i)=4-9i^2=4+9=13.$$

b) $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$. (Reține acest rezultat: apare peste tot.)

c) Calculăm întâi pătratul: $(2-i{)}^2=4-4i+i^2=3-4i$. Apoi $$(2-i{)}^3=(3-4i)(2-i)=6-3i-8i+4i^2=2-11i.$$

d) Înmulțim doi câte doi: $(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i^2=3-i$, apoi $$(3-i)(2+i)=6+3i-2i-i^2=7+i.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. $35=4\cdot 8+3$, deci $i^{35}=i^3=-i$; $58=4\cdot 14+2$, deci $i^{58}=i^2=-1$; $120=4\cdot 30+0$, deci $i^{120}=1$.

b) (2 p) Grupăm câte doi factori, folosind $(1+i{)}^2=2i$ (1 p): $$(1+i{)}^8={\left[(1+i{)}^2\right]}^4=(2i{)}^4=16\cdot i^4=16$$ (1 p).

c) (2 p) $(1-i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$ (1 p), de unde $$(1-i{)}^{10}={\left[(1-i{)}^2\right]}^5=(-2i{)}^5=(-2{)}^5\cdot i^5=-32i$$ (1 p), pentru că $i^5=i^4\cdot i=i$.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Amplificăm cu conjugatul numitorului, $1+i$ (1 p): $$\frac{3+2i}{1-i}=\frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{3+3i+2i+2i^2}{1+1}=\frac{1+5i}{2}$$ (1,5 p), adică $\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i$ (0,5 p). (Numitorul $(1-i)(1+i)=1-i^2=2$ este mereu real — asta e toată ideea metodei.)

b) (2 p) $\frac{1}{3-4i}=\frac{3+4i}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{3+4i}{9+16}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i$. (Verificare: $(3-4i)\left(\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i\right)=\frac{9+12i-12i+16}{25}=1$ ✓.)

c) (2 p) $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$.

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $z=\frac{5+5i}{2+i}$ (1 p). Amplificăm cu $2-i$: $$z=\frac{(5+5i)(2-i)}{4+1}=\frac{10-5i+10i+5}{5}=\frac{15+5i}{5}=3+i$$ (1,5 p). Verificare: $(2+i)(3+i)=6+2i+3i-1=5+5i$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Din $iz=1-i$ (1 p) obținem, amplificând cu $-i$ (conjugatul lui $i$): $$z=\frac{1-i}{i}=\frac{(1-i)(-i)}{i\cdot (-i)}=\frac{-i+i^2}{1}=-1-i$$ (1,5 p). Verificare: $i(-1-i)+2=-i-i^2+2=-i+1+2=3-i$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $z^2=(3+i{)}^2=9+6i+i^2=8+6i$ (1,5 p). Atunci $$z^2-6z+10=(8+6i)-(18+6i)+10=0$$ (1,5 p). (Numărul $3+i$ este deci o rădăcină a ecuației $z^2-6z+10=0$, care nu are rădăcini reale.)

b) (3 p) $z^2=(1+i{)}^2=2i$ (1 p). Egalitatea devine $$2i+a(1+i)+b=0⟺(a+b)+(2+a)i=0.$$ Un număr complex este nul exact când ambele părți sunt nule (1 p): $2+a=0$ și $a+b=0$, deci $a=-2$ și $b=2$ (1 p). (Verificare: $(1+i{)}^2-2(1+i)+2=2i-2-2i+2=0$ ✓.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Pornim de la $i^4={\left(i^2\right)}^2=(-1{)}^2=1$ (1 p). Fie $n\in \mathbb{N}$ și fie $n=4q+r$ împărțirea cu rest a lui $n$ la $4$, cu $q\in \mathbb{N}$ și $r\in \{0,1,2,3\}$ (0,5 p). Atunci $$i^n=i^{4q+r}={\left(i^4\right)}^q\cdot i^r=1^q\cdot i^r=i^r$$ (1 p). Prin urmare $i^n$ depinde numai de restul $r$, iar valorile posibile sunt cele patru: $$i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i.$$ Așadar $i^n\in \{1,i,-1,-i\}$ pentru orice $n$ natural (0,5 p). $■$

b) (3 p) Suma a patru puteri consecutive este nulă (1,5 p): $$i^{4k+1}+i^{4k+2}+i^{4k+3}+i^{4k+4}=i-1-i+1=0.$$ Cum $100=4\cdot 25$, cei $100$ de termeni se grupează în exact $25$ de astfel de pachete, deci suma este $0$ (1,5 p).

c) (2 p) Scriem $2026=2024+2$, cu $2024=4\cdot 506$. Primii $2024$ de termeni dau, prin aceeași grupare, suma $0$ (1 p). Rămân ultimii doi: $$i^{2025}+i^{2026}=i+(-1)=-1+i$$ (1 p), pentru că $2025=4\cdot 506+1$ și $2026=4\cdot 506+2$.

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $z^2=(2+i{)}^2=4+4i+i^2=3+4i$.

b) (3 p) Înlocuim rezultatul de la a) (1 p): $$z^2-4z+5=(3+4i)-4(2+i)+5=3+4i-8-4i+5=0$$ (2 p).

c) (3 p) Din b) rezultă $z^2=4z-5$ (1 p). Înmulțim cu $z$ și reducem din nou pătratul: $$z^3=4z^2-5z=4(4z-5)-5z=11z-20$$ (1,5 p). Cu $z=2+i$ obținem $z^3=11(2+i)-20=2+11i$ (0,5 p). (Verificare directă: $(2+i{)}^3=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i-4=2+11i$ ✓.)

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) $Z=Z_1+Z_2=(3+5)+(4-2)i=8+2i$ ohmi.

b) (3 p) $U=Z\cdot I=(3+4i)(2-i)=6-3i+8i-4i^2=10+5i$ (2 p). Verificare prin împărțire (1 p): $$\frac{U}{Z}=\frac{(10+5i)(3-4i)}{9+16}=\frac{30-40i+15i+20}{25}=\frac{50-25i}{25}=2-i=I✓.$$

c) (3 p) Calculăm separat suma și produsul (1 p): $$Z_1+Z_2=5,Z_1{Z}_2=(2+i)(3-i)=6-2i+3i+1=7+i.$$ Prin urmare (1,5 p) $$Z=\frac{Z_1{Z}_2}{Z_1+Z_2}=\frac{7+i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{1}{5}i=1,4+0,2i\text{ohmi}$$ (0,5 p). (Împărțirea la $5$, număr real, se face pe componente — nu mai e nevoie de amplificare.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $z_1+z_2=(1+3)+(2-1)i=4+i$.

b) (3 p) $z_1{z}_2=(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$.

c) (3 p) Calculăm $z_1+a{z}_2$ separând părțile (1,5 p): $$z_1+a{z}_2=(1+2i)+a(3-i)=(1+3a)+(2-a)i.$$ Numărul este real exact când partea imaginară se anulează (1 p): $2-a=0$, deci $a=2$ (0,5 p). (Verificare: pentru $a=2$, $z_1+2z_2=(1+2i)+(6-2i)=7\in \mathbb{R}$ ✓.)