Test: forma trigonometrică și formula lui Moivre

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică a doua formă de scriere a numerelor complexe, cea care transformă înmulțirea în adunare de unghiuri și face posibil calculul puterilor mari. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: scrierea corectă a formei trigonometrice $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r=|z|>0$ și cu argumentul redus $\phi \in [0,2\pi )$; două capcane sunt urmărite explicit — modulul nu poate fi negativ (o scriere de tipul $-2(\cos \phi +i\sin \phi )$ nu este formă trigonometrică) și numărul $0$ nu are argument, deci nu are formă trigonometrică. Al doilea: trecerea între forme, cu regula de aur „cadranul se stabilește înaintea argumentului"; tangenta singură nu determină argumentul, perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$ îl determină. Al treilea: operațiile în formă trigonometrică — la înmulțire modulele se înmulțesc și argumentele se adună, la împărțire modulele se împart și argumentele se scad, iar rezultatul se readuce de fiecare dată în $[0,2\pi )$ prin adunarea sau scăderea unui multiplu de $2\pi$; aici se pierd cele mai multe puncte. Al patrulea: formula lui Moivre, cu demonstrația prin inducție, extinderea la exponenți întregi negativi și cele două aplicații clasice — puterile mari și deducerea formulelor pentru $\cos 2x$, $\sin 2x$, $\cos 3x$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Argumentele se scriu întotdeauna reduse, în $[0,2\pi )$, exprimate ca fracții de $\pi$ (nu în grade). Rezultatele se lasă în formă exactă; aproximările zecimale se dau doar acolo unde enunțul le cere, cu două zecimale. Se depunctează: modulul negativ într-o „formă trigonometrică", argumentul lăsat negativ sau mai mare decât $2\pi$ și determinarea argumentului numai din $\mathrm{tg}\phi$, fără discuția cadranului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe algoritmul de trecere între forme și pe reducerea argumentului după înmulțire, împărțire sau ridicare la putere.
• Formule de reținut: forma trigonometrică a unui număr complex nenul: $$z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}>0,\phi =\arg z\in [0,2\pi ).$$ Legăturile dintre forme: $a=r\cos \phi$, $b=r\sin \phi$; invers, $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$ — perechea acestor două valori determină cadranul și, în el, unicul $\phi$. Numărul $0$ nu are formă trigonometrică. Egalitate: $r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$ (cu argumente reduse) exact când $r_1=r_2$ și ${\phi }_1={\phi }_2$. Înmulțirea și împărțirea: dacă $z_1=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ și $z_2=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$, atunci $$z_1{z}_2=r_1{r}_2\left[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)\right],\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)\right],$$ argumentul obținut readucându-se în $[0,2\pi )$ prin adunarea sau scăderea lui $2\pi$. Formula lui Moivre, valabilă pentru orice $n\in \mathbb{Z}$: $${\left[r(\cos \phi +i\sin \phi )\right]}^n=r^n\left(\cos n\phi +i\sin n\phi \right).$$ Numere înrudite: $|\bar{z}|=|-z|=|z|$, $\arg \bar{z}=2\pi -\arg z$ (pentru $\arg z\ne 0$), $\arg (-z)=\arg z\pm \pi$ (semnul ales ca să rămâi în $[0,2\pi )$), iar înmulțirea cu $i$ rotește imaginea cu $\frac{\pi }{2}$ în jurul originii.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Modul, argument redus și trecerea între forme

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Modulul și argumentul redus ale numărului $z=1+i$ sunt: A. $r=\sqrt{2}$, $\phi =\frac{\pi }{4}$; B. $r=2$, $\phi =\frac{\pi }{4}$; C. $r=\sqrt{2}$, $\phi =\frac{3\pi }{4}$; D. $r=\sqrt{2}$, $\phi =\frac{\pi }{2}$.

b) Forma algebrică a numărului $z=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ este: A. $-1+i\sqrt{3}$; B. $1+i\sqrt{3}$; C. $-1-i\sqrt{3}$; D. $\sqrt{3}+i$.

c) Argumentul redus al numărului $z=-3i$ este: A. $\frac{\pi }{2}$; B. $\pi$; C. $\frac{3\pi }{2}$; D. $0$.

Itemul 2 (6 puncte)

Scrie sub formă trigonometrică (câte 1,5 puncte): a) $z=3$; b) $z=-2i$; c) $z=1+i\sqrt{3}$; d) $z=-1+i$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Numărul $0$ are formă trigonometrică." b) „Dacă $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r>0$ și $\phi \in [0,2\pi )$, atunci $|z|=r$." c) „Pentru orice număr complex $z$ cu $\arg z\ne 0$, are loc $\arg \bar{z}=2\pi -\arg z$." d) „Scrierea $z=-2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ este forma trigonometrică a numărului $z$."

Itemul 4 (6 puncte)

Scrie sub formă trigonometrică, precizând întâi cadranul: a) $z=-2-2i\sqrt{3}$; (3 p) b) $z=3-3i$. (3 p)

Partea a II-a – Operații în formă trigonometrică și formula lui Moivre

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră $z_1=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ și $z_2=3\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. Calculează, lăsând rezultatul și în formă trigonometrică, și în formă algebrică (câte 2 puncte): a) $z_1{z}_2$; b) $\frac{z_1}{z_2}$; c) $\frac{z_2}{z_1}$; d) $z_1^2$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează ${\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)}^6$. (3 p) b) Calculează $(1+i{)}^{12}$, folosind forma trigonometrică. (2 p) c) Calculează ${\left(1-i\sqrt{3}\right)}^5$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră $z=4\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$. a) Determină modulul și argumentul redus pentru $\bar{z}$, $-z$ și $\frac{1}{z}$. (3 p) b) Arată că înmulțirea cu $i$ rotește imaginea lui $z$ cu $\frac{\pi }{2}$ și scrie $iz$ sub formă trigonometrică. (2 p) c) Calculează $z^3$ și scrie rezultatul sub formă algebrică. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Aplicând formula lui Moivre pentru $n=2$ numărului $\cos x+i\sin x$, deduce formulele $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ și $\sin 2x=2\sin x\cos x$. (3 p) b) Procedând la fel pentru $n=3$, deduce formula $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Scrie numărul $z=\frac{1+i}{1-i}$ sub formă trigonometrică și calculează $z^{2026}$. (3 p) b) Calculează ${\left(-1+i\sqrt{3}\right)}^6$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează, prin inducție matematică, formula lui Moivre: pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și orice $\phi \in \mathbb{R}$, $$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi .$$ (5 p) b) Arată că formula rămâne valabilă pentru exponenți întregi negativi și calculează ${\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}^{-4}$, cu argumentul redus în $[0,2\pi )$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numărul complex $z=1+i\sqrt{3}$. a) Arătați că $|z|=2$ și că $z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. (2 p) b) Arătați că $z^6=64$. (3 p) c) Determinați cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $z^n$ este număr real și calculați $z^n$ pentru acest $n$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Cabinele unei roți panoramice se rotesc în jurul centrului $O$ al roții. Poziția unei cabine este dată de afixul ei, măsurat în metri față de centru. La pornire, cabina $A$ are afixul $z_0=3+4i$. Rotirea cu un unghi $\alpha$, în sens trigonometric, înseamnă înmulțirea afixului cu $\cos \alpha +i\sin \alpha$.

a) Determină afixul cabinei după o rotire cu $\frac{\pi }{2}$ și verifică faptul că distanța până la centru nu s-a schimbat. (3 p) b) Determină afixul cabinei după o rotire cu $\frac{\pi }{3}$, în formă exactă și cu două zecimale. (3 p) c) După câte rotiri succesive de câte $\frac{\pi }{3}$ revine cabina în poziția inițială? (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numerele complexe $z_1=1+i$ și $z_2=\sqrt{3}+i$. a) Scrieți $z_1$ și $z_2$ sub formă trigonometrică. (2 p) b) Calculați $z_1{z}_2$ în ambele forme, algebrică și trigonometrică. (3 p) c) Deduceți valorile exacte ale numerelor $\cos \frac{5\pi }{12}$ și $\sin \frac{5\pi }{12}$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$, iar din $\cos \phi =\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}>0$ (cadranul I) rezultă $\phi =\frac{\pi }{4}$. b) A. $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $z=2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}$. c) C. Imaginea lui $-3i$ este punctul $(0,-3)$, pe semiaxa imaginară negativă. Argumentul redus, luat în $[0,2\pi )$, este $\frac{3\pi }{2}$ — nu $-\frac{\pi }{2}$, care nu aparține intervalului.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $r=3$, iar imaginea este pe semiaxa reală pozitivă, deci $\phi =0$: $$z=3(\cos 0+i\sin 0).$$ b) $r=2$, imaginea pe semiaxa imaginară negativă, deci $\phi =\frac{3\pi }{2}$: $$z=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right).$$ c) $r=\sqrt{1+3}=2$; din $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cadranul I) rezultă $\phi =\frac{\pi }{3}$: $$z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right).$$ d) $r=\sqrt{2}$; din $\cos \phi =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$ (cadranul II) rezultă $\phi =\frac{3\pi }{4}$: $$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right).$$

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Numărul $0$ are modul $0$, dar imaginea lui este chiar originea, care nu determină nicio direcție; prin urmare $0$ nu are argument și nu are formă trigonometrică. (Formal: din $r=0$, egalitatea $0=0\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )$ ar fi adevărată pentru orice $\phi$, deci argumentul nu ar fi unic.) b) A. Modulul produsului dintre numărul real pozitiv $r$ și numărul $\cos \phi +i\sin \phi$, care are modulul $\sqrt{{\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi }=1$, este $r\cdot 1=r$. c) A. Conjugatul este simetricul față de axa reală, deci argumentul se „oglindește": dacă $\arg z=\phi \in (0,2\pi )$, atunci $\arg \bar{z}=2\pi -\phi$, valoare care rămâne în $[0,2\pi )$. (Pentru $\arg z=0$, numărul este real pozitiv și $\bar{z}=z$, cu argumentul tot $0$ — de aceea enunțul exclude acest caz.) d) F. În forma trigonometrică factorul din față este modulul, deci un număr strict pozitiv. Aici $z=-2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}$, cu $|z|=2$ și imaginea în cadranul III; forma corectă este $$z=2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right).$$

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) $r=\sqrt{4+12}=4$ (1 p). Partea reală și partea imaginară sunt ambele negative, deci imaginea este în cadranul III, adică $\phi \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ (1 p). Din $$\cos \phi =\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\sin \phi =\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ rezultă $\phi =\frac{4\pi }{3}$, deci $z=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$ (1 p).

b) (3 p) $r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ (1 p). Partea reală este pozitivă, cea imaginară negativă: cadranul IV, deci $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ (1 p). Din $$\cos \phi =\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ rezultă $\phi =\frac{7\pi }{4}$, deci $z=3\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$ (1 p). (Dacă am fi folosit numai $\mathrm{tg}\phi =-1$, am fi avut de ales între $\frac{3\pi }{4}$ și $\frac{7\pi }{4}$ — de aceea cadranul se stabilește primul.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p forma trigonometrică, 1 p forma algebrică).

a) Modulele se înmulțesc, argumentele se adună: $$z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=6i.$$

b) Modulele se împart, argumentele se scad: $\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}$, valoare care se reduce adunând $2\pi$: $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}i.$$

c) $\frac{z_2}{z_1}=\frac{3}{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}i$.

d) Prin formula lui Moivre cu $n=2$: $$z_1^2=4\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=4\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+2i\sqrt{3}.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Modulul fiind $1$, rămâne doar argumentul (1 p): $${\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)}^6=\cos \frac{6\pi }{12}+i\sin \frac{6\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$$ (2 p).

b) (2 p) $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ (0,5 p), deci $$(1+i{)}^{12}={\left(\sqrt{2}\right)}^{12}\left(\cos 3\pi +i\sin 3\pi \right)=64\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=-64$$ (1,5 p), unde argumentul $3\pi$ s-a redus la $\pi$ scăzând $2\pi$. (Control: $(1+i{)}^{12}={\left[(1+i{)}^2\right]}^6=(2i{)}^6=64i^6=-64$ ✓.)

c) (2 p) $\left|1-i\sqrt{3}\right|=2$, iar din $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cadranul IV) rezultă $\phi =\frac{5\pi }{3}$ (0,5 p). Atunci $${\left(1-i\sqrt{3}\right)}^5=2^5\left(\cos \frac{25\pi }{3}+i\sin \frac{25\pi }{3}\right)=32\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=16+16i\sqrt{3}$$ (1,5 p), argumentul $\frac{25\pi }{3}$ reducându-se la $\frac{\pi }{3}$ prin scăderea lui $4\cdot 2\pi =\frac{24\pi }{3}$.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. $\bar{z}$: modulul $4$, argumentul $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$. $-z$: modulul $4$, argumentul $\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$. $\frac{1}{z}$: modulul $\frac{1}{4}$, argumentul $-\frac{\pi }{6}$, redus la $\frac{11\pi }{6}$. (Ultimele două coincid ca argument, dar diferă ca modul: $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$.)

b) (2 p) $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, cu modulul $1$ (1 p); înmulțind, modulul rămâne $4$, iar argumentul devine $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{3}$: $$iz=4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$$ (1 p). Geometric: imaginea se rotește cu $\frac{\pi }{2}$ în jurul originii, fără a-și schimba distanța până la $O$.

c) (2 p) $z^3=4^3\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=64i$. (Control direct: $z=2\sqrt{3}+2i$, iar ${\left(2\sqrt{3}+2i\right)}^2=8+8\sqrt{3}i$ și $\left(8+8\sqrt{3}i\right)\left(2\sqrt{3}+2i\right)=64i$ ✓.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Scriem în două feluri același număr (1 p). Pe de o parte, prin formula lui Moivre, $$(\cos x+i\sin x{)}^2=\cos 2x+i\sin 2x.$$ Pe de altă parte, dezvoltând pătratul (1 p): $$(\cos x+i\sin x{)}^2={\cos }^{2}x+2i\sin x\cos x+i^2{\sin }^{2}x=\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)+i\left(2\sin x\cos x\right).$$ Două numere complexe sunt egale exact când au aceleași părți reale și aceleași părți imaginare, deci $$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\text{și}\sin 2x=2\sin x\cos x$$ (1 p).

b) (3 p) La fel, pentru $n=3$ (1 p): $$(\cos x+i\sin x{)}^3={\cos }^{3}x+3i{\cos }^{2}x\sin x+3i^2\cos x{\sin }^{2}x+i^3{\sin }^{3}x,$$ adică, grupând (1 p), $$\left({\cos }^{3}x-3\cos x{\sin }^{2}x\right)+i\left(3{\cos }^{2}x\sin x-{\sin }^{3}x\right)=\cos 3x+i\sin 3x.$$ Identificând părțile reale și înlocuind ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ (1 p): $$\cos 3x={\cos }^{3}x-3\cos x\left(1-{\cos }^{2}x\right)=4{\cos }^{3}x-3\cos x.$$ (Din părțile imaginare se obține, analog, $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Amplificăm cu conjugatul numitorului (1 p): $$z=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$$ (1 p). Prin Moivre, $z^{2026}=\cos \frac{2026\pi }{2}+i\sin \frac{2026\pi }{2}=\cos 1013\pi +i\sin 1013\pi$. Cum $1013$ este impar, argumentul se reduce la $\pi$, deci $$z^{2026}=\cos \pi +i\sin \pi =-1$$ (1 p). (Control: $z^{2026}=i^{2026}=i^2=-1$, pentru că $2026=4\cdot 506+2$ ✓.)

b) (3 p) $\left|-1+i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1+3}=2$; din $\cos \phi =-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cadranul II) rezultă $\phi =\frac{2\pi }{3}$ (1,5 p). Atunci $${\left(-1+i\sqrt{3}\right)}^6=2^6\left(\cos 4\pi +i\sin 4\pi \right)=64(\cos 0+i\sin 0)=64$$ (1,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Notăm $P(n)$ afirmația $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$.

Verificarea pentru $n=1$ (0,5 p): ambii membri sunt $\cos \phi +i\sin \phi$, deci $P(1)$ este adevărată.

Pasul de inducție (1 p): presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ oarecare, adică $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^k=\cos k\phi +i\sin k\phi$, și demonstrăm $P(k+1)$. Avem $$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^{k+1}=(\cos \phi +i\sin \phi {)}^k(\cos \phi +i\sin \phi )=\left(\cos k\phi +i\sin k\phi \right)\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)$$ (1 p). Efectuăm înmulțirea și folosim $i^2=-1$ (1 p): $$=\left(\cos k\phi \cos \phi -\sin k\phi \sin \phi \right)+i\left(\sin k\phi \cos \phi +\cos k\phi \sin \phi \right).$$ Recunoaștem formulele adunării unghiurilor (1 p): $$=\cos (k\phi +\phi )+i\sin (k\phi +\phi )=\cos \left[(k+1)\phi \right]+i\sin \left[(k+1)\phi \right],$$ deci $P(k+1)$ este adevărată. Conform principiului inducției matematice, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Fie $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și $w=\cos \phi +i\sin \phi$, care are modulul $1$, deci este nenul. Atunci (1 p) $$w^{-n}=\frac{1}{w^n}=\frac{1}{\cos n\phi +i\sin n\phi }=\frac{\cos n\phi -i\sin n\phi }{{\cos }^{2}n\phi +{\sin }^{2}n\phi }=\cos (-n\phi )+i\sin (-n\phi ),$$ unde am amplificat cu conjugatul și am folosit paritatea: $\cos (-t)=\cos t$, $\sin (-t)=-\sin t$ (1 p). Aplicație: $${\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}^{-4}=\cos \left(-\frac{4\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{4\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ (1 p), argumentul $-\frac{4\pi }{3}$ fiind redus în $[0,2\pi )$ prin adunarea lui $2\pi$.

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $|z|=\sqrt{1+3}=2$ (1 p); din $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, ambele pozitive (cadranul I), rezultă $\phi =\frac{\pi }{3}$, deci $z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ (1 p).

b) (3 p) Prin formula lui Moivre (1,5 p): $$z^6=2^6\left(\cos \frac{6\pi }{3}+i\sin \frac{6\pi }{3}\right)=64\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)=64\cdot 1=64$$ (1,5 p).

c) (3 p) $z^n=2^n\left(\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3}\right)$ este real exact când partea imaginară se anulează, adică $\sin \frac{n\pi }{3}=0$, deci $\frac{n\pi }{3}=k\pi$ cu $k$ întreg, adică $n$ multiplu de $3$ (2 p). Cel mai mic număr natural nenul este $n=3$, iar $$z^3=2^3(\cos \pi +i\sin \pi )=-8$$ (1 p). (Pentru $n=1$ și $n=2$ numărul nu este real: $z=1+i\sqrt{3}$ și $z^2=-2+2i\sqrt{3}$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Rotirea cu $\frac{\pi }{2}$ înseamnă înmulțirea cu $\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$ (1 p): $$z_1=i(3+4i)=3i+4i^2=-4+3i$$ (1 p). Distanța până la centru: $|z_1|=\sqrt{16+9}=5=|z_0|$ — neschimbată, așa cum era de așteptat, pentru că $|i|=1$ (1 p).

b) (3 p) Înmulțim cu $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ (1 p): $$z_2=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(3+4i)=\frac{3}{2}+2i+\frac{3\sqrt{3}}{2}i+2\sqrt{3}{i}^2=\left(\frac{3}{2}-2\sqrt{3}\right)+\left(2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)i$$ (1,5 p). Numeric, $z_2\approx -1,96+4,60i$ (0,5 p). (Control: ${\left(\frac{3}{2}-2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}-6\sqrt{3}+12+4+6\sqrt{3}+\frac{27}{4}=25$, deci modulul este tot $5$ ✓ — termenii cu $\sqrt{3}$ se reduc.)

c) (2 p) După $k$ rotiri, argumentul crește cu $k\cdot \frac{\pi }{3}$; cabina revine în poziția inițială când această creștere este un multiplu de $2\pi$ (1 p). Cel mai mic $k$ nenul: $k\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi$, adică $k=6$ rotiri (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $|z_1|=\sqrt{2}$ și, cu $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$ (cadranul I), $\phi =\frac{\pi }{4}$ (1 p): $$z_1=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right).$$ $|z_2|=\sqrt{3+1}=2$ și, cu $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =\frac{1}{2}$, $\phi =\frac{\pi }{6}$ (1 p): $$z_2=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right).$$

b) (3 p) Algebric (1,5 p): $$z_1{z}_2=(1+i)\left(\sqrt{3}+i\right)=\sqrt{3}+i+\sqrt{3}i+i^2=\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)i.$$ Trigonometric, modulele se înmulțesc și argumentele se adună: $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi +2\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$ (1,5 p): $$z_1{z}_2=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right).$$

c) (3 p) Cele două scrieri ale aceluiași număr trebuie să aibă părțile reale egale și părțile imaginare egale (1 p): $$2\sqrt{2}\cos \frac{5\pi }{12}=\sqrt{3}-1,2\sqrt{2}\sin \frac{5\pi }{12}=\sqrt{3}+1.$$ Împărțim și raționalizăm (1,5 p): $$\cos \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\sin \frac{5\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$ (0,5 p). (Orientativ, $\frac{5\pi }{12}$ înseamnă $75^{\circ }$, iar valorile obținute sunt $\approx 0,2588$ și $\approx 0,9659$. Control: suma pătratelor lor este $\frac{8-4\sqrt{3}}{16}+\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=1$ ✓.)