Acasă · Teste · clasa a X-a · Test: tabele de frecvențe și reprezentări grafice

Test: tabele de frecvențe și reprezentări grafice

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a statisticii de clasa a X-a: drumul de la datele brute la tabel și de la tabel la diagramă. Sunt evaluate patru deprinderi. Prima: descrierea corectă a unui studiu statistic — populația, unitatea statistică, eșantionul, caracteristica și tipul ei (calitativă sau cantitativă). A doua: construcția tabelului de frecvențe, cu cele trei verificări care nu se sar niciodată — $\sum n_{i} = n$ , $\sum f_{i} = 1$ (adică $\sum p_{i} = 100%$ ) și ultima frecvență cumulată egală cu $n$ . A treia: reprezentările grafice — diagrama cu bare (bare separate, pentru categorii), diagrama circulară (unghiuri proporționale cu frecvențele, cu suma $36 0^{\circ}$ ), histograma (dreptunghiuri lipite, pentru date grupate pe intervale) și poligonul frecvențelor (puncte în centrele claselor). A patra, cea mai des greșită: compararea a două grupuri de mărimi diferite, care se face obligatoriu în procente, nu în numere brute.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu tabel se cere tabelul complet, cu verificarea sumei, nu doar rezultatul cerut.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească un calculator de buzunar. Convenția de rotunjire, aceeași peste tot în test: rezultatele exacte se lasă în formă exactă (fracție ordinară sau zecimal finit); acolo unde împărțirea nu este exactă, procentele se rotunjesc la două zecimale, iar unghiurile la o zecimală de grad. Diagramele nu se cer desenate la scară; se cer datele desenului — înălțimile barelor, unghiurile sectoarelor, coordonatele punctelor.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe frecvențele cumulate și pe compararea în procente.
Formule de reținut: frecvența relativă și procentul $f_{i} = \frac{n _{i}}{n}, p_{i} = f_{i} \cdot 100%, i = 1 \sum k n_{i} = n, i = 1 \sum k f_{i} = 1.$ Frecvențe cumulate: $N_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{i}$ (crescător, „cel mult $v_{i}$ ") și $N_{i}^{↓} = n_{i} + n_{i + 1} + \dots + n_{k}$ (descrescător, „cel puțin $v_{i}$ "), cu $N_{k} = N_{1}^{↓} = n$ și $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n$ . Diagrama circulară: unghiul sectorului este $α_{i} = f_{i} \cdot 36 0^{\circ} = \frac{n _{i}}{n} \cdot 36 0^{\circ}, \sum α_{i} = 36 0^{\circ};$ fiecare procent valorează $3, 6^{\circ}$ . Date grupate: clasele se scriu semideschis, $[a, b)$ , au aceeași lățime $h = b - a$ și centrul $c = \frac{a + b}{2}$ ; media pe date grupate este o aproximare, $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{\sum n _{i} c _{i}}{n}$ . Histogramă = dreptunghiuri lipite, pe intervale; diagramă cu bare = bare separate, pe categorii.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Populație, eșantion și tabelul de frecvențe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-un liceu cu $1200$ de elevi se cercetează timpul zilnic de studiu, chestionând $120$ dintre ei. Populația statistică este: A. cei $120$ de elevi chestionați; B. cei $1200$ de elevi ai liceului; C. timpul zilnic de studiu; D. liceul.

b) Caracteristica „culoarea ochilor" este: A. cantitativă discretă; B. cantitativă continuă; C. calitativă; D. cumulată.

c) Într-un tabel de frecvențe cu $5$ valori, suma frecvențelor relative este: A. $5$ ; B. egală cu $n$ ; C. $1$ ; D. depinde de date.

Itemul 2 (6 puncte)

La un test de matematică, cei $20$ de elevi ai unei clase au obținut notele: $8, 7, 6, 9, 8, 5, 7, 10, 8, 6, 9, 7, 4, 8, 10, 6, 9, 7, 5, 8.$ a) Ordonează datele crescător și alcătuiește tabelul de frecvențe absolute. (4 p) b) Verifică relația $\sum n_{i} = n$ și precizează ce ar însemna dacă verificarea nu ar ieși. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „O frecvență relativă poate fi egală cu $1, 2$ ." b) „Într-un tabel de frecvențe, ultima frecvență cumulată crescător este egală cu volumul $n$ al setului de date." c) „Numărul de pe tricoul unui jucător este o caracteristică cantitativă, pentru că este un număr." d) „Dacă două clase au același număr de elevi, ele se pot compara direct pe frecvențele absolute."

Itemul 4 (6 puncte)

Folosind tabelul construit la itemul 2: a) Calculează frecvențele relative și procentele pentru fiecare notă. (4 p) b) Verifică faptul că $\sum p_{i} = 100%$ și precizează ce procent dintre elevi au luat nota $8$ . (2 p)

Partea a II-a – Frecvențe cumulate și reprezentări grafice

Itemul 5 (8 puncte)

Pentru setul de note de la itemul 2: a) Alcătuiește coloana frecvențelor cumulate crescător $N_{i}$ . (2 p) b) Alcătuiește coloana frecvențelor cumulate descrescător $N_{i}^{↓}$ . (2 p) c) Câți elevi au luat cel mult nota $7$ ? Dar strict sub nota $7$ ? Dar cel puțin nota $8$ ? (3 p) d) Verifică relația $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n$ pentru $i = 4$ . (1 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Cei $40$ de elevi ai unei clase au fost întrebați cum ajung la școală. Răspunsurile au fost: pe jos $14$ , cu autobuzul $12$ , cu mașina $10$ , cu bicicleta $4$ . a) Calculează procentele și unghiurile sectoarelor pentru o diagramă circulară. (4 p) b) Verifică faptul că suma unghiurilor este $36 0^{\circ}$ . (1 p) c) Într-o altă clasă, sectorul „cu autobuzul" are unghiul de $9 9^{\circ}$ , iar clasa are $40$ de elevi. Câți elevi vin cu autobuzul? (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Timpul (în minute) petrecut zilnic cu tema la matematică de $25$ de elevi a fost grupat pe clase:

Clasa	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$
$n_{i}$	$4$	$10$	$8$	$3$

a) Explică de ce clasele se scriu semideschis, $[a, b)$ , și precizează lățimea $h$ și centrele $c_{i}$ ale claselor. (2 p) b) Completează tabelul cu frecvențele relative (în procente) și cu frecvențele cumulate crescător. (3 p) c) Calculează media aproximativă a timpului de lucru, folosind centrele claselor. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Pentru datele grupate de la itemul 7: a) Scrie coordonatele punctelor prin care trece poligonul frecvențelor, inclusiv cele două clase fictive de la capete. (3 p) b) Scrie coordonatele punctelor prin care trece poligonul frecvențelor cumulate și explică de ce acest poligon este întotdeauna crescător. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Precizează două deosebiri dintre o diagramă cu bare și o histogramă. (2 p) b) O diagramă cu bare are axa verticală gradată de la $60$ la $75$ . Barele a două categorii au înălțimile corespunzătoare valorilor $70$ și $65$ . Un elev afirmă, privind desenul: „prima categorie este de două ori mai mare decât a doua". Explică unde este greșeala și cum se repară diagrama. (4 p)

Partea a III-a – Tabele incomplete, comparații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

Într-un tabel de frecvențe pentru caracteristica „numărul de frați", cu valorile $0, 1, 2, 3, 4$ , se cunosc: $n = 40$ , $n_{1} = 6$ , $N_{2} = 15$ , $n_{3} = 12$ , $N_{4} = 36$ . a) Determină toate frecvențele absolute $n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}, n_{5}$ . (4 p) b) Verifică rezultatul prin $\sum n_{i} = n$ și calculează procentele. (2 p) c) Calculează unghiurile sectoarelor unei diagrame circulare pentru acest tabel. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) La o lucrare de control, în clasa a X-a A, din $25$ de elevi au obținut cel puțin nota $7$ un număr de $15$ elevi. În clasa a X-a B, din $20$ de elevi au obținut cel puțin nota $7$ un număr de $13$ elevi. a) Arătați că, în valori absolute, clasa a X-a A are mai mulți elevi cu cel puțin nota $7$ . (2 p) b) Calculați procentele corespunzătoare fiecărei clase. (4 p) c) Precizați care clasă a avut, în raport cu efectivul ei, un rezultat mai bun și justificați de ce comparația pe frecvențe absolute este, aici, înșelătoare. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Într-un sondaj cu $70$ de respondenți, răspunsurile la o întrebare cu trei variante au fost: varianta A — $20$ de persoane, varianta B — $20$ de persoane, varianta C — $30$ de persoane. a) Calculează frecvențele relative sub formă de fracție ireductibilă și procentele, rotunjite la două zecimale. (4 p) b) Rotunjește fiecare procent la numărul întreg cel mai apropiat și adună rezultatele. Ce observi? (2 p) c) Explică de unde vine diferența și cum se procedează corect într-un raport statistic. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Într-un liceu, $200$ de elevi au fost întrebați care este sportul lor preferat. Rezultatele: fotbal $70$ , baschet $50$ , volei $40$ , tenis $25$ , alt sport $15$ . a) Alcătuiți tabelul de frecvențe cu $n_{i}$ , $f_{i}$ și $p_{i}$ , verificând $\sum p_{i} = 100%$ . (3 p) b) Calculați unghiurile sectoarelor unei diagrame circulare și verificați suma lor. (3 p) c) Precizați ce tip de diagramă este potrivit aici și de ce nu ar fi potrivită o histogramă. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B (2 p). Populația statistică este mulțimea tuturor elementelor studiate, adică cei $1200$ de elevi; cei $120$ chestionați formează eșantionul, iar timpul zilnic de studiu este caracteristica. b) C (2 p). Culoarea ochilor se exprimă prin cuvinte (căprui, albaștri, verzi), nu prin numere; pe ea nu se poate calcula o medie. c) C (2 p). Din $\sum n_{i} = n$ rezultă imediat $\sum f_{i} = \frac{\sum n _{i}}{n} = \frac{n}{n} = 1$ , oricare ar fi datele.

Itemul 2. (6 p)

a) (4 p) Ordonate crescător, notele sunt $4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10$ (1 p). Tabelul de frecvențe absolute (3 p):

Nota $v_{i}$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	Total
$n_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$3$	$2$	$20$

b) (2 p) Verificarea: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 = 20 = n$ ✓ (1 p). Dacă suma ar fi mai mică decât $n$ , ar însemna că unele date au fost sărite la numărare; dacă ar fi mai mare, o dată a fost numărată de două ori sau categoriile se suprapun (1 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F (1,5 p). Din $0 \leq n_{i} \leq n$ rezultă $0 \leq f_{i} \leq 1$ ; o frecvență relativă supraunitară ar însemna că o valoare apare de mai multe ori decât numărul total de date. b) A (1,5 p). Ultima cumulată însumează toate frecvențele absolute: $N_{k} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n$ . c) F (1,5 p). Numărul de pe tricou este doar o etichetă: nu are sens să calculăm media numerelor de pe tricouri. Cifrele folosite ca etichete rămân caracteristică calitativă. d) A (1,5 p). Când totalurile sunt egale, frecvențele absolute sunt proporționale cu cele relative, deci comparația directă este corectă. Când totalurile diferă, comparația se face numai în procente.

Itemul 4. (6 p)

a) (4 p) Cu $n = 20$ , fiecare unitate valorează $\frac{1}{20} = 0, 05 = 5%$ :

$v_{i}$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	Total
$n_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$3$	$2$	$20$
$f_{i}$	$0, 05$	$0, 10$	$0, 15$	$0, 20$	$0, 25$	$0, 15$	$0, 10$	$1$
$p_{i}$	$5%$	$10%$	$15%$	$20%$	$25%$	$15%$	$10%$	$100%$

b) (2 p) $5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 15 + 10 = 100%$ ✓ (1 p). Nota $8$ a fost obținută de $25%$ dintre elevi (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $N_{i}$ : $1, 3, 6, 10, 15, 18, 20$ . Ultima este $20 = n$ ✓

b) (2 p) $N_{i}^{↓}$ : $20, 19, 17, 14, 10, 5, 2$ . Prima este $20 = n$ ✓

c) (3 p) „Cel mult $7$ " înseamnă $N_{4} = 10$ elevi (1 p); „strict sub $7$ " înseamnă $N_{3} = 6$ elevi — nu $N_{4}$ , aceasta fiind capcana clasică (1 p); „cel puțin $8$ " înseamnă $N_{5}^{↓} = 10$ elevi (1 p).

d) (1 p) $N_{4} + N_{5}^{↓} = 10 + 10 = 20 = n$ ✓

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Cu $n = 40$ , fiecare elev valorează $\frac{36 0 ^{\circ}}{40} = 9^{\circ}$ (1 p):

Mod de deplasare	pe jos	autobuz	mașină	bicicletă	Total
$n_{i}$	$14$	$12$	$10$	$4$	$40$
$p_{i}$	$35%$	$30%$	$25%$	$10%$	$100%$
$α_{i}$	$12 6^{\circ}$	$10 8^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$3 6^{\circ}$	$36 0^{\circ}$

Calculul unghiurilor (3 p): $α_{1} = \frac{14}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 12 6^{\circ}$ , $α_{2} = \frac{12}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 10 8^{\circ}$ , $α_{3} = \frac{10}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , $α_{4} = \frac{4}{40} \cdot 36 0^{\circ} = 3 6^{\circ}$ .

b) (1 p) $126 + 108 + 90 + 36 = 360$ ✓

c) (2 p) Drumul invers: $f = \frac{9 9 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = 0, 275$ (1 p), deci $n_{i} = 0, 275 \cdot 40 = 11$ elevi (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Scrierea semideschisă $[a, b)$ face ca valoarea de la graniță să intre în exact o clasă: un timp de $20$ de minute intră în $[20, 40)$ și nu în $[0, 20)$ ; altfel unele date ar fi numărate de două ori (1 p). Lățimea este $h = 20$ , iar centrele sunt $c_{1} = 10$ , $c_{2} = 30$ , $c_{3} = 50$ , $c_{4} = 70$ (1 p).

b) (3 p) Cu $n = 25$ , fiecare elev valorează $4%$ :

Clasa	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	Total
$n_{i}$	$4$	$10$	$8$	$3$	$25$
$p_{i}$	$16%$	$40%$	$32%$	$12%$	$100%$
$N_{i}$	$4$	$14$	$22$	$25$	—

Verificări: $\sum p_{i} = 100%$ ✓ și $N_{4} = 25 = n$ ✓

c) (2 p) Se înlocuiește fiecare valoare cu centrul clasei ei (0,5 p): $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{4 \cdot 10 + 10 \cdot 30 + 8 \cdot 50 + 3 \cdot 70}{25} = \frac{40 + 300 + 400 + 210}{25} = \frac{950}{25} = 38 minute$ (1 p). Rezultatul este o aproximare: din tabelul grupat nu mai știm valorile individuale (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Poligonul frecvențelor unește punctele $(c_{i}; n_{i})$ (1 p), adică $(10; 4), (30; 10), (50; 8), (70; 3)$ (1 p), iar la capete se adaugă două clase fictive de frecvență $0$ , cu centrele $- 10$ și $90$ , deci punctele $(- 10; 0)$ și $(90; 0)$ (1 p).

b) (3 p) Poligonul cumulat pornește din $(0; 0)$ — capătul stâng al primei clase — și unește capătul din dreapta al fiecărei clase cu frecvența cumulată corespunzătoare (1 p): $(0; 0), (20; 4), (40; 14), (60; 22), (80; 25)$ (1 p). Este întotdeauna crescător pentru că $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ , iar $n_{i} \geq 0$ : adunând mereu numere nenegative, valorile nu pot scădea (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Prima deosebire: la diagrama cu bare dreptunghiurile sunt separate prin spații, la histogramă sunt lipite (1 p). A doua: barele stau deasupra unor categorii (calitative sau valori discrete), iar dreptunghiurile histogramei stau deasupra unor intervale ale unei axe numerice (1 p).

b) (4 p) Greșeala vine din axa trunchiată: axa nu pornește de la $0$ , ci de la $60$ (1 p). Ochiul compară înălțimile desenate, adică $70 - 60 = 10$ și $65 - 60 = 5$ , iar raportul lor este $2$ (1 p); raportul real al valorilor este însă $\frac{70}{65} \approx 1, 08$ , adică o diferență de circa $8%$ (1 p). Reparația: axa se pornește de la $0$ , iar dacă trunchierea este necesară pentru lizibilitate, ea se semnalează explicit pe desen și se scriu valorile deasupra barelor (1 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (4 p) Din $N_{2} = n_{1} + n_{2}$ rezultă $n_{2} = 15 - 6 = 9$ (1 p). Se dă $n_{3} = 12$ , deci $N_{3} = 15 + 12 = 27$ (1 p). Din $N_{4} = N_{3} + n_{4}$ rezultă $n_{4} = 36 - 27 = 9$ (1 p). În fine, $n_{5} = n - N_{4} = 40 - 36 = 4$ (1 p).

Nr. de frați	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	Total
$n_{i}$	$6$	$9$	$12$	$9$	$4$	$40$

b) (2 p) $6 + 9 + 12 + 9 + 4 = 40 = n$ ✓ (1 p). Procentele: $15%$ , $22, 5%$ , $30%$ , $22, 5%$ , $10%$ , cu suma $100%$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Fiecare unitate statistică valorează $\frac{36 0 ^{\circ}}{40} = 9^{\circ}$ (0,5 p), deci unghiurile sunt $5 4^{\circ}, 8 1^{\circ}, 10 8^{\circ}, 8 1^{\circ}, 3 6^{\circ}$ (1 p), cu verificarea $54 + 81 + 108 + 81 + 36 = 360$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) În valori absolute, $15 > 13$ , deci clasa a X-a A are mai mulți elevi cu cel puțin nota $7$ (2 p).

b) (4 p) Clasa A: $f_{A} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0, 6$ , adică $60%$ (2 p). Clasa B: $f_{B} = \frac{13}{20} = 0, 65$ , adică $65%$ (2 p).

c) (2 p) În raport cu efectivul, rezultatul mai bun îl are clasa a X-a B ( $65% > 60%$ ) (1 p). Comparația pe frecvențe absolute este înșelătoare pentru că cele două clase au volume diferite ( $25$ față de $20$ ): un număr mai mare de elevi într-o clasă mai numeroasă nu înseamnă o proporție mai mare. Frecvențele absolute se compară doar când totalurile sunt egale (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Cu $n = 70$ : $f_{A} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7} \approx 28, 57%, f_{B} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7} \approx 28, 57%, f_{C} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \approx 42, 86%$ (4 p).

b) (2 p) Rotunjite la numărul întreg: $29%$ , $29%$ și $43%$ (1 p). Suma lor este $29 + 29 + 43 = 101%$ , deci depășește $100%$ (1 p).

c) (2 p) Diferența vine din rotunjire: fiecare dintre cele trei valori a fost rotunjită în sus, iar erorile s-au adunat. Pe valorile exacte suma este $\frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = 1 = 100%$ (1 p). Într-un raport statistic, verificarea se face pe valorile exacte, iar în tabel se scrie o notă de subsol („suma nu dă exact $100%$ din cauza rotunjirii"); nu se modifică la întâmplare un procent, ca să „iasă" totalul (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Cu $n = 200$ , fiecare elev valorează $0, 5%$ :

Sport	fotbal	baschet	volei	tenis	alt sport	Total
$n_{i}$	$70$	$50$	$40$	$25$	$15$	$200$
$f_{i}$	$0, 35$	$0, 25$	$0, 20$	$0, 125$	$0, 075$	$1$
$p_{i}$	$35%$	$25%$	$20%$	$12, 5%$	$7, 5%$	$100%$

Verificare: $35 + 25 + 20 + 12, 5 + 7, 5 = 100%$ ✓

b) (3 p) Fiecare elev valorează $\frac{36 0 ^{\circ}}{200} = 1, 8^{\circ}$ (0,5 p), deci $α_{1} = 12 6^{\circ}, α_{2} = 9 0^{\circ}, α_{3} = 7 2^{\circ}, α_{4} = 4 5^{\circ}, α_{5} = 2 7^{\circ}$ (2 p), iar $126 + 90 + 72 + 45 + 27 = 360$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Potrivite sunt diagrama circulară (categoriile se exclud reciproc, sunt puține și acoperă tot întregul — exact situația în care se arată compoziția unui întreg) sau diagrama cu bare (dacă vrem să comparăm fin sporturile între ele) (1 p). Histograma nu este potrivită, pentru că sporturile sunt o caracteristică calitativă: nu există o axă numerică pe care să așezăm intervale, deci nici dreptunghiuri lipite; ordinea categoriilor este, de altfel, arbitrară (1 p).