Test: funcția exponențială și proprietățile ei

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică funcția exponențială $f(x)=a^x$ ca obiect matematic de sine stătător: nu „cum se rezolvă ecuații", ci ce fel de funcție este și de ce se comportă așa. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția și condițiile asupra bazei — $a>0$ pentru ca puterea să aibă sens la orice exponent real, $a\ne 1$ pentru ca funcția să nu degenereze în constanta $1$. Al doilea: graficul — trece prin $(0,1)$ pentru orice bază, se află în întregime deasupra axei $Ox$, pe care o are ca asimptotă orizontală, urcă pentru $a>1$ și coboară pentru $0<a<1$; graficele lui $a^x$ și ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ sunt simetrice față de axa $Oy$. Al treilea: proprietățile demonstrabile — semnul, imaginea $(0,+\infty )$, monotonia strictă, injectivitatea și bijectivitatea; acestea sunt teoreme, nu observații de pe desen, iar testul cere demonstrația celei centrale. Al patrulea: proprietatea de morfism, $f(x+y)=f(x)f(y)$, care traduce adunarea în înmulțire și explică de ce valorile funcției în puncte echidistante formează o progresie geometrică. Greșeala cea mai costisitoare, urmărită în mai mulți itemi, este uitarea faptului că la bază subunitară ordinea se răstoarnă.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Comparările se justifică prin monotonie (se numește explicit baza și sensul), nu prin valori aproximative citite de undeva. Rezultatele se dau în formă exactă. La orice afirmație despre grafic se cere argumentul algebric care o susține.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe monotonie la bază subunitară și pe imaginea funcției.
• Formule de reținut: definiția: $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$. Semnul și imaginea: $a^x>0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathrm{Im}(f)=(0,+\infty )$; în particular, ecuația $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$. Monotonia: $$a>1:x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}<a^{x_2};0<a<1:x_1<x_2\Rightarrow a^{x_1}>a^{x_2}.$$ Injectivitatea: $a^u=a^v\iff u=v$. Bijectivitatea: $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$ este bijectivă, deci ecuația $a^x=b$, cu $b>0$, are exact o soluție. Morfismul: $$f(x+y)=f(x)\cdot f(y),f(0)=1,f(-x)=\frac{1}{f(x)},f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}.$$ Graficul: trece prin $(0,1)$; axa $Ox$ este asimptotă orizontală; graficele lui $a^x$ și ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$ sunt simetrice față de axa $Oy$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiție, valori și grafic

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a^x$, este funcție exponențială dacă: A. $a>0$; B. $a>0$ și $a\ne 1$; C. $a\ne 0$; D. $a\ge 1$.

b) Punctul prin care trec graficele tuturor funcțiilor exponențiale este: A. $(0,0)$; B. $(1,0)$; C. $(0,1)$; D. $(1,1)$.

c) Imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$, este: A. $\mathbb{R}$; B. $[0,+\infty )$; C. $(0,+\infty )$; D. $(1,+\infty )$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$. Calculează (câte 1,5 puncte): a) $f(-2)$; b) $f\left(\frac{1}{2}\right)$; c) diferența $f(x+1)-f(x)$, exprimată în funcție de $f(x)$; d) $\frac{f(5)}{f(3)}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Graficul funcției $f(x)=5^x$ intersectează axa $Ox$." b) „Funcția $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$." c) „Graficele funcțiilor $f(x)=4^x$ și $g(x)={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ sunt simetrice față de axa $Oy$." d) „Ecuația $2^x=-4$ are soluția $x=-2$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină baza $a$ știind că graficul funcției $f(x)=a^x$ trece prin punctul $A(3,125)$. (3 p) b) Determină baza $a$ știind că graficul funcției $f(x)=a^x$ trece prin punctul $B(-2,9)$. (3 p)

Partea a II-a – Monotonie, comparări și proprietăți

Itemul 5 (8 puncte)

Compară numerele, precizând de fiecare dată regula folosită (câte 2 puncte): a) $3^{2,5}$ și $3^{2,7}$; b) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1,2}$ și ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1,3}$; c) $2^{300}$ și $3^{200}$; d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$ și $2^3$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Stabilește, fără calculator, dacă fiecare număr este mai mic, egal sau mai mare decât $1$ (câte 1 punct): $5^{-0,2}$; $(0,7{)}^{-3}$; ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{0,1}$; ${\pi }^0$. (4 p) b) Determină toate valorile reale ale lui $x$ pentru care ${\left(\frac{2}{7}\right)}^x>1$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x$. a) Arată că $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$ și că $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{R}$. (4 p) b) Arată că numerele $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice și determină rația. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2^{x-1}+3$. a) Precizează monotonia funcției $g$, asimptota orizontală a graficului ei și imaginea $\mathrm{Im}(g)$, apoi calculează $g(1)$. (3 p) b) Determină punctul în care graficul funcției $g$ intersectează axa $Oy$ și explică de ce graficul nu intersectează axa $Ox$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Arată că $3^x+3^{-x}\ge 2$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ și precizează pentru ce valoare a lui $x$ are loc egalitatea. (3 p) b) Determină imaginea funcției $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=2^x-1$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a^x$, cu $a>1$, este strict crescătoare. (5 p) b) Deduce că $f$ este injectivă și rezolvă, folosind această proprietate, ecuația $7^{2x-1}=7^{x+4}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=5^x$, este bijectivă. (4 p) b) Folosind punctul a), precizează câte soluții are ecuația $5^x=7$ și încadrează soluția între doi întregi consecutivi. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Ordonează crescător numerele $2^{40}$, $3^{30}$ și $10^{15}$, aducându-le la același exponent. (4 p) b) Arată că ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{60}$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$. a) Arătați că $f(x)\cdot f(2-x)=9$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$. (3 p) b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)+f(2-x)=10$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Condiția $a>0$ este necesară pentru ca $a^x$ să aibă sens la orice exponent real, iar condiția $a\ne 1$ elimină cazul degenerat $f(x)=1^x=1$, o funcție constantă, care nu este nici injectivă, nici strict monotonă.

b) C. Pentru orice bază admisibilă, $a^0=1$, deci punctul $(0,1)$ aparține tuturor graficelor. Punctul $(1,0)$ este cel comun graficelor funcțiilor logaritmice, nu exponențiale.

c) C. Puterea unei baze strict pozitive este strict pozitivă, deci valorile nu ajung niciodată la $0$; pe de altă parte, orice număr strict pozitiv este atins (funcția este surjectivă spre $(0,+\infty )$). Prin urmare imaginea este $(0,+\infty )$, interval deschis în $0$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte.

a) $f(-2)=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$.

b) $f\left(\frac{1}{2}\right)=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.

c) Folosim proprietatea de morfism: $$f(x+1)-f(x)=3^x\cdot 3-3^x=3^x(3-1)=2\cdot 3^x=2f(\mathbf{x}).$$ (Creșterea de la un pas la altul este proporțională cu valoarea curentă — trăsătura definitorie a creșterii exponențiale.)

d) $\frac{f(5)}{f(3)}=\frac{3^5}{3^3}=3^2=9$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Graficul intersectează axa $Ox$ doar dacă există $x$ cu $5^x=0$, ceea ce este imposibil: orice putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă. Axa $Ox$ este asimptotă orizontală — graficul se apropie oricât de mult de ea (spre $-\infty$), dar nu o atinge niciodată.

b) A. Baza $\frac{1}{3}$ este subunitară ($0<\frac{1}{3}<1$), iar pentru baze subunitare funcția exponențială este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) A. Deoarece ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x=4^{-x}$, avem $g(x)=f(-x)$. Or, graficul funcției $x\mapsto f(-x)$ este simetricul graficului lui $f$ față de axa $Oy$.

d) F. Dublă greșeală: pe de o parte, $2^{-2}=\frac{1}{4}\ne -4$; pe de altă parte, ecuația nu are nicio soluție, pentru că $2^x>0$ pentru orice $x$ real, iar $-4<0$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Condiția „graficul trece prin $A(3,125)$" înseamnă $f(3)=125$, adică $a^3=125$ (1 p). Cum baza trebuie să fie strict pozitivă, ecuația $a^3=125$ are o singură soluție admisibilă (1 p): $$a=\sqrt[3]{125}=5.$$ Verificăm și condiția $a\ne 1$: $5\ne 1$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Condiția devine $a^{-2}=9$, adică $\frac{1}{a^2}=9$, deci $a^2=\frac{1}{9}$ (1,5 p). Ecuația $a^2=\frac{1}{9}$ are rădăcinile $\pm \frac{1}{3}$, dar valoarea $-\frac{1}{3}$ se respinge: baza unei funcții exponențiale trebuie să fie strict pozitivă (1 p). Rămâne $$a=\frac{1}{3}.$$ Verificare: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p regula, 1 p concluzia).

a) Baza $3$ este supraunitară, deci funcția exponențială de bază $3$ este strict crescătoare; din $2,5<2,7$ rezultă $$3^{2,5}<3^{2,7}.$$

b) Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci ordinea se răstoarnă; din $1,2<1,3$ rezultă $${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1,2}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^{1,3}.$$

c) Bazele sunt diferite, deci le aducem la același exponent, grupând după divizorul comun $100$ al exponenților: $$2^{300}={\left(2^3\right)}^{100}=8^{100},3^{200}={\left(3^2\right)}^{100}=9^{100}.$$ Exponentul $100$ fiind pozitiv, ordinea bazelor se păstrează: din $8<9$ rezultă $2^{300}<3^{200}$.

d) Cele două numere sunt egale: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8$. (Compararea nu se încheie obligatoriu cu o inegalitate strictă — de aceea se aduc mai întâi la aceeași formă.)

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) — câte 1 punct. Reperul este exponentul $0$: pentru $a>1$, $a^m>1\iff m>0$; pentru $0<a<1$, $a^m>1\iff m<0$. – $5^{-0,2}<1$: bază supraunitară, exponent negativ. – $(0,7{)}^{-3}>1$: bază subunitară, exponent negativ. – ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{0,1}<1$: bază subunitară, exponent pozitiv. – ${\pi }^0=1$: orice bază strict pozitivă la puterea $0$ dă $1$.

b) (3 p) Scriem $1={\left(\frac{2}{7}\right)}^0$, deci inecuația devine ${\left(\frac{2}{7}\right)}^x>{\left(\frac{2}{7}\right)}^0$ (1 p). Baza $\frac{2}{7}$ este subunitară, deci la trecerea la exponenți sensul se schimbă (1 p): $$x<0,\text{adica˘ }x\in (-\infty ,0)$$ (1 p). (Control: pentru $x=-1$ obținem $\frac{7}{2}>1$ ✓; pentru $x=1$ obținem $\frac{2}{7}<1$ ✗.)

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Prima relație este chiar regula produsului puterilor cu aceeași bază, citită invers (2 p): $$f(x+y)=2^{x+y}=2^x\cdot 2^y=f(x)\cdot f(y).$$ A doua se obține punând $y=-x$ în prima (2 p): $$f(x)\cdot f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=2^0=1⟹f(-x)=\frac{1}{f(x)},$$ împărțirea fiind permisă pentru că $f(x)=2^x>0$, deci niciodată nul.

b) (3 p) Avem $f(1)=2$, $f(3)=8$, $f(5)=32$ (1 p). Trei numere sunt în progresie geometrică dacă termenul din mijloc verifică $f(3{)}^2=f(1)\cdot f(5)$ (1 p): $$8^2=64=2\cdot 32✓$$ Rația este $q=\frac{f(3)}{f(1)}=\frac{8}{2}=4=2^2$ (1 p). (General: valorile funcției exponențiale în puncte aflate la distanță constantă $d$ formează o progresie geometrică de rație $a^d$; aici $d=2$ și $a=2$.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Funcția $g$ se obține din $x\mapsto 2^x$ prin translații, care nu schimbă monotonia; baza $2$ fiind supraunitară, $g$ este strict crescătoare (1 p). Cum $2^{x-1}>0$ pentru orice $x$, valorile lui $g$ sunt strict mai mari decât $3$, iar $2^{x-1}$ ia toate valorile din $(0,+\infty )$; prin urmare asimptota orizontală este dreapta $y=3$, iar $\mathrm{Im}(g)=(3,+\infty )$ (1,5 p). În sfârșit, $$g(1)=2^0+3=1+3=4$$ (0,5 p).

b) (3 p) Intersecția cu axa $Oy$ se află punând $x=0$ (0,5 p): $$g(0)=2^{-1}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2},$$ deci punctul este $\left(0,\frac{7}{2}\right)$ (1,5 p). Graficul nu intersectează axa $Ox$ pentru că $g(x)>3>0$ pentru orice $x$ real, deci ecuația $g(x)=0$ nu are soluții (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Notăm $t=3^x$; atunci $3^{-x}=\frac{1}{t}$, iar $t>0$ (1 p). Inegalitatea de demonstrat devine $t+\frac{1}{t}\ge 2$, echivalentă (după înmulțirea cu $t>0$, care păstrează sensul) cu $t^2-2t+1\ge 0$, adică $(t-1{)}^2\ge 0$ (1,5 p) — inegalitate adevărată pentru orice $t$ real. Egalitatea are loc doar când $t=1$, adică $3^x=1$, deci $x=0$ (0,5 p).

b) (3 p) Cum $2^x$ parcurge exact intervalul $(0,+\infty )$ atunci când $x$ parcurge $\mathbb{R}$ (1,5 p), valorile $u(x)=2^x-1$ parcurg exact $(-1,+\infty )$ (1 p): $$\mathrm{Im}(u)=(-1,+\infty ).$$ Valoarea $-1$ nu este atinsă, pentru că ar cere $2^x=0$ (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $x_1<x_2$ numere reale. Studiem diferența, scoțând factor comun (1,5 p): $$f(x_2)-f(x_1)=a^{x_2}-a^{x_1}=a^{x_1}\left(a^{x_2-x_1}-1\right).$$ Analizăm cei doi factori. – Primul factor: $a^{x_1}>0$, pentru că orice putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă (1 p). – Al doilea factor: notăm $d=x_2-x_1>0$. Cum $a>1$ și $d>0$, avem $a^d>a^0=1$ (1,5 p), deci $a^d-1>0$. Produsul a doi factori strict pozitivi este strict pozitiv, deci $f(x_2)-f(x_1)>0$, adică $f(x_1)<f(x_2)$ (1 p). Prin urmare $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. $■$

b) (3 p) O funcție strict monotonă este injectivă: dacă am avea $f(u)=f(v)$ cu $u\ne v$, atunci una dintre inegalitățile $u<v$ sau $v<u$ ar da $f(u)\ne f(v)$, contradicție (1 p). Aplicăm pentru $a=7>1$: din $7^{2x-1}=7^{x+4}$ rezultă $$2x-1=x+4⟺x=5$$ (1,5 p). Verificare: pentru $x=5$, ambii exponenți devin $9$, deci ambii membri sunt $7^9$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Injectivitatea: baza $5$ este supraunitară, deci $f$ este strict crescătoare, prin urmare injectivă (1,5 p). Surjectivitatea: trebuie arătat că orice $b\in (0,+\infty )$ este valoare a funcției. Funcția ia valori oricât de mari (pentru $x$ mare, $5^x$ depășește orice prag, căci $5^n\ge 1+4n$) și valori oricât de mici, dar strict pozitive (pentru $x$ mare, $5^{-x}=\frac{1}{5^x}$ se apropie de $0$) (1,5 p). Cum graficul este „fără salturi", între aceste valori extreme funcția atinge orice valoare intermediară $b>0$ (0,5 p). Fiind injectivă și surjectivă spre $(0,+\infty )$, funcția $f$ este bijectivă (0,5 p).

b) (4 p) Deoarece $7\in (0,+\infty )$ și $f$ este bijectivă, ecuația $5^x=7$ are exact o soluție reală (1,5 p). Pentru încadrare, comparăm $7$ cu puteri „rotunde" ale lui $5$ (1 p): $$5^1=5<7<25=5^2.$$ Funcția fiind strict crescătoare, din $5^1<5^x<5^2$ rezultă (1,5 p) $$1<x<2.$$ (Soluția aceasta va primi, în lecțiile următoare, un nume: $x={\log }_{5}7$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Exponenții $40$, $30$ și $15$ au divizorul comun $5$, deci scriem toate numerele ca puteri cu exponentul $5$ (2 p): $$2^{40}={\left(2^8\right)}^5=256^5,3^{30}={\left(3^6\right)}^5=729^5,10^{15}={\left(10^3\right)}^5=1000^5.$$ Exponentul comun $5$ este pozitiv, deci ordinea bazelor se păstrează (1 p). Cum $256<729<1000$, obținem (1 p) $$2^{40}<3^{30}<10^{15}.$$

b) (4 p) Scriem cele două numere cu exponenți negativi (1 p): $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}=2^{-100},{\left(\frac{1}{3}\right)}^{60}=3^{-60}.$$ Comparăm întâi numerele pozitive $2^{100}$ și $3^{60}$, aducându-le la exponentul comun $20$ (1,5 p): $$2^{100}={\left(2^5\right)}^{20}=32^{20},3^{60}={\left(3^3\right)}^{20}=27^{20},$$ deci $2^{100}>3^{60}$, pentru că $32>27$ (0,5 p). Trecerea la inverse răstoarnă inegalitatea între numere strict pozitive (1 p): $$2^{-100}<3^{-60},\text{adica˘}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{60}.$$

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Folosim proprietatea de morfism (1,5 p): $$f(x)\cdot f(2-x)=3^x\cdot 3^{2-x}=3^{x+2-x}=3^2=9✓$$ (1,5 p) Relația este adevărată pentru orice $x$ real, pentru că exponenții se anulează reciproc.

b) (5 p) Notăm $t=3^x$, cu condiția $t>0$ (funcția exponențială ia numai valori strict pozitive) (1 p). Din punctul a) știm că $3^{2-x}=\frac{9}{t}$ (1 p), deci ecuația devine $$t+\frac{9}{t}=10.$$ Înmulțim cu $t>0$ și obținem $t^2-10t+9=0$, cu $\Delta =100-36=64$, deci $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}⟹t_1=1,t_2=9$$ (1,5 p). Ambele valori sunt strict pozitive, deci niciuna nu se respinge (0,5 p). Revenim la $x$: $$3^x=1\Rightarrow x=0;3^x=9=3^2\Rightarrow x=2$$ (0,5 p). Verificare în ecuația inițială: pentru $x=0$, $3^0+3^2=1+9=10$ ✓; pentru $x=2$, $3^2+3^0=9+1=10$ ✓ (0,5 p). Soluțiile sunt $x\in \{0,2\}$.