Test: funcția logaritmică

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică funcția logaritmică $f (x) = lo g_{a} x$ ca obiect matematic: nu calculul cu logaritmi, ci funcția în sine. Sunt evaluate patru lucruri. Primul, și cel mai des cerut la examen: domeniul maxim de definiție. Fiindcă logaritmul cere argument strict pozitiv, orice funcție de forma $lo g_{a} E (x)$ se însoțește de inecuația $E (x) > 0$ , iar dacă necunoscuta apare și în bază se adaugă condițiile bază $> 0$ și bază $\neq = 1$ ; testul conține patru asemenea determinări, gradate. Al doilea: graficul — trece prin $(1, 0)$ pentru orice bază, are axa $O y$ drept asimptotă verticală, urcă pentru $a > 1$ și coboară pentru $0 < a < 1$ , iar forma lui se obține din graficul exponențialei prin simetrie față de prima bisectoare $y = x$ . Al treilea: relația de inversare cu funcția exponențială, cu identitățile $a^{l o g_{a} x} = x$ și $lo g_{a} (a^{x}) = x$ , plus injectivitatea care va sta la baza ecuațiilor logaritmice. Al patrulea: motivul pentru care omenirea a inventat scările logaritmice — magnitudinea Richter și pH-ul, unde o unitate în plus înseamnă un factor de $10$ .

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice funcție care conține un logaritm se scriu întâi condițiile de existență, apoi se rezolvă inecuația; un domeniu dat fără inecuația care îl justifică nu primește punctajul întreg. Comparările se justifică prin monotonie, cu precizarea explicită a bazei. Notațiile obligatorii: $lo g_{a} x$ , $l g x$ pentru baza $10$ , $ln x$ pentru baza $e$ .
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe domeniul de definiție și pe monotonia la bază subunitară.
Formule de reținut: definiția funcției: $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Domeniul este $(0, + \infty)$ , fără excepții; imaginea este $R$ . Relația cu exponențiala: $a^{l o g_{a} x} = x (x > 0), lo g_{a} (a^{x}) = x (x \in R);$ graficele funcțiilor $lo g_{a} x$ și $a^{x}$ sunt simetrice față de dreapta $y = x$ . Monotonia: strict crescătoare pentru $a > 1$ , strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ . Injectivitatea: pentru $u, v > 0$ , $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v$ . Semnul, pentru $a > 1$ : $lo g_{a} x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ și $lo g_{a} x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ ; pentru $0 < a < 1$ semnele se inversează. Puncte fixe și asimptotă: graficul trece prin $(1, 0)$ și prin $(a, 1)$ , iar axa $O y$ este asimptotă verticală. Scări logaritmice: magnitudinea Richter $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ și $pH = - l g [H^{+}]$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Domeniu, valori și grafic

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = lo g_{2} (x - 3)$ este: A. $R$ ; B. $(3, + \infty)$ ; C. $[3, + \infty)$ ; D. $(- \infty, 3)$ .

b) Punctul prin care trec graficele tuturor funcțiilor logaritmice este: A. $(0, 1)$ ; B. $(1, 0)$ ; C. $(0, 0)$ ; D. $(1, 1)$ .

c) Funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x$ , este: A. strict crescătoare; B. strict descrescătoare; C. constantă; D. pară.

Itemul 2 (6 puncte)

Determină domeniul maxim de definiție al fiecărei funcții (câte 1,5 puncte): a) $f (x) = lo g_{3} (2 x - 6)$ ; b) $g (x) = l g (9 - x^{2})$ ; c) $h (x) = lo g_{2} \frac{x - 1}{x + 2}$ ; d) $u (x) = lo g_{x - 1} 5$ .

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Funcția logaritmică ia doar valori pozitive." b) „Graficul funcției $f (x) = lo g_{2} x$ este simetricul graficului funcției $g (x) = 2^{x}$ față de dreapta $y = x$ ." c) „Numărul $lo g_{5} 0$ există și este egal cu $0$ ." d) „Pentru $a > 1$ are loc echivalența $lo g_{a} x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ ."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Fie $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} x$ . Calculează $f (1)$ , $f (9)$ și $f (\frac{1}{27})$ . (3 p) b) Determină baza $a$ știind că graficul funcției $f (x) = lo g_{a} x$ trece prin punctul $A (16, 4)$ . (3 p)

Partea a II-a – Monotonie, semn și inversare

Itemul 5 (8 puncte)

Compară numerele, precizând de fiecare dată baza și regula folosită (câte 2 puncte): a) $lo g_{2} 5$ și $lo g_{2} 7$ ; b) $lo g_{0, 4} 3$ și $lo g_{0, 4} 5$ ; c) $lo g_{3} 4$ și $1$ ; d) $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ și $0$ .

Itemul 6 (7 puncte)

a) Determină semnul funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{\frac{1}{2}} x$ , pe tot domeniul ei de definiție. (4 p) b) Rezolvă ecuația $lo g_{2} x = lo g_{2} (3 x - 4)$ , folosind injectivitatea funcției logaritmice. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} x$ . a) Completează tabelul de valori pentru $x \in {\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8}$ și descrie forma graficului, precizând asimptota. (4 p) b) Explică de ce graficul funcției $f$ nu intersectează axa $O y$ . (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Arată că funcțiile $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} x$ , și $g : R \to (0, + \infty)$ , $g (x) = 3^{x}$ , sunt inverse una alteia. (3 p) b) Determină inversa funcției $h : R \to (0, + \infty)$ , $h (x) = 2^{x + 1}$ . (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină domeniul maxim de definiție, asimptota verticală și zeroul funcției $u (x) = lo g_{3} (x + 2) - 1$ . (3 p) b) Arată că funcția $v : (0, + \infty) \to R$ , $v (x) = lo g_{2} x$ , este surjectivă. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru $a > 1$ , funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ , este strict crescătoare. (5 p) b) Deduce injectivitatea funcției și rezolvă ecuația $lo g_{5} (x^{2} - 1) = lo g_{5} (3 x + 3)$ , scriind întâi condițiile de existență. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) a) Magnitudinea unui cutremur pe scara Richter este $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ , unde $A$ este amplitudinea înregistrată, iar $A_{0}$ este o amplitudine de referință. Calculează magnitudinea unui cutremur cu $A = 1000 A_{0}$ și determină de câte ori este mai mare amplitudinea unui cutremur de magnitudine $5$ față de a unuia de magnitudine $3$ . (4 p) b) Aciditatea unei soluții se măsoară prin $pH = - l g [H^{+}]$ , unde $[H^{+}]$ este concentrația ionilor de hidrogen, în mol/L. Calculează pH-ul unei soluții cu $[H^{+}] = 1 0^{- 4}$ mol/L și determină de câte ori este mai mică concentrația într-o soluție cu $pH = 6$ față de una cu $pH = 3$ . (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Arată că funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = l g x$ , verifică relația $f (x y) = f (x) + f (y)$ pentru orice $x, y > 0$ și deduce că $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ . (4 p) b) Arată că $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ pentru orice $x > 0$ și deduce că graficele funcțiilor $lo g_{2} x$ și $lo g_{\frac{1}{2}} x$ sunt simetrice față de axa $O x$ . (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f (x) = l g (x^{2} - 5 x + 6)$ . a) Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f$ . (3 p) b) Determinați valorile lui $x$ din domeniul funcției $f$ pentru care $f (x) = l g 2$ . (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv: $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ . Varianta C ar include $x = 3$ , pentru care argumentul ar fi $0$ , iar $lo g_{2} 0$ nu există.

b) B. Pentru orice bază admisibilă, $lo g_{a} 1 = 0$ , deci punctul $(1, 0)$ aparține tuturor graficelor. Punctul $(0, 1)$ este cel comun graficelor funcțiilor exponențiale — cele două se confundă des, iar simetria față de $y = x$ le schimbă între ele.

c) B. Baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, iar pentru baze subunitare funcția logaritmică este strict descrescătoare.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p condiția scrisă, 1 p rezolvarea).

a) Condiția de existență: $2 x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ , deci $D_{f} = (3, + \infty)$ .

b) Condiția: $9 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow x^{2} < 9 \Leftrightarrow ∣ x ∣ < 3$ , deci $D_{g} = (- 3, 3)$ .

c) Condiția: $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ . Alcătuim tabelul de semne pentru fracție, cu rădăcinile $1$ (numărător) și $- 2$ (numitor, valoare exclusă): fracția este pozitivă în afara intervalului determinat de ele, deci $D_{h} = (- \infty, - 2) \cup (1, + \infty) .$

d) Aici necunoscuta este în bază, deci condițiile sunt bază strict pozitivă și diferită de $1$ (argumentul $5$ este deja pozitiv): $x - 1 > 0 ș i x - 1 \neq = 1 ⟺ x > 1 ș i x \neq = 2,$ deci $D_{u} = (1, 2) \cup (2, + \infty)$ .

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Imaginea funcției logaritmice este întreg $R$ : ea ia și valori negative, și valoarea $0$ , și valori pozitive. Contraexemplu: $lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1 < 0$ .

b) A. Cele două funcții sunt inverse una alteia, iar graficele a două funcții inverse sunt întotdeauna simetrice față de prima bisectoare $y = x$ . Concret, dacă punctul $(m, n)$ este pe graficul lui $g$ , adică $n = 2^{m}$ , atunci $m = lo g_{2} n$ , deci punctul $(n, m)$ este pe graficul lui $f$ .

c) F. Numărul $lo g_{5} 0$ nu există: nu există niciun exponent $c$ cu $5^{c} = 0$ , pentru că orice putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă. Argumentul unui logaritm nu poate fi $0$ și nici negativ.

d) A. Pentru $a > 1$ , funcția logaritmică este strict crescătoare, iar $lo g_{a} 1 = 0$ ; prin urmare valorile pozitive se obțin exact pentru argumente mai mari decât $1$ .

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. $f (1) = lo g_{3} 1 = 0; f (9) = lo g_{3} 9 = 2 (9 = 3^{2}); f (\frac{1}{27}) = lo g_{3} 3^{- 3} = - 3 .$

b) (3 p) Condiția „graficul trece prin $A (16, 4)$ " înseamnă $lo g_{a} 16 = 4$ (1 p), adică, prin definiție, $a^{4} = 16$ (1 p). Cum baza trebuie să fie strict pozitivă, reținem doar $a = 416 = 2$ ; verificăm și $a \neq = 1$ : $2 \neq = 1$ ✓ (1 p). (Rădăcina $a = - 2$ se respinge: baza unui logaritm nu poate fi negativă.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p regula, 1 p concluzia).

a) Baza $2$ este supraunitară, deci funcția logaritmică este strict crescătoare și ordinea argumentelor se păstrează; din $5 < 7$ rezultă $lo g_{2} 5 < lo g_{2} 7.$

b) Baza $0, 4$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare și ordinea se răstoarnă; din $3 < 5$ rezultă $lo g_{0, 4} 3 > lo g_{0, 4} 5.$

c) Scriem $1 = lo g_{3} 3$ . Baza $3$ fiind supraunitară și $4 > 3$ , obținem $lo g_{3} 4 > lo g_{3} 3 = 1$ .

d) Scriem $0 = lo g_{\frac{1}{2}} 1$ . Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci ordinea se răstoarnă; din $\frac{1}{3} < 1$ rezultă $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3} > lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0.$ (Control din definiție: $(\frac{1}{2})^{c} = \frac{1}{3}$ cere $c > 1 > 0$ .)

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci $f$ este strict descrescătoare, iar valoarea $0$ se atinge în $x = 1$ , pentru că $lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0$ (1,5 p). Prin urmare: – pentru $x \in (0, 1)$ : $f (x) > 0$ (1 p); – pentru $x = 1$ : $f (x) = 0$ (0,5 p); – pentru $x \in (1, + \infty)$ : $f (x) < 0$ (1 p). (Control: $f (\frac{1}{4}) = 2 > 0$ și $f (4) = - 2 < 0$ .)

b) (3 p) Condițiile de existență se scriu întâi: $x > 0$ și $3 x - 4 > 0$ , adică $x > \frac{4}{3}$ ; intersecția lor este $x > \frac{4}{3}$ (1 p). Funcția logaritmică de bază $2$ este injectivă, deci egalitatea logaritmilor înseamnă egalitatea argumentelor (1 p): $x = 3 x - 4 ⟺ 2 x = 4 ⟺ x = 2.$ Confruntăm cu condițiile: $2 > \frac{4}{3}$ ✓, deci soluția se acceptă (0,5 p). Verificare în ecuația inițială: $lo g_{2} 2 = 1$ și $lo g_{2} (3 \cdot 2 - 4) = lo g_{2} 2 = 1$ ✓ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Tabelul se completează scriind fiecare argument ca putere a lui $2$ (2 p):

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$f (x) = lo g_{2} x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Graficul este o curbă strict crescătoare (baza $2$ este supraunitară), situată în întregime în semiplanul $x > 0$ ; taie axa $O x$ în punctul $(1, 0)$ și trece prin $(2, 1)$ (1 p). Când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive, valorile coboară nemărginit, deci axa $O y$ este asimptotă verticală (1 p). Se observă și că, la argumente care se dublează, valorile cresc cu exact $1$ — creștere foarte lentă.

b) (3 p) Axa $O y$ este mulțimea punctelor de abscisă $x = 0$ (1 p). Or, $0$ nu aparține domeniului de definiție $(0, + \infty)$ , pentru că $lo g_{2} 0$ nu există (1,5 p). Prin urmare graficul nu are niciun punct pe axa $O y$ ; el doar se apropie oricât de mult de ea, fără să o atingă — de aceea axa $O y$ se numește asimptotă verticală (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Verificăm ambele compuneri. – Pentru orice $x \in R$ : $f (g (x)) = lo g_{3} (3^{x}) = x$ , prin identitatea $lo g_{a} (a^{x}) = x$ (1,5 p). – Pentru orice $x > 0$ : $g (f (x)) = 3^{l o g_{3} x} = x$ , prin identitatea $a^{l o g_{a} x} = x$ (1,5 p). Cele două compuneri dau funcțiile identice pe domeniile respective, deci $f$ și $g$ sunt inverse una alteia.

b) (3 p) Notăm $y = h (x) = 2^{x + 1}$ , cu $y > 0$ , și exprimăm $x$ în funcție de $y$ (1 p). Aplicăm $lo g_{2}$ ambilor membri: $lo g_{2} y = lo g_{2} (2^{x + 1}) = x + 1 ⟹ x = lo g_{2} y - 1$ (1,5 p). Prin urmare $h^{- 1} : (0, + \infty) \to R$ , $h^{- 1} (y) = lo g_{2} y - 1$ (0,25 p). Verificare: $h (h^{- 1} (y)) = 2^{l o g_{2} y - 1 + 1} = 2^{l o g_{2} y} = y$ ✓; de exemplu, $h^{- 1} (8) = 3 - 1 = 2$ și $h (2) = 2^{3} = 8$ ✓ (0,25 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Condiția de existență: $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - 2$ , deci $D_{u} = (- 2, + \infty)$ (1 p). Graficul se obține din cel al lui $lo g_{3} x$ prin translație cu $2$ unități spre stânga și $1$ unitate în jos, deci asimptota verticală este dreapta $x = - 2$ (1 p). Zeroul funcției (1 p): $lo g_{3} (x + 2) - 1 = 0 ⟺ lo g_{3} (x + 2) = 1 ⟺ x + 2 = 3 ⟺ x = 1,$ valoare care respectă condiția $x > - 2$ ✓.

b) (3 p) Trebuie arătat că orice număr real $y$ este valoare a funcției (1 p). Fie $y \in R$ arbitrar și luăm $x = 2^{y}$ ; acest număr este strict pozitiv, deci aparține domeniului $(0, + \infty)$ (1 p). Atunci $v (x) = lo g_{2} (2^{y}) = y$ (1 p). Prin urmare orice $y$ real este atins, deci $v$ este surjectivă. (Fiind și injectivă, $v$ este bijectivă — de aceea admite inversa $2^{y}$ .)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $0 < x_{1} < x_{2}$ . Notăm $m = lo g_{a} x_{1}$ și $n = lo g_{a} x_{2}$ ; prin definiție (1 p), $a^{m} = x_{1}, a^{n} = x_{2} .$ Trebuie arătat că $m < n$ . Presupunem, prin absurd, că $m \geq n$ (1 p). Cum $a > 1$ , funcția exponențială de bază $a$ este strict crescătoare, deci din $m \geq n$ ar rezulta $a^{m} \geq a^{n}$ (1,5 p), adică $x_{1} \geq x_{2}$ — în contradicție cu ipoteza $x_{1} < x_{2}$ (1 p). Rămâne deci $m < n$ , adică $lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2}$ , ceea ce înseamnă că $f$ este strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ . $■$ (0,5 p)

b) (3 p) O funcție strict monotonă este injectivă, deci $lo g_{5} u = lo g_{5} v \Leftrightarrow u = v$ , pentru $u, v > 0$ (0,5 p).

Condițiile de existență, scrise întâi: $x^{2} - 1 > 0 ⟺ x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty); 3 x + 3 > 0 ⟺ x > - 1.$ Intersecția celor două este $x > 1$ (1 p).

Egalăm argumentele (1 p): $x^{2} - 1 = 3 x + 3 ⟺ x^{2} - 3 x - 4 = 0, Δ = 9 + 16 = 25 ⟹ x_{1} = 4, x_{2} = - 1.$ Confruntarea cu condițiile: $x_{1} = 4 > 1$ , deci se acceptă; $x_{2} = - 1$ nu respectă condiția $x > 1$ (de altfel, pentru $x = - 1$ ambele argumente se anulează), deci se respinge (0,25 p). Verificare pentru $x = 4$ : $x^{2} - 1 = 15$ și $3 x + 3 = 15$ , ambele strict pozitive, deci $lo g_{5} 15 = lo g_{5} 15$ ✓ (0,25 p). Mulțimea soluțiilor este $S = {4}$ .

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Pentru $A = 1000 A_{0}$ (2 p): $M = l g \frac{1000 A _{0}}{A _{0}} = l g 1000 = l g 1 0^{3} = 3 .$ Pentru a doua cerință, din $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ rezultă $\frac{A}{A _{0}} = 1 0^{M}$ , deci $A = A_{0} \cdot 1 0^{M}$ (1 p). Raportul amplitudinilor este (1 p) $\frac{A _{5}}{A _{3}} = \frac{A _{0} \cdot 1 0 ^{5}}{A _{0} \cdot 1 0 ^{3}} = 1 0^{2} = 100 .$ Amplitudinea este deci de $100$ de ori mai mare, deși magnitudinea a crescut „doar" cu $2$ unități — asta face o scară logaritmică.

b) (4 p) Pentru $[H^{+}] = 1 0^{- 4}$ (2 p): $pH = - l g 1 0^{- 4} = - (- 4) = 4 .$ Invers, din $pH = - l g [H^{+}]$ rezultă $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ (1 p), deci (1 p) $\frac{[ H ^{+} ] _{pH = 6}}{[ H ^{+} ] _{pH = 3}} = \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 3}} = 1 0^{- 3} = \frac{1}{1000} .$ Concentrația este de $1000$ de ori mai mică. (De reținut: pH mai mare înseamnă aciditate mai mică, pentru că semnul minus din formulă răstoarnă ordinea.)

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Prima relație este chiar proprietatea logaritmului produsului, valabilă pentru $x, y > 0$ (1,5 p): $f (x y) = l g (x y) = l g x + l g y = f (x) + f (y) .$ Pentru a doua, luăm $y = \frac{1}{x}$ (număr strict pozitiv, deci admisibil) (1 p): $f (x) + f (\frac{1}{x}) = f (x \cdot \frac{1}{x}) = f (1) = l g 1 = 0$ (1 p), de unde $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ (0,5 p).

b) (4 p) Aplicăm formula de schimbare a bazei către baza $2$ (1 p): $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} \frac{1}{2}} .$ Numitorul este $lo g_{2} 2^{- 1} = - 1$ (1,5 p), deci $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g _{2} x}{- 1} = - lo g_{2} x .$ Consecința grafică: dacă punctul $(m, n)$ aparține graficului lui $lo g_{2} x$ , atunci $(m, - n)$ aparține graficului lui $lo g_{\frac{1}{2}} x$ (1 p). Or, punctele $(m, n)$ și $(m, - n)$ sunt simetrice față de axa $O x$ , deci și cele două grafice sunt simetrice față de axa $O x$ (0,5 p). (Control: $lo g_{2} 8 = 3$ , iar $lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$ .)

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Condiția de existență este $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ (1 p). Rădăcinile trinomului sunt $2$ și $3$ (sumă $5$ , produs $6$ ), iar coeficientul dominant este pozitiv, deci expresia este strict pozitivă în afara rădăcinilor (1,5 p): $D_{f} = (- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ (0,5 p).

b) (5 p) Funcția logaritmică de bază $10$ este injectivă, deci egalitatea $l g (x^{2} - 5 x + 6) = l g 2$ este echivalentă, pe domeniul funcției, cu egalitatea argumentelor (1,5 p): $x^{2} - 5 x + 6 = 2 ⟺ x^{2} - 5 x + 4 = 0.$ Cu $Δ = 25 - 16 = 9$ obținem (1,5 p) $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 3}{2} ⟹ x_{1} = 1, x_{2} = 4.$ Confruntarea cu domeniul — pasul care nu se sare niciodată (1,5 p): – $x_{1} = 1 \in (- \infty, 2)$ ✓, iar argumentul devine $1 - 5 + 6 = 2 > 0$ ; – $x_{2} = 4 \in (3, + \infty)$ ✓, iar argumentul devine $16 - 20 + 6 = 2 > 0$ . Ambele valori se acceptă — nu orice a doua rădăcină se respinge; decizia se ia comparând efectiv cu condițiile, nu după semnul rădăcinii (0,25 p). Verificare în ecuația inițială: pentru $x = 1$ , $l g 2 = l g 2$ ✓; pentru $x = 4$ , $l g 2 = l g 2$ ✓ (0,25 p). Așadar $x \in {1, 4}$ .