Test: grupuri — exemple remarcabile

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Grupuri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a unității de grupuri, adică exact ceea ce programa de matematică-informatică numește „grup, exemple remarcabile". Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: definiția grupului și disciplina verificării ei, adică cei patru pași (0–3) — (0) legea nu iese din mulțime, (1) asociativitate, (2) element neutru în mulțime, (3) simetric în mulțime —, scriși în această ordine și în această numerotare, pentru că fiecare are punctajul lui separat. Al doilea: legile date printr-o formulă, unde forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ înlocuiește patru verificări cu patru rânduri de calcul. Al treilea: exemplele remarcabile cerute de programă — mulțimile de numere, matricele inversabile și familiile parametrizate de matrice, permutările, mulțimile de funcții și grupul lui Klein, clasele de resturi modulo $n$ cu cele două legi ale lor, rădăcinile de ordinul $n$ ale unității, translațiile și rotațiile cu același centru. Al patrulea: citirea tablei unei legi pe o mulțime finită — elementul neutru, simetricele, comutativitatea. Al cincilea: deosebirea dintre structură și mulțime, adică reflexul de a scrie mereu perechea, „$({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este grup", nu „${\mathbb{Q}}^{\ast }$ este grup".

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu structură de grup se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice lege dată printr-o formulă, primul rând al rezolvării este forma factorizată. Se depunctează: lipsa pasului 0, elementul neutru găsit fără verificarea apartenenței lui la mulțime, simetricul găsit fără verificarea apartenenței lui la mulțime, redemonstrarea asociativității acolo unde ea se moștenește dintr-o mulțime mai mare, compunerea permutărilor sau a funcțiilor în ordine inversă și formularea „mulțimea este grup" în locul formulării cu perechea mulțime–lege.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cei patru pași (0–3) și pe forma factorizată.
• Formule de reținut: perechea $(G,\ast )$ este grup dacă legea este asociativă, are element neutru $e$ și orice element are simetric în $G$; se numește grup comutativ dacă, în plus, $x\ast y=y\ast x$. Verificarea are patru pași (0–3): parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime. Pentru legile de forma $$x\ast y=xy-ax-ay+a^2+a=(x-a)(y-a)+a,$$ partea stabilă evidentă este $(a,+\infty )$, elementul neutru este $e=a+1$, iar simetricul lui $x$ este $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$. Matrice: $G{L}_n(\mathbb{R})=\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}$ este grup cu înmulțirea; pentru o familie cu $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, neutrul este $A(0)$ și simetricul este $A(-x)$. Permutări: $(S_n,\circ )$ este grup, cu $\mathrm{card}{S}_n=n!$, necomutativ pentru $n\ge 3$; în $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi $\tau$. Funcții: compunerea este asociativă, are neutrul $1_M$, iar simetrizabile sunt exact funcțiile bijective; grupul lui Klein este $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$, cu $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Clase de resturi: $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ, cu $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=n$, neutrul $\hat{0}$ și opusul $-\hat{a}=\widehat{n-a}$; $(U({\mathbb{Z}}_n,\cdot ),\cdot )$ este grup comutativ, unde $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$. Rădăcinile unității: $U_n=\{z\in \mathbb{C}\mid z^n=1\}$ este grup cu înmulțirea, cu $\mathrm{card}{U}_n=n$ și inversul lui $z$ egal cu $z^{n-1}$. Transformări geometrice: $t_{(a,b)}(x,y)=(x+a,y+b)$, cu $t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}=t_{(a+c,b+d)}$; $R_{\theta }$ este rotația de unghi $\theta$ în jurul originii, cu $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția grupului și grupurile de numere

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dintre structurile de mai jos, este grup: A. $(\mathbb{N},+)$; B. $(\mathbb{Z},\cdot )$; C. $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$; D. $(\mathbb{R},\cdot )$.

b) Elementul neutru al grupului $({\mathbb{Z}}_9,+)$ este: A. $\hat{1}$; B. $\hat{0}$; C. $\hat{8}$; D. $\hat{9}$.

c) Numărul elementelor grupului $(S_4,\circ )$ este: A. $8$; B. $16$; C. $24$; D. $12$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește care dintre structurile de mai jos este grup și justifică de fiecare dată răspunsul, precizând pasul care cade acolo unde structura nu este grup (câte 2 puncte): a) $(\mathbb{Z},\ast )$, cu $x\ast y=x+y-6$; b) $(\mathbb{N},\ast )$, cu aceeași lege $x\ast y=x+y-6$; c) $(\mathbb{R},\cdot )$, cu înmulțirea obișnuită a numerelor reale.

Itemul 3 (6 puncte)

Pe mulțimea $G=(24,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-24x-24y+600$. a) Arată că $x\ast y=(x-24)(y-24)+24$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și că $G$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. (3 p) b) Determină elementul neutru al legii pe $G$ și simetricul elementului $26$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Rezolvă cerințele următoare (câte 2 puncte): a) determină mulțimea $U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot )$ a claselor inversabile modulo $16$ și numărul ei de elemente; b) determină opusul clasei $\hat{9}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{14},+)$; c) rezolvă în grupul $({\mathbb{Z}}_{11},+)$ ecuația $\hat{5}+x=\hat{2}$.

Partea a II-a – Grupuri de matrice, de permutări și de funcții

Itemul 5 (8 puncte)

Pentru fiecare $a\in \mathbb{R}$ se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{cc}1+2a& 4a\\ -a& 1-2a\end{array}\right)$ și mulțimea $G=\{M(a)\mid a\in \mathbb{R}\}$. a) Arată că $M(a)\cdot M(b)=M(a+b)$ pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$ și calculează $\det M(a)$. (3 p) b) Arată, în cei patru pași (0–3), că $(G,\cdot )$ este grup comutativ. (3 p) c) Rezolvă în $G$ ecuația $M(3)\cdot X=M(7)$ și scrie soluția sub formă de matrice. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră permutările $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right)$ din grupul $(S_4,\circ )$. a) Calculează $\sigma \circ \tau$ și $\tau \circ \sigma$ și precizează ce concluzie tragi despre grupul $(S_4,\circ )$. (4 p) b) Determină simetricul lui $\sigma$ în grupul $(S_4,\circ )$ și verifică rezultatul prin compunere. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Pentru fiecare $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ se consideră funcția $g_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g_a(x)=ax+2a-2$, și mulțimea $G=\{g_a\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$. a) Arată că $g_a\circ g_b=g_{ab}$ pentru orice $a,b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. (3 p) b) Arată că $(G,\circ )$ este grup comutativ, precizând elementul neutru și simetricul lui $g_a$. (2 p) c) Rezolvă în $G$ ecuația $g_2\circ X=g_{10}$ și scrie soluția sub forma unei funcții. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ formează grup în raport cu înmulțirea matricelor." b) „Grupul $(S_n,\circ )$ este comutativ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$." c) „În grupul lui Klein, compusul a două elemente diferite între ele și diferite de elementul neutru este al treilea element diferit de elementul neutru." d) „Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n\setminus \{\hat{0}\}$ formează grup în raport cu înmulțirea claselor, pentru orice $n\ge 2$."

Partea a III-a – Clase de resturi, rădăcini ale unității, transformări geometrice

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră mulțimea $U_{12}$ a rădăcinilor de ordinul $12$ ale unității și $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{12}+i\sin \frac{2\pi }{12}$. a) Arată că $(U_{12},\cdot )$ este grup, precizând elementul neutru și inversul elementului ${\epsilon }^k$. (3 p) b) Scrie ${\epsilon }^{2030}$ și ${\epsilon }^{-5}$ ca puteri ale lui $\epsilon$ cu exponent între $0$ și $11$. (3 p)

Itemul 10 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $T$ al translațiilor planului și în grupul $\mathcal{R}$ al rotațiilor în jurul originii. a) Calculează $t_{(5,-3)}\circ t_{(-2,7)}$. (2 p) b) Rezolvă în $T$ ecuația $t_{(3,-1)}\circ x\circ t_{(-2,5)}=t_{(4,4)}$ și verifică soluția. (3 p) c) Rezolvă în $\mathcal{R}$ ecuația $R_{\frac{\pi }{6}}\circ x=R_{\frac{\pi }{2}}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră mulțimea $U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot )$ a claselor inversabile modulo $12$, împreună cu înmulțirea claselor. a) Determină elementele mulțimii $U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot )$. (2 p) b) Scrie tabla înmulțirii pe această mulțime. (3 p) c) Citește de pe tablă elementul neutru, inversul fiecărui element și comutativitatea, apoi conchide că structura este grup comutativ. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră mulțimea $H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9},\widehat{12}\}\subset {\mathbb{Z}}_{15}$, cu adunarea claselor de resturi modulo $15$. a) Scrie tabla adunării pe $H$. (3 p) b) Arată, în cei patru pași (0–3), că $(H,+)$ este grup comutativ. (3 p) c) Determină opusul fiecărui element al lui $H$ și precizează $\mathrm{card}H$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Pe mulțimea $G=(-23,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy+23x+23y+506$. a) Arătați că $x\ast y=(x+23)(y+23)-23$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ și că $G$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. (2 p) b) Arătați că $(G,\ast )$ este grup comutativ, determinând elementul neutru și simetricul unui element oarecare $x\in G$. (3 p) c) Rezolvați în $G$ ecuația $(-21)\ast x=-15$ și determinați simetricul elementului $-21$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) C. $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este grup comutativ: produsul a două numere raționale nenule este rațional nenul, înmulțirea este asociativă, $e=1$, iar $x^{-1}=\frac{1}{x}\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$. Variantele A și D cad la pasul 3 ($1$ nu are opus în $\mathbb{N}$, respectiv $0$ nu are invers), iar B cade tot la pasul 3, fiindcă $U(\mathbb{Z},\cdot )=\{-1,1\}$.

b) (2 p) B. Neutrul adunării claselor este $\hat{0}$, pentru că $\hat{a}+\hat{0}=\widehat{a+0}=\hat{a}$. Varianta D confundă clasa $\hat{9}$ cu $\hat{0}$ — în ${\mathbb{Z}}_9$ ele coincid, dar clasa se scrie redusă, $\hat{0}$.

c) (2 p) C. $\mathrm{card}{S}_n=n!$, deci $\mathrm{card}{S}_4=4!=24$.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p răspunsul, 1,5 p justificarea).

a) (2 p) Da, este grup comutativ. Pasul 0: suma a două numere întregi, micșorată cu $6$, este tot număr întreg. Pasul 1: $(x\ast y)\ast z=x+y+z-12=x\ast (y\ast z)$. Pasul 2: din $x\ast e=x$ rezultă $x+e-6=x$, deci $e=6\in \mathbb{Z}$. Pasul 3: din $x\ast x^{\prime }=6$ rezultă $x^{\prime }=12-x\in \mathbb{Z}$. Comutativitatea vine din comutativitatea adunării.

b) (2 p) Nu. Cade chiar pasul 0: pentru $x=y=1$ obținem $1\ast 1=1+1-6=-4\notin \mathbb{N}$, deci $\ast$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$ și discuția se oprește acolo. (Ar cădea și pasul 3, dacă am ajunge la el: simetricul lui $x$ ar fi $12-x$, care pentru $x=13$ dă $-1\notin \mathbb{N}$.)

c) (2 p) Nu. Pașii 0, 1 și 2 trec (produsul a două numere reale este real, înmulțirea este asociativă, $e=1$), dar cade pasul 3: din $0\cdot x^{\prime }=0\ne 1$ rezultă că $0$ nu are invers. Structura rămâne monoid; grupul se obține pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Desfacem paranteza (1 p): $$(x-24)(y-24)+24=xy-24x-24y+576+24=xy-24x-24y+600=x\ast y,$$ egalitate valabilă pentru orice numere reale (1 p). Dacă $x>24$ și $y>24$, atunci $x-24>0$ și $y-24>0$, deci $(x-24)(y-24)>0$ și $x\ast y>24$, adică $x\ast y\in G$: mulțimea $G$ este parte stabilă (1 p).

b) (3 p) Elementul neutru: din $x\ast e=x$ obținem $(x-24)(e-24)+24=x$, adică $(x-24)(e-24)=x-24$; cum $x\ne 24$, rezultă $e-24=1$, deci $e=25$, iar $25>24$, deci $e\in G$ (1,5 p). Simetricul lui $26$: din $26\ast x^{\prime }=25$ obținem $(26-24)(x^{\prime }-24)=1$, adică $2(x^{\prime }-24)=1$, deci $x^{\prime }=\frac{49}{2}\in G$ (1 p). Verificare: $26\ast \frac{49}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+24=25$ ✓ (0,5 p).

Itemul 4. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) Clasa $\hat{a}$ este inversabilă modulo $16$ dacă și numai dacă $(a,16)=1$, adică dacă $a$ este impar. Prin urmare $$U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{15}\right\},\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot )=8.$$

b) (2 p) $-\hat{9}=\widehat{14-9}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{9}+\hat{5}=\widehat{14}=\hat{0}$ ✓

c) (2 p) Adunăm opusul lui $\hat{5}$, adică $\widehat{11-5}=\hat{6}$: $x=\hat{6}+\hat{2}=\hat{8}$. Verificare: $\hat{5}+\hat{8}=\widehat{13}=\hat{2}$ ✓ (Se obținea și direct din formula $x=\widehat{b-a}=\widehat{2-5}=\widehat{-3}=\hat{8}$.)

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Înmulțim matricele element cu element. Colțul stânga-sus: $(1+2a)(1+2b)+4a\cdot (-b)=1+2a+2b+4ab-4ab=1+2(a+b)$. Dreapta-sus: $(1+2a)\cdot 4b+4a(1-2b)=4b+8ab+4a-8ab=4(a+b)$. Stânga-jos: $-a(1+2b)+(1-2a)(-b)=-a-2ab-b+2ab=-(a+b)$. Dreapta-jos: $-a\cdot 4b+(1-2a)(1-2b)=-4ab+1-2a-2b+4ab=1-2(a+b)$ (2 p). Punând totul la un loc, $$M(a)\cdot M(b)=\left(\begin{array}{cc}1+2(a+b)& 4(a+b)\\ -(a+b)& 1-2(a+b)\end{array}\right)=M(a+b).$$ De asemenea $\det M(a)=(1+2a)(1-2a)-4a\cdot (-a)=1-4a^2+4a^2=1$ pentru orice $a$ (1 p).

b) (3 p) Pasul 0: din a), $M(a)M(b)=M(a+b)\in G$, pentru că $a+b\in \mathbb{R}$ (0,75 p). Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$; nu se redemonstrează (0,75 p). Pasul 2: $M(0)=I_2\in G$ și $M(a)M(0)=M(a)=M(0)M(a)$, deci $e=I_2$ (0,75 p). Pasul 3: $M(a)M(-a)=M(0)=I_2=M(-a)M(a)$, deci simetricul lui $M(a)$ este $M(-a)\in G$ (0,5 p). Comutativitatea: $M(a)M(b)=M(a+b)=M(b+a)=M(b)M(a)$ (0,25 p).

c) (2 p) Înmulțim la stânga cu simetricul lui $M(3)$, adică cu $M(-3)$: $X=M(-3)M(7)=M(4)$ (1 p), adică $$X=\left(\begin{array}{cc}9& 16\\ -4& -7\end{array}\right).$$ Verificare: $M(3)M(4)=M(7)=\left(\begin{array}{cc}15& 28\\ -7& -13\end{array}\right)$ ✓ (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) În $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi $\tau$, apoi $\sigma$ (0,5 p): $$(\sigma \circ \tau )(1)=\sigma (2)=4,(\sigma \circ \tau )(2)=\sigma (3)=2,(\sigma \circ \tau )(3)=\sigma (1)=3,(\sigma \circ \tau )(4)=\sigma (4)=1,$$ deci $\sigma \circ \tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right)$ (1,5 p). Analog, aplicând întâi $\sigma$: $$(\tau \circ \sigma )(1)=\tau (3)=1,(\tau \circ \sigma )(2)=\tau (4)=4,(\tau \circ \sigma )(3)=\tau (2)=3,(\tau \circ \sigma )(4)=\tau (1)=2,$$ deci $\tau \circ \sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 3& 2\end{array}\right)$ (1,5 p). Cele două rezultate sunt diferite, deci grupul $(S_4,\circ )$ nu este comutativ (0,5 p).

b) (3 p) Din $\sigma (1)=3$, $\sigma (2)=4$, $\sigma (3)=2$, $\sigma (4)=1$ citim invers: ${\sigma }^{-1}(3)=1$, ${\sigma }^{-1}(4)=2$, ${\sigma }^{-1}(2)=3$, ${\sigma }^{-1}(1)=4$ (1 p). Reordonând coloanele după linia de sus, $${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 1& 2\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare: $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(1)=\sigma (4)=1$, $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(2)=\sigma (3)=2$, $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(3)=\sigma (1)=3$, $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(4)=\sigma (2)=4$, deci compunerea este permutarea identică ✓ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Aplicăm întâi $g_b$ (0,5 p): $$(g_a\circ g_b)(x)=g_a(bx+2b-2)=a(bx+2b-2)+2a-2=abx+2ab-2a+2a-2=abx+2ab-2,$$ (2 p) iar ultima expresie este exact $g_{ab}(x)$. Egalitatea are loc pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $g_a\circ g_b=g_{ab}$ (0,5 p).

b) (2 p) Pasul 0: din $a\ne 0$ și $b\ne 0$ rezultă $ab\ne 0$, deci $g_{ab}\in G$ (0,5 p). Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la compunerea funcțiilor (0,5 p). Pasul 2: $g_1(x)=1\cdot x+2-2=x$, deci $g_1=1_{\mathbb{R}}$ este elementul neutru și aparține lui $G$ (0,5 p). Pasul 3: $g_a\circ g_{1/a}=g_1=g_{1/a}\circ g_a$, deci simetricul lui $g_a$ este $g_{1/a}\in G$; comutativitatea vine din $g_a\circ g_b=g_{ab}=g_{ba}=g_b\circ g_a$ (0,5 p).

c) (2 p) Compunem la stânga cu simetricul lui $g_2$, adică cu $g_{1/2}$: $X=g_{1/2}\circ g_{10}=g_{\frac{1}{2}\cdot 10}=g_5$ (1 p), adică $X(x)=5x+8$. Verificare: $(g_2\circ g_5)(x)=2(5x+8)+2=10x+18=g_{10}(x)$ ✓ (1 p).

Itemul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Înmulțirea matricelor este asociativă și are elementul neutru $I_2$, deci structura este monoid, dar matricele cu determinantul nul — de pildă $O_2$ — nu au inversă, deci cade pasul 3. Grupul se obține pe $G{L}_2(\mathbb{R})$.

b) (1,5 p) F. $S_1$ și $S_2$ sunt comutative, dar pentru $n\ge 3$ grupul nu este. Contraexemplu în $S_3$, cu numele fixate la lecție: ${\sigma }_4\circ {\sigma }_3={\sigma }_2$, în timp ce ${\sigma }_3\circ {\sigma }_4={\sigma }_1$.

c) (1,5 p) A. Tabla grupului lui Klein dă $f_2\circ f_3=f_4$, $f_2\circ f_4=f_3$ și $f_3\circ f_4=f_2$; în forma abstractă $\{e,a,b,c\}$, relațiile sunt $a\ast b=c$, $a\ast c=b$, $b\ast c=a$.

d) (1,5 p) F. Pentru $n$ compus mulțimea claselor nenule nu este nici măcar parte stabilă: în ${\mathbb{Z}}_6$ avem $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$. Grupul corect este $(U({\mathbb{Z}}_n,\cdot ),\cdot )$.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Pasul 0: dacă $z^{12}=1$ și $w^{12}=1$, atunci $(zw{)}^{12}=z^{12}{w}^{12}=1$, deci $zw\in U_{12}$ (1 p). Pasul 1: asociativitatea și comutativitatea se moștenesc de la înmulțirea numerelor complexe (0,5 p). Pasul 2: $1^{12}=1$, deci $1\in U_{12}$, iar $1\cdot z=z\cdot 1=z$; elementul neutru este $1$ (0,75 p). Pasul 3: din $z^{12}=1$ rezultă $z\cdot z^{11}=1$, deci inversul lui $z$ este $z^{11}\in U_{12}$; în particular ${\left({\epsilon }^k\right)}^{-1}={\epsilon }^{12-k}$ pentru $k=1,\dots ,11$ (0,75 p).

b) (3 p) Împărțim exponentul la $12$ cu rest: $2030=12\cdot 169+2$ (1 p), deci $${\epsilon }^{2030}={\left({\epsilon }^{12}\right)}^{169}\cdot {\epsilon }^2={\epsilon }^2$$ (1 p). Pentru exponentul negativ, ${\epsilon }^{-5}={\epsilon }^{-5}\cdot {\epsilon }^{12}={\epsilon }^7$ (0,5 p). Verificare: ${\epsilon }^5\cdot {\epsilon }^7={\epsilon }^{12}=1$ ✓ (0,5 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (2 p) La compunerea translațiilor coordonatele se adună: $$t_{(5,-3)}\circ t_{(-2,7)}=t_{(5-2,-3+7)}=t_{(3,4)}.$$

b) (3 p) Compunem la stânga cu $t_{(-3,1)}$ și la dreapta cu $t_{(2,-5)}$, adică cu simetricele celor două translații date (1 p): $$x=t_{(-3,1)}\circ t_{(4,4)}\circ t_{(2,-5)}=t_{(-3+4+2,1+4-5)}=t_{(3,0)}$$ (1,5 p). Verificare: $t_{(3,-1)}\circ t_{(3,0)}\circ t_{(-2,5)}=t_{(3+3-2,-1+0+5)}=t_{(4,4)}$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Compunem la stânga cu simetricul lui $R_{\frac{\pi }{6}}$, care este $R_{2\pi -\frac{\pi }{6}}=R_{\frac{11\pi }{6}}$ (1 p): $$x=R_{\frac{11\pi }{6}}\circ R_{\frac{\pi }{2}}=R_{\frac{11\pi }{6}+\frac{3\pi }{6}}=R_{\frac{14\pi }{6}}=R_{\frac{7\pi }{3}}=R_{\frac{\pi }{3}},$$ unde ultimul pas este reducerea modulo $2\pi$ (1,5 p). Verificare: $R_{\frac{\pi }{6}}\circ R_{\frac{\pi }{3}}=R_{\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{6}}=R_{\frac{\pi }{2}}$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) Sunt inversabile clasele $\hat{a}$ cu $(a,12)=1$, adică acelea al căror reprezentant nu se divide nici cu $2$, nici cu $3$: $$U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\right\}.$$

b) (3 p) Calculăm fiecare produs și îl reducem modulo $12$: $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$, $\hat{5}\cdot \hat{7}=\widehat{35}=\widehat{11}$, $\hat{5}\cdot \widehat{11}=\widehat{55}=\hat{7}$, $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{1}$, $\hat{7}\cdot \widehat{11}=\widehat{77}=\hat{5}$, $\widehat{11}\cdot \widehat{11}=\widehat{121}=\hat{1}$ (1,5 p). Tabla este (1,5 p):

c) (3 p) În tablă apar numai elemente din mulțime, deci pasul 0 este verificat, iar asociativitatea se moștenește de la înmulțirea claselor de resturi (1 p). Linia lui $\hat{1}$ reproduce capul de tabel și coloana lui $\hat{1}$ reproduce prima coloană, deci elementul neutru este $\hat{1}$ (0,75 p). Diagonala principală conține numai $\hat{1}$, deci fiecare element este propriul său invers: ${\hat{5}}^{-1}=\hat{5}$, ${\hat{7}}^{-1}=\hat{7}$, ${\widehat{11}}^{-1}=\widehat{11}$ (0,75 p). Tabla este simetrică față de diagonala principală, deci legea este comutativă; prin urmare $(U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot ),\cdot )$ este grup comutativ, cu $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot )=4$ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Adunăm reprezentanții și reducem modulo $15$: $\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}$, $\hat{3}+\hat{6}=\hat{9}$, $\hat{3}+\hat{9}=\widehat{12}$, $\hat{3}+\widehat{12}=\widehat{15}=\hat{0}$, $\hat{6}+\hat{6}=\widehat{12}$, $\hat{6}+\hat{9}=\widehat{15}=\hat{0}$, $\hat{6}+\widehat{12}=\widehat{18}=\hat{3}$, $\hat{9}+\hat{9}=\widehat{18}=\hat{3}$, $\hat{9}+\widehat{12}=\widehat{21}=\hat{6}$, $\widehat{12}+\widehat{12}=\widehat{24}=\hat{9}$ (1,5 p). Tabla este (1,5 p):

b) (3 p) Pasul 0: în toată tabla nu apare niciun element din afara lui $H$, deci $H$ este parte stabilă și adunarea induce pe $H$ o lege de compoziție (1 p). Pasul 1: adunarea claselor este asociativă pe tot ${\mathbb{Z}}_{15}$, proprietate moștenită de la adunarea numerelor întregi; cu atât mai mult este asociativă pe $H$ (0,75 p). Pasul 2: linia lui $\hat{0}$ reproduce capul de tabel, iar $\hat{0}\in H$, deci elementul neutru este $\hat{0}$ (0,75 p). Pasul 3: în fiecare linie apare $\hat{0}$, deci fiecare element are opus în $H$ (0,5 p). Comutativitatea se citește din simetria tablei față de diagonala principală.

c) (2 p) Opusele, citite din pozițiile lui $\hat{0}$ din tablă: $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{3}=\widehat{12}$, $-\hat{6}=\hat{9}$, $-\hat{9}=\hat{6}$, $-\widehat{12}=\hat{3}$ (1,5 p). Grupul are $\mathrm{card}H=5$ elemente (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Desfacem paranteza: $(x+23)(y+23)-23=xy+23x+23y+529-23=xy+23x+23y+506=x\ast y$, egalitate valabilă pentru orice numere reale (1 p). Dacă $x>-23$ și $y>-23$, atunci $x+23>0$ și $y+23>0$, deci $(x+23)(y+23)>0$ și $x\ast y>-23$: mulțimea $G$ este parte stabilă (1 p).

b) (3 p) Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=((x+23)(y+23)-23+23)(z+23)-23=(x+23)(y+23)(z+23)-23$, iar $x\ast (y\ast z)$ dă aceeași expresie, simetrică în cele trei variabile (1 p). Elementul neutru: din $(x+23)(e+23)-23=x$ obținem $(x+23)(e+23)=x+23$; cum $x+23\ne 0$, rezultă $e+23=1$, deci $e=-22$, iar $-22>-23$, deci $e\in G$ (1 p). Simetricul: din $(x+23)(x^{\prime }+23)-23=-22$ obținem $(x+23)(x^{\prime }+23)=1$, deci $x^{\prime }=-23+\frac{1}{x+23}$; cum $x>-23$, avem $\frac{1}{x+23}>0$, deci $x^{\prime }>-23$ și $x^{\prime }\in G$ (0,75 p). Comutativitatea rezultă din simetria formei factorizate în $x$ și $y$; prin urmare $(G,\ast )$ este grup comutativ (0,25 p).

c) (3 p) Ecuația $(-21)\ast x=-15$ se scrie, cu forma factorizată, $(-21+23)(x+23)-23=-15$, adică $2(x+23)=8$ (1 p), deci $x+23=4$ și $x=-19\in G$ (0,75 p). Verificare: $(-21)\ast (-19)=399-483-437+506=-15$ ✓ (0,25 p). Simetricul lui $-21$ se obține din $(-21+23)(x^{\prime }+23)=1$, adică $2(x^{\prime }+23)=1$, deci $x^{\prime }+23=\frac{1}{2}$ și $x^{\prime }=-\frac{45}{2}\in G$ (0,75 p). Verificare: $(-21)\ast \left(-\frac{45}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-23=-22=e$ ✓ (0,25 p).