Test: hiperbola și parabola

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Conice

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă cele cinci lecții dedicate hiperbolei și parabolei și verifică cinci lucruri. Primul: definițiile geometrice — modulul diferenței distanțelor la focare, constant și egal cu $2a$, cu condiția $0<a<c$ la hiperbolă; egalitatea dintre distanța la focar și distanța la directoare la parabolă — împreună cu deducerea ecuațiilor canonice. Al doilea: relația dintre parametri, $c^2=a^2+b^2$ la hiperbolă, cu observația că acolo $c$ este cel mai mare dintre cele trei numere, spre deosebire de elipsă. Al treilea: asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$, scrise cu scurtătura „înlocuiește $1$ cu $0$ și factorizează" și demonstrate cu procedura în trei pași a asimptotei oblice, plus dreptunghiul fundamental, ale cărui diagonale sunt asimptotele și a cărui semidiagonală este $c$. Al patrulea: hiperbola echilateră, cu excentricitatea $\sqrt{2}$ pentru orice mărime, și trecerea la forma raportată la asimptote prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, care duce $x^2-y^2=a^2$ în $xy=\frac{a^2}{2}$. Al cincilea: parabola — parametrul ca distanță de la focar la directoare, focarul la $\frac{p}{2}$ de vârf, raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$, coarda dusă prin focar și cele patru orientări, citite după regula „pătratul spune axa, semnul spune sensul".

Testul cere o redactare pe care baremele o punctează literal: tipul și orientarea, spuse explicit → elementele scrise ca listă → verificarea apartenenței prin substituție → calculul cerut. Cea mai costisitoare greșeală rămâne aceeași de la an la an: focarul parabolei așezat la distanța $p$ de vârf, în loc de $\frac{p}{2}$, care dublează toate rezultatele care urmează.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la asimptote se cer limitele scrise, nu doar dreapta.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: formula $c=\sqrt{a^2-b^2}$ folosită la hiperbolă; panta asimptotelor scrisă $\frac{a}{b}$; afirmația că hiperbola își atinge asimptotele; capătul $-\infty$ tratat „prin simetrie", fără calculul separat al limitelor; parametrul citit ca fiind coeficientul întreg al variabilei de gradul întâi; și confuzia dintre axa de simetrie și sensul deschiderii la cele patru orientări ale parabolei.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor despre elementele hiperbolei și despre elementele parabolei, cu accent pe tabelul orientărilor.
• Formule de reținut: Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, definită prin $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$, cu $c=\sqrt{a^2+b^2}$, vârfurile $(\pm a,0)$, focarele $(\pm c,0)$, excentricitatea $e=\frac{c}{a}>1$ și asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$. Razele focale la hiperbolă: $MF=|ex-a|$ și $M{F}^{\prime }=|ex+a|$. Legătura cu excentricitatea: $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$. Dreptunghiul fundamental: vârfurile $(\pm a,\pm b)$; diagonalele lui sunt asimptotele, iar semidiagonala are lungimea $c$. Funcțiile-ramură ale hiperbolei: $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$, pe $(-\infty ,-a]\cup [a,+\infty )$. Distanța la o asimptotă: pentru $M$ pe ramura din dreapta și asimptota $bx-ay=0$, $d(M)=\frac{a^{2}b}{c\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)}$, iar produsul distanțelor la cele două asimptote este $\frac{a^2{b}^2}{c^2}$, constant. Hiperbola echilateră: $a=b$, deci $x^2-y^2=a^2$, cu asimptotele $y=\pm x$ și $e=\sqrt{2}$; rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, $X=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$, $Y=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$, o duce în $xy=\frac{a^2}{2}$, unde $a=b=\sqrt{2k}$, asimptotele sunt axele, vârfurile sunt $\left(\pm \sqrt{k},\pm \sqrt{k}\right)$ și focarele $\left(\pm \sqrt{2k},\pm \sqrt{2k}\right)$, cu semnele luate simultan. Parabola: $y^2=2px$, definită prin $MF=d(M,d)$, cu parametrul $p$ egal cu distanța de la focar la directoare, focarul $\left(\frac{p}{2},0\right)$, directoarea $x=-\frac{p}{2}$, vârful $O$, raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$ și coarda dusă prin focar, perpendicular pe axă, de lungime $2p$. Cele patru orientări: $y^2=2px$ (spre dreapta), $y^2=-2px$ (spre stânga), $x^2=2py$ (în sus), $x^2=-2py$ (în jos) — pătratul spune axa, semnul spune sensul. Antena parabolică de diametru $D$ și adâncime $h$: din marginea $\left(h,\frac{D}{2}\right)$ rezultă $2p=\frac{D^2}{4h}$, iar receptorul se montează în focar.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Onestitate despre examen: în subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă a clasei a XII-a. Formatul cu trei subpuncte folosit la itemul $11$ anticipează structura cerinței, nu prezența ei în variantele publicate până acum. Procedura în trei pași a asimptotei oblice, folosită aici pe funcțiile-ramură ale hiperbolei, este în schimb materie curentă de examen, în capitolul de analiză.

Itemi

Partea I – Hiperbola: definiție, ecuație, elemente

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) La hiperbolă, legătura dintre parametri este: A. $c=\sqrt{a^2-b^2}$; B. $c=\sqrt{a^2+b^2}$; C. $c=a+b$; D. $c=b-a$.

b) Asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=1$ sunt dreptele: A. $y=\pm \frac{4}{3}x$; B. $y=\pm \frac{3}{4}x$; C. $y=\pm \frac{5}{4}x$; D. $y=\pm \frac{4}{5}x$.

c) Focarul parabolei $y^2=48x$ este punctul: A. $(48,0)$; B. $(24,0)$; C. $(12,0)$; D. $(6,0)$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „La hiperbolă, semiaxa reală $a$ este întotdeauna mai mare decât semiaxa imaginară $b$." b) „Graficul unei hiperbole își intersectează asimptotele în două puncte." c) „Parabola are două focare și o directoare." d) „Excentricitatea oricărei hiperbole echilatere este $\sqrt{2}$, indiferent de mărimea ei."

Itemul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare conică, precizează tipul și determină elementele ei caracteristice (câte 2 puncte): a) $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=1$; b) $y^2=48x$; c) $xy=98$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=1$ și punctul $M(20,12)$.

a) Determină $c$, coordonatele focarelor și excentricitatea. (2 p) b) Arată, prin substituție, că $M$ aparține hiperbolei. (2 p) c) Calculează razele focale ale lui $M$ cu formula $MF=|ex-a|$ și verifică definiția geometrică folosind formula distanței. (3 p)

Partea a II-a – Asimptote, hiperbola echilateră și parabola

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră punctele $F(15,0)$ și $F^{\prime }(-15,0)$ și mulțimea punctelor $M$ din plan cu proprietatea $|MF-M{F}^{\prime }|=24$.

a) Justifică faptul că mulțimea este o hiperbolă și precizează valorile lui $a$ și $c$. (2 p) b) Deduce ecuația canonică, folosind diferența pătratelor razelor focale și apoi o ridicare la pătrat. (5 p) c) Scrie ecuațiile asimptotelor curbei obținute. (1 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=1$.

a) Scrie asimptotele sub formă generală, fără fracții, folosind scurtătura „înlocuiește $1$ cu $0$". (2 p) b) Arată, cu procedura în trei pași a asimptotei oblice, că dreapta $y=\frac{3}{4}x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției-ramură $f(x)=\frac{3}{4}\sqrt{x^2-144}$. (4 p) c) Construiește dreptunghiul fundamental al hiperbolei și verifică prin calcul că semidiagonala lui este egală cu $c$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Arată că hiperbola $x^2-y^2=196$ este echilateră și determină-i semiaxele, focarele și excentricitatea. (3 p) b) Determină imaginea ei prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în originea reperului. (2 p) c) Determină semiaxele, vârfurile, focarele și asimptotele curbei obținute la subpunctul b). (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Determină parametrul, focarul, directoarea și lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă, la parabola $y^2=48x$. (3 p) b) Precizează, pentru fiecare dintre parabolele $y^2=-48x$, $x^2=24y$ și $x^2=-32y$, sensul deschiderii, axa de simetrie, focarul și directoarea. (3 p) c) Precizează care dintre cele patru parabole de mai sus sunt grafice de funcții și scrie funcțiile respective. (1 p)

Partea a III-a – Raze focale, aplicație și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră parabola $y^2=48x$.

a) Determină punctele parabolei situate la distanța $39$ de focar. (3 p) b) Arată că punctul $(3,12)$ aparține parabolei și verifică pentru el definiția geometrică. (3 p) c) (Problemă aplicată.) O antenă parabolică are diametrul la gură de $60$ de centimetri și adâncimea de $18$ centimetri. Scrie ecuația secțiunii ei axiale și determină la ce distanță de vârf se montează receptorul. (4 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=1$ și punctul $M(20,12)$ al ei.

a) Calculează distanța de la $M$ la asimptota $3x-4y=0$. (3 p) b) Calculează produsul distanțelor de la $M$ la cele două asimptote și arată că el este egal cu $\frac{a^2{b}^2}{c^2}$. (4 p) c) Scrie funcțiile-ramură ale hiperbolei, cu domeniul lor, și calculează valoarea ramurii de sus în $x=20$. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea.) Se consideră parabola de ecuație $x^2=24y$.

a) Determinați parametrul, vârful, axa de simetrie, focarul și directoarea parabolei. (5 p) b) Arătați că punctul $M(12,6)$ aparține parabolei și verificați că distanța de la $M$ la focar este egală cu distanța de la $M$ la directoare. (5 p) c) Arătați că parabola este graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{24}$, și determinați lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axa parabolei. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. La hiperbolă focarele sunt mai depărtate de centru decât vârfurile, deci $c>a$, iar sub radical stă suma. Regula de reținut: la ambele conice cu centru, pătratul celui mai mare dintre numere este suma celorlalte două pătrate — la elipsă cel mai mare este $a$, la hiperbolă este $c$.

b) B. Panta asimptotelor este $\frac{b}{a}$, adică semiaxa de sub termenul cu semnul minus împărțită la cea de sub termenul cu semnul plus. Aici $a=12$, $b=9$, deci panta este $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. Se verifică și cu scurtătura: din $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=0$ rezultă $\left(\frac{x}{12}-\frac{y}{9}\right)\left(\frac{x}{12}+\frac{y}{9}\right)=0$.

c) C. Coeficientul lui $x$ este dublul parametrului, deci $p=24$, iar focarul se află la jumătatea acestei valori de vârf: $\left(\frac{p}{2},0\right)=(12,0)$. Directoarea este $x=-12$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. La hiperbolă nu există nicio inegalitate impusă între $a$ și $b$; singura obligatorie este $c>a$. Semiaxa reală este cea de sub termenul pozitiv, indiferent de mărime — de pildă $\frac{x^2}{81}-\frac{y^2}{144}=1$ are $a=9<12=b$.

b) F. Diferența dintre ordonata asimptotei și cea a ramurii este $\frac{b}{a}\cdot \frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$, strict pozitivă pentru orice $x\ge a$. Ea tinde la zero, deci curba se apropie oricât de mult, dar nu se anulează niciodată: nu există punct comun.

c) F. Parabola are un singur focar și o directoare; nu are al doilea focar, nu are distanță focală și nu are centru de simetrie, pentru că se află în întregime de aceeași parte a directoarei. Elipsa și hiperbola au câte două focare, dar nu au directoare în acest capitol.

d) A. Din $a=b$ rezultă $c=a\sqrt{2}$, deci $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$, valoare independentă de $a$. De aceea toate hiperbolele echilatere sunt asemenea între ele, iar asimptotele lor, $y=\pm x$, sunt perpendiculare.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Două pătrate cu semnul minus: hiperbolă cu axa transversă $Ox$, cu $a=12$ și $b=9$. Atunci $c=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$: vârfurile sunt $(\pm 12,0)$, focarele $(\pm 15,0)$, excentricitatea $e=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$, iar asimptotele $y=\pm \frac{3}{4}x$.

b) Un singur pătrat, cel al lui $y$: parabolă cu axa de simetrie $Ox$, deschisă spre dreapta. Coeficientul lui $x$ fiind $48$, parametrul este $p=24$: vârful este $O$, focarul $(12,0)$, directoarea $x=-12$, iar coarda dusă prin focar, perpendicular pe axă, are lungimea $48$.

c) Un produs, fără pătrate: hiperbolă echilateră raportată la asimptote, cu $a=b=\sqrt{2\cdot 98}=14$ și $c=a\sqrt{2}=14\sqrt{2}$. Vârfurile sunt $\left(\pm 7\sqrt{2},\pm 7\sqrt{2}\right)$ și focarele $(\pm 14,\pm 14)$, cu semnele luate simultan; excentricitatea este $\sqrt{2}$, iar asimptotele sunt axele de coordonate.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Din numitori, $a=12$ și $b=9$, deci $c=\sqrt{144+81}=15$ (1 p); focarele sunt $F(15,0)$ și $F^{\prime }(-15,0)$, iar $e=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$ (1 p).

b) (2 p) Substituim coordonatele lui $M$: $$\frac{400}{144}-\frac{144}{81}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$$ ✓ (2 p).

c) (3 p) Cu $e=\frac{5}{4}$ și $a=12$: $$MF=\left|\frac{5}{4}\cdot 20-12\right|=13,M{F}^{\prime }=\left|\frac{5}{4}\cdot 20+12\right|=37$$ (1,5 p), deci $|MF-M{F}^{\prime }|=24=2a$ ✓ (0,5 p). Confirmare cu formula distanței: $$MF=\sqrt{(20-15{)}^2+144}=\sqrt{169}=13,M{F}^{\prime }=\sqrt{(20+15{)}^2+144}=\sqrt{1369}=37$$ ✓ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Distanța dintre focare este $F{F}^{\prime }=30$, deci $c=15$, iar constanta din definiție este $2a=24$, deci $a=12$ (1 p). Cum $0<a<c$, condiția din definiție este îndeplinită și mulțimea este o hiperbolă (1 p).

b) (5 p) Notăm $r=MF$ și $r^{\prime }=M{F}^{\prime }$; condiția se scrie $r^{\prime }=r\pm 24$ (0,5 p). Ridicând la pătrat, $r^{\prime 2}-r^2=\pm 48r+576$, iar diferența pătratelor se calculează direct, fără radicali (1,5 p): $$r^{\prime 2}-r^2=(x+15{)}^2-(x-15{)}^2=60x.$$ Egalând cele două expresii și împărțind prin $4$ obținem $15x-144=\pm 12r$, adică $5x-48=\pm 4r$ (1 p). Ridicăm la pătrat, iar semnul dispare — semn că ambele ramuri au aceeași ecuație (0,5 p): $$25x^2-480x+2304=16\left[(x-15{)}^2+y^2\right]⟺9x^2-16y^2=1296$$ (1 p). Împărțind prin $1296$ obținem ecuația canonică $$\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=1$$ (0,5 p).

c) (1 p) Cu $a=12$ și $b=9$, asimptotele sunt $y=\frac{3}{4}x$ și $y=-\frac{3}{4}x$.

Itemul 6. (8 p)

a) (2 p) Înlocuim $1$ cu $0$ și factorizăm diferența de pătrate (1 p): $$\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=0⟺\left(\frac{x}{12}-\frac{y}{9}\right)\left(\frac{x}{12}+\frac{y}{9}\right)=0,$$ deci asimptotele sunt $3x-4y=0$ și $3x+4y=0$ (1 p).

b) (4 p) Cum $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, nu există asimptotă orizontală spre $+\infty$ și are rost să căutăm una oblică (0,5 p). Pasul 1 — panta: pentru $x>0$ avem $\sqrt{x^2-144}=x\sqrt{1-\frac{144}{x^2}}$, deci $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\frac{3}{4}\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{144}{x^2}}=\frac{3}{4}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$ (1,5 p). Pasul 2 — termenul liber: amplificăm cu conjugata, $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3}{4}\sqrt{x^2-144}-\frac{3}{4}x\right)=\frac{3}{4}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-144}{\sqrt{x^2-144}+x}=0\in \mathbb{R}$$ (1,5 p). Pasul 3 — concluzia: dreapta $y=\frac{3}{4}x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ (0,5 p).

c) (2 p) Dreptunghiul fundamental are vârfurile $(\pm 12,\pm 9)$ și laturile pe dreptele $x=\pm 12$, $y=\pm 9$ (1 p). Semidiagonala lui măsoară $\sqrt{144+81}=15=c$ ✓, deci cercul de rază $15$ centrat în origine trece prin vârfurile dreptunghiului și taie axa $Ox$ chiar în focare (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Scrisă sub formă canonică, ecuația este $\frac{x^2}{196}-\frac{y^2}{196}=1$, deci $a=b=14$: hiperbola este echilateră (1 p). Atunci $c=\sqrt{196+196}=14\sqrt{2}$, focarele sunt $\left(\pm 14\sqrt{2},0\right)$ (1 p), iar $e=\frac{14\sqrt{2}}{14}=\sqrt{2}$; asimptotele $y=\pm x$ sunt perpendiculare (1 p).

b) (2 p) Rotația inversă dă $x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ și $y=\frac{Y-X}{\sqrt{2}}$, deci $$x^2-y^2=\frac{(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2}{2}=\frac{4XY}{2}=2XY$$ (1,5 p). Condiția $x^2-y^2=196$ devine $2XY=196$, adică imaginea este curba $xy=98$ (0,5 p).

c) (2 p) Rotația este o izometrie, deci semiaxele rămân $a=b=14$, iar excentricitatea $\sqrt{2}$ (0,5 p). Vârfurile $(\pm 14,0)$ se duc în $\left(\pm 7\sqrt{2},\pm 7\sqrt{2}\right)$, iar focarele $\left(\pm 14\sqrt{2},0\right)$ în $(\pm 14,\pm 14)$, cu semnele luate simultan (1 p); asimptotele devin exact axele de coordonate (0,5 p). Control: vârfurile au produsul coordonatelor $98$, adică sunt pe curbă, iar focarele îl au $196$, deci sunt în interiorul ramurilor ✓.

Itemul 8. (7 p)

a) (3 p) Coeficientul lui $x$ este $48$, iar el este dublul parametrului, deci $p=24$ (1 p). Focarul este $\left(\frac{p}{2},0\right)=(12,0)$, iar directoarea $x=-12$ (1 p). Coarda dusă prin focar are capetele $(12,24)$ și $(12,-24)$, deci lungimea $48$ (1 p).

b) (3 p) Pentru $y^2=-48x$: pătratul este al lui $y$, deci axa este $Ox$, iar semnul minus arată deschiderea spre stânga; $p=24$, focarul $(-12,0)$, directoarea $x=12$ (1 p). Pentru $x^2=24y$: pătratul este al lui $x$, deci axa este $Oy$, iar semnul plus arată deschiderea în sus; $p=12$, focarul $(0,6)$, directoarea $y=-6$ (1 p). Pentru $x^2=-32y$: axa $Oy$, deschidere în jos; $p=16$, focarul $(0,-8)$, directoarea $y=8$ (1 p).

c) (1 p) Sunt grafice de funcții exact cele în care $x$ apare la pătrat, adică $x^2=24y$ și $x^2=-32y$; funcțiile corespunzătoare sunt $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{24}$ și $g(x)=-\frac{x^2}{32}$. Celelalte două cad la testul verticalei.

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Din coeficientul $48$ rezultă $p=24$, deci $\frac{p}{2}=12$, iar raza focală este $MF=x+12$ (1 p). Din $x+12=39$ rezultă $x=27$, valoare acceptabilă, fiind nenegativă (1 p). Atunci $y^2=48\cdot 27=1296$, deci $y=\pm 36$: punctele sunt $(27,36)$ și $(27,-36)$. Control: $\sqrt{(27-12{)}^2+1296}=\sqrt{225+1296}=\sqrt{1521}=39$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Algebric: $12^2=144$ și $48\cdot 3=144$ ✓ (1 p). Geometric, cu $F(12,0)$ și directoarea $x=-12$: $$MF=\sqrt{(3-12{)}^2+144}=\sqrt{81+144}=15,d(M,d)=3+12=15$$ (1,5 p), deci $MF=d(M,d)$, adică punctul respectă definiția geometrică (0,5 p).

c) (4 p) Așezăm vârful antenei în origine și axa ei pe $Ox$; marginea este atunci punctul $(18,30)$, pentru că adâncimea este $18$, iar jumătatea diametrului este $30$ (1,5 p). Substituind în ecuația canonică obținem $900=50\cdot 18$, deci coeficientul variabilei de gradul întâi este $50$ și secțiunea are ecuația $y^2=50x$ (1,5 p). Prin urmare $p=25$, iar receptorul se montează în focar, la $\frac{p}{2}=12,5$ centimetri de vârf, pe axa antenei (1 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Aplicăm formula distanței de la un punct la o dreaptă (1 p): $$d(M,d)=\frac{|3\cdot 20-4\cdot 12|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|60-48|}{5}=\frac{12}{5}$$ (2 p).

b) (4 p) Distanța la cealaltă asimptotă, $3x+4y=0$, este $\frac{|60+48|}{5}=\frac{108}{5}$ (1,5 p), deci produsul celor două distanțe este $$\frac{12}{5}\cdot \frac{108}{5}=\frac{1296}{25}$$ (1 p). Pe de altă parte, $\frac{a^2{b}^2}{c^2}=\frac{144\cdot 81}{225}=\frac{11664}{225}=\frac{1296}{25}$ ✓ (1 p). Rezultatul nu depinde de punctul ales, pentru că $b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$ pe toată hiperbola (0,5 p).

c) (3 p) Din ecuația canonică, $y^2=\frac{81}{144}\left(x^2-144\right)$, deci $$f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{4}\sqrt{x^2-144},D=(-\infty ,-12]\cup [12,+\infty )$$ (2 p), domeniul venind din condiția $x^2-144\ge 0$. Valoarea ramurii de sus în $x=20$: $\frac{3}{4}\sqrt{400-144}=\frac{3}{4}\cdot 16=12$, adică exact ordonata punctului $M$ ✓ (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Variabila care apare la pătrat este $x$, deci axa de simetrie este $Oy$, iar coeficientul pozitiv al lui $y$ arată că parabola se deschide în sus (1,5 p). Coeficientul lui $y$ este $24$, adică dublul parametrului, deci $p=12$ (1,5 p). Vârful este originea, focarul este $\left(0,\frac{p}{2}\right)=(0,6)$, iar directoarea este dreapta orizontală $y=-6$ (2 p).

b) (5 p) Substituim coordonatele lui $M$: $12^2=144$ și $24\cdot 6=144$ ✓ (1,5 p). Distanța la focar: $$MF=\sqrt{(12-0{)}^2+(6-6{)}^2}=12$$ (1,5 p). Distanța la directoare, măsurată pe verticală, este $|6-(-6)|=12$ (1,5 p). Cele două sunt egale, deci $M$ respectă definiția geometrică a parabolei; raza focală, $MF=y+\frac{p}{2}=6+6=12$, dă același rezultat dintr-o singură adunare (0,5 p).

c) (5 p) Din $x^2=24y$ rezultă $y=\frac{x^2}{24}$, iar fiecărei valori a lui $x$ îi corespunde o singură valoare a lui $y$, deci curba trece testul verticalei și este graficul funcției $f$, definită pe tot $\mathbb{R}$ (2 p). Reciproc, orice punct al graficului verifică $x^2=24y$, deci cele două mulțimi coincid (1 p). Coarda dusă prin focar, perpendicular pe axa parabolei, se află pe dreapta orizontală $y=6$; înlocuind, $x^2=144$, deci $x=\pm 12$ (1,5 p). Capetele sunt $(12,6)$ și $(-12,6)$, iar lungimea coardei este $24$, adică dublul parametrului ✓ (0,5 p).