Acasă · Teste · clasa a X-a · Test: împărțirea polinoamelor și schema lui Horner

Test: împărțirea polinoamelor și schema lui Horner

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică motorul de calcul al întregului capitol: împărțirea cu rest. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: teorema împărțirii cu rest — pentru orice $f$ și orice $g \neq = 0$ există și sunt unice polinoamele $q$ și $r$ cu $f = g q + r$ , unde restul este nul sau are gradul strict mai mic decât al împărțitorului. Condiția asupra gradului nu este un detaliu: fără ea, aceeași pereche de polinoame ar admite o infinitate de scrieri, iar cuvântul „cât" nu ar mai însemna nimic. Al doilea: algoritmul împărțirii, cu cele trei mișcări repetate (împarte termenii dominanți – înmulțește – scade) și cu obligația de a completa cu zerouri puterile lipsă. Al treilea: teorema restului — restul împărțirii la $X - a$ este chiar $f (a)$ — și extinderea ei la împărțitori de forma $X + a$ , $a X + b$ sau $(X - a) (X - b)$ , unde restul se caută sub forma $m X + n$ . Al patrulea: schema lui Horner, tabelul care dă simultan câtul și restul împărțirii la $X - a$ dintr-o singură trecere, folosită și ca metodă rapidă de evaluare a unui polinom.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare împărțire efectuată se consideră completă doar dacă este verificată prin înmulțire înapoi, adică prin egalitatea $f = g \cdot q + r$ . Se depunctează: oprirea algoritmului înainte ca gradul restului să coboare sub gradul împărțitorului, omiterea coeficienților nuli din rândul de sus al tabelului lui Horner și folosirea lui $f (a)$ în loc de $f (- a)$ la împărțirea prin $X + a$ .
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe algoritmul împărțirii și pe schema lui Horner.
Formule de reținut: teorema împărțirii cu rest — pentru $f, g \in C [X]$ , $g \neq = 0$ , există și sunt unice $q, r \in C [X]$ cu $f = g \cdot q + r, r = 0 sau grad r < grad g;$ în plus, dacă $r \neq = 0$ împărțirea nu este exactă, iar $grad q = grad f - grad g$ . Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ ; pentru împărțitorul $X + a$ restul este $f (- a)$ , iar pentru $a X + b$ el este $f (- \frac{b}{a})$ . Restul la un produs de doi factori de gradul întâi se caută sub forma $r = m X + n$ , determinată din sistemul $r (a) = f (a)$ , $r (b) = f (b)$ . Schema lui Horner pentru împărțirea la $X - a$ : se scriu toți coeficienții lui $f$ în ordine descrescătoare (inclusiv zerourile), iar pe rândul de jos fiecare număr se obține din regula „coeficientul de deasupra plus $a$ ori numărul din stânga"; ultimul număr este restul, adică $f (a)$ , iar celelalte sunt coeficienții câtului, care are gradul cu $1$ mai mic decât $f$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Teorema împărțirii cu rest și teorema restului

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Restul împărțirii polinomului $f = X^{3} - 2 X + 5$ la $X - 1$ este: A. $4$ ; B. $5$ ; C. $- 1$ ; D. $0$ .

b) Dacă $grad f = 7$ și $grad g = 3$ , atunci gradul câtului împărțirii lui $f$ la $g$ este: A. $3$ ; B. $4$ ; C. $7$ ; D. $10$ .

c) Restul împărțirii unui polinom la $X^{2} + 1$ are, în general, forma: A. o constantă; B. $a X + b$ ; C. $a X^{2} + b X + c$ ; D. întotdeauna $0$ .

Itemul 2 (6 puncte)

Folosind teorema restului, determină restul împărțirii (câte 1,5 puncte): a) $f = X^{4} - 3 X^{2} + 2$ la $X - 2$ ; b) $f = X^{4} - 3 X^{2} + 2$ la $X + 1$ ; c) $g = 2 X^{3} + X - 6$ la $X - 3$ ; d) $g = 2 X^{3} + X - 6$ la $2 X - 1$ .

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Egalitatea $X^{3} - 1 = (X - 1) \cdot X^{2} + (X^{2} - 1)$ reprezintă împărțirea cu rest a lui $X^{3} - 1$ la $X - 1$ ." b) „Restul împărțirii polinomului $f$ la $X + 3$ este $f (3)$ ." c) „Dacă restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $0$ , atunci $f (2) = 0$ ." d) „Schema lui Horner se poate folosi pentru a împărți un polinom la $X^{2} - 1$ ."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină câtul și restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1$ la $g = X - 2$ și verifică rezultatul prin înmulțire înapoi. (3 p) b) Determină câtul și restul împărțirii polinomului $f = 2 X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 1$ la $g = X^{2} - X + 2$ . (3 p)

Partea a II-a – Schema lui Horner, parametri și restul la un produs

Itemul 5 (8 puncte)

Folosind schema lui Horner, determină câtul și restul împărțirii (câte 2 puncte): a) $f = X^{3} - 4 X^{2} + 3 X + 2$ la $X - 1$ ; b) $f = 2 X^{4} - X^{2} + 5$ la $X + 2$ ; c) $f = X^{3} + X^{2} - 2$ la $X - \frac{1}{2}$ ; d) $f = X^{4} - 3 X^{2} + 2 X - 1$ la $X + i$ .

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} + a X^{2} - 3 X + 5$ , cu $a \in R$ . a) Determină $a$ știind că restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $11$ . (4 p) b) Pentru valoarea găsită, determină câtul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ , folosind schema lui Horner. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Se știe despre polinomul $f \in R [X]$ că $f (1) = 3$ și $f (- 2) = - 3$ . Determină restul împărțirii lui $f$ la $(X - 1) (X + 2)$ . (4 p) b) Determină restul împărțirii polinomului $g = X^{2026} + X + 1$ la $X^{2} - 1$ . (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Determină numerele reale $a$ și $b$ știind că restul împărțirii polinomului $f = X^{4} + a X^{2} + b X + 1$ la $X - 1$ este $2$ , iar restul împărțirii lui $f$ la $X + 1$ este $6$ . (3 p) b) Arată că polinomul $h = X^{3} - 3 X + 2$ se împarte exact la $X - 1$ și determină câtul. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Folosind schema lui Horner, calculează $f (3)$ pentru $f = 2 X^{4} - 5 X^{3} + X - 7$ . (3 p) b) Aplicând schema lui Horner de două ori, scrie polinomul $h = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ ca produs de trei factori de gradul întâi. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează teorema restului: pentru orice $f \in C [X]$ și orice $a \in C$ , restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ . Justifică mai întâi de ce acest rest este o constantă. (5 p) b) Determină restul împărțirii polinomului $f = X^{100} - 2 X^{50} + 3$ la $X + 1$ . (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră polinoamele $f = 3 X^{4} - 5 X^{3} + 2 X^{2} - X + 4$ și $g = X^{2} - 2 X + 1$ . a) Determină câtul și restul împărțirii lui $f$ la $g$ . (5 p) b) Verifică rezultatul prin înmulțire înapoi și explică de ce condiția asupra gradului restului garantează unicitatea perechii $(q, r)$ . (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{4} + a X^{3} + b X^{2} + 2 X - 3$ , cu $a, b \in R$ . a) Determină $a$ și $b$ știind că împărțirea lui $f$ la $X^{2} - 1$ este exactă. (5 p) b) Pentru valorile găsite, determină câtul împărțirii lui $f$ la $X^{2} - 1$ . (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră polinomul $f = X^{3} - 2 X^{2} + m X - 2$ , cu $m \in R$ . a) Determinați $m$ pentru care restul împărțirii lui $f$ la $X - 1$ este egal cu $- 2$ . (3 p) b) Pentru $m = 1$ , determinați câtul și restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} + 1$ și deduceți descompunerea lui $f$ în factori. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. Prin teorema restului, restul este $f (1) = 1 - 2 + 5 = 4$ . Varianta B este termenul liber $f (0)$ , o confuzie frecventă. b) B. Gradul câtului este $grad f - grad g = 7 - 3 = 4$ . Se citește direct din egalitatea $f = g q + r$ : gradul produsului $g q$ trebuie să fie $7$ , iar gradul produsului este suma gradelor. c) B. Restul este nul sau are gradul strict mai mic decât $2$ , deci este cel mult de gradul întâi, adică de forma $a X + b$ (variantă care include și cazul $a = 0$ , când restul e constant).

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p identificarea valorii în care se substituie, 1 p calculul). a) Restul este $f (2) = 16 - 3 \cdot 4 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$ . b) Rescriem $X + 1 = X - (- 1)$ , deci restul este $f (- 1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Împărțirea este exactă, adică $X + 1$ divide pe $f$ . c) Restul este $g (3) = 2 \cdot 27 + 3 - 6 = 54 - 3 = 51$ . d) Rădăcina împărțitorului $2 X - 1$ este $\frac{1}{2}$ , deci restul este $g (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 6 = - \frac{21}{4} .$

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Egalitatea în sine este adevărată — desfăcând parantezele obținem $X^{3} - X^{2} + X^{2} - 1 = X^{3} - 1$ — dar nu este împărțirea cu rest, pentru că restul $X^{2} - 1$ are gradul $2$ , mai mare decât gradul $1$ al împărțitorului. Împărțirea corectă este $X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ , cu restul $0$ . b) F. Împărțitorul se scrie $X + 3 = X - (- 3)$ , deci restul este $f (- 3)$ , nu $f (3)$ . Este greșeala de semn numărul unu la această teoremă. c) A. Restul împărțirii la $X - 2$ este $f (2)$ ; dacă acest rest este $0$ , atunci $f (2) = 0$ . (Reciproca este și ea adevărată — este teorema lui Bézout.) d) F. Schema lui Horner funcționează numai pentru împărțitori de forma $X - a$ , adică de gradul întâi și cu coeficient dominant $1$ . Pentru $X^{2} - 1$ se folosește algoritmul obișnuit al împărțirii (sau se împarte succesiv la $X - 1$ și la $X + 1$ ).

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Împărțitorul are forma $X - 2$ , deci folosim schema lui Horner, cu $a = 2$ (0,5 p):

$a = 2$	$1$	$2$	$- 5$	$1$
	$1$	$2 + 2 \cdot 1 = 4$	$- 5 + 2 \cdot 4 = 3$	$1 + 2 \cdot 3 = 7$

Câtul este $q = X^{2} + 4 X + 3$ , iar restul este $r = 7$ (1,5 p). Verificare prin înmulțire înapoi: $(X - 2) (X^{2} + 4 X + 3) = X^{3} + 4 X^{2} + 3 X - 2 X^{2} - 8 X - 6 = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X - 6$ , iar adunând restul $7$ obținem $X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1 = f$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Aplicăm algoritmul împărțirii. Primul termen al câtului este $2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ ; scădem $2 X (X^{2} - X + 2) = 2 X^{3} - 2 X^{2} + 4 X$ și rămâne $- X^{2} - 1$ (1 p). Al doilea termen este $- X^{2} : X^{2} = - 1$ ; scădem $- 1 \cdot (X^{2} - X + 2) = - X^{2} + X - 2$ și rămâne $- X + 1$ (1 p). Gradul restului este $1 < 2$ , deci ne oprim: $q = 2 X - 1, r = - X + 1$ (0,5 p). Verificare: $(X^{2} - X + 2) (2 X - 1) = 2 X^{3} - 3 X^{2} + 5 X - 2$ , iar adunând $- X + 1$ obținem $2 X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 1 = f$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p scrierea completă a coeficienților, 1 p rândul lui Horner, 0,5 p citirea câtului și a restului).

a) Coeficienții lui $f$ sunt $1, - 4, 3, 2$ , iar $a = 1$ . Rândul de jos este $1, - 3, 0, 2$ , deci $q = X^{2} - 3 X, r = 2.$ Verificare: $(X - 1) (X^{2} - 3 X) + 2 = X^{3} - 4 X^{2} + 3 X + 2$ ✓ b) Atenție la puterile lipsă: coeficienții sunt $2, 0, - 1, 0, 5$ , iar $X + 2 = X - (- 2)$ , deci $a = - 2$ . Rândul de jos este $2, - 4, 7, - 14, 33$ , deci $q = 2 X^{3} - 4 X^{2} + 7 X - 14, r = 33.$ Control prin teorema restului: $f (- 2) = 2 \cdot 16 - 4 + 5 = 33$ ✓ c) Coeficienții sunt $1, 1, 0, - 2$ , iar $a = \frac{1}{2}$ . Rândul de jos este $1, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, - \frac{13}{8}$ , deci $q = X^{2} + \frac{3}{2} X + \frac{3}{4}, r = - \frac{13}{8} .$ Control: $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - 2 = - \frac{13}{8}$ ✓ d) Coeficienții sunt $1, 0, - 3, 2, - 1$ , iar $X + i = X - (- i)$ , deci $a = - i$ . Folosind $(- i) (- i) = i^{2} = - 1$ , rândul de jos este $1, - i, - 4, 2 + 4 i, 3 - 2 i$ , deci $q = X^{3} - i X^{2} - 4 X + (2 + 4 i), r = 3 - 2 i .$ Control: $f (- i) = (- i)^{4} - 3 (- i)^{2} + 2 (- i) - 1 = 1 + 3 - 2 i - 1 = 3 - 2 i$ ✓

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Prin teorema restului, restul împărțirii la $X - 2$ este $f (2)$ (1 p): $f (2) = 8 + 4 a - 6 + 5 = 4 a + 7$ (1,5 p). Condiția $4 a + 7 = 11$ dă $a = 1$ (1 p). Verificare: pentru $a = 1$ , $f = X^{3} + X^{2} - 3 X + 5$ și $f (2) = 8 + 4 - 6 + 5 = 11$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Aplicăm schema lui Horner cu $a = 2$ pe coeficienții $1, 1, - 3, 5$ (1 p):

$a = 2$	$1$	$1$	$- 3$	$5$
	$1$	$3$	$3$	$11$

Câtul este $q = X^{2} + 3 X + 3$ , iar restul iese, ca și mai sus, $11$ (1,5 p). Verificare prin înmulțire înapoi: $(X - 2) (X^{2} + 3 X + 3) + 11 = X^{3} + X^{2} - 3 X - 6 + 11 = X^{3} + X^{2} - 3 X + 5$ ✓ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Împărțitorul are gradul $2$ , deci restul este nul sau de gradul cel mult $1$ ; îl scriem $r = m X + n$ (1 p). Din teorema împărțirii cu rest, $f = (X - 1) (X + 2) q + m X + n .$ Substituim pe rând $X = 1$ și $X = - 2$ — valori care anulează produsul din față (1 p): $m + n = f (1) = 3, - 2 m + n = f (- 2) = - 3.$ Scăzând a doua ecuație din prima obținem $3 m = 6$ , deci $m = 2$ și $n = 1$ (1,5 p). Restul este $r = 2 X + 1.$ Verificare: $r (1) = 3$ ✓ și $r (- 2) = - 3$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Cum $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ , căutăm restul sub forma $r = m X + n$ (0,5 p). Exponentul $2026$ fiind par, avem $g (1) = 1 + 1 + 1 = 3, g (- 1) = 1 - 1 + 1 = 1$ (1 p). Sistemul $m + n = 3$ , $- m + n = 1$ dă $n = 2$ și $m = 1$ (1 p), deci restul este $r = X + 2$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Prin teorema restului, condițiile devin $f (1) = 2$ și $f (- 1) = 6$ (0,5 p): $f (1) = 1 + a + b + 1 = a + b + 2, f (- 1) = 1 + a - b + 1 = a - b + 2$ (1 p). Obținem sistemul $a + b = 0$ , $a - b = 4$ , cu soluția $a = 2$ , $b = - 2$ (1 p). Verificare: pentru $f = X^{4} + 2 X^{2} - 2 X + 1$ avem $f (1) = 2$ ✓ și $f (- 1) = 6$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Calculăm $h (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , deci restul împărțirii la $X - 1$ este nul și împărțirea este exactă (1 p). Câtul se obține cu schema lui Horner, pe coeficienții $1, 0, - 3, 2$ și $a = 1$ : rândul de jos este $1, 1, - 2, 0$ , deci $q = X^{2} + X - 2$ (1,5 p). Verificare: $(X - 1) (X^{2} + X - 2) = X^{3} + X^{2} - 2 X - X^{2} - X + 2 = X^{3} - 3 X + 2$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Scriem toți coeficienții, inclusiv zeroul de la $X^{2}$ : $2, - 5, 0, 1, - 7$ , și aplicăm schema cu $a = 3$ (1 p):

$a = 3$	$2$	$- 5$	$0$	$1$	$- 7$
	$2$	$1$	$3$	$10$	$23$

Ultimul număr este restul împărțirii la $X - 3$ , adică $f (3) = 23$ (1,5 p). Control prin calcul direct: $2 \cdot 81 - 5 \cdot 27 + 3 - 7 = 162 - 135 - 4 = 23$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Suma coeficienților este $1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , deci $h (1) = 0$ și $X - 1$ este factor (0,5 p). Prima aplicare a schemei, cu $a = 1$ , dă rândul $1, - 1, - 6, 0$ , deci $h = (X - 1) (X^{2} - X - 6)$ (1 p). A doua aplicare, pe coeficienții $1, - 1, - 6$ cu $a = 3$ , dă rândul $1, 2, 0$ , deci $X^{2} - X - 6 = (X - 3) (X + 2)$ (1 p). În concluzie $h = (X - 1) (X - 3) (X + 2) .$ Verificare: $(X - 1) (X - 3) = X^{2} - 4 X + 3$ , iar $(X^{2} - 4 X + 3) (X + 2) = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ ✓ (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Restul este o constantă. Aplicăm teorema împărțirii cu rest pentru $f$ și $g = X - a$ : există $q, r \in C [X]$ cu $f = (X - a) q + r$ , unde $r = 0$ sau $grad r < grad (X - a) = 1$ (1,5 p). Singurele polinoame de grad mai mic decât $1$ sunt cele de grad $0$ , adică constantele nenule; împreună cu polinomul nul, obținem că $r$ este o constantă, pe care o notăm tot cu $r$ (1 p).

Identificarea constantei. Egalitatea $f = (X - a) q + r$ este o egalitate între polinoame, deci valorile celor doi membri coincid în orice punct (1 p). Calculăm valorile în $a$ : $f (a) = (a - a) \cdot q (a) + r = 0 \cdot q (a) + r = r$ (1 p). Prin urmare $r = f (a)$ , ceea ce trebuia demonstrat (0,5 p). $■$ (Mecanismul de reținut: substituția $X = a$ anulează factorul $X - a$ și „stinge" câtul, lăsând doar restul.)

b) (3 p) Rescriem împărțitorul ca $X - (- 1)$ , deci restul este $f (- 1)$ (1 p). Cum exponenții $100$ și $50$ sunt pari, $(- 1)^{100} = 1$ și $(- 1)^{50} = 1$ (1 p), deci $f (- 1) = 1 - 2 + 3 = 2.$ Restul căutat este $2$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Aplicăm algoritmul împărțirii, cu ambele polinoame scrise complet (0,5 p). Pasul 1: $3 X^{4} : X^{2} = 3 X^{2}$ ; scădem $3 X^{2} (X^{2} - 2 X + 1) = 3 X^{4} - 6 X^{3} + 3 X^{2}$ și rămâne $X^{3} - X^{2} - X + 4$ (1,5 p). Pasul 2: $X^{3} : X^{2} = X$ ; scădem $X (X^{2} - 2 X + 1) = X^{3} - 2 X^{2} + X$ și rămâne $X^{2} - 2 X + 4$ (1,5 p). Pasul 3: $X^{2} : X^{2} = 1$ ; scădem $X^{2} - 2 X + 1$ și rămâne $3$ (1 p). Gradul restului este $0 < 2$ , deci ne oprim: $q = 3 X^{2} + X + 1, r = 3$ (0,5 p).

b) (3 p) Verificarea: $(X^{2} - 2 X + 1) (3 X^{2} + X + 1) = 3 X^{4} - 5 X^{3} + 2 X^{2} - X + 1$ , iar adunând restul $3$ obținem exact $f$ ✓ (1,5 p). Unicitatea: dacă am avea două scrieri $f = g q_{1} + r_{1} = g q_{2} + r_{2}$ , ambele cu condiția asupra gradului, atunci $g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$ . Dacă $q_{1} \neq = q_{2}$ , membrul stâng este nenul și are gradul cel puțin $grad g$ (gradul produsului fiind suma gradelor), în timp ce membrul drept este nul sau are gradul strict mai mic decât $grad g$ — contradicție. Deci $q_{1} = q_{2}$ și, imediat, $r_{1} = r_{2}$ (1,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Împărțirea la $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ este exactă dacă și numai dacă restul este polinomul nul, ceea ce înseamnă $f (1) = 0$ și $f (- 1) = 0$ (1,5 p): $f (1) = 1 + a + b + 2 - 3 = a + b, f (- 1) = 1 - a + b - 2 - 3 = - a + b - 4$ (1,5 p). Obținem sistemul $a + b = 0$ , $b - a = 4$ , cu soluția $b = 2$ , $a = - 2$ (1,5 p). Verificare: pentru $f = X^{4} - 2 X^{3} + 2 X^{2} + 2 X - 3$ avem $f (1) = 0$ ✓ și $f (- 1) = 0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Efectuăm împărțirea lui $f = X^{4} - 2 X^{3} + 2 X^{2} + 2 X - 3$ la $X^{2} - 1$ (0,5 p). Pe rând: $X^{2} \cdot (X^{2} - 1) = X^{4} - X^{2}$ , rămâne $- 2 X^{3} + 3 X^{2} + 2 X - 3$ ; apoi $- 2 X (X^{2} - 1) = - 2 X^{3} + 2 X$ , rămâne $3 X^{2} - 3$ ; în fine $3 (X^{2} - 1) = 3 X^{2} - 3$ , rămâne $0$ (1,5 p). Așadar $q = X^{2} - 2 X + 3, r = 0$ (0,5 p). Verificare: $(X^{2} - 1) (X^{2} - 2 X + 3) = X^{4} - 2 X^{3} + 3 X^{2} - X^{2} + 2 X - 3 = f$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Prin teorema restului, restul împărțirii la $X - 1$ este $f (1)$ (1 p): $f (1) = 1 - 2 + m - 2 = m - 3$ (1 p). Condiția $m - 3 = - 2$ dă $m = 1$ (1 p).

b) (5 p) Pentru $m = 1$ avem $f = X^{3} - 2 X^{2} + X - 2$ (0,5 p). Împărțim la $X^{2} + 1$ : primul termen al câtului este $X^{3} : X^{2} = X$ , iar $X (X^{2} + 1) = X^{3} + X$ , deci rămâne $- 2 X^{2} - 2$ (1,5 p); al doilea termen este $- 2 X^{2} : X^{2} = - 2$ , iar $- 2 (X^{2} + 1) = - 2 X^{2} - 2$ , deci restul este $0$ (1,5 p). Prin urmare $q = X - 2, r = 0, adic \overset{a}{˘} f = (X^{2} + 1) (X - 2)$ (1 p). Verificare: $(X^{2} + 1) (X - 2) = X^{3} - 2 X^{2} + X - 2$ ✓, iar $f (2) = 8 - 8 + 2 - 2 = 0$ , ceea ce confirmă că $X - 2$ este factor (0,5 p).