Test: inele și reguli de calcul

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Inele, corpuri și polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima treaptă a suplimentului de algebră: structura de inel și tot ce se poate calcula în ea. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: definiția și cele opt axiome — $(A,+)$ grup comutativ, $(A,\cdot )$ monoid, distributivitate de ambele părți — împreună cu rețeta în trei pași de verificare (parte stabilă → moștenirea axiomelor de calcul dintr-o structură cunoscută → existența lui $0$, a lui $1$ și a opuselor în mulțime). Al doilea: regulile de calcul demonstrate din axiome — Propoziția 1 ($a\cdot 0=0$), Propoziția 2 (regulile semnelor) și Propoziția 3 (regula simplificării) — cu accent pe faptul că formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ nu este valabilă într-un inel oarecare. Al treilea: divizorii lui zero și inelele integre, cu teorema „${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este prim" și cu criteriul de integritate moștenită. Al patrulea: grupul unităților $U(A)$, demonstrația faptului că este grup, determinarea lui în ${\mathbb{Z}}_n$ și în inelul matricelor, plus regula „un element inversabil nu este niciodată divizor al lui zero". Al cincilea: legile „deghizate" date prin formule, tipul care apare an de an în Subiectul al II-lea.

Mențiune de supliment: testul verifică materie din suplimentul pentru Bacalaureat M1 — inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Cine dă examenul în acești ani are nevoie de ea integral.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar concluzia.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice invers găsit în ${\mathbb{Z}}_n$ se justifică prin produsul care îl confirmă, iar orice inversă de matrice se verifică prin înmulțire. Se depunctează: declararea structurii de inel fără a fi găsit elementul unitate, folosirea formulelor de calcul prescurtat la matrice, includerea lui $\hat{0}$ în lista divizorilor lui zero, simplificarea printr-un factor care este divizor al lui zero și rezolvarea unei ecuații din ${\mathbb{Z}}_n$ „prin împărțire" la un coeficient neinversabil.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe rețeta în trei pași și pe dihotomia inversabil / divizor al lui zero.
• Formule de reținut: Axiomele inelului: A1 asociativitatea adunării, A2 comutativitatea adunării, A3 element nul $0$, A4 opuse; M1 asociativitatea înmulțirii, M2 element unitate $1$; D1 și D2 distributivitatea la stânga și la dreapta. Rețeta în trei pași: parte stabilă la ambele operații $\to$ moștenirea lui A1, A2, M1, D1, D2 dintr-o structură cunoscută $\to$ $0\in A$, $1\in A$ și opusele în $A$. Propoziția 1: $a\cdot 0=0\cdot a=0$. Propoziția 2: $(-a)b=a(-b)=-(ab)$ și $(-a)(-b)=ab$. Propoziția 3 (simplificarea): dacă $c\ne 0$ și $c$ nu e divizor al lui zero, din $ac=bc$ rezultă $a=b$. Calcul prescurtat: în orice inel $(a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$ și $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2$; termenii din mijloc se strâng doar când $ab=ba$. Divizor al lui zero: $a\ne 0$ pentru care există $b\ne 0$ cu $ab=0$ sau $ba=0$. Inel integru: comutativ, nenul, fără divizori ai lui zero; ${\mathbb{Z}}_n$ este integru $⟺$ $n$ este prim. Criteriul de integritate moștenită: un inel inclus într-un inel integru și care conține pe $0$ și pe $1$ este integru. Grupul unităților: $U(A)$ = elementele inversabile, grup față de înmulțire, cu $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$; $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, $U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$, $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$. Dihotomia din ${\mathbb{Z}}_n$: fiecare clasă nenulă este ori inversabilă, ori divizor al lui zero. Legile deghizate: pentru $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a=(x-a)(y-a)+a$, elementul nul este $a$, elementul unitate este $a+1$, iar $x$ este inversabil exact când $x-a$ este inversabil în inelul de plecare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Axiomele inelului și regulile de calcul

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Într-un inel $(A,+,\cdot )$, structura $(A,\cdot )$ este: A. grup comutativ; B. monoid; C. grup; D. semigrup fără element neutru.

b) Definiția inelului, cu numerotarea din lecție (A1–A4, M1–M2, D1–D2), conține: A. $6$ axiome; B. $7$ axiome; C. $8$ axiome; D. $9$ axiome.

c) Într-un inel oarecare, dezvoltarea corectă a lui $(a+b{)}^2$ este: A. $a^2+2ab+b^2$; B. $a^2+ab+ba+b^2$; C. $a^2+b^2$; D. $a^2+2ba+b^2$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Elementul $0$ al unui inel este divizor al lui zero, pentru că $a\cdot 0=0$ pentru orice $a$." b) „Inelul ${\mathbb{Z}}_{21}$ este integru." c) „Într-un inel, un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero." d) „Orice inel comutativ este inel integru."

Itemul 3 (6 puncte)

Folosind numai axiomele inelului și rezultatele deja demonstrate: a) Demonstrează Propoziția 1: $a\cdot 0=0$ pentru orice element $a$ al unui inel. (3 p) b) Demonstrează punctul (i) al Propoziției 2: $(-a)b=-(ab)$ pentru orice $a$, $b$. (3 p)

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră mulțimea $\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]=\left\{a+b\sqrt{5}|a,b\in \mathbb{Z}\right\}$, cu adunarea și înmulțirea numerelor reale. a) Arată că mulțimea este parte stabilă față de ambele operații, scriind formula sumei și formula produsului. (3 p) b) Parcurge ceilalți doi pași ai rețetei în trei pași și încheie că $\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ este inel comutativ. (2 p) c) Arată că acest inel este integru, invocând criteriul potrivit. (2 p)

Partea a II-a – Divizori ai lui zero, inele integre și grupul unităților

Itemul 5 (7 puncte)

Se consideră inelul $({\mathbb{Z}}_{18},+,\cdot )$. a) Determină toți divizorii lui zero ai acestui inel. (3 p) b) Determină $U({\mathbb{Z}}_{18})$ și numărul elementelor lui. (2 p) c) Verifică pe listele obținute dihotomia: fiecare clasă nenulă este ori inversabilă, ori divizor al lui zero, niciodată amândouă. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Rezolvă în inelul ${\mathbb{Z}}_{18}$, justificând de fiecare dată metoda aleasă: a) $\hat{7}x=\hat{5}$; (3 p) b) $\hat{6}x=\hat{5}$; (2 p) c) $\hat{6}x=\widehat{12}$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ -1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$ din inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. a) Arată că $A$ este divizor al lui zero, găsind o matrice $C\ne O_2$ cu $AC=O_2$. (3 p) b) Arată că $B\in U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}))$ și calculează $B^{-1}$, cu verificare. (3 p) c) Explică, într-o frază, de ce $B$ nu poate fi divizor al lui zero. (1 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Arată că, dacă $n\ge 2$ nu este număr prim, atunci ${\mathbb{Z}}_n$ are divizori ai lui zero. (3 p) b) Arată că, dacă $p$ este număr prim, atunci ${\mathbb{Z}}_p$ nu are divizori ai lui zero. (3 p) c) Precizează, cu justificare, care dintre inelele ${\mathbb{Z}}_{23}$ și ${\mathbb{Z}}_{25}$ este integru. (1 p)

Itemul 9 (6 puncte)

În inelul $\mathcal{F}$ al funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, cu adunarea și înmulțirea punctuale: a) Arată că funcția $u$, $u(x)=x^2+3$, este inversabilă și scrie inversul ei. (2 p) b) Arată că funcția $v$, $v(x)=x-5$, nu este inversabilă. (2 p) c) Arată că $v$ este divizor al lui zero, construind o funcție $w\ne 0$ cu $vw=0$. (2 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip Bacalaureat M1

Itemul 10 (8 puncte)

a) Demonstrează că, într-un inel oarecare, $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2$ și precizează condiția în care membrul drept devine $a^2-b^2$. (3 p) b) Pentru $P=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, calculează $(P-Q)(P+Q)$ și $P^2-Q^2$ și arată că sunt diferite. (3 p) c) Demonstrează că, într-un inel integru, din $a^2=b^2$ rezultă $a=b$ sau $a=-b$. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Fie $(A,+,\cdot )$ un inel. a) Demonstrează că, dacă $a,b\in U(A)$, atunci $ab\in U(A)$ și $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$. (3 p) b) Demonstrează că, dacă $a\in U(A)$, atunci $a^{-1}\in U(A)$. (2 p) c) Verifică formula $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ în inelul ${\mathbb{Z}}_{18}$, pentru $a=\hat{5}$ și $b=\hat{7}$. (3 p)

Itemul 12 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al II-lea, problema a doua.) Pe mulțimea $\mathbb{Z}$ se consideră legile de compoziție $$x\oplus y=x+y-6,x\otimes y=xy-6x-6y+42.$$ a) Arătați că $x\otimes y=(x-6)(y-6)+6$, pentru orice $x,y\in \mathbb{Z}$. (5 p) b) Arătați că $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ și determinați elementul nul și elementul unitate ale acestui inel. (5 p) c) Determinați elementele inversabile ale inelului $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ și rezolvați în $\mathbb{Z}$ ecuația $x\otimes x=7$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) B. Definiția cere ca $(A,\cdot )$ să fie monoid, adică înmulțire asociativă cu element unitate. Nu se cere să fie grup: dacă ar fi, orice element nenul ar avea invers, iar $\mathbb{Z}$ nu ar mai fi inel.

b) (2 p) C. Sunt $8$: patru pentru grupul comutativ $(A,+)$, două pentru monoidul $(A,\cdot )$ și două pentru distributivitate.

c) (2 p) B. Desfacerea corectă este $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2$. Varianta A cere în plus $ab=ba$, adică un inel comutativ.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Definiția divizorului lui zero cere explicit $a\ne 0$, deci elementul nul este exclus din capul locului. Egalitatea $a\cdot 0=0$ este Propoziția 1 și e adevărată în orice inel; tocmai de aceea, dacă $0$ ar fi admis, orice element ar deveni divizor al lui zero și noțiunea nu ar mai selecta nimic.

b) (1,5 p) F. Numărul $21=3\cdot 7$ nu este prim, iar $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli. Prin teorema din lecție, ${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este prim.

c) (1,5 p) A. Dacă $a$ este inversabil și $ab=0$, înmulțind la stânga cu $a^{-1}$ obținem $b=a^{-1}\cdot 0=0$, deci nu există partener nenul.

d) (1,5 p) F. Integritatea cere, pe lângă comutativitate, absența divizorilor lui zero. Contraexemplul minim: ${\mathbb{Z}}_6$ este comutativ, dar $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Pornim de la $0+0=0$ (axioma A3 aplicată lui $x=0$) (0,5 p). Înmulțim la stânga cu $a$ și folosim distributivitatea D1 (1 p): $$a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0.$$ Adunăm în ambii membri opusul lui $a\cdot 0$, care există prin A4 (1 p), și obținem $0=a\cdot 0$ (0,5 p). (Egalitatea $0\cdot a=0$ se obține identic, cu D2.)

b) (3 p) Arătăm că $(-a)b$ este opusul lui $ab$, adică suma lor este $0$ (0,5 p). Folosind D2 și Propoziția 1 (1,5 p): $$ab+(-a)b=(a+(-a))b=0\cdot b=0.$$ Cum opusul unui element este unic într-un grup, rezultă $(-a)b=-(ab)$ (1 p).

Itemul 4. (7 p)

a) (3 p) Fie $x=a+b\sqrt{5}$ și $y=c+d\sqrt{5}$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$. Atunci (1 p) $$x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{5},$$ iar pentru produs, folosind $(\sqrt{5}{)}^2=5$ (1,5 p): $$xy=ac+ad\sqrt{5}+bc\sqrt{5}+5bd=(ac+5bd)+(ad+bc)\sqrt{5}.$$ Numerele $a+c$, $b+d$, $ac+5bd$ și $ad+bc$ sunt întregi, deci ambele rezultate au forma cerută (0,5 p). (Control numeric: $(3-2\sqrt{5})(4+5\sqrt{5})=12-50+(15-8)\sqrt{5}=-38+7\sqrt{5}$, iar formula dă $ac+5bd=12-50=-38$ și $ad+bc=15-8=7$.) ✓

b) (2 p) Pasul 2 — moștenirea: asociativitatea și comutativitatea ambelor operații, precum și distributivitatea, se moștenesc din $\mathbb{R}$, pentru că o egalitate adevărată pentru toate numerele reale este adevărată, în particular, pentru elementele mulțimii noastre (1 p). Pasul 3: $0=0+0\sqrt{5}$ și $1=1+0\sqrt{5}$ aparțin mulțimii, iar opusul lui $a+b\sqrt{5}$ este $(-a)+(-b)\sqrt{5}$, tot de forma cerută (0,5 p). Prin urmare $\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ este inel comutativ (0,5 p).

c) (2 p) Mulțimea este submulțime a lui $\mathbb{C}$, care este inel integru, și conține pe $0$ și pe $1$ (1 p). Prin criteriul de integritate moștenită, absența divizorilor lui zero se transmite automat: o afirmație despre toate elementele mulțimii mari este adevărată și pentru elementele submulțimii. Deci $\mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right]$ este inel integru (1 p).

Itemul 5. (7 p)

a) (3 p) Clasa $\hat{a}$, cu $a\ne 0$, este divizor al lui zero exact când $(a,18)>1$ (1 p). Cum $18=2\cdot 3^2$, numerele din $\{1,\dots ,17\}$ care nu sunt prime cu $18$ sunt cele divizibile cu $2$ sau cu $3$ (1 p): $$\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\hat{9},\widehat{10},\widehat{12},\widehat{14},\widehat{15},\widehat{16}$$ — unsprezece clase (0,5 p). Verificări: $\hat{2}\cdot \hat{9}=\widehat{18}=\hat{0}$ și $\hat{3}\cdot \hat{6}=\widehat{18}=\hat{0}$ (0,5 p).

b) (2 p) Rămân clasele cu $(a,18)=1$, adică reprezentanții impari care nu se divid cu $3$ (1 p): $$U({\mathbb{Z}}_{18})=\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17}\},$$ deci șase elemente (1 p).

c) (2 p) Cele două liste sunt disjuncte, pentru că prima cere $(a,18)>1$, iar a doua $(a,18)=1$ — condiții care se exclud (1 p). Reunite, ele dau $11+6=17$ clase, adică toate clasele nenule ale lui ${\mathbb{Z}}_{18}$; nicio clasă nenulă nu rămâne nici într-o categorie, nici în cealaltă (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Cum $(7,18)=1$, clasa $\hat{7}$ este inversabilă, deci ecuația are soluție unică și se rezolvă înmulțind cu inversul (1 p). Căutăm inversul: $7\cdot 13=91=5\cdot 18+1$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\widehat{13}$ (1 p). Atunci $$x=\widehat{13}\cdot \hat{5}=\widehat{65}=\widehat{11},$$ pentru că $65=3\cdot 18+11$ (0,5 p). Verificare: $\hat{7}\cdot \widehat{11}=\widehat{77}=\hat{5}$, căci $77=4\cdot 18+5$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) Aici $(6,18)=6>1$, deci $\hat{6}$ este divizor al lui zero și metoda inversului nu se aplică; verificăm ce valori ia $\hat{6}x$ (1 p). Pentru $x=\hat{0},\hat{1},\hat{2},\dots$ obținem, ciclic, $\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\hat{0},\hat{6},\widehat{12},\dots$, deci mulțimea valorilor este $\{\hat{0},\hat{6},\widehat{12}\}$ (0,5 p). Clasa $\hat{5}$ nu apare printre ele, deci ecuația nu are soluții (0,5 p).

c) (2 p) Din lista de la punctul b), $\hat{6}x=\widehat{12}$ exact pentru clasele al căror reprezentant dă restul $2$ la împărțirea cu $3$ (1 p): $$x\in \{\hat{2},\hat{5},\hat{8},\widehat{11},\widehat{14},\widehat{17}\}$$ — șase soluții (0,5 p). Control pe două dintre ele: $\hat{6}\cdot \hat{5}=\widehat{30}=\widehat{12}$ și $\hat{6}\cdot \widehat{17}=\widehat{102}=\widehat{12}$, pentru că $102=5\cdot 18+12$ ✓ (0,5 p). (O ecuație de gradul întâi cu șase soluții — imposibil dacă $\hat{6}$ nu ar fi divizor al lui zero.)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Observăm întâi că $\det A=2\cdot 3-(-6)(-1)=6-6=0$, deci $A$ nu este inversabilă — semn că poate fi divizor al lui zero (0,5 p). Căutăm $C=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ cu $AC=O_2$: prima linie dă $2x-6z=0$ și $2y-6t=0$, adică $x=3z$ și $y=3t$; linia a doua dă aceleași condiții (1,5 p). Alegem $z=t=1$, deci $x=y=3$ (0,5 p): $$\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-6& 6-6\\ -3+3& -3+3\end{array}\right)=O_2.$$ Cum $C\ne O_2$ și $A\ne O_2$, matricea $A$ este divizor al lui zero (0,5 p).

b) (3 p) $\det B=4\cdot 1-1\cdot 3=1\ne 0$, deci $B$ este inversabilă, adică $B\in G{L}_2(\mathbb{R})=U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}))$ (1 p). Pentru ordinul $2$ (1 p): $$B^{-1}=\frac{1}{\det B}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 4\end{array}\right).$$ Verificare: $B\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4-3& -4+4\\ 3-3& -3+4\end{array}\right)=I_2$ ✓ (1 p).

c) (1 p) Pentru că un element inversabil nu este niciodată divizor al lui zero: din $BX=O_2$, înmulțind la stânga cu $B^{-1}$, ar rezulta $X=O_2$, deci nu există partener nenul.

Itemul 8. (7 p)

a) (3 p) Dacă $n$ nu este prim și $n\ge 2$, atunci $n=n_1{n}_2$ cu $1<n_1<n$ și $1<n_2<n$ (1 p). Clasele $\widehat{n_1}$ și $\widehat{n_2}$ sunt nenule, pentru că $n\nmid n_1$ și $n\nmid n_2$ (1 p), iar $$\widehat{n_1}\cdot \widehat{n_2}=\widehat{n_1{n}_2}=\hat{n}=\hat{0},$$ deci am găsit doi divizori ai lui zero (1 p).

b) (3 p) Fie $p$ prim și $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{0}$, adică $p\mid ab$ (1 p). Cum $p$ este prim, din $p\mid ab$ rezultă $p\mid a$ sau $p\mid b$ (1 p), adică $\hat{a}=\hat{0}$ sau $\hat{b}=\hat{0}$. Prin urmare ${\mathbb{Z}}_p$ nu are divizori ai lui zero; fiind comutativ și nenul (aici se folosește $p\ge 2$), el este inel integru (1 p).

c) (1 p) ${\mathbb{Z}}_{23}$ este integru, pentru că $23$ este prim. ${\mathbb{Z}}_{25}$ nu este: $25=5\cdot 5$, iar $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{0}$ cu $\hat{5}\ne \hat{0}$. (Atenție: „putere de număr prim" nu înseamnă „prim".)

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) În inelul funcțiilor, elementul unitate este funcția constantă $1$, iar $u$ este inversabilă exact când $u(x)\ne 0$ pentru orice $x$ real (0,5 p). Cum $x^2+3\ge 3>0$, condiția este îndeplinită (1 p), iar inversul este funcția $u^{-1}$ dată de $$u^{-1}(x)=\frac{1}{x^2+3},x\in \mathbb{R}$$ (0,5 p).

b) (2 p) Funcția $v$ se anulează în $x=5$ (1 p). Dacă ar exista $g$ cu $vg=1$, atunci, luând $x=5$, am obține $0\cdot g(5)=1$, adică $0=1$ — fals (1 p).

c) (2 p) Definim $w:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ prin $w(5)=1$ și $w(x)=0$ pentru $x\ne 5$ (1 p). Atunci $w\ne 0$, pentru că $w(5)=1$, iar produsul punctual este nul peste tot: în $x=5$ avem $v(5)w(5)=0\cdot 1=0$, iar în orice $x\ne 5$ avem $v(x)w(x)=v(x)\cdot 0=0$ (1 p). Deci $vw=0$ și $v$ este divizor al lui zero. (Regula generală: în inelul funcțiilor, o funcție care se anulează măcar într-un punct este divizor al lui zero.)

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) Desfacem parantezele folosind D1 și D2, fără a schimba ordinea factorilor (1,5 p): $$(a-b)(a+b)=a(a+b)-b(a+b)=a^2+ab-ba-b^2.$$ La mijloc am folosit și Propoziția 2, prin care $(-b)x=-(bx)$ (0,5 p). Termenii $ab$ și $-ba$ se reduc reciproc exact atunci când $ab=ba$, adică atunci când cele două elemente comută; abia atunci membrul drept devine $a^2-b^2$ (1 p).

b) (3 p) Calculăm întâi sumele și diferențele (0,5 p): $$P-Q=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -2& 0\end{array}\right),P+Q=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 2\end{array}\right).$$ Atunci (1 p) $$(P-Q)(P+Q)=\left(\begin{array}{cc}0+6& 0+6\\ -4+0& -6+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -4& -6\end{array}\right).$$ Pe de altă parte $P^2=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $Q^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$ (1 p), deci $$P^2-Q^2=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ -4& 0\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -4& -6\end{array}\right)$$ (0,5 p). (Control: $PQ=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$, $QP=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right)$, deci $PQ-QP=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& -6\end{array}\right)$, exact diferența dintre cele două rezultate.) ✓

c) (2 p) Din $a^2=b^2$ obținem $a^2-b^2=0$; inelul fiind integru, deci comutativ, avem $ab=ba$ și diferența se factorizează (1 p): $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2=0.$$ Într-un inel integru un produs nul cere un factor nul, deci $a-b=0$ sau $a+b=0$, adică $a=b$ sau $a=-b$ (1 p). (Într-un inel oarecare concluzia este falsă: în ${\mathbb{Z}}_8$, ${\hat{3}}^2={\hat{1}}^2$, dar $\hat{3}\ne \pm \hat{1}$, căci $-\hat{1}=\hat{7}$.)

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Fie $a,b\in U(A)$, cu inversele $a^{-1}$ și $b^{-1}$. Calculăm (1,5 p): $$(ab)\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=a\left(b{b}^{-1}\right)a^{-1}=a\cdot 1\cdot a^{-1}=a{a}^{-1}=1,$$ folosind numai asociativitatea (M1) (0,5 p). Analog, $\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)(ab)=b^{-1}\left(a^{-1}a\right)b=b^{-1}b=1$ (0,5 p). Deci $ab$ este inversabil și $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$; ordinea inversată este esențială într-un inel necomutativ (0,5 p).

b) (2 p) Egalitatea $a^{-1}a=a{a}^{-1}=1$ se citește în două feluri: ea spune că $a^{-1}$ este inversul lui $a$, dar și că $a$ este inversul lui $a^{-1}$ (1 p). Prin urmare $a^{-1}$ este el însuși inversabil, cu $(a^{-1}{)}^{-1}=a$, deci $a^{-1}\in U(A)$ (1 p).

c) (3 p) În ${\mathbb{Z}}_{18}$: din $5\cdot 11=55=3\cdot 18+1$ rezultă ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{11}$, iar din $7\cdot 13=91=5\cdot 18+1$ rezultă ${\hat{7}}^{-1}=\widehat{13}$ (1 p). Produsul este $\hat{5}\cdot \hat{7}=\widehat{35}=\widehat{17}$, iar ${\widehat{17}}^{-1}=\widehat{17}$, pentru că $17\cdot 17=289=16\cdot 18+1$ (1 p). Pe de altă parte $${\hat{7}}^{-1}\cdot {\hat{5}}^{-1}=\widehat{13}\cdot \widehat{11}=\widehat{143}=\widehat{17},$$ căci $143=7\cdot 18+17$. Cele două rezultate coincid ✓ (1 p).

Itemul 12. (15 p) — problemă de tip Subiectul al II-lea, trei subpuncte a câte $5$ puncte.

a) (5 p) Desfacem membrul drept (3 p): $$(x-6)(y-6)+6=xy-6x-6y+36+6=xy-6x-6y+42=x\otimes y.$$ Egalitatea este adevărată pentru orice $x,y\in \mathbb{Z}$ (1 p). Observăm că și prima lege se scrie sugestiv, $x\oplus y=(x-6)+(y-6)+6$ (1 p). (Termenul liber trebuie să fie $a^2+a=36+6=42$ — verificarea obligatorie a tiparului.)

b) (5 p) Grupul aditiv. $(x\oplus y)\oplus z=x+y+z-12=x\oplus (y\oplus z)$, iar comutativitatea se citește din formă (1 p). Elementul neutru: din $x\oplus e=x$ obținem $x+e-6=x$, deci $e=6$; simetricul lui $x$ față de $\oplus$ este $x^{\prime }=12-x\in \mathbb{Z}$, din $x+x^{\prime }-6=6$ (1 p).

Monoidul multiplicativ. Cu forma factorizată, ambii membri ai asociativității se scriu $(x-6)(y-6)(z-6)+6$, iar comutativitatea rezultă din simetria produsului (1 p). Elementul unitate $u$ verifică $(x-6)(u-6)=x-6$ pentru orice $x$, deci $u-6=1$, adică $u=7$ (1 p).

Distributivitatea. $x\otimes (y\oplus z)=(x-6)[(y-6)+(z-6)]+6$, iar $(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)=(x-6)(y-6)+(x-6)(z-6)+6$ — egale, prin distributivitatea din $\mathbb{Z}$; ambele legi fiind comutative, D2 rezultă din D1 (0,5 p). Concluzie: $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ, cu elementul nul $6$ și elementul unitate $7$ (0,5 p).

c) (5 p) Elementul $x$ este inversabil dacă există $y\in \mathbb{Z}$ cu $x\otimes y=7$, adică $(x-6)(y-6)+6=7$, adică $(x-6)(y-6)=1$ (1,5 p). Notând $u=x-6$ și $v=y-6$, condiția devine $uv=1$ cu $u,v$ întregi, adică $u\in U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$ (1 p). Din $x-6=-1$ rezultă $x=5$, iar din $x-6=1$ rezultă $x=7$; deci mulțimea elementelor inversabile este $\{5,7\}$ (0,5 p).

Ecuația $x\otimes x=7$ se scrie $(x-6{)}^2+6=7$, adică $(x-6{)}^2=1$ (1 p), de unde $x-6=1$ sau $x-6=-1$, adică $x\in \{5,7\}$ (0,5 p). Verificare: $5\otimes 5=25-30-30+42=7$ ✓ și $7\otimes 7=49-42-42+42=7$ ✓ (0,5 p).

(Firesc, cele două mulțimi coincid: $x\otimes x=7$ înseamnă exact „$x$ este propriul său invers", iar aici toate elementele inversabile au această proprietate.)