Test: înmulțirea matricelor și proprietățile ei

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și operații cu matrice

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică operația centrală a capitolului: produsul a două matrice, singura care nu se face element cu element și singura care nu se poate face oricând. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: condiția asupra dimensiunilor — produsul $A\cdot B$ există numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$, iar rezultatul primește dimensiunile „de la margini". Al doilea: regula linie pe coloană, adică formula $c_{ij}={\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$, aplicată atât pe produse întregi, cât și pe cerința scurtă de examen „determinați un singur element al produsului". Al treilea: inventarul proprietăților — se păstrează asociativitatea, ambele distributivități, elementul neutru $I_n$ și elementul absorbant; se pierd comutativitatea, regula „produs nul înseamnă factor nul" și simplificarea. Aici se află greșelile care costă cel mai mult la BAC M1: comasarea termenilor $A\cdot B$ și $B\cdot A$ într-un singur $2A\cdot B$ și simplificarea cu o matrice. Al patrulea: modelarea — contractul de citire al unui tablou, regula indicelui comun și controlul dimensiunilor înainte de orice calcul.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Înaintea fiecărui produs se scriu dimensiunile celor doi factori, iar rezultatul se consideră complet doar dacă a fost verificat prin controlul pe sumele de linii. Se depunctează: începerea calculului fără verificarea dimensiunilor, înmulțirea element cu element, luarea coloanei din primul factor și a liniei din al doilea, sumele cu număr greșit de termeni, scrierea lui $2A\cdot B$ în locul lui $A\cdot B+B\cdot A$, simplificarea cu o matrice și scrierea ${}^t(A\cdot B)={}^{t}A\cdot {}^{t}B$ fără inversarea ordinii.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe regula linie pe coloană și pe contraexemplele de necomutativitate.
• Formule de reținut: condiția de existență și dimensiunea rezultatului — dacă $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$, atunci $A\cdot B\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{C})$, cu $$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$$ Se păstrează: $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$; $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$ și, enunțată separat, $(B+C)\cdot A=B\cdot A+C\cdot A$; $\alpha (A\cdot B)=(\alpha A)\cdot B=A\cdot (\alpha B)$; $I_m\cdot A=A\cdot I_n=A$; $A\cdot O=O$ și $O\cdot A=O$. Se pierde: în general $A\cdot B\ne B\cdot A$ (matricele cu $A\cdot B=B\cdot A$ se numesc permutabile); din $A\cdot B=O$ nu rezultă că un factor este nul (matricele nenule cu produs nul se numesc divizori ai lui zero); din $A\cdot B=A\cdot C$ nu rezultă $B=C$. Calculul prescurtat, cu patru termeni, niciodată trei: $$(A+B)\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B,(A+B)\cdot (A-B)=A\cdot A-A\cdot B+B\cdot A-B\cdot B.$$ Transpusa inversează ordinea: ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$. Controlul pe sumele de linii: suma elementelor de pe linia $i$ a produsului $A\cdot B$ este egală cu produsul dintre linia $i$ a lui $A$ și coloana formată din sumele liniilor lui $B$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Dimensiuni și regula linie pe coloană

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{2,5}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{C})$, atunci $A\cdot B$ este de tipul: A. $5\times 5$; B. $2\times 3$; C. $3\times 2$; D. produsul nu există.

b) Produsul $\left(\begin{array}{cc}2& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$ este egal cu: A. $\left(\begin{array}{cc}8& -3\end{array}\right)$; B. $\left(\begin{array}{c}5\end{array}\right)$; C. $\left(\begin{array}{cc}8& 2\\ -12& -3\end{array}\right)$; D. $\left(\begin{array}{c}11\end{array}\right)$.

c) Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$, produsul $A\cdot I_3$ este egal cu: A. $I_3$; B. $O_3$; C. $A$; D. $3A$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se dau matricele $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$, $B\in {\mathcal{M}}_{4,2}(\mathbb{C})$ și $C\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$. Precizează, pentru fiecare produs, dacă există și, în caz afirmativ, de ce tip este (câte 1,5 puncte): a) $A\cdot B$; b) $B\cdot A$; c) $C\cdot A$; d) $A\cdot B\cdot C$.

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& 0& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\\ 0& -2\end{array}\right)$. a) Calculează $A\cdot B$, scriind pentru fiecare element suma din care provine. (4 p) b) Verifică rezultatul prin controlul pe sumele de linii ale lui $B$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină numai elementul de pe linia $2$, coloana $3$ al produsului $A\cdot B$, unde $$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& -1& 3\\ 1& 4& 2& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& -1& 0\\ 0& 2& 4\\ -2& 1& 1\end{array}\right).$$ (3 p) b) Calculează $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& 0& -4\end{array}\right)$ și precizează tipul rezultatului. (3 p)

Partea a II-a – Proprietățile înmulțirii: ce se păstrează și ce se pierde

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$. a) Calculează $A\cdot B$ și $B\cdot A$. (4 p) b) Arată că $A\cdot B\ne B\cdot A$, precizând o poziție pe care cele două matrice diferă. (2 p) c) Calculează $A\cdot B-B\cdot A$ și suma elementelor de pe diagonala principală a matricei obținute. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$. a) Verifică egalitatea $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$, calculând ambii membri. (4 p) b) Verifică egalitatea $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 2& 1\end{array}\right)$. a) Arată că $A$ și $B$ sunt matrice nenule, dar $A\cdot B=O_2$. Calculează și $B\cdot A$ și compară cu $A\cdot B$. (4 p) b) Arată că $A\cdot (B+C)=A\cdot C$, deși $B+C\ne C$, și precizează ce regulă din calculul cu numere nu se mai aplică la matrice. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$. a) Calculează $(A+B)\cdot (A+B)$. (3 p) b) Calculează $A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B$ și explică de ce rezultatul diferă de cel de la punctul a). Scrie forma corectă a desfacerii parantezelor. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$. a) Verifică egalitatea ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$, calculând ambii membri. (4 p) b) Arată, comparând dimensiunile, că egalitatea ${}^t(A\cdot B)={}^{t}A\cdot {}^{t}B$ nu poate avea loc pentru aceste matrice. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații, modelare și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, are loc $A\cdot I_n=A$. (4 p) b) Demonstrează distributivitatea la dreapta, $(B+C)\cdot A=B\cdot A+C\cdot A$, ori de câte ori operațiile au sens, și explică de ce ea trebuie enunțată separat de distributivitatea la stânga. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Determină toate matricele $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ care sunt permutabile cu $T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, adică verifică $T\cdot X=X\cdot T$. (4 p) b) Determină matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& -1\end{array}\right),$$ scriind $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ și identificând elementele. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Un atelier fabrică două tipuri de rafturi. Un raft simplu consumă $5$ scânduri, $12$ șuruburi și $1$ litru de lac; un raft dublu consumă $8$ scânduri, $20$ de șuruburi și $2$ litri de lac. Materialele se cumpără de la doi furnizori: scândura costă $14$ lei la $F_1$ și $16$ lei la $F_2$; șurubul, $2$ lei, respectiv $1$ leu; litrul de lac, $25$ de lei, respectiv $30$ de lei. a) Scrie matricea consumurilor $C$ (liniile $=$ tipurile de raft, coloanele $=$ materialele) și matricea prețurilor $P$ (liniile $=$ materialele, coloanele $=$ furnizorii), precizând tipul fiecăreia. (2 p) b) Calculează $C\cdot P$, spune ce reprezintă un element al rezultatului și precizează ce furnizor este mai avantajos pentru fiecare tip de raft. (4 p) c) O comandă cuprinde $30$ de rafturi simple și $25$ de rafturi duble. Scrie comanda ca matrice linie $Q$ și calculează costul total la fiecare furnizor pe ambele drumuri de parantezare, $Q\cdot (C\cdot P)$ și $(Q\cdot C)\cdot P$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$. (2 p) b) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 11\end{array}\right)$. (2 p) c) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $B\cdot X=A$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Scriem dimensiunile una lângă alta: $(2\times 5)\cdot (5\times 3)$. Numerele din mijloc coincid, deci produsul există, iar rezultatul are dimensiunile de la margini, $2\times 3$. b) B. Este produsul unei matrice linie cu o matrice coloană, adică $(1\times 2)\cdot (2\times 1)$, deci rezultatul are un singur element: $2\cdot 4+(-3)\cdot 1=8-3=5$. Varianta C ar fi rezultatul în ordinea inversă a factorilor, iar D adună în loc să scadă. c) C. Matricea unitate este element neutru la înmulțire: $A\cdot I_n=I_n\cdot A=A$. În suma care dă elementul $(i,j)$ supraviețuiește un singur termen, cel în care $I_3$ contribuie cu $1$; toți ceilalți se înmulțesc cu $0$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p compararea numerelor din mijloc, 1 p concluzia). a) $(3\times 4)\cdot (4\times 2)$: numerele din mijloc coincid, deci produsul există și este de tipul $3\times 2$. b) $(4\times 2)\cdot (3\times 4)$: ar trebui ca $2$ (coloanele lui $B$) să fie egal cu $3$ (liniile lui $A$) — fals, deci produsul nu există. Aceasta nu este o neatenție de calcul: scrierea $B\cdot A$ nu are sens. c) $(2\times 3)\cdot (3\times 4)$: produsul există și este de tipul $2\times 4$. d) Din a), $A\cdot B$ este de tipul $3\times 2$; înmulțit apoi cu $C$, avem $(3\times 2)\cdot (2\times 3)$, deci rezultatul există și este de tipul $3\times 3$ — pătratic, deși niciunul dintre cei trei factori nu era.

Itemul 3. (6 p)

a) (4 p) Dimensiunile sunt $2\times 3$ și $3\times 2$, deci produsul există și este de tipul $2\times 2$; fiecare element este o sumă de trei termeni (0,5 p): $$c_{11}=1\cdot 2+(-2)(-1)+3\cdot 0=2+2+0=4;c_{12}=1\cdot 1+(-2)\cdot 3+3\cdot (-2)=1-6-6=-11;$$ $$c_{21}=4\cdot 2+0\cdot (-1)+(-1)\cdot 0=8;c_{22}=4\cdot 1+0\cdot 3+(-1)(-2)=4+2=6.$$ (câte 0,75 p pentru fiecare element). Prin urmare $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& -11\\ 8& 6\end{array}\right)$$ (0,5 p).

b) (2 p) Sumele elementelor de pe liniile lui $B$ sunt $2+1=3$, $-1+3=2$ și $0-2=-2$ (0,5 p). Suma elementelor de pe linia $i$ a produsului trebuie să fie egală cu produsul dintre linia $i$ a lui $A$ și coloana acestor sume (0,5 p): $$\text{linia }1:4+(-11)=-7\text{și}1\cdot 3+(-2)\cdot 2+3\cdot (-2)=3-4-6=-7✓;$$ $$\text{linia }2:8+6=14\text{și}4\cdot 3+0\cdot 2+(-1)(-2)=12+0+2=14✓.$$ (1 p). Controlul funcționează pentru că, adunând $c_{i1}+c_{i2}$, fiecare $a_{ik}$ se dă factor comun.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Nu este nevoie de tot produsul: elementul $c_{23}$ se obține din linia $2$ a lui $A$ și coloana $3$ a lui $B$ (1 p). Linia a doua a lui $A$ este $(1,4,2,0)$, iar coloana a treia a lui $B$ este $(2,0,4,1)$ (0,5 p), deci $$c_{23}=1\cdot 2+4\cdot 0+2\cdot 4+0\cdot 1=2+0+8+0=10$$ (1,5 p). (Numărul de termeni este exact numărul din mijloc, adică $4$. Produsul complet ar fi $\left(\begin{array}{ccc}-4& 1& 3\\ 13& 0& 10\end{array}\right)$, dar nu era nevoie de el.)

b) (3 p) Dimensiunile sunt $(3\times 1)\cdot (1\times 3)$, deci produsul există și este de tipul $3\times 3$; fiecare sumă are un singur termen (1 p): $$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& 0& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& 0& -12\\ -2& 0& 4\\ 4& 0& -8\end{array}\right)$$ (1,5 p). Observație de reținut: aceleași două matrice, înmulțite în ordinea inversă, ar da o matrice cu un singur element (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Ambele matrice sunt pătratice de ordin $2$, deci ambele produse există și sunt tot de ordin $2$ (0,5 p): $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+2\cdot 1& 1\cdot 0+2(-1)\\ (-1)\cdot 2+3\cdot 1& (-1)\cdot 0+3(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& -3\end{array}\right)$$ (1,75 p); $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+0\cdot (-1)& 2\cdot 2+0\cdot 3\\ 1\cdot 1+(-1)(-1)& 1\cdot 2+(-1)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& -1\end{array}\right)$$ (1,75 p).

b) (2 p) Cele două matrice au același tip, dar diferă, de exemplu, pe poziția $(1,1)$: $4\ne 2$ (1,5 p). Un singur element diferit este suficient, pentru că egalitatea de matrice cere coincidența pe toate pozițiile; prin urmare $A\cdot B\ne B\cdot A$, adică înmulțirea matricelor nu este comutativă (0,5 p).

c) (2 p) Scădem element cu element: $$A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}4-2& -2-4\\ 1-2& -3+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ -1& -2\end{array}\right)$$ (1,5 p). Suma elementelor de pe diagonala principală este $2+(-2)=0$ (0,5 p). (Nu este o coincidență: pentru orice două matrice de ordin $2$, această sumă este nulă.)

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Primul drum. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 3+(-1)\cdot 0& 1\cdot 1+(-1)\cdot 2\\ 2\cdot 3+0\cdot 0& 2\cdot 1+0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& 2\end{array}\right)$ (1 p), deci $$(A\cdot B)\cdot C=\left(\begin{array}{cc}3(-1)+(-1)\cdot 1& 3\cdot 2+(-1)\cdot 1\\ 6(-1)+2\cdot 1& 6\cdot 2+2\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 5\\ -4& 14\end{array}\right)$$ (1 p). Al doilea drum. $B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}3(-1)+1\cdot 1& 3\cdot 2+1\cdot 1\\ 0(-1)+2\cdot 1& 0\cdot 2+2\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 7\\ 2& 2\end{array}\right)$ (1 p), deci $$A\cdot (B\cdot C)=\left(\begin{array}{cc}1(-2)+(-1)\cdot 2& 1\cdot 7+(-1)\cdot 2\\ 2(-2)+0\cdot 2& 2\cdot 7+0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 5\\ -4& 14\end{array}\right)$$ — aceeași matrice ✓ (1 p). Concluzia de reținut: parantezele se pot muta liber, ordinea factorilor nu.

b) (3 p) $B+C=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$, deci $A\cdot (B+C)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+(-1)\cdot 1& 1\cdot 3+(-1)\cdot 3\\ 2\cdot 2+0\cdot 1& 2\cdot 3+0\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 6\end{array}\right)$ (1,5 p). Pe cealaltă cale, $A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 4\end{array}\right)$, iar $$A\cdot B+A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 6\end{array}\right)✓$$ (1,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Niciuna dintre matrice nu este nulă: $A$ are elementul $2$ pe poziția $(1,1)$, iar $B$ la fel (0,5 p). Totuși, toate cele patru sume ies nule (2 p): $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+(-4)\cdot 1& 2\cdot 6+(-4)\cdot 3\\ 1\cdot 2+(-2)\cdot 1& 1\cdot 6+(-2)\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2.$$ În ordinea inversă, în schimb, $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+6\cdot 1& 2(-4)+6(-2)\\ 1\cdot 2+3\cdot 1& 1(-4)+3(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& -20\\ 5& -10\end{array}\right)\ne O_2$$ (1,5 p). Deci nu doar că produsul a două matrice nenule poate fi matricea nulă — astfel de matrice se numesc divizori ai lui zero —, ci chiar și acest fapt depinde de ordinea factorilor.

b) (3 p) Folosim distributivitatea și punctul a): $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C=O_2+A\cdot C=A\cdot C$ (1 p). Verificare prin calcul direct: $B+C=\left(\begin{array}{cc}7& 13\\ 3& 4\end{array}\right)$, iar $$A\cdot (B+C)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 7+(-4)\cdot 3& 2\cdot 13+(-4)\cdot 4\\ 1\cdot 7+(-2)\cdot 3& 1\cdot 13+(-2)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 10\\ 1& 5\end{array}\right)=A\cdot C✓$$ (1,5 p). Totuși $B+C\ne C$, pentru că $B\ne O_2$. Regula care se pierde este simplificarea: din $A\cdot Y=A\cdot Z$ nu rezultă $Y=Z$, oricât de „nenulă" ar fi $A$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$ (1 p), deci $$(A+B)\cdot (A+B)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+2\cdot 3& 2\cdot 2+2\cdot 2\\ 3\cdot 2+2\cdot 3& 3\cdot 2+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ 12& 10\end{array}\right)$$ (2 p).

b) (3 p) Calculăm $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$ și $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$ (1 p), deci $$A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}14& 4\\ 6& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 12& 4\end{array}\right)$$ (1 p), matrice diferită de cea de la punctul a). Explicația: desfacerea corectă a parantezelor are patru termeni, în ordinea în care apar, $$(A+B)\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B,$$ iar cei doi din mijloc se pot aduna într-unul singur numai dacă $A$ și $B$ comută. Aici $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\ne A\cdot B$, iar suma celor patru termeni dă exact $\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ 12& 10\end{array}\right)$ ✓ (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Dimensiunile sunt $2\times 3$ și $3\times 2$, deci $A\cdot B$ este de ordin $2$ (0,5 p): $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 2& 2(-2)+1\cdot 3+0\cdot 1\\ (-1)\cdot 1+3\cdot 0+4\cdot 2& (-1)(-2)+3\cdot 3+4\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 7& 15\end{array}\right)$$ (1,5 p), de unde ${}^t(A\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -1& 15\end{array}\right)$ (0,5 p). Pe cealaltă cale, ${}^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -2& 3& 1\end{array}\right)$ și ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$ (0,5 p), iar $${}^{t}B\cdot {}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+0\cdot 1+2\cdot 0& 1(-1)+0\cdot 3+2\cdot 4\\ (-2)\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 0& (-2)(-1)+3\cdot 3+1\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -1& 15\end{array}\right)✓$$ (1 p).

b) (2 p) Transpusa lui $A$ este de tipul $3\times 2$, iar transpusa lui $B$ de tipul $2\times 3$ (0,5 p). Produsul ${}^{t}A\cdot {}^{t}B$ există, dar este de tipul $3\times 3$, în timp ce ${}^t(A\cdot B)$ este de tipul $2\times 2$ (1 p). Două matrice de formate diferite nu pot fi egale, deci egalitatea propusă este imposibilă; ordinea factorilor trebuie inversată obligatoriu (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Formatele. Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$. Produsul $A\cdot I_n$ înseamnă $(m\times \mathbf{n})\cdot (\mathbf{n}\times n)$, deci există și este de tipul $m\times n$, adică are același format ca $A$ (1 p).

Elementele. Coloana $j$ a matricei unitate are $1$ pe poziția $j$ și $0$ în rest, adică $(I_n{)}_{kj}=1$ dacă $k=j$ și $(I_n{)}_{kj}=0$ în caz contrar (0,5 p). Prin regula linie pe coloană, elementul de pe poziția $(i,j)$ al produsului este $$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}(I_n{)}_{kj}=a_{i1}\cdot 0+\cdots +a_{ij}\cdot 1+\cdots +a_{in}\cdot 0$$ (1,5 p). În toată suma supraviețuiește un singur termen, cel cu $k=j$, pentru că toți ceilalți se înmulțesc cu $0$; el este $a_{ij}$ (0,5 p).

Matricele au același format și elemente egale pe fiecare poziție, deci $A\cdot I_n=A$ (0,5 p). $■$

b) (4 p) Fie $B,C\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$. Suma $B+C$ există și este de tipul $m\times n$, deci ambii membri sunt matrice de tipul $m\times p$ (1 p).

Elementul de pe poziția $(i,j)$ al membrului stâng este, prin regula linie pe coloană, $$\sum _{k=1}^n(b_{ik}+c_{ik})a_{kj}=\sum _{k=1}^n(b_{ik}{a}_{kj}+c_{ik}{a}_{kj})=\sum _{k=1}^n{b}_{ik}{a}_{kj}+\sum _{k=1}^n{c}_{ik}{a}_{kj}$$ (1,5 p), unde am folosit distributivitatea înmulțirii numerelor complexe față de adunare și separarea unei sume finite. Ultimele două sume sunt exact elementele de pe poziția $(i,j)$ ale matricelor $B\cdot A$ și $C\cdot A$, deci egalitatea are loc (1 p). $■$

De ce separat: înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci din $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$ nu se poate deduce forma cu factorul comun la dreapta prin simpla schimbare a ordinii factorilor — matricele $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt, în general, diferite, iar uneori unul dintre produse nici nu există (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Calculăm ambele produse, cu $X$ scrisă cu litere (1 p): $$T\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2a& 2b\\ 3c& 3d\end{array}\right),X\cdot T=\left(\begin{array}{cc}2a& 3b\\ 2c& 3d\end{array}\right).$$ (1,5 p). Egalitatea celor două matrice înseamnă egalitate pe fiecare poziție: pozițiile $(1,1)$ și $(2,2)$ dau identitățile $2a=2a$ și $3d=3d$, iar celelalte două dau $2b=3b$ și $3c=2c$, adică $b=0$ și $c=0$ (1 p). Prin urmare matricele căutate sunt exact cele diagonale, $$X=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right),a,d\in \mathbb{R}$$ (0,5 p). (Rezultat de reținut: matricele diagonale de același ordin sunt permutabile între ele.)

b) (4 p) Efectuăm produsul din membrul stâng, cu $X$ scrisă cu litere (1 p): $$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+3c& b+3d\\ c& d\end{array}\right).$$ (1 p). Identificând elementele cu cele ale matricei din dreapta, linia a doua se citește direct: $c=2$ și $d=-1$ (0,5 p). Le înlocuim în prima linie: $a+6=5$ dă $a=-1$, iar $b-3=1$ dă $b=4$ (1 p). Deci $$X=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 2& -1\end{array}\right).$$ Verificare: $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1+6& 4-3\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) Scriem întâi contractul de citire, apoi numerele (0,5 p): $$C=\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 1\\ 8& 20& 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C}),P=\left(\begin{array}{cc}14& 16\\ 2& 1\\ 25& 30\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$$ (1,5 p). Coloanele lui $C$ și liniile lui $P$ înseamnă același lucru — materialele —, deci produsul $C\cdot P$ are sens.

b) (4 p) Dimensiunile sunt $(2\times 3)\cdot (3\times 2)$, deci rezultatul este de tipul $2\times 2$, „tipuri de raft × furnizori" (0,5 p): $$c_{11}=5\cdot 14+12\cdot 2+1\cdot 25=119;c_{12}=5\cdot 16+12\cdot 1+1\cdot 30=122;$$ $$c_{21}=8\cdot 14+20\cdot 2+2\cdot 25=202;c_{22}=8\cdot 16+20\cdot 1+2\cdot 30=208.$$ (2 p), deci $$C\cdot P=\left(\begin{array}{cc}119& 122\\ 202& 208\end{array}\right).$$ Elementul de pe linia $i$, coloana $j$ este costul materialelor pentru o bucată din raftul de tipul $i$, cumpărate de la furnizorul $j$ (1 p). Cum $119<122$ și $202<208$, furnizorul $F_1$ este mai avantajos pentru ambele tipuri de raft (0,5 p).

c) (2 p) Comanda este $Q=\left(\begin{array}{cc}30& 25\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,2}(\mathbb{C})$, cu coloanele $=$ tipurile de raft. Primul drum pune întâi preț pe fiecare raft, apoi înmulțește cu numărul de bucăți: $$Q\cdot (C\cdot P)=\left(\begin{array}{cc}30\cdot 119+25\cdot 202& 30\cdot 122+25\cdot 208\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8620& 8860\end{array}\right)$$ (1 p). Al doilea drum calculează întâi materialul total necesar, $Q\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}350& 860& 80\end{array}\right)$ (scânduri, șuruburi, litri de lac), și abia apoi îl plătește: $$(Q\cdot C)\cdot P=\left(\begin{array}{cc}350\cdot 14+860\cdot 2+80\cdot 25& 350\cdot 16+860\cdot 1+80\cdot 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8620& 8860\end{array}\right)✓$$ (1 p). Cele două drumuri dau același rezultat — este asociativitatea produsului, citită în cuvinte.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Regula linie pe coloană, cu sume de câte doi termeni (0,5 p): $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+(-3)\cdot 0& 1\cdot 1+(-3)(-1)\\ 3\cdot 2+1\cdot 0& 3\cdot 1+1\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 2\end{array}\right)$$ (1,5 p).

b) (2 p) Produsul dintre $A$ și coloana dată este $(2\times 2)\cdot (2\times 1)$, deci o matrice coloană (0,5 p): $$A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-6\\ 3x+2\end{array}\right).$$ Egalitatea a două matrice coloană înseamnă egalitate pe fiecare poziție: din $x-6=-3$ obținem $x=3$, iar a doua linie se verifică, $3\cdot 3+2=11$ ✓ (1,5 p).

c) (4 p) Scriem $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ și efectuăm produsul din membrul stâng (1 p): $$B\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a+c& 2b+d\\ -c& -d\end{array}\right).$$ (1 p). Identificăm elementele cu cele ale lui $A$. Din linia a doua, $-c=3$ și $-d=1$, deci $c=-3$ și $d=-1$ (1 p). Le înlocuim în prima linie: $2a-3=1$ dă $a=2$, iar $2b-1=-3$ dă $b=-1$ (0,5 p). Prin urmare $$X=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& -1\end{array}\right).$$ Verificare: $B\cdot X=\left(\begin{array}{cc}4-3& -2-1\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 1\end{array}\right)=A$ ✓ (0,5 p).