Test: integrarea prin părți

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă prima metodă generală de calcul al primitivelor din programa de matematică-informatică — lecțiile despre formula de integrare prin părți și despre alegerea părților cu aplicarea repetată — și verifică cinci lucruri. Primul: formula și deducerea ei din regula de derivare a produsului, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, cu ipotezele complete ($f$ și $g$ derivabile pe un interval, cu derivatele continue) și cu observația că formula nu calculează nimic, ci schimbă o integrală cu alta. Al doilea: cei trei pași ai integrării prin părți — se alege cine se derivează și cine se integrează, se coboară un rând cu fiecare factor, se scrie formula — și regula descreșterii, cu ordinea de prioritate la derivare. Al treilea: trucul factorului $1$, prin care se integrează funcțiile care nu par produse ($\ln$, funcțiile trigonometrice inverse, radicalii de forma $\sqrt{x^2\pm a^2}$). Al patrulea: aplicarea repetată la $\int P(x)e^{ax}dx$ și $\int P(x)\cos axdx$, cu păstrarea rolurilor la fiecare pas, și tipul circular, în care egalitatea obținută se rezolvă ca o ecuație cu necunoscuta $I$. Al cincilea: relațiile de recurență, obținute printr-o singură aplicare a formulei.

Testul cere redactarea pe care baremul examenului o punctează literal: se scrie cine este $f$ și cine este $g^{\prime }$ înainte de primul rând de calcul → se scriu $f^{\prime }$ și $g$ → se aplică formula → se calculează integrala rămasă → se adaugă $\mathcal{C}$ o singură dată, la final. La tipul circular se cere redactarea „fie $I$ o primitivă a funcției…", pentru că numai despre o funcție fixată are sens să spui că o treci dintr-un membru în celălalt.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare exercițiu se cere alegerea părților scrisă explicit, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$, adică rezultatul scris ca funcție, nu ca mulțime; alegerea greșită a părților, cu integrala rămasă mai grea decât cea inițială („am schimbat rolurile"); schimbarea rolurilor la a doua aplicare, care duce la identitatea vidă $I=I$; pierderea semnului minus din $g(x)=-\cos x$; uitarea factorului $\frac{1}{a}$ la $g$, când se integrează $e^{ax}$, $\sin ax$ sau $\cos ax$; reducerea integralelor care apar în ambii membri, ca și cum ar fi funcții, nu mulțimi de funcții. Prima dintre ele este a doua dintre „cele opt capcane ale unității Primitive", strânse la sfârșitul unității.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor, cu accent pe regula descreșterii și pe cele două situații speciale (aplicarea repetată și tipul circular).
• Formule de reținut: Formula de integrare prin părți: $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$, pe un interval $I$ pe care $f$ și $g$ sunt derivabile, cu $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ continue; se deduce din $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. Notația este cu $f$ și $g$, niciodată cu $u$ și $dv$. Cei trei pași ai integrării prin părți: (1) se împarte integrandul în doi factori și se decide cine este $f$ (se derivează) și cine este $g^{\prime }$ (se integrează); (2) se calculează $f^{\prime }$ prin derivare și se alege un $g$ prin integrare — o singură primitivă, cea mai simplă, fără constantă; (3) se scrie formula și se calculează integrala rămasă, adăugând $\mathcal{C}$ la final. Regula descreșterii: se derivează factorul care se simplifică prin derivare, se integrează cel care nu se complică prin integrare. Ordinea de prioritate la derivare: $\ln x$ și inversele trigonometrice $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$ $\succ$ $x^n$ $\succ$ $e^{ax}$, $\sin ax$, $\cos ax$; se derivează factorul de pe treapta mai de sus. De ce $g$ se ia fără constantă: înlocuind $g$ cu $g+k$, în dreapta apare termenul $kf(x)$ și, în același timp, se scade $\int k{f}^{\prime }(x)dx=kf(x)$; cele două se anulează. La interior de forma $ax$, primitiva se împarte la $a$: ${\left(\frac{e^{ax}}{a}\right)}^{\prime }=e^{ax}$, ${\left(\frac{\sin ax}{a}\right)}^{\prime }=\cos ax$, ${\left(-\frac{\cos ax}{a}\right)}^{\prime }=\sin ax$. Aplicarea repetată: la $\int P(x)e^{ax}dx$ și $\int P(x)\sin axdx$ formula se aplică de exact atâtea ori cât este gradul lui $P$, cu aceeași repartiție a rolurilor la fiecare pas. Tipul circular $\int e^{ax}\sin bxdx$ și $\int e^{ax}\cos bxdx$: se notează cu $I$ o primitivă (o funcție, nu mulțimea), se aplică formula de două ori, se rezolvă ecuația în $I$, iar $\mathcal{C}$ se adaugă la final; la numitor apare mereu $a^2+b^2$. Radicalii: $\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+\mathcal{C}$, obținută cu factorul $1$ și cu trucul $x^2=\left(x^2+a^2\right)-a^2$; analog $\int \sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\mathcal{C}$ și $\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\mathcal{C}$. Relația de recurență: o singură aplicare a formulei leagă termenul de rang $n$ de cel anterior, de pildă $I_n=x^n{e}^x-n{I}_{n-1}$, cu $I_0=e^x$. Când metoda NU se aplică: dacă unul dintre factori este, până la o constantă, derivata expresiei din interiorul celuilalt — ca la $\int x{e}^{x^2}dx$ —, drumul trece prin cealaltă metodă de integrare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Formula, alegerea părților și prima aplicare

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Formula de integrare prin părți este: A. $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$; B. $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)+\int f^{\prime }(x)g(x)dx$; C. $\int f(x)g(x)dx=\int f(x)dx\cdot \int g(x)dx$; D. $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f^{\prime }(x)g(x)-\int f(x)g(x)dx$.

b) La $\int x^3{e}^{x}dx$, regula descreșterii cere să se deriveze: A. $e^x$; B. $x^3$; C. oricare dintre cei doi factori; D. niciunul, metoda nefiind potrivită.

c) Pe prima treaptă a ordinii de prioritate la derivare stau: A. funcțiile $e^{ax}$; B. puterile $x^n$; C. $\ln x$ și funcțiile trigonometrice inverse; D. funcțiile $\sin ax$ și $\cos ax$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „La pasul al doilea, funcția $g$ se alege fără constantă aditivă, pentru că orice constantă adăugată la $g$ se anulează între cei doi termeni ai formulei." b) „Din egalitatea $\int \frac{1}{x}dx=1+\int \frac{1}{x}dx$, obținută prin părți pe $(0,+\infty )$, rezultă $0=1$." c) „La $\int e^x\sin xdx$ repartiția rolurilor trebuie păstrată și la a doua aplicare a formulei." d) „Integrala $\int x{e}^{x^2}dx$ se calculează prin părți, derivând factorul $x$."

Itemul 3 (7 puncte)

Calculează, scriind de fiecare dată cine este $f$, cine este $g^{\prime }$, apoi $f^{\prime }$ și $g$: a) $\int (5x+2)e^{x}dx$, $x\in \mathbb{R}$; (2 p) b) $\int (3-x)\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$; (2 p) c) $\int x{e}^{3x}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Calculează, folosind trucul factorului $1$: a) $\int \mathrm{arcctg}xdx$, $x\in \mathbb{R}$; (3 p) b) $\int \ln (x+1)dx$, $x\in (-1,+\infty )$. (3 p)

Partea a II-a – Aplicarea repetată, tipul circular și radicalii

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, aplicând formula de două ori și păstrând aceeași repartiție a rolurilor: a) $\int \left(x^2-4x\right)e^{x}dx$, $x\in \mathbb{R}$; (4 p) b) $\int \left(x^2-1\right)\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$. (4 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Fie $I$ o primitivă a funcției $x\mapsto e^{2x}\cos 3x$ și $J$ o primitivă a funcției $x\mapsto e^{2x}\sin 3x$, ambele pe $\mathbb{R}$.

a) Aplică formula o dată fiecăreia, derivând de fiecare dată funcția trigonometrică și integrând exponențiala, și scrie cele două egalități obținute. (3 p) b) Rezolvă ecuația în $I$ și determină $\int e^{2x}\cos 3xdx$. (3 p) c) Determină, din același sistem, $\int e^{2x}\sin 3xdx$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Fie $I$ o primitivă a funcției $x\mapsto \sqrt{x^2+25}$ pe $\mathbb{R}$.

a) Aplică formula de integrare prin părți cu factorul $1$ și scrie integrala rămasă. (2 p) b) Folosind $x^2=\left(x^2+25\right)-25$, rupe integrala rămasă în două și obține o ecuație în $I$. (3 p) c) Scrie $\int \sqrt{x^2+25}dx$ și verifică rezultatul prin derivare. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Calculează: a) $\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx$, $x\in (0,+\infty )$; (4 p) b) $\int (2x-1)e^{-x}dx$, $x\in \mathbb{R}$. (3 p)

Partea a III-a – Recurență, alegeri greșite și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Pentru $n\in \mathbb{N}$, fie $I_n$ o primitivă a funcției $x\mapsto {\ln }^{n}x$ pe $(0,+\infty )$, unde ${\ln }^{n}x$ înseamnă $(\ln x{)}^n$.

a) Determină $I_0$ și $I_1$. (3 p) b) Arată că $I_n=x{\ln }^{n}x-n{I}_{n-1}$, pentru orice $n\ge 1$. (4 p) c) Determină, coborând pe recurență, mulțimea primitivelor funcțiilor ${\ln }^{2}x$ și ${\ln }^{3}x$. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

a) Reia calculul integralei $\int x{e}^{3x}dx$ cu rolurile inversate, adică derivând exponențiala și integrând puterea, și arată de ce integrala rămasă este mai grea decât cea inițială. (4 p) b) Arată, printr-un calcul de două rânduri, că înlocuirea lui $g$ cu $g+k$ în formula de integrare prin părți nu schimbă familia de primitive obținută. (3 p) c) Determină primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x$, cu proprietatea $F(0)=5$. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-5x+4\right)e^x$.

a) Arătați că funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)=\left(x^2-7x+11\right)e^x$, este o primitivă a funcției $f$. (5 p) b) Determinați $\int \left(x^2-5x+4\right)e^{x}dx$, aplicând de două ori formula de integrare prin părți. (5 p) c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ cu proprietatea $F(0)=4$ și arătați că $F$ are un punct de maxim local și un punct de minim local, precizând abscisele lor. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. Formula se obține din regula produsului, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, scoțând $f{g}^{\prime }=(fg{)}^{\prime }-f^{\prime }g$ și integrând: semnul dintre cei doi termeni este minus, iar în integrala rămasă primul factor apare derivat și al doilea integrat. Varianta C afirmă că integrala unui produs ar fi produsul integralelor, ceea ce este fals.

b) B. Puterea se simplifică prin derivare — gradul scade cu o unitate la fiecare pas și, după trei pași, polinomul dispare —, în timp ce exponențiala rămâne de aceeași formă prin integrare. Cu alegerea din varianta A gradul ar crește la $x^4$, apoi la $x^5$.

c) C. Logaritmul și funcțiile trigonometrice inverse nu au primitive în tabel — ele se calculează tocmai prin părți —, deci nu pot sta pe locul lui $g^{\prime }$; sunt așadar primele care se derivează. Pe treapta a doua stau puterile, iar pe a treia exponențialele și funcțiile trigonometrice.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Înlocuind $g$ cu $g+k$, în membrul drept apare în plus termenul $kf(x)$, dar se scade și $\int k{f}^{\prime }(x)dx=kf(x)$; cele două se anulează, deci familia de primitive obținută este aceeași. Prin urmare se alege întotdeauna primitiva cea mai simplă a lui $g^{\prime }$.

b) F. Cele două integrale nedefinite sunt mulțimi de funcții, nu funcții: în stânga avem $\{\ln x+c\}$, în dreapta $\{1+\ln x+c\}$, iar acestea sunt una și aceeași mulțime, pentru că $1+c$ parcurge toate constantele când $c$ le parcurge. Egalitatea este adevărată; nu ai voie să reduci un $\int$ care apare în ambii membri.

c) A. Dacă la a doua aplicare se derivează exponențiala în loc de funcția trigonometrică, calculul se întoarce exact de unde a plecat și se obține identitatea $I=I$, adevărată, dar fără nicio informație. Repartiția rolurilor este o decizie luată o singură dată.

d) F. Aici unul dintre factori este, până la constanta $2$, derivata exponentului $x^2$, deci metoda potrivită este cealaltă. Prin părți nu se ajunge nicăieri: derivând $x$ ar trebui o primitivă a lui $e^{x^2}$, care nu se scrie cu funcțiile cunoscute, iar derivând exponențiala se obține $\int x^3{e}^{x^2}dx$, mai grea decât cea inițială.

Itemul 3. (7 p)

a) (2 p) Alegem $f(x)=5x+2$, care se derivează, și $g^{\prime }(x)=e^x$, care se integrează; atunci $f^{\prime }(x)=5$ și $g(x)=e^x$ (1 p): $$\int (5x+2)e^{x}dx=(5x+2)e^x-\int 5e^{x}dx=(5x+2)e^x-5e^x+\mathcal{C}=(5x-3)e^x+\mathcal{C}$$ (1 p).

b) (2 p) Alegem $f(x)=3-x$, cu $f^{\prime }(x)=-1$, și $g^{\prime }(x)=\cos x$, cu $g(x)=\sin x$ (1 p): $$\int (3-x)\cos xdx=(3-x)\sin x+\int \sin xdx=(3-x)\sin x-\cos x+\mathcal{C}$$ (1 p). Cele două minusuri — cel din formulă și cel din $f^{\prime }$ — se înmulțesc și dau plus în fața integralei rămase.

c) (3 p) Alegem $f(x)=x$, cu $f^{\prime }(x)=1$, și $g^{\prime }(x)=e^{3x}$; o primitivă a lui $e^{3x}$ este $g(x)=\frac{e^{3x}}{3}$, ceea ce se verifică prin derivare (1,5 p): $$\int x{e}^{3x}dx=\frac{x{e}^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x{e}^{3x}}{3}-\frac{e^{3x}}{9}+\mathcal{C}=\frac{(3x-1)e^{3x}}{9}+\mathcal{C}$$ (1,5 p). Factorul $\frac{1}{3}$ apare de două ori, o dată din $g$ și o dată din integrala rămasă, de unde numitorul $9$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Scriem $\mathrm{arcctg}x=1\cdot \mathrm{arcctg}x$ și alegem $f(x)=\mathrm{arcctg}x$, cu $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{1+x^2}$, și $g^{\prime }(x)=1$, cu $g(x)=x$ (1 p): $$\int \mathrm{arcctg}xdx=x\mathrm{arcctg}x+\int \frac{x}{1+x^2}dx$$ (1 p). Integrala rămasă nu cere nicio metodă nouă: derivarea confirmă că ${\left(\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{1+x^2}=\frac{x}{1+x^2}$, deci $$\int \mathrm{arcctg}xdx=x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p). Modulul nu apare, pentru că $1+x^2>0$ pentru orice $x$ real.

b) (3 p) Alegem $f(x)=\ln (x+1)$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}$, și $g^{\prime }(x)=1$, cu $g(x)=x$ (1 p): $$\int \ln (x+1)dx=x\ln (x+1)-\int \frac{x}{x+1}dx$$ (0,5 p). Cum $\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, iar $(\ln |x+1|{)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$, integrala rămasă este $x-\ln |x+1|$ (1 p). Prin urmare $$\int \ln (x+1)dx=x\ln (x+1)-x+\ln (x+1)+\mathcal{C}=(x+1)\ln (x+1)-x+\mathcal{C}$$ (0,5 p), pe $(-1,+\infty )$, unde $x+1>0$, deci modulul se poate scoate, cu justificarea scrisă.

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Se derivează polinomul, se integrează exponențiala: $f(x)=x^2-4x$, $f^{\prime }(x)=2x-4$, $g^{\prime }(x)=e^x$, $g(x)=e^x$ (1 p): $$\int \left(x^2-4x\right)e^{x}dx=\left(x^2-4x\right)e^x-\int (2x-4)e^{x}dx$$ (1 p). A doua aplicare, cu aceeași repartiție a rolurilor: $$\int (2x-4)e^{x}dx=(2x-4)e^x-\int 2e^{x}dx=(2x-6)e^x+\mathcal{C}$$ (1 p). Înlocuind, $$\int \left(x^2-4x\right)e^{x}dx=\left(x^2-4x-2x+6\right)e^x+\mathcal{C}=\left(x^2-6x+6\right)e^x+\mathcal{C}$$ (1 p).

b) (4 p) Se derivează polinomul, se integrează cosinusul: $f(x)=x^2-1$, $f^{\prime }(x)=2x$, $g^{\prime }(x)=\cos x$, $g(x)=\sin x$ (1 p): $$\int \left(x^2-1\right)\cos xdx=\left(x^2-1\right)\sin x-2\int x\sin xdx$$ (1 p). A doua aplicare, cu $f(x)=x$ și $g(x)=-\cos x$: $$\int x\sin xdx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+\mathcal{C}$$ (1 p). Înlocuind și adunând termenii cu $\sin x$, $$\int \left(x^2-1\right)\cos xdx=\left(x^2-1\right)\sin x+2x\cos x-2\sin x+\mathcal{C}=\left(x^2-3\right)\sin x+2x\cos x+\mathcal{C}$$ (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (3 p) Pentru $I$: $f(x)=\cos 3x$, cu $f^{\prime }(x)=-3\sin 3x$, și $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, cu $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$ (1 p): $$I=\frac{e^{2x}\cos 3x}{2}+\frac{3}{2}\int e^{2x}\sin 3xdx=\frac{e^{2x}\cos 3x}{2}+\frac{3}{2}J$$ (1 p). Pentru $J$, cu aceeași repartiție a rolurilor, $f(x)=\sin 3x$, $f^{\prime }(x)=3\cos 3x$: $$J=\frac{e^{2x}\sin 3x}{2}-\frac{3}{2}\int e^{2x}\cos 3xdx=\frac{e^{2x}\sin 3x}{2}-\frac{3}{2}I$$ (1 p).

b) (3 p) Înlocuim a doua egalitate în prima: $$I=\frac{e^{2x}\cos 3x}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{e^{2x}\sin 3x}{2}-\frac{3}{2}I\right)=\frac{e^{2x}\cos 3x}{2}+\frac{3e^{2x}\sin 3x}{4}-\frac{9}{4}I$$ (1 p). Trecem $I$ în membrul stâng — operație legitimă, pentru că $I$ este o funcție fixată, nu o mulțime: $$\frac{13}{4}I=\frac{e^{2x}\left(2\cos 3x+3\sin 3x\right)}{4}⟹I=\frac{e^{2x}\left(2\cos 3x+3\sin 3x\right)}{13}$$ (1 p). Prin urmare $$\int e^{2x}\cos 3xdx=\frac{e^{2x}\left(2\cos 3x+3\sin 3x\right)}{13}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p). Numitorul este $13=2^2+3^2$, ca la orice integrală de acest tip.

c) (2 p) Înlocuim expresia găsită pentru $I$ în a doua egalitate de la subpunctul a): $$J=\frac{e^{2x}\sin 3x}{2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{e^{2x}\left(2\cos 3x+3\sin 3x\right)}{13}=\frac{e^{2x}\left(13\sin 3x-6\cos 3x-9\sin 3x\right)}{26}$$ (1 p), adică $J=\frac{e^{2x}\left(2\sin 3x-3\cos 3x\right)}{13}$ și $$\int e^{2x}\sin 3xdx=\frac{e^{2x}\left(2\sin 3x-3\cos 3x\right)}{13}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p). Un singur sistem a dat amândouă primitivele.

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Scriem $\sqrt{x^2+25}=1\cdot \sqrt{x^2+25}$ și alegem $f(x)=\sqrt{x^2+25}$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+25}}$ (regula funcțiilor compuse), și $g^{\prime }(x)=1$, cu $g(x)=x$ (1 p): $$I=x\sqrt{x^2+25}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}dx$$ (1 p).

b) (3 p) Cu $x^2=\left(x^2+25\right)-25$ rupem fracția în două (1 p): $$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}dx=\int \frac{x^2+25}{\sqrt{x^2+25}}dx-25\int \frac{1}{\sqrt{x^2+25}}dx=I-25\ln \left(x+\sqrt{x^2+25}\right)$$ (1,5 p), unde am folosit $\frac{x^2+25}{\sqrt{x^2+25}}=\sqrt{x^2+25}$ și rândul 13 al tabelului, cu $a=5$. Înlocuind în egalitatea de la subpunctul a) obținem ecuația $$I=x\sqrt{x^2+25}-I+25\ln \left(x+\sqrt{x^2+25}\right)$$ (0,5 p).

c) (2 p) Din $2I=x\sqrt{x^2+25}+25\ln \left(x+\sqrt{x^2+25}\right)$ rezultă $$\int \sqrt{x^2+25}dx=\frac{x\sqrt{x^2+25}}{2}+\frac{25}{2}\ln \left(x+\sqrt{x^2+25}\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p). Verificare prin derivare, folosind rândul 13 pentru al doilea termen: $$\frac{\sqrt{x^2+25}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}}{2}+\frac{25}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+25}}=\frac{x^2+25+x^2+25}{2\sqrt{x^2+25}}=\sqrt{x^2+25}$$ (1 p). Logaritmul se scrie fără modul, argumentul fiind strict pozitiv pentru orice $x$ real.

Itemul 8. (7 p)

a) (4 p) După ordinea de prioritate, se derivează logaritmul: $f(x)=\ln x$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, iar $g^{\prime }(x)=x^{-\frac{1}{2}}$, cu $g(x)=2\sqrt{x}$ (1,5 p): $$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot 2\sqrt{x}dx=2\sqrt{x}\ln x-2\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$$ (1,5 p). Cu rândul 10 al tabelului, integrala rămasă este $2\cdot 2\sqrt{x}=4\sqrt{x}$, deci $$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty )$$ (1 p).

b) (3 p) Alegem $f(x)=2x-1$, cu $f^{\prime }(x)=2$, și $g^{\prime }(x)=e^{-x}$, cu $g(x)=-e^{-x}$ (1,5 p): $$\int (2x-1)e^{-x}dx=-(2x-1)e^{-x}+2\int e^{-x}dx=-(2x-1)e^{-x}-2e^{-x}+\mathcal{C}=-(2x+1)e^{-x}+\mathcal{C}$$ (1,5 p). Semnul minus din $g$ se propagă în ambii termeni; este locul în care se pierd cele mai multe puncte la acest tip.

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Pentru $n=0$ avem ${\ln }^{0}x=1$, deci $I_0=x$ (1 p). Pentru $n=1$ folosim trucul factorului $1$, cu $f(x)=\ln x$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $g^{\prime }(x)=1$, $g(x)=x$: $$I_1=x\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot xdx=x\ln x-\int 1dx=x\ln x-x$$ (2 p).

b) (4 p) Scriem ${\ln }^{n}x=1\cdot {\ln }^{n}x$ și alegem $f(x)={\ln }^{n}x$, iar $g^{\prime }(x)=1$, cu $g(x)=x$ (1 p). Derivata lui $f$ se calculează cu regula funcțiilor compuse: $${\left({\ln }^{n}x\right)}^{\prime }=n{\ln }^{n-1}x\cdot \frac{1}{x}$$ (1,5 p). Aplicând formula, $$I_n=x{\ln }^{n}x-\int n{\ln }^{n-1}x\cdot \frac{1}{x}\cdot xdx=x{\ln }^{n}x-n\int {\ln }^{n-1}xdx=x{\ln }^{n}x-n{I}_{n-1}$$ (1,5 p), pentru orice $n\ge 1$; simplificarea $\frac{1}{x}\cdot x=1$ este momentul-cheie al calculului.

c) (3 p) Coborâm pe recurență, pornind de la $I_1=x\ln x-x$: $$I_2=x{\ln }^{2}x-2I_1=x{\ln }^{2}x-2x\ln x+2x$$ (1,5 p), $$I_3=x{\ln }^{3}x-3I_2=x{\ln }^{3}x-3x{\ln }^{2}x+6x\ln x-6x$$ (1 p). Prin urmare, pe $(0,+\infty )$, mulțimile primitivelor sunt $x{\ln }^{2}x-2x\ln x+2x+\mathcal{C}$ și, respectiv, $x{\ln }^{3}x-3x{\ln }^{2}x+6x\ln x-6x+\mathcal{C}$ (0,5 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (4 p) Cu rolurile inversate alegem $f(x)=e^{3x}$, care se derivează, deci $f^{\prime }(x)=3e^{3x}$, și $g^{\prime }(x)=x$, care se integrează, deci $g(x)=\frac{x^2}{2}$ (1,5 p). Formula dă $$\int x{e}^{3x}dx=\frac{x^2}{2}{e}^{3x}-\frac{3}{2}\int x^2{e}^{3x}dx$$ (1,5 p). Egalitatea este perfect corectă — formula e adevărată pentru orice împărțire a integrandului —, dar gradul puterii a crescut de la $1$ la $2$, deci integrala rămasă este mai grea decât cea inițială; la pasul următor s-ar ajunge la $x^3$, apoi la $x^4$, la nesfârșit. Este greșeala „am schimbat rolurile", iar semnalul ei este chiar compararea integralei rămase cu cea de la care s-a pornit (1 p).

b) (3 p) Înlocuind $g$ cu $g+k$, membrul drept devine $$f(x)(g(x)+k)-\int f^{\prime }(x)(g(x)+k)dx=f(x)g(x)+kf(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx-\int k{f}^{\prime }(x)dx$$ (1,5 p). Cum $\int k{f}^{\prime }(x)dx=kf(x)+\mathcal{C}$, termenul $kf(x)$ apărut în plus se scade la loc (1 p), iar familia de primitive obținută este aceeași; de aceea $g$ se ia fără constantă, cea mai simplă primitivă a lui $g^{\prime }$ (0,5 p).

c) (3 p) Alegem $f_1(x)=x-1$, cu $f_1^{\prime }(x)=1$, și $g^{\prime }(x)=e^x$, cu $g(x)=e^x$ (am notat primul factor cu $f_1$, ca să nu îl confundăm cu funcția $f$ din enunț) (1 p): $$\int (x-1)e^{x}dx=(x-1)e^x-\int e^{x}dx=(x-2)e^x+\mathcal{C}$$ (1 p). Orice primitivă are forma $F(x)=(x-2)e^x+c$; din $F(0)=-2+c=5$ rezultă $c=7$, deci $F(x)=(x-2)e^x+7$ (1 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Funcția $G$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, fiind produs de funcții derivabile pe $\mathbb{R}$ (1 p). Derivăm cu regula produsului: $$G^{\prime }(x)=(2x-7)e^x+\left(x^2-7x+11\right)e^x=\left(x^2-7x+11+2x-7\right)e^x$$ (2 p). Reducând termenii asemenea, $x^2-7x+11+2x-7=x^2-5x+4$, deci $$G^{\prime }(x)=\left(x^2-5x+4\right)e^x=f(x),x\in \mathbb{R}$$ (1,5 p). Egalitatea are loc în fiecare punct al lui $\mathbb{R}$, deci $G$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ (0,5 p).

b) (5 p) Se derivează polinomul, se integrează exponențiala: $f_1(x)=x^2-5x+4$, $f_1^{\prime }(x)=2x-5$, $g^{\prime }(x)=e^x$, $g(x)=e^x$ (1 p): $$\int \left(x^2-5x+4\right)e^{x}dx=\left(x^2-5x+4\right)e^x-\int (2x-5)e^{x}dx$$ (1,5 p). A doua aplicare, cu aceeași repartiție a rolurilor: $$\int (2x-5)e^{x}dx=(2x-5)e^x-\int 2e^{x}dx=(2x-7)e^x+\mathcal{C}$$ (1,5 p). Înlocuind și reducând, $$\int \left(x^2-5x+4\right)e^{x}dx=\left(x^2-5x+4-2x+7\right)e^x+\mathcal{C}=\left(x^2-7x+11\right)e^x+\mathcal{C}$$ (1 p), adică exact funcția de la subpunctul a).

c) (5 p) Orice primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ are forma $F(x)=\left(x^2-7x+11\right)e^x+c$; din $F(0)=11+c=4$ rezultă $c=-7$ (1,5 p), deci $$F(x)=\left(x^2-7x+11\right)e^x-7,x\in \mathbb{R}$$ (0,5 p). Extremele. Avem $F^{\prime }=f$, iar $e^x>0$ pentru orice $x$ real, deci semnul lui $f$ este semnul trinomului $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$, cu rădăcinile $1$ și $4$ (1,5 p). Coeficientul dominant fiind pozitiv, $f$ este pozitivă pe $(-\infty ,1)$, negativă pe $(1,4)$ și pozitivă pe $(4,+\infty )$ (0,5 p). Prin urmare $F$ este strict crescătoare, apoi strict descrescătoare, apoi din nou strict crescătoare: în $x=1$ derivata trece de la plus la minus, deci acolo este punct de maxim local, cu $F(1)=5e-7$, iar în $x=4$ trece de la minus la plus, deci acolo este punct de minim local, cu $F(4)=-e^4-7$. Concluzia nu depinde de constantă, pentru că translația pe verticală nu schimbă monotonia (1 p).