Test: legea de compoziție și tabla operației

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Legi de compoziție

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă primele trei lecții ale algebrei de clasa a XII-a și verifică patru lucruri. Primul: definiția legii de compoziție ca funcție $\ast :M\times M\to M$ și cele două motive pentru care o operație poate fi respinsă — nu e definită pentru toate perechile sau rezultatul iese din mulțime. Al doilea: tabla operației pe o mulțime finită, completată linie cu linie și citită corect (comutativitatea ca simetrie față de diagonala principală, elementul neutru ca linie și coloană care reproduc antetele, elementele simetrizabile ca poziții în care apare elementul neutru). Al treilea: partea stabilă și legea indusă, cu rețeta în trei pași — forma generală a elementelor, calculul compusului, concluzia — și cu respingerea printr-un singur contraexemplu complet scris. Al patrulea: forma factorizată a unei legi date printr-o formulă, care transformă verificarea unui interval într-o înmulțire de două numere de același semn. La acest nivel se cere numai citirea proprietăților din tablă, nu demonstrarea lor: unicitatea elementului neutru, unicitatea simetricului și demonstrația asociativității aparțin lecțiilor următoare ale unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare tablă se consideră completă doar dacă sub ea este scrisă propoziția de verificare a apartenenței: toate valorile din tablă aparțin mulțimii pe care se lucrează. Se depunctează: verdictul „este lege de compoziție" dat fără să fie numită mulțimea; demonstrațiile făcute pe numere alese convenabil în loc de litere; contraexemplele scrise pe jumătate, fără calculul efectuat; elementul neutru declarat după verificarea unei singure linii; folosirea termenului „mulțime închisă" în locul termenului cerut, parte stabilă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea celor trei lecții, cu accent pe rețeta în trei pași a părții stabile și pe citirea tablei.
• Formule de reținut: o lege de compoziție pe mulțimea nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\ast y$, iar $x\ast y$ se numește compusul lui $x$ cu $y$. O submulțime $H\subseteq M$ este parte stabilă în raport cu $\ast$ dacă $$x\ast y\in H\text{pentru orice }x,y\in H,$$ iar restricția lui $\ast$ la $H\times H$ se numește legea indusă pe $H$. În tabla operației, compusul $x\ast y$ se citește pe linia lui $x$ și pe coloana lui $y$; legea este comutativă exact când tabla este simetrică față de diagonala principală; elementul $e$ este element neutru exact când linia lui reproduce antetul de sus și coloana lui reproduce antetul din stânga; elementul $x$ este simetrizabil exact când $e$ apare pe linia lui, iar poziția oglindită conține tot pe $e$. O lege de forma $x\ast y=xy-ax-ay+b$ se scrie factorizat $$x\ast y=(x-a)(y-a)+a\text{exact atunci caˆnd}b=a^2+a,$$ iar din această formă se citește imediat că intervalul $(a,+\infty )$ este parte stabilă și că $a\ast y=a$ pentru orice $y$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Legea de compoziție: recunoaștere și calcul

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dintre operațiile de mai jos, nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$: A. $x+y$; B. $xy$; C. $x-y$; D. $\max (x,y)$.

b) Pentru legea $x\ast y=xy+5x+5y+20$, definită pe $\mathbb{R}$, valoarea lui $0\ast 1$ este: A. $20$; B. $25$; C. $26$; D. $30$.

c) Tabla unei legi de compoziție definite pe o mulțime cu $5$ elemente are, în afara antetelor, un număr de căsuțe egal cu: A. $10$; B. $20$; C. $25$; D. $32$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare operație de mai jos este lege de compoziție pe mulțimea indicată și justifică de fiecare dată răspunsul (câte 2 puncte): a) $x\ast y=\frac{x+y}{3}$, pe $\mathbb{Z}$; b) $x\ast y=xy-x-y$, pe $\mathbb{N}$; c) $x\ast y=\frac{x}{y}$, pe $(0,+\infty )$.

Itemul 3 (6 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy+5x+5y+20$. a) Calculează $1\ast 2$ și $(-3)\ast (-3)$. (2 p) b) Arată că $x\ast y=(x+5)(y+5)-5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. (2 p) c) Arată că $x\ast (-5)=-5$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Pe mulțimea $M=\{1,2,3,4\}$ se consideră operația $x\ast y=\min (x,y)$, adică cel mai mic dintre cele două numere. a) Scrie tabla operației $\ast$. (4 p) b) Arată, folosind tabla, că $\ast$ este lege de compoziție pe $M$. (2 p)

Itemul 5 (6 puncte)

Folosind tabla scrisă la itemul precedent, răspunde la următoarele întrebări, precizând de fiecare dată unde ai citit răspunsul (câte 2 puncte): a) Este legea $\ast$ comutativă? b) Are legea $\ast$ element neutru? Dacă da, care este el? c) Care dintre elementele mulțimii $M$ sunt simetrizabile?

Partea a II-a – Parte stabilă și lege indusă

Itemul 6 (8 puncte)

Fie $H=\{5k+1\mid k\in \mathbb{Z}\}$, mulțimea numerelor întregi care dau restul $1$ la împărțirea cu $5$. a) Arată că $H$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu înmulțirea. (5 p) b) Arată, cu un contraexemplu, că $H$ nu este parte stabilă în raport cu adunarea. (3 p)

Itemul 7 (8 puncte)

Pe mulțimea $M=\{u,a,b,c\}$ se consideră legea de compoziție dată de tabla:

a) Arată că $H=\{b,c\}$ este parte stabilă a lui $M$ și scrie tabla legii induse pe $H$. (4 p) b) Arată că $\{u,c\}$ nu este parte stabilă a lui $M$. (2 p) c) Determină elementul neutru al legii $\ast$ și elementele simetrizabile ale lui $M$. (2 p)

Itemul 8 (8 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră aceeași lege $x\ast y=xy+5x+5y+20$ de la itemul 3. a) Arată că intervalul $(-5,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu $\ast$. (4 p) b) Arată că intervalul $(-6,+\infty )$ nu este parte stabilă, folosind perechea $x=-\frac{11}{2}$, $y=5$. (4 p)

Itemul 9 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „O operație dată printr-o formulă polinomială cu coeficienți întregi este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$." b) „Dacă $H$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu $\ast$, atunci orice submulțime nevidă a lui $H$ este parte stabilă." c) „Pe mulțimea $M=\{1,2,3,4\}$, operația $x\ast y=x+y$ este lege de compoziție." d) „Dacă în tabla unei operații pe mulțimea finită $M$ apare o valoare care nu aparține lui $M$, atunci operația nu este lege de compoziție pe $M$."

Partea a III-a – Sinteză și item de tip examen

Itemul 10 (10 puncte)

Pe mulțimea $M=\{1,2,4\}$ se consideră operația $x\ast y=$ restul împărțirii produsului $xy$ la $7$. a) Scrie tabla operației și arată că $\ast$ este lege de compoziție pe $M$. (4 p) b) Citește din tablă comutativitatea și elementul neutru. (3 p) c) Determină simetricul fiecărui element al lui $M$ și arată că $\{1\}$ este singura parte stabilă nevidă a lui $M$ diferită de $M$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Pe $\mathbb{Z}$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=x+y-6$. a) Arată că $\ast$ este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ și calculează $2\ast 5$ și $6\ast 6$. (3 p) b) Arată că mulțimea numerelor întregi pare este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu $\ast$, iar mulțimea numerelor întregi impare nu este. (5 p)

Itemul 12 (10 puncte)

(Item de tip Bacalaureat M1, Subiectul al II-lea.) Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-13x-13y+182$. a) Arătați că $x\ast y=(x-13)(y-13)+13$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, și calculați $14\ast 16$. (3 p) b) Arătați că intervalul $(13,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$ și că $\mathbb{Z}$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu aceeași lege. (4 p) c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x\ast x=29$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) C. (2 p) Diferența a două numere naturale poate ieși din $\mathbb{N}$: $2-5=-3\notin \mathbb{N}$. Celelalte trei operații dau întotdeauna un număr natural.

b) B. (2 p) $0\ast 1=0\cdot 1+5\cdot 0+5\cdot 1+20=25$.

c) C. (2 p) Rămâne un pătrat de $5$ linii pe $5$ coloane, adică $5^2=25$ de căsuțe; antetul de sus și antetul din stânga nu se numără.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p verdictul, 1,5 p justificarea).

a) Nu este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ (0,5 p). Contraexemplu: pentru $x=y=1$ obținem $1\ast 1=\frac{2}{3}\notin \mathbb{Z}$, deci rezultatul iese din mulțime (1,5 p).

b) Nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$ (0,5 p). Contraexemplu: $1\ast 1=1-1-1=-1\notin \mathbb{N}$ (1,5 p).

c) Da (0,5 p). Pentru orice $x,y>0$ numitorul este nenul, deci împărțirea are sens, iar câtul a două numere strict pozitive este un număr strict pozitiv: $\frac{x}{y}\in (0,+\infty )$. Ambele condiții din definiție sunt îndeplinite (1,5 p).

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) $1\ast 2=1\cdot 2+5\cdot 1+5\cdot 2+20=2+5+10+20=37$ (1 p); $(-3)\ast (-3)=9-15-15+20=-1$ (1 p).

b) (2 p) Desfacem paranteza din membrul drept (0,5 p): $$(x+5)(y+5)-5=xy+5x+5y+25-5=xy+5x+5y+20=x\ast y.$$ Egalitatea are loc pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ (1,5 p). Control numeric: $(1+5)(2+5)-5=42-5=37$, adică valoarea găsită la punctul a).

c) (2 p) Punem $y=-5$ în forma factorizată (0,5 p): $x\ast (-5)=(x+5)(-5+5)-5=(x+5)\cdot 0-5=-5$, pentru orice $x$ real (1,5 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (4 p) Completăm linie cu linie: pe linia lui $1$ punem $\min (1,1)=1$, $\min (1,2)=1$, $\min (1,3)=1$, $\min (1,4)=1$; și tot așa (1 p).

(3 p) — câte $0,75$ p pentru fiecare linie completată corect.

b) (2 p) Toate cele $16$ valori din tablă sunt elemente ale lui $M$ (1 p); în plus, $\min (x,y)$ are sens pentru orice pereche de elemente ale lui $M$. Cele două condiții din definiție fiind îndeplinite, $\ast$ este lege de compoziție pe $M$ (1 p).

Itemul 5. (6 p)

a) (2 p) Da, legea este comutativă (0,5 p): tabla este simetrică față de diagonala principală (căsuțele $1$, $2$, $3$, $4$), de exemplu căsuța de pe linia lui $2$ și coloana lui $4$ conține $2$, iar cea de pe linia lui $4$ și coloana lui $2$ conține tot $2$ (1,5 p).

b) (2 p) Da, elementul neutru este $e=4$ (0,5 p): linia lui $4$ este $1,2,3,4$, adică exact antetul de sus, iar coloana lui $4$ este $1,2,3,4$, adică exact antetul din stânga (1,5 p).

c) (2 p) Căutăm elementul neutru $4$ în interiorul tablei (0,5 p): pe linia lui $1$ apar numai valori $1$, pe linia lui $2$ apar $1$ și $2$, pe linia lui $3$ apar $1$, $2$ și $3$ — în niciuna nu apare $4$. Pe linia lui $4$, valoarea $4$ apare în coloana lui $4$ (1 p). Prin urmare singurul element simetrizabil este $4$, cu $4^{\prime }=4$ (0,5 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (5 p) Fie $x,y\in H$ arbitrare; le scriem sub forma generală $x=5m+1$ și $y=5n+1$, cu $m,n\in \mathbb{Z}$ (1 p). Atunci $$xy=(5m+1)(5n+1)=25mn+5m+5n+1=5(5mn+m+n)+1$$ (2,5 p). Cum $5mn+m+n$ este număr întreg, rezultatul are exact forma $5k+1$, deci $xy\in H$ (1 p). Elementele fiind arbitrare, $H$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu înmulțirea (0,5 p).

b) (3 p) Alegem $x=1$ și $y=6$, ambele din $H$ (pentru $k=0$, respectiv $k=1$) (1 p). Atunci $x+y=7$, iar $7=5\cdot 1+2$ dă restul $2$, nu $1$, deci $7\notin H$ (1,5 p). Un singur contraexemplu este suficient pentru respingere (0,5 p).

Itemul 7. (8 p)

a) (4 p) Calculăm cele patru compuneri ale elementelor lui $H$, citind din tablă: $b\ast b=b$, $b\ast c=c$, $c\ast b=c$, $c\ast c=b$ (1,5 p). Toate cele patru valori sunt elemente ale lui $H$, deci $H$ este parte stabilă (1 p). Tabla legii induse este sub-tabla formată din liniile și coloanele lui $b$ și $c$ (1,5 p):

b) (2 p) Elementele $u$ și $c$ aparțin lui $M$, iar din tablă $c\ast c=b$ (1 p). Cum $b\notin \{u,c\}$, sub-tabla conține un element străin, deci $\{u,c\}$ nu este parte stabilă (1 p).

c) (2 p) Linia lui $u$ este $u,a,b,c$, adică antetul de sus, iar coloana lui $u$ este $u,a,b,c$, adică antetul din stânga, deci $e=u$ (1 p). Căutăm $u$ în interiorul tablei: apare pe linia lui $u$ (coloana lui $u$) și pe linia lui $a$ (coloana lui $a$); pe liniile lui $b$ și $c$ nu apare deloc. Prin urmare elementele simetrizabile sunt $u$ și $a$, cu $u^{\prime }=u$ și $a^{\prime }=a$ (1 p).

Itemul 8. (8 p)

a) (4 p) Folosim forma factorizată $x\ast y=(x+5)(y+5)-5$ (0,5 p). Fie $x>-5$ și $y>-5$; atunci $x+5>0$ și $y+5>0$ (1,5 p), deci produsul lor este strict pozitiv și $$x\ast y=(x+5)(y+5)-5>0-5=-5$$ (1,5 p). Rezultatul aparține deci intervalului $(-5,+\infty )$, care este parte stabilă (0,5 p).

b) (4 p) Alegem $x=-\frac{11}{2}$ și $y=5$; amândouă aparțin intervalului, pentru că $-\frac{11}{2}=-5,5>-6$ (1 p). Atunci $x+5=-\frac{1}{2}$ și $y+5=10$, deci $$x\ast y=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 10-5=-5-5=-10$$ (2 p). Cum $-10<-6$, rezultatul iese din interval, deci $(-6,+\infty )$ nu este parte stabilă (1 p). Verificare pe formula inițială: $-\frac{55}{2}-\frac{55}{2}+25+20=-55+45=-10$ ✓

Itemul 9. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p verdictul, 1,5 p justificarea).

a) A. (0,5 p) Sumele și produsele de numere întregi sunt numere întregi, deci o expresie polinomială cu coeficienți întregi ia valori întregi pentru orice pereche de numere întregi; ea are sens pentru orice pereche, neconținând împărțiri sau radicali (1,5 p).

b) F. (0,5 p) Contraexemplu: în $(\mathbb{Z},+)$, mulțimea $2\mathbb{Z}$ a numerelor pare este parte stabilă, dar submulțimea ei $\{2\}$ nu este, pentru că $2+2=4\notin \{2\}$ (1,5 p).

c) F. (0,5 p) Contraexemplu: $3+4=7\notin M$, deci rezultatul iese din mulțime (1,5 p).

d) A. (0,5 p) Tabla conține toate compunerile posibile ale elementelor lui $M$; dacă una dintre ele nu aparține lui $M$, condiția „rezultatul rămâne în mulțime" cade, deci operația nu este lege de compoziție pe $M$ (1,5 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (4 p) Calculăm resturile: $1\cdot 1=1$; $1\cdot 2=2$; $1\cdot 4=4$; $2\cdot 2=4$; $2\cdot 4=8=7+1$, deci $2\ast 4=1$; $4\cdot 4=16=2\cdot 7+2$, deci $4\ast 4=2$ (1,5 p).

(1,5 p) Toate cele nouă valori aparțin lui $M=\{1,2,4\}$, iar restul împărțirii la $7$ are sens pentru orice pereche, deci $\ast$ este lege de compoziție pe $M$ (1 p).

b) (3 p) Tabla este simetrică față de diagonala principală (căsuțele $1$, $4$, $2$) — de pildă $2\ast 4=1=4\ast 2$ —, deci legea este comutativă (1,5 p). Linia lui $1$ este $1,2,4$, adică antetul de sus, iar coloana lui $1$ este $1,2,4$, adică antetul din stânga, deci elementul neutru este $e=1$ (1,5 p).

c) (3 p) Căutăm $1$ pe fiecare linie: pe linia lui $1$ apare în coloana lui $1$, deci $1^{\prime }=1$; pe linia lui $2$ apare în coloana lui $4$, deci $2^{\prime }=4$; pe linia lui $4$ apare în coloana lui $2$, deci $4^{\prime }=2$ (1,5 p). Pentru părțile stabile: $\{1\}$ este parte stabilă, pentru că $1\ast 1=1$; mulțimile $\{2\}$ și $\{1,2\}$ nu sunt, pentru că $2\ast 2=4\notin$ mulțime; $\{2,4\}$ nu este, pentru că $2\ast 4=1\notin \{2,4\}$; iar $\{4\}$ și $\{1,4\}$ nu sunt, pentru că $4\ast 4=2$ (1,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Suma și diferența numerelor întregi sunt numere întregi, deci $x+y-6\in \mathbb{Z}$ pentru orice $x,y\in \mathbb{Z}$; expresia are sens pentru orice pereche, deci $\ast$ este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ (1,5 p). Apoi $2\ast 5=2+5-6=1$ (0,75 p) și $6\ast 6=6+6-6=6$ (0,75 p).

b) (5 p) Numerele pare. Fie $x=2m$ și $y=2n$, cu $m,n\in \mathbb{Z}$ (1 p). Atunci $$x\ast y=2m+2n-6=2(m+n-3),$$ iar $m+n-3$ este număr întreg, deci $x\ast y$ este par (2 p). Prin urmare mulțimea numerelor pare este parte stabilă (0,5 p). Numerele impare. Alegem $x=y=1$, ambele impare; atunci $1\ast 1=1+1-6=-4$, număr par, deci rezultatul iese din mulțime (1,5 p).

Itemul 12. (10 p)

a) (3 p) Desfacem paranteza din membrul drept (0,5 p): $$(x-13)(y-13)+13=xy-13x-13y+169+13=xy-13x-13y+182=x\ast y,$$ egalitate valabilă pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$ (1,5 p). Cu forma factorizată, $14\ast 16=(14-13)(16-13)+13=1\cdot 3+13=16$ (1 p). Verificare pe formula inițială: $224-182-208+182=16$ ✓

b) (4 p) Intervalul. Fie $x,y\in (13,+\infty )$, deci $x-13>0$ și $y-13>0$ (0,5 p); atunci $(x-13)(y-13)>0$, de unde $$x\ast y=(x-13)(y-13)+13>13,$$ adică $x\ast y\in (13,+\infty )$ (2 p). Mulțimea $\mathbb{Z}$. Dacă $x$ și $y$ sunt numere întregi, atunci $xy-13x-13y+182$ este o sumă de produse de numere întregi, deci este număr întreg; prin urmare $\mathbb{Z}$ este parte stabilă (1,5 p).

c) (3 p) Cu forma factorizată, ecuația devine $(x-13{)}^2+13=29$, adică $(x-13{)}^2=16$ (1,5 p). Rezultă $x-13=4$ sau $x-13=-4$, deci $x=17$ sau $x=9$ (1 p). Verificare: $17\ast 17=289-221-221+182=29$ ✓ și $9\ast 9=81-117-117+182=29$ ✓ (0,5 p)