Test: legi de compoziție cu parametri

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Legi de compoziție

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea și este cel mai apropiat de subiectele reale de examen: aproape orice problemă de structuri algebrice din Subiectul al II-lea începe cu o lege dată printr-o formulă, iar varianta cu parametru arată cine a înțeles și cine a memorat. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: mecanismul invers — nu se verifică o proprietate a unei legi date, ci se caută legea care are proprietatea cerută; necunoscuta este parametrul, iar rezolvarea are două jumătăți la fel de obligatorii, condiția necesară (din valori particulare sau din identitatea generală) și verificarea pentru fiecare valoare găsită. Al doilea: condiția de asociativitate a familiei $x\ast y=xy+a(x+y)+b$ și forma ei factorizată, din care se citesc elementul neutru, elementele simetrizabile și partea stabilă. Al treilea: familia cu coeficient, $x\ast y=axy+b(x+y)+c$, unde condiția este de gradul al doilea în $b$ și dă, de regulă, două valori — pierderea uneia dintre ele este greșeala clasică. Al patrulea: comutativitatea cu parametru, care cere egalitatea coeficienților lui $x$ și ai lui $y$ și care este independentă de asociativitate. Al cincilea: aceeași metodă aplicată pe o mulțime finită de clase de resturi, plus o recapitulare a întregii unități (parte stabilă, semigrup, monoid, elemente simetrizabile).

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: oprirea după condiția necesară, fără verificarea generală; alegerea unor valori particulare cu $x=z$, care nu spun nimic despre parametru; pierderea uneia dintre soluțiile ecuației în parametru; omiterea elementului care nu are simetric; confundarea parametrului, care este fix, cu variabilele $x$ și $y$, care parcurg toată mulțimea.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea ultimei lecții a unității împreună cu cea despre legile date prin formule.
• Formule de reținut: ⚠️ în tot testul, litera $a$ este coeficientul lui $x+y$, ca în ultima lecție a unității; forma factorizată corespunzătoare este $(x+a)(y+a)-a$, nu $(x-a)(y-a)+a$, iar rolul literelor se citește de fiecare dată din forma factorizată. Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$, definită pe $\mathbb{R}$, este comutativă pentru orice $a$ și $b$ și este asociativă dacă și numai dacă $b=a^2-a$, pentru că $$(x\ast y)\ast z-x\ast (y\ast z)=(b+a-a^2)(z-x).$$ În acest caz legea se scrie factorizat $x\ast y=(x+a)(y+a)-a$, are elementul neutru $e=1-a$, intervalul $(-a,+\infty )$ este parte stabilă, singurul element fără simetric este $-a$, iar pentru $x\ne -a$ $$x^{\prime }=\frac{1}{x+a}-a.$$ Pentru familia $x\ast y=axy+b(x+y)+c$ cu $a\ne 0$, condiția de asociativitate este $ac+b=b^2$, forma factorizată este $a(x\ast y)+b=(ax+b)(ay+b)$, iar elementul neutru este $e=\frac{1-b}{a}$. Comutativitatea și existența elementului neutru nu atrag asociativitatea: legea $x\ast y=x+y+x{y}^2$ are elementul neutru $0$, dar $(1\ast 1)\ast 1=7$, în timp ce $1\ast (1\ast 1)=13$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Determinarea parametrilor: recunoaștere și calcul

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă dacă și numai dacă: A. $b=a^2$; B. $b=a^2-a$; C. $b=a^2+a$; D. $b=a-a^2$.

b) Elementul neutru al legii $x\ast y=(x+3)(y+3)-3$, definită pe $\mathbb{R}$, este: A. $-3$; B. $-2$; C. $4$; D. $1$.

c) Legea $x\ast y=2xy+5x+my+1$, definită pe $\mathbb{R}$, este comutativă pentru: A. $m=1$; B. $m=2$; C. $m=5$; D. orice valoare a lui $m$.

Itemul 2 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy+11(x+y)+m$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină valoarea lui $m$ pentru care legea este asociativă. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, scrie forma factorizată a legii și determină elementul neutru. (3 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=4xy+m(x+y)+3$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină toate valorile lui $m$ pentru care legea este asociativă. (3 p) b) Determină elementul neutru corespunzător fiecărei valori găsite. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=3xy+7x+my+2$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină $m$ astfel încât legea să fie comutativă. (3 p) b) Pentru valoarea găsită, stabilește dacă legea este și asociativă. (3 p)

Itemul 5 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 2 puncte): a) „Dacă o lege de compoziție are element neutru, atunci ea este asociativă." b) „Condiția de asociativitate a legii $x\ast y=axy+b(x+y)+c$, cu $a\ne 0$, poate fi îndeplinită de două valori diferite ale lui $b$." c) „Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+a^2-a$ este comutativă, oricare ar fi numărul real $a$."

Partea a II-a – Structura legii, după determinarea parametrului

Itemul 6 (9 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy+11(x+y)+110$, adică legea obținută la itemul 2. a) Arată că intervalul $(-11,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu $\ast$. (3 p) b) Determină mulțimea elementelor simetrizabile din $\mathbb{R}$ și formula simetricului lui $x$. (3 p) c) Rezolvă în intervalul $(-11,+\infty )$ ecuația $x\ast x=-2$. (3 p)

Itemul 7 (9 puncte)

Pe mulțimea ${\mathbb{Z}}_{11}$ a claselor de resturi modulo $11$ se consideră legea $$\hat{x}\ast \hat{y}=\hat{x}\cdot \hat{y}+\hat{4}\cdot \left(\hat{x}+\hat{y}\right)+\hat{b}.$$ a) Determină clasa $\hat{b}$ pentru care legea este asociativă și scrie forma factorizată. (3 p) b) Determină elementul neutru al legii. (3 p) c) Determină singura clasă care nu este simetrizabilă și calculează simetricul clasei $\hat{0}$. (3 p)

Itemul 8 (9 puncte)

a) Fie $(M,\ast )$ un monoid cu elementul neutru $e$ și fie $x,y\in M$ două elemente simetrizabile. Demonstrează că $x\ast y$ este simetrizabil și că $(x\ast y{)}^{\prime }=y^{\prime }\ast x^{\prime }$. (4 p) b) Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=3xy+4(x+y)+4$. Arată că este asociativă, determină elementul neutru și mulțimea elementelor simetrizabile. (5 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip examen

Itemul 9 (11 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determină $a$ și $b$ astfel încât legea să fie asociativă și să aibă elementul neutru $e=-9$. (4 p) b) Pentru valorile găsite, arată că intervalul $(-10,+\infty )$ este parte stabilă și că elementul neutru îi aparține. (4 p) c) Calculează compunerea lui $-8$ cu el însuși de patru ori. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Pe intervalul $(0,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=\frac{xy}{x+y}$. a) Arată că $\ast$ este lege de compoziție pe $(0,+\infty )$ și că este comutativă. (3 p) b) Arată că $\ast$ este asociativă, verificând că ambii membri sunt egali cu $\frac{xyz}{xy+yz+zx}$. (4 p) c) Arată că legea nu are element neutru și precizează ce structură dintre cele studiate formează $((0,+\infty ),\ast )$. (3 p)

Itemul 11 (12 puncte)

(Item de tip Bacalaureat M1, Subiectul al II-lea.) Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy+a(x+y)+132$, unde $a$ este un număr real. a) Determinați valorile lui $a$ pentru care legea $\ast$ este asociativă. (4 p) b) Pentru $a=12$, arătați că $x\ast y=(x+12)(y+12)-12$, determinați elementul neutru și arătați că intervalul $(-12,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$. (4 p) c) Pentru $a=12$, determinați mulțimea elementelor simetrizabile și rezolvați în intervalul $(-12,+\infty )$ ecuația $x\ast x=-3$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) B. (2 p) Diferența dintre cei doi membri ai asociativității este $(b+a-a^2)(z-x)$, deci ea se anulează pentru orice $x,y,z$ exact când $b+a-a^2=0$, adică $b=a^2-a$.

b) B. (2 p) Legea are forma $(x+a)(y+a)-a$ cu $a=3$, deci $e=1-a=-2$; verificare: $x\ast (-2)=(x+3)(-2+3)-3=x+3-3=x$.

c) C. (2 p) Comutativitatea cere ca formula să fie simetrică în $x$ și $y$, deci coeficientul lui $x$ și cel al lui $y$ trebuie să fie egali: $m=5$.

Itemul 2. (6 p)

a) (3 p) Legea este din familia $xy+a(x+y)+b$, cu $a=11$ și $b=m$ (1 p). Condiția de asociativitate $b=a^2-a$ dă $$m=11^2-11=121-11=110$$ (2 p).

b) (3 p) Forma factorizată: $(x+11)(y+11)-11=xy+11x+11y+121-11=xy+11(x+y)+110$ ✓ (1,5 p). Elementul neutru este $e=1-a=1-11=-10$ (1 p). Verificare: $x\ast (-10)=(x+11)(-10+11)-11=x+11-11=x$ ✓ (0,5 p)

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Legea este din familia $axy+b(x+y)+c$, cu $a=4$, $b=m$, $c=3$ (0,5 p). Condiția de asociativitate este $ac+b=b^2$, adică $$4\cdot 3+m=m^2⟺m^2-m-12=0$$ (1,5 p). Discriminantul este $\Delta =1+48=49$, deci $m_1=4$ și $m_2=-3$ (1 p).

b) (3 p) Elementul neutru este $e=\frac{1-b}{a}$, deci (1 p): $$\text{pentru }m=4:e=\frac{1-4}{4}=-\frac{3}{4};\text{pentru }m=-3:e=\frac{1+3}{4}=1.$$ (1 p) Verificare pentru $m=-3$: $x\ast 1=4x-3x-3+3=x$ ✓; pentru $m=4$: $x\ast \left(-\frac{3}{4}\right)=-3x+4x-3+3=x$ ✓ (1 p)

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Comutativitatea cere $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y$ (0,5 p): $$3xy+7x+my+2=3xy+7y+mx+2⟺(7-m)x=(7-m)y\text{pentru orice }x,y.$$ (1,5 p) Luând $x=1$ și $y=0$ obținem $7-m=0$, deci $m=7$; reciproc, pentru $m=7$ formula devine $3xy+7(x+y)+2$, simetrică în $x$ și $y$, deci comutativă (1 p).

b) (3 p) Pentru $m=7$ legea este din familia $axy+b(x+y)+c$, cu $a=3$, $b=7$, $c=2$ (0,5 p). Condiția de asociativitate cere $ac+b=b^2$, adică $3\cdot 2+7=7^2$, adică $13=49$ — fals (1,5 p). Prin urmare legea nu este asociativă. Contraexemplu, pentru redactarea completă: $1\ast 0=3\cdot 0+7+0+2=9$, deci $(1\ast 0)\ast 0=9\ast 0=63+2=65$, iar $0\ast 0=2$, deci $1\ast (0\ast 0)=1\ast 2=6+7+14+2=29$; cum $65\ne 29$, legea nu este asociativă (1 p).

Itemul 5. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p verdictul, 1,5 p justificarea).

a) F. (0,5 p) Contraexemplul fixat: legea $x\ast y=x+y+x{y}^2$ are elementul neutru $0$, pentru că $x\ast 0=x$ și $0\ast y=y$; totuși $(1\ast 1)\ast 1=3\ast 1=7$, în timp ce $1\ast (1\ast 1)=1\ast 3=13$, deci legea nu este asociativă (1,5 p).

b) A. (0,5 p) Condiția $ac+b=b^2$ se scrie $b^2-b-ac=0$, ecuație de gradul al doilea în $b$; când discriminantul $1+4ac$ este strict pozitiv, ea are două soluții. Exemplu: pentru $a=4$ și $c=3$ se obțin $b=4$ și $b=-3$, ca la itemul 3 (1,5 p).

c) A. (0,5 p) Formula este simetrică în $x$ și $y$, pentru că $xy=yx$ și $x+y=y+x$, iar termenul $a^2-a$ nu depinde de variabile; deci $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y$ și orice $a$ (1,5 p).

Itemul 6. (9 p)

a) (3 p) Folosim forma factorizată $x\ast y=(x+11)(y+11)-11$ (0,5 p). Fie $x>-11$ și $y>-11$; atunci $x+11>0$ și $y+11>0$ (1 p), deci produsul lor este strict pozitiv și $$x\ast y=(x+11)(y+11)-11>-11,$$ adică $x\ast y\in (-11,+\infty )$ (1,5 p).

b) (3 p) Elementul neutru este $e=-10$. Ecuația simetricului, $x\ast x^{\prime }=-10$, devine $(x+11)(x^{\prime }+11)=1$ (1 p). Pentru $x=-11$ ea devine $0=1$, imposibil, deci $-11$ nu este simetrizabil (0,5 p); pentru $x\ne -11$ obținem $$x^{\prime }=\frac{1}{x+11}-11,$$ deci $U(\mathbb{R},\ast )=\mathbb{R}\setminus \{-11\}$ (1,5 p).

c) (3 p) Cu forma factorizată, ecuația devine $(x+11{)}^2-11=-2$, adică $(x+11{)}^2=9$ (1,5 p). Rezultă $x+11=3$ sau $x+11=-3$, deci $x=-8$ sau $x=-14$ (1 p). Numai $x=-8$ aparține intervalului $(-11,+\infty )$, deci aceasta este singura soluție (0,5 p). Verificare: $(-8)\ast (-8)=64-176+110=-2$ ✓

Itemul 7. (9 p)

a) (3 p) Identitatea care dă condiția de asociativitate a fost obținută folosind numai asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea operațiilor — proprietăți valabile și în ${\mathbb{Z}}_{11}$ —, deci condiția rămâne $\hat{b}={\hat{a}}^2-\hat{a}$, cu $\hat{a}=\hat{4}$ (1 p): $$\hat{b}=\hat{4}\cdot \hat{4}-\hat{4}=\widehat{16}-\hat{4}=\hat{5}-\hat{4}=\hat{1}$$ (1,5 p). Forma factorizată este $\hat{x}\ast \hat{y}=\left(\hat{x}+\hat{4}\right)\left(\hat{y}+\hat{4}\right)-\hat{4}$ (0,5 p).

b) (3 p) Elementul neutru este $e=\hat{1}-\hat{4}=\widehat{-3}=\hat{8}$ (1,5 p). Verificare: $\hat{x}\ast \hat{8}=\left(\hat{x}+\hat{4}\right)\left(\hat{8}+\hat{4}\right)-\hat{4}=\left(\hat{x}+\hat{4}\right)\cdot \widehat{12}-\hat{4}=\left(\hat{x}+\hat{4}\right)\cdot \hat{1}-\hat{4}=\hat{x}$, pentru că $\widehat{12}=\hat{1}$ ✓ (1,5 p)

c) (3 p) Ecuația simetricului este $\left(\hat{x}+\hat{4}\right)\left({\hat{x}}^{\prime }+\hat{4}\right)=\hat{1}$, deci $\hat{x}$ este simetrizabil exact când clasa $\hat{x}+\hat{4}$ este inversabilă (1 p). Cum $11$ este prim, singura clasă neinversabilă este $\hat{0}$, deci singura clasă fără simetric este cea cu $\hat{x}+\hat{4}=\hat{0}$, adică $\hat{x}=\widehat{-4}=\hat{7}$ (1 p). Pentru $\hat{x}=\hat{0}$ avem $\hat{x}+\hat{4}=\hat{4}$, iar ${\hat{4}}^{-1}=\hat{3}$ (căci $4\cdot 3=12=11+1$), deci ${\hat{x}}^{\prime }=\hat{3}-\hat{4}=\widehat{-1}=\widehat{10}$ (1 p). Verificare: $\hat{0}\ast \widehat{10}=\hat{0}+\hat{4}\cdot \widehat{10}+\hat{1}=\widehat{40}+\hat{1}=\hat{7}+\hat{1}=\hat{8}=e$ ✓

Itemul 8. (9 p)

a) (4 p) Notăm cu $x^{\prime }$ și $y^{\prime }$ simetricele lui $x$, respectiv $y$. Calculăm, folosind asociativitatea pentru a muta parantezele (0,5 p): $$(x\ast y)\ast (y^{\prime }\ast x^{\prime })=x\ast (y\ast y^{\prime })\ast x^{\prime }=x\ast e\ast x^{\prime }=x\ast x^{\prime }=e$$ (1,5 p). Analog, în cealaltă ordine, $$(y^{\prime }\ast x^{\prime })\ast (x\ast y)=y^{\prime }\ast (x^{\prime }\ast x)\ast y=y^{\prime }\ast e\ast y=y^{\prime }\ast y=e$$ (1,5 p). Cele două egalități arată că $y^{\prime }\ast x^{\prime }$ este simetricul lui $x\ast y$; cum într-un monoid simetricul este unic, avem $(x\ast y{)}^{\prime }=y^{\prime }\ast x^{\prime }$ (0,5 p). $■$

b) (5 p) Legea este din familia $axy+b(x+y)+c$, cu $a=3$, $b=4$, $c=4$; condiția de asociativitate $ac+b=b^2$ devine $3\cdot 4+4=16=4^2$ ✓, deci legea este asociativă (1,5 p). Forma factorizată este $3(x\ast y)+4=(3x+4)(3y+4)$, ceea ce se verifică desfăcând parantezele: $9xy+12x+12y+16=3(3xy+4x+4y+4)+4$ ✓ (1 p). Elementul neutru este $e=\frac{1-b}{a}=\frac{1-4}{3}=-1$ (1 p); verificare: $x\ast (-1)=-3x+4x-4+4=x$ ✓. Ecuația simetricului devine $(3x+4)(3x^{\prime }+4)=1$ (0,5 p); ea nu are soluție pentru $3x+4=0$, adică pentru $x=-\frac{4}{3}$, iar pentru $x\ne -\frac{4}{3}$ dă $$x^{\prime }=\frac{1}{3(3x+4)}-\frac{4}{3}=-\frac{4x+5}{3x+4},$$ deci $U(\mathbb{R},\ast )=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{4}{3}\right\}$ (1 p). Control numeric: pentru $x=0$ obținem $x^{\prime }=-\frac{5}{4}$, iar $0\ast \left(-\frac{5}{4}\right)=0+4\cdot \left(-\frac{5}{4}\right)+4=-1=e$ ✓

Itemul 9. (11 p)

a) (4 p) Elementul neutru al familiei este $e=1-a$, deci condiția $e=-9$ dă $1-a=-9$, adică $a=10$ (2 p). Condiția de asociativitate cere apoi $b=a^2-a=100-10=90$ (1,5 p). Legea este deci $x\ast y=xy+10(x+y)+90=(x+10)(y+10)-10$ (0,5 p). Verificare: $x\ast (-9)=(x+10)(-9+10)-10=x+10-10=x$ ✓

b) (4 p) Fie $x>-10$ și $y>-10$; atunci $x+10>0$ și $y+10>0$ (1,5 p), deci $(x+10)(y+10)>0$ și $$x\ast y=(x+10)(y+10)-10>-10,$$ adică intervalul este parte stabilă (1,5 p). Cum $-9>-10$, elementul neutru $e=-9$ aparține intervalului (1 p).

c) (3 p) Compunerea repetată se calculează cu formula puterii, $x^{\ast n}=(x+10{)}^n-10$ (1 p). Pentru $x=-8$ și $n=4$ obținem $$(-8{)}^{\ast 4}=(-8+10{)}^4-10=2^4-10=16-10=6$$ (1,5 p). Verificare pas cu pas: $(-8)\ast (-8)=4-10=-6$, apoi $(-6)\ast (-8)=4\cdot 2-10=-2$, apoi $(-2)\ast (-8)=8\cdot 2-10=6$ ✓ (0,5 p)

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Pentru $x,y>0$ avem $x+y>0$, deci împărțirea are sens pentru orice pereche de elemente ale mulțimii (1 p); în plus, câtul a două numere strict pozitive este strict pozitiv, deci $x\ast y\in (0,+\infty )$ și $\ast$ este lege de compoziție (1 p). Comutativitatea: $y\ast x=\frac{yx}{y+x}=\frac{xy}{x+y}=x\ast y$, formula fiind simetrică în $x$ și $y$ (1 p).

b) (4 p) Calculăm membrul stâng, cu $x\ast y=\frac{xy}{x+y}$ (0,5 p): $$(x\ast y)\ast z=\frac{\frac{xy}{x+y}\cdot z}{\frac{xy}{x+y}+z}=\frac{xyz}{xy+z(x+y)}=\frac{xyz}{xy+yz+zx}$$ (1,5 p). Calculăm membrul drept, cu $y\ast z=\frac{yz}{y+z}$: $$x\ast (y\ast z)=\frac{x\cdot \frac{yz}{y+z}}{x+\frac{yz}{y+z}}=\frac{xyz}{x(y+z)+yz}=\frac{xyz}{xy+yz+zx}$$ (1,5 p). Cele două expresii coincid pentru orice $x,y,z\in (0,+\infty )$, deci legea este asociativă (0,5 p).

c) (3 p) Presupunem că există $e\in (0,+\infty )$ cu $x\ast e=x$ pentru orice $x>0$. Atunci $\frac{xe}{x+e}=x$, de unde $xe=x^2+xe$, adică $x^2=0$ — fals pentru $x>0$ (2 p). Prin urmare legea nu are element neutru, iar structura $((0,+\infty ),\ast )$ este un semigrup comutativ care nu este monoid (1 p).

Itemul 11. (12 p)

a) (4 p) Legea este din familia $xy+a(x+y)+b$, cu $b=132$ (0,5 p). Condiția de asociativitate $b=a^2-a$ devine $$a^2-a=132⟺a^2-a-132=0$$ (1,5 p). Discriminantul este $\Delta =1+528=529=23^2$, deci $$a_1=\frac{1+23}{2}=12,a_2=\frac{1-23}{2}=-11$$ (1,5 p). Ambele valori se verifică: pentru $a=12$ legea se scrie $(x+12)(y+12)-12$, iar pentru $a=-11$ se scrie $(x-11)(y-11)+11$, ambele forme fiind asociative (0,5 p).

b) (4 p) Desfacem paranteza: $(x+12)(y+12)-12=xy+12x+12y+144-12=xy+12(x+y)+132$ ✓ (1,5 p). Elementul neutru este $e=1-a=1-12=-11$; verificare: $x\ast (-11)=(x+12)(-11+12)-12=x+12-12=x$ ✓ (1 p). Fie acum $x,y\in (-12,+\infty )$; atunci $x+12>0$ și $y+12>0$, deci $(x+12)(y+12)>0$ și $x\ast y>-12$, adică intervalul este parte stabilă (1,5 p).

c) (4 p) Ecuația simetricului este $(x+12)(x^{\prime }+12)-12=-11$, adică $(x+12)(x^{\prime }+12)=1$ (1 p). Pentru $x=-12$ ea devine $0=1$, imposibil; pentru $x\ne -12$ obținem $x^{\prime }=\frac{1}{x+12}-12$, deci mulțimea elementelor simetrizabile este $\mathbb{R}\setminus \{-12\}$ (1,5 p). Ecuația $x\ast x=-3$ devine $(x+12{)}^2-12=-3$, adică $(x+12{)}^2=9$, cu soluțiile $x=-9$ și $x=-15$ (1 p); numai $x=-9$ aparține intervalului $(-12,+\infty )$ (0,5 p). Verificare: $(-9)\ast (-9)=81+12\cdot (-18)+132=81-216+132=-3$ ✓