Test: limita unei funcții într-un punct și limitele laterale

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a capitolului de limite de funcții, adică exact materia lecțiilor despre punctul de acumulare, definiția limitei cu șiruri, limitele laterale și limitele la $\pm \infty$. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: unde are voie elevul să pună întrebarea — limita se definește numai în punctele de acumulare ale domeniului, iar acestea pot să nu aparțină domeniului (capetele unui interval, punctele în care se anulează un numitor) sau pot fi $\pm \infty$, când domeniul este nemărginit. Al doilea: definiția cu șiruri și redactarea care decurge din ea — se ia un șir arbitrar din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$, se introduce în expresie, se folosesc regulile de la șiruri, iar concluzia se scrie abia după observația că șirul a fost arbitrar. Al treilea: limitele laterale și criteriul care le leagă de limita propriu-zisă — limita există dacă și numai dacă cele două laterale există și sunt egale. Al patrulea: distincția de vocabular pe care baremele o cer explicit — o limită infinită EXISTĂ (în $\overline{\mathbb{R}}$), iar „funcția nu are limită" se scrie numai când cele două limite laterale diferă sau când două șiruri dau imagini cu limite diferite. Al cincilea: comportarea la capetele nemărginite ale domeniului, cu tehnica scoaterii termenului dominant și cu substituția $x=-t$.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește materia predată până la această lecție. Nu se cer tabelul limitelor funcțiilor uzuale (putere, radical, exponențială, logaritm, funcții trigonometrice), operațiile cu limite de funcții ca teoreme și niciuna dintre tehnicile de eliminare a cazurilor de nedeterminare. De aceea, toate expresiile din enunțuri sunt polinoame, rapoarte simple de polinoame, funcția modul sau funcții definite pe ramuri, iar fiecare limită se obține din definiție (cu un șir arbitrar) sau lateral (cu discuția semnului numitorului), exact ca în lecțiile unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute; orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $19$ pentru Partea a II-a și $19$ pentru Partea a III-a. La orice limită se scrie întâi domeniul și o propoziție care spune că punctul cerut este punct de acumulare al lui.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: înlocuirea mecanică a lui $x$ cu $x_0$ acolo unde numitorul se anulează; folosirea unui singur șir pentru a stabili o limită; folosirea ramurii care conține semnul de egalitate la calculul limitei laterale de partea cealaltă; scrierea lui $\infty$ fără semn; formularea „limita nu există" despre o limită infinită; formularea „limita este $+\infty$" acolo unde doar una dintre laterale este $+\infty$; omiterea discuției de semn a numitorului care tinde la zero.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe definiția cu șiruri și pe criteriul cu limite laterale.
• Unde apare la BAC M1: limitele laterale apar în aproape fiecare variantă — la funcțiile definite pe ramuri, la determinarea unui parametru pentru care funcția are limită într-un punct și la studiul comportării în punctele în care se anulează un numitor; limitele la $\pm \infty$ apar ca prim pas al oricărui studiu de funcție. Punctele se pierd cel mai des la semnul numitorului și la confuzia dintre „limită infinită" și „limită inexistentă".
• Formule de reținut: limita se definește numai în puncte de acumulare — $x_0\in D^{\prime }$ înseamnă că orice vecinătate a lui $x_0$ conține cel puțin un punct din $D$ diferit de $x_0$; echivalent, există un șir $(x_n)$ din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$. Definiția cu șiruri: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$ avem $f(x_n)\to \ell$. Criteriul de inexistență: două șiruri admisibile ale căror imagini au limite diferite arată că funcția nu are limită. Limitele laterale: $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=l_s(x_0),\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)=l_d(x_0),$$ iar criteriul de existență spune că, într-un punct de acumulare bilateral, limita există dacă și numai dacă $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$ există și sunt egale, caz în care limita este valoarea lor comună. Semnul numitorului: dacă numitorul tinde la zero, se scrie $0^{+}$ sau $0^{-}$ după semnul lui pe partea studiată, iar $\frac{a}{0^{+}}=+\infty$ și $\frac{a}{0^{-}}=-\infty$ pentru $a>0$ (semnele se schimbă pentru $a<0$). La $\pm \infty$: întrebarea are sens doar dacă domeniul este nemărginit în direcția respectivă; nu există limite laterale la infinit; tehnica de bază este scoaterea factorului forțat (termenul dominant) sau împărțirea la cea mai mare putere a lui $x$, iar substituția $x=-t$ transformă o limită la $-\infty$ într-una la $+\infty$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Puncte de acumulare, definiția limitei și limite laterale

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Mulțimea punctelor de acumulare a mulțimii $D=(0,2)\cup \{5\}$ este: A. $(0,2)$; B. $[0,2]$; C. $[0,2]\cup \{5\}$; D. $\varnothing$.

b) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$ pentru $x<1$ și $f(x)=3x$ pentru $x\ge 1$. Atunci: A. $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=5$; B. $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=3$; C. funcția nu are limită în $1$; D. $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=4$.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x+5}{3x-1}$ este: A. $-5$; B. $0$; C. $2$; D. $+\infty$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează fiecare limită, precizând într-o propoziție de ce procedeul folosit este permis (câte 1,5 puncte): a) $\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x^2-5x+1\right)$; b) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^3+2x^2-x\right)$; c) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-25}{x-5}$; d) $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x+3}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Funcția $f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}$ nu are limită în $2$, pentru că nu este definită în $2$." b) „Pentru $f(x)=\frac{2}{x+6}$, faptul că ambele limite laterale în $-6$ există în $\overline{\mathbb{R}}$ arată că funcția are limită în $-6$." c) „Funcția $f(x)=\frac{9}{(x+2{)}^2}$ nu are limită în $-2$, pentru că valorile ei cresc peste orice prag." d) „Pentru $D=(2,7]$, punctul $2$ este punct de acumulare al lui $D$, deși nu îi aparține."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ pentru $x<1$ și $f(x)=x^2+2$ pentru $x\ge 1$. Calculează $l_s(1)$ și $l_d(1)$ și precizează dacă $f$ are limită în $1$. (3 p) b) Fie $f(x)=\frac{3-x}{|x-3|}$, definită pentru $x\ne 3$. Calculează cele două limite laterale în $3$ și precizează dacă funcția are limită acolo. (3 p)

Partea a II-a – Limite laterale infinite, parametri și comportarea la $\pm \infty$

Itemul 5 (8 puncte)

Pentru fiecare funcție, calculează separat cele două limite laterale în punctul indicat, cu discuția semnului numitorului, și scrie concluzia despre existența limitei (câte 2 puncte): a) $f(x)=\frac{4}{x-7}$, în $7$; b) $f(x)=\frac{x-5}{x}$, în $0$; c) $f(x)=\frac{x-6}{(x-4{)}^2}$, în $4$; d) $f(x)=\frac{1}{x+2}$ pentru $x<-2$ și $f(x)=x^2$ pentru $x>-2$, în $-2$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{5x-2}{x+3}$. a) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. (2 p) b) Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$, folosind substituția $x=-t$. (2 p) c) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-4}{2x+1}$, scoțând factor forțat termenul dominant. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+3$ pentru $x<2$ și $f(x)=x^2+1$ pentru $x\ge 2$, unde $a\in \mathbb{R}$. Determină $a$ pentru care $f$ are limită în $2$ și calculează această limită. (4 p) b) Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$ pentru $x<4$ și $g(x)=bx-1$ pentru $x\ge 4$, unde $b\in \mathbb{R}$. Determină $b$ pentru care $g$ are limită în $4$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Arată, folosind definiția cu șiruri, că funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x}$, nu are limită în $0$. Scrie explicit cele două șiruri și limitele imaginilor lor. (3 p) b) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=4$. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ și compară rezultatul cu $f(2)$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Precizează, pentru fiecare situație, dacă limita este finită, infinită (și deci există) sau dacă funcția nu are limită, justificând pe scurt (câte 1,5 puncte): a) $\underset{x\to 6}{\lim }\frac{x^2-36}{x-6}$; b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-4x^2\right)$; c) limita în $0$ a funcției $f(x)=x+2$ pentru $x<0$ și $f(x)=3x-1$ pentru $x\ge 0$; d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+7}{x^2+1}$.

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează criteriul de existență a limitei cu limite laterale: fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0$ punct de acumulare bilateral pentru $D$; funcția $f$ are limita $\ell$ în $x_0$ dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale cu $\ell$. (5 p) b) Explică de ce valoarea $f(x_0)$ nu intervine în calculul limitelor laterale și dă un exemplu de funcție pentru care limita într-un punct diferă de valoarea funcției în acel punct. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x+4}{x-2}$. a) Calculează $l_s(2)$ și $l_d(2)$ și precizează dacă $f$ are limită în $2$. (4 p) b) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Pentru $D=(-4,-1]\cup (0,2)\cup \{6\}$, determină $D^{\prime }$ și punctele izolate ale lui $D$. (3 p) b) Precizează în care dintre punctele $-4$, $0$, $6$ și $+\infty$ se poate cere limita unei funcții definite pe $D$ și, acolo unde se poate, dacă apropierea este posibilă dintr-o singură parte. (2 p) c) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\frac{x+4}{x^2-9}$, scrie $D^{\prime }$ și precizează dacă are sens să se ceară limita ei în $-3$ și la $+\infty$. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$ pentru $x<1$ și $f(x)=mx+4$ pentru $x\ge 1$, unde $m\in \mathbb{R}$. a) Arătați că $f(x)=x-2$ pentru orice $x<1$ și calculați $l_s(1)$. (2 p) b) Determinați $m$ pentru care funcția $f$ are limită în $1$ și calculați această limită. (3 p) c) Pentru $m=-5$, calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) B. Capetele unui interval sunt întotdeauna puncte de acumulare, incluse sau nu, deci $(0,2)$ contribuie cu $[0,2]$. Punctul $5$ este izolat: vecinătatea $(4,5;5,5)$ nu conține niciun alt punct al lui $D$, deci $5\notin D^{\prime }$. Varianta C confundă punctul izolat cu un punct de acumulare.

b) (2 p) C. Pe stânga lucrăm cu prima ramură: $l_s(1)=1+4=5$; pe dreapta, cu a doua: $l_d(1)=3\cdot 1=3$. Cum $5\ne 3$, funcția nu are limită în $1$. Variantele A și B dau câte una dintre laterale, iar D dă un număr care nu apare nicăieri.

c) (2 p) C. Pentru orice șir $x_n\to +\infty$, împărțind numărătorul și numitorul la $x_n$ obținem $$\frac{6+\frac{5}{x_n}}{3-\frac{1}{x_n}}⟶\frac{6}{3}=2.$$ Control numeric: la $x=1000$ valoarea este $\approx 2,0023$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p justificarea procedeului, 1 p calculul).

a) (1,5 p) Funcția este polinomială, deci limita într-un punct este chiar valoarea funcției acolo (pentru orice șir $x_n\to 3$ cu $x_n\ne 3$, regulile de la șiruri dau $2x_n^2-5x_n+1\to 2\cdot 9-15+1$): $$\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x^2-5x+1\right)=18-15+1=4.$$

b) (1,5 p) Tot funcție polinomială: $(-1{)}^3+2(-1{)}^2-(-1)=-1+2+1=2$.

c) (1,5 p) Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{5\}$, iar $5\in D^{\prime }$. Fie $(x_n)$ arbitrar cu $x_n\ne 5$ și $x_n\to 5$; tocmai pentru că $x_n\ne 5$ putem simplifica prin $x_n-5$: $$\frac{x_n^2-25}{x_n-5}=\frac{(x_n-5)(x_n+5)}{x_n-5}=x_n+5⟶10.$$ Limita este $10$. Control: $f(4,999)=9,999$ și $f(5,001)=10,001$ ✓

d) (1,5 p) Cum $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$, pentru $x_n\ne -3$ raportul devine $x_n-1\to -4$. Limita este $-4$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Ce se cere nu este ca $x_0$ să aparțină domeniului, ci să fie punct de acumulare al lui. Aici $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$ și $2\in D^{\prime }$; cum $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$, pentru $x_n\ne 2$ raportul devine $x_n+3\to 5$, deci limita există și este $5$.

b) (1,5 p) F. Criteriul cere ca cele două laterale să existe și să fie egale. Aici numărătorul este constant, $2>0$, iar numitorul tinde la $0^{-}$ pentru $x<-6$ și la $0^{+}$ pentru $x>-6$, deci $l_s(-6)=-\infty$ și $l_d(-6)=+\infty$: fiind diferite, funcția nu are limită în $-6$.

c) (1,5 p) F. Numitorul $(x+2{)}^2$ este strict pozitiv pentru orice $x\ne -2$ și tinde la $0^{+}$ din ambele părți, iar numărătorul este $9>0$; deci $l_s(-2)=l_d(-2)=+\infty$. Cele două laterale fiind egale, limita există și este $+\infty$. „Limită infinită" nu înseamnă „fără limită".

d) (1,5 p) A. Șirul $x_n=2+\frac{1}{n}$ are termenii în $(2,7]$ pentru $n\ge 1$, este diferit de $2$ și tinde la $2$; prin caracterizarea cu șiruri, $2$ este punct de acumulare al lui $D$, deși $2\notin D$. (Apropierea este posibilă numai dinspre dreapta.)

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Punctul $1$ este punct de acumulare bilateral pentru $\mathbb{R}$ (0,5 p). Pentru orice șir $x_n\to 1$ cu $x_n<1$ folosim numai prima ramură: $f(x_n)=2x_n-1\to 1$, deci $l_s(1)=1$ (1 p). Pentru $x_n>1$ folosim a doua ramură: $f(x_n)=x_n^2+2\to 3$, deci $l_d(1)=3$ (1 p). Cum $1\ne 3$, prin criteriul cu limite laterale funcția nu are limită în $1$ (0,5 p). Control: $f(0,999)=0,998$ și $f(1,001)\approx 3,002$ ✓

b) (3 p) Pentru $x<3$ avem $|x-3|=3-x$, deci $f(x)=\frac{3-x}{3-x}=1$; funcția fiind constantă pe această parte, $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }f(x)=1$$ (1 p). Pentru $x>3$ avem $|x-3|=x-3$, deci $f(x)=\frac{3-x}{x-3}=-1$ și $$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }f(x)=-1$$ (1 p). Cele două laterale există, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $3$ (1 p). (Atenție la ordinea semnelor: aici numărătorul este $3-x$, nu $x-3$, deci valoarea $1$ este cea din stânga.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p semnul numitorului pe fiecare parte, câte 0,5 p fiecare limită laterală, 0,5 p concluzia).

a) (2 p) Numărătorul este constant, $4>0$. Pentru $x<7$: $x-7\to 0^{-}$, deci $l_s(7)=-\infty$; pentru $x>7$: $x-7\to 0^{+}$, deci $l_d(7)=+\infty$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 7\\ x<7\end{array}}{\lim }\frac{4}{x-7}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 7\\ x>7\end{array}}{\lim }\frac{4}{x-7}=+\infty .$$ Fiind diferite, funcția nu are limită în $7$. Control: $f(6,999)=-4000$ și $f(7,001)=4000$ ✓

b) (2 p) Numărătorul tinde la $0-5=-5<0$, iar numitorul este chiar $x$. Pe partea din stânga a lui $0$ numitorul este negativ, deci tinde la $0^{-}$, iar un număr negativ împărțit la $0^{-}$ dă $+\infty$: $l_s(0)=+\infty$. Pe partea din dreapta numitorul tinde la $0^{+}$, deci $l_d(0)=-\infty$. Fiind diferite, funcția nu are limită în $0$. Control: $f(-0,001)=5001$ și $f(0,001)=-4999$ ✓

c) (2 p) Numărătorul tinde la $4-6=-2<0$, iar numitorul $(x-4{)}^2$ este strict pozitiv pentru $x\ne 4$ și tinde la $0^{+}$ din ambele părți. Prin urmare $l_s(4)=l_d(4)=-\infty$, cele două laterale sunt egale, deci limita există: $$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x-6}{(x-4{)}^2}=-\infty .$$ Control: la $x=4\pm 10^{-3}$ valorile sunt $\approx -2\cdot 10^6$, negative în ambele cazuri ✓

d) (2 p) Pe stânga folosim prima ramură: $x+2\to 0^{-}$ pentru $x<-2$, deci $l_s(-2)=-\infty$. Pe dreapta folosim a doua ramură, o funcție polinomială: $l_d(-2)=(-2{)}^2=4$. Una dintre laterale este infinită, cealaltă finită, deci ele diferă și funcția nu are limită în $-2$.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$, mulțime nemărginită superior, deci $+\infty \in D^{\prime }$ (0,5 p). Fie $(x_n)$ arbitrar din domeniu cu $x_n\to +\infty$; împărțim numărătorul și numitorul la $x_n$ (permis, căci $x_n\ne 0$ de la un rang încolo): $$f(x_n)=\frac{5-\frac{2}{x_n}}{1+\frac{3}{x_n}}⟶\frac{5-0}{1+0}=5$$ (1 p). Șirul fiind arbitrar, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=5$ (0,5 p). Control: $f(1000)\approx 4,9791$.

b) (2 p) Notăm $t=-x$; când $x\to -\infty$ avem $t\to +\infty$ (0,5 p). Atunci $$f(-t)=\frac{-5t-2}{-t+3}=\frac{5t+2}{t-3}=\frac{5+\frac{2}{t}}{1-\frac{3}{t}}⟶5$$ (1 p), deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=5$ (0,5 p). Control: $f(-1000)\approx 5,0211$ — valorile se apropie de $5$ pe deasupra, în timp ce la $+\infty$ se apropiau pe dedesubt.

c) (3 p) Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$, nemărginit superior (0,5 p). Scoatem factor forțat termenul dominant din fiecare parte: $$\frac{x_n^2-4}{2x_n+1}=\frac{x_n^2\left(1-\frac{4}{x_n^2}\right)}{x_n\left(2+\frac{1}{x_n}\right)}=x_n\cdot \frac{1-\frac{4}{x_n^2}}{2+\frac{1}{x_n}}$$ (1,5 p). Primul factor tinde la $+\infty$, al doilea la $\frac{1}{2}>0$, deci produsul tinde la $+\infty$ (0,5 p): $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-4}{2x+1}=+\infty .$$ Control: $f(1000)\approx 499,5$, iar $f(10^4)\approx 4999,5$ — valorile cresc aproximativ ca $\frac{x}{2}$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Punctul de racord este $2$, punct de acumulare bilateral (0,5 p). Pe stânga lucrăm cu prima ramură: pentru orice șir $x_n\to 2$ cu $x_n<2$, $f(x_n)=a{x}_n+3\to 2a+3$, deci $l_s(2)=2a+3$ (1 p). Pe dreapta, cu a doua ramură: $f(x_n)=x_n^2+1\to 5$, deci $l_d(2)=5$ (1 p). Prin criteriul cu limite laterale, $f$ are limită în $2$ dacă și numai dacă $$2a+3=5⟺a=1$$ (1 p), iar limita este valoarea comună, $5$ (0,5 p). Verificare: pentru $a=1$, $f(1,999)=4,999$ și $f(2,001)\approx 5,004$ ✓

b) (3 p) Pe stânga, pentru $x_n<4$ avem $x_n\ne 4$, deci putem simplifica: $$g(x_n)=\frac{(x_n-4)(x_n+4)}{x_n-4}=x_n+4⟶8,\text{adica˘}{l}_s(4)=8$$ (1,5 p). Pe dreapta, $g(x_n)=b{x}_n-1\to 4b-1$, deci $l_d(4)=4b-1$ (0,5 p). Condiția $4b-1=8$ dă $$b=\frac{9}{4}$$ (1 p), iar limita comună este $8$.

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Punctul $0$ este punct de acumulare al lui ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci întrebarea are sens (0,5 p). Alegem două șiruri admisibile: $$x_n=\frac{1}{n}\to 0,f(x_n)=\frac{\frac{1}{n}+1}{\frac{1}{n}}=1+n⟶+\infty$$ (1 p); $$y_n=-\frac{1}{n}\to 0,f(y_n)=\frac{-\frac{1}{n}+1}{-\frac{1}{n}}=1-n⟶-\infty$$ (1 p). Ambele șiruri au termenii în ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și tind la $0$, dar imaginile lor au limite diferite; prin criteriul de inexistență care decurge din definiția cu șiruri, funcția nu are limită în $0$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Domeniul este $\mathbb{R}$, iar șirurile din definiție evită punctul $2$, deci valoarea $f(2)$ nu intră în calcul (0,5 p). Cum $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, pentru $x_n\ne 2$ avem $$f(x_n)=\frac{(x_n-2)(x_n-3)}{x_n-2}=x_n-3⟶-1$$ (1,5 p), deci $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=-1$, în timp ce $f(2)=4$: limita diferă de valoarea funcției (1 p). Control: $f(1,999)=-1,001$ și $f(2,001)=-0,999$ ✓

Itemul 9. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p clasificarea, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) Limită finită. Cum $x^2-36=(x-6)(x+6)$, pentru $x_n\ne 6$ raportul devine $x_n+6\to 12$, deci limita este $12$.

b) (1,5 p) Limită infinită, care există. Scoatem factor forțat: $x_n^3\left(1-\frac{4}{x_n}\right)$; primul factor tinde la $-\infty$, al doilea la $1>0$, deci limita este $-\infty$. (Control: la $x=-1000$ valoarea este $-10^9-4\cdot 10^6<0$, iar la $x=-10^4$ este de o mie de ori mai mare în modul.)

c) (1,5 p) Funcția nu are limită. Pe stânga folosim prima ramură: $l_s(0)=0+2=2$; pe dreapta, a doua: $l_d(0)=-1$. Fiind diferite, criteriul nu este îndeplinit.

d) (1,5 p) Limită finită. Împărțind numărătorul și numitorul la $x_n^2$ obținem $\frac{\frac{2}{x_n}+\frac{7}{x_n^2}}{1+\frac{1}{x_n^2}}\to \frac{0}{1}=0$: numitorul, de grad mai mare, „învinge".

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) „$\Rightarrow$" Presupunem că $f$ are limita $\ell$ în $x_0$. Un șir $(x_n)$ cu termeni în $D$, cu $x_n<x_0$ și $x_n\to x_0$, este în particular un șir din $D\setminus \{x_0\}$ care tinde la $x_0$, deci definiția limitei se aplică lui și dă $f(x_n)\to \ell$. Cum șirul a fost arbitrar printre cele de la stânga, $l_s(x_0)=\ell$; analog, cu șirurile care verifică $x_n>x_0$, obținem $l_d(x_0)=\ell$ (2 p).

„$\Leftarrow$" Presupunem acum că ambele limite laterale există și sunt egale cu $\ell$, și luăm un șir arbitrar $(x_n)$ din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$. Fie $V$ o vecinătate oarecare a lui $\ell$ (0,5 p). Din ipoteza de pe stânga există un rang $n_1$ astfel încât toți termenii cu indicele $n\ge n_1$ care sunt mai mici decât $x_0$ au imaginile în $V$; din ipoteza de pe dreapta există un rang $n_2$ cu aceeași proprietate pentru termenii mai mari decât $x_0$ (1,5 p). Luăm $N=\max (n_1,n_2)$. Pentru orice $n\ge N$, termenul $x_n$ este ori mai mic, ori mai mare decât $x_0$ — egal nu poate fi, pentru că $x_n\in D\setminus \{x_0\}$ —, deci în ambele cazuri $f(x_n)\in V$ (0,5 p). Vecinătatea fiind arbitrară, $f(x_n)\to \ell$; iar șirul fiind arbitrar, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) În definiția limitei laterale intervin numai șiruri cu $x_n<x_0$, respectiv $x_n>x_0$; niciunul dintre termeni nu este egal cu $x_0$, deci valoarea $f(x_0)$ nu este niciodată calculată. Limita descrie comportarea funcției în jurul punctului, nu în punct (1,5 p). Exemplu: funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+7$ pentru $x\ne 3$ și $g(3)=100$, are $l_s(3)=l_d(3)=10$, deci $\underset{x\to 3}{\lim }g(x)=10\ne 100=g(3)$ (1,5 p). (Este acceptat orice alt exemplu corect, inclusiv cel de la Itemul 8b.)

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, iar $2$ este punct de acumulare bilateral al lui (0,5 p). Numărătorul tinde la $3\cdot 2+4=10>0$ (0,5 p). Studiem semnul numitorului: pentru $x<2$ avem $x-2\to 0^{-}$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }\frac{3x+4}{x-2}=-\infty$$ (1,5 p); pentru $x>2$ avem $x-2\to 0^{+}$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{3x+4}{x-2}=+\infty$$ (1 p). Cele două laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $2$ (0,5 p). Control: $f(1,999)\approx -9997$ și $f(2,001)\approx 10003$ ✓

b) (4 p) Domeniul este nemărginit în ambele sensuri, deci $\pm \infty$ sunt puncte de acumulare (0,5 p). Fie $(x_n)$ arbitrar cu $|x_n|\to \infty$; împărțim numărătorul și numitorul la $x_n$: $$f(x_n)=\frac{3+\frac{4}{x_n}}{1-\frac{2}{x_n}}⟶\frac{3+0}{1-0}=3$$ (2 p). Calculul nu depinde de semnul lui $x_n$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=3$$ (1 p). Control: $f(1000)\approx 3,0100$ și $f(-1000)\approx 2,9900$ — la un capăt valorile coboară spre $3$, la celălalt urcă spre $3$ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Analizăm bucată cu bucată. Intervalul $(-4,-1]$ contribuie cu $[-4,-1]$ (capetele sunt puncte de acumulare, incluse sau nu), iar $(0,2)$ contribuie cu $[0,2]$ (1,5 p). Punctul $6$ este izolat: vecinătatea $(5,5;6,5)$ nu conține niciun alt punct al lui $D$ (0,5 p). Între bucăți nu apar puncte noi: un punct din $(-1,0)$, de pildă $-\frac{1}{2}$, are o vecinătate care nu întâlnește deloc $D$ (0,5 p). Așadar $$D^{\prime }=[-4,-1]\cup [0,2],\text{punct izolat: }6$$ (0,5 p).

b) (2 p) În $-4$ da, este punct de acumulare, dar numai la dreapta (la stânga lui $-4$ nu există puncte ale lui $D$) (0,5 p). În $0$ da, tot numai la dreapta: punctele $\frac{1}{n}$ sunt în $(0,2)$, în timp ce la stânga lui $0$, pe intervalul $(-1,0)$, mulțimea $D$ nu are niciun punct (0,5 p). În $6$ nu: fiind punct izolat, nu există niciun șir din $D$, diferit de $6$, care să tindă la $6$ (0,5 p). La $+\infty$ nu: mulțimea $D$ este majorată de $6$, deci nu e nemărginită superior (0,5 p).

c) (3 p) Numitorul se anulează pentru $x^2=9$, adică $x\in \{-3,3\}$, deci $$D=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$$ (1 p). Punctele scoase rămân puncte de acumulare (în orice vecinătate a lui $-3$ există puncte ale domeniului, de pildă $-3\pm \frac{1}{n}$), iar mulțimea este nemărginită în ambele sensuri, deci $$D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}=\overline{\mathbb{R}}$$ (1,5 p). Prin urmare da în ambele cazuri: limita se poate cere în $-3$, deși funcția nu e definită acolo, și se poate cere la $+\infty$ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Descompunem $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$; pentru $x<1$ avem $x\ne 1$, deci simplificarea prin $x-1$ este permisă și $f(x)=x-2$ (1 p). Prima ramură fiind acum o funcție de gradul întâi, pentru orice șir $x_n\to 1$ cu $x_n<1$ obținem $f(x_n)=x_n-2\to -1$, adică $$l_s(1)=-1$$ (1 p).

b) (3 p) Pe dreapta lucrăm cu a doua ramură: $f(x_n)=m{x}_n+4\to m+4$, deci $l_d(1)=m+4$ (1 p). Prin criteriul cu limite laterale, $f$ are limită în $1$ dacă și numai dacă $l_s(1)=l_d(1)$, adică $$m+4=-1⟺m=-5$$ (1,5 p), iar limita este valoarea comună (0,5 p): $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-1.$$

c) (3 p) Pentru $m=-5$, funcția este $f(x)=x-2$ pe $(-\infty ,1)$ și $f(x)=-5x+4$ pe $[1,+\infty )$ (0,5 p). La $-\infty$ contează numai prima ramură: pentru orice șir $x_n\to -\infty$, de la un rang încolo $x_n<1$, deci $f(x_n)=x_n-2\to -\infty$ (1 p). La $+\infty$ contează numai a doua: $f(x_n)=-5x_n+4\to -\infty$, pentru că $-5x_n\to -\infty$ (1 p). Așadar $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .$$ Control: $f(-1000)=-1002$ și $f(1000)=-4996$ ✓ (0,5 p)