Test: limita unui șir și operații cu șiruri convergente

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică miezul teoretic al capitolului de șiruri: limita. Sunt evaluate șase lucruri. Primul: definiția, în forma cu vecinătăți (valabilă deopotrivă pentru limite finite și infinite) și în traducerea ei cu $\epsilon$, împreună cu deprinderea de a calcula efectiv pragul $N(\epsilon )$, respectiv $N(M)$, rezolvând o inecuație în raport cu $n$. Al doilea: distincția de vocabular pe care baremele o cer explicit — convergent înseamnă „are limită finită"; un șir cu limita $+\infty$ are limită și este totuși divergent; „nu are limită" se spune numai când niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ nu verifică definiția. Al treilea: cele două familii de șiruri-etalon, $(n^a)$ și $(q^n)$, ultima cu discuția completă pe patru cazuri, inclusiv $q\le -1$, singurul în care răspunsul corect este „nu există limită". Al patrulea: subșirurile, cu teorema care spune că ele moștenesc limita și cu criteriul de divergență care decurge din ea. Al cincilea: trecerea la limită în inegalități, cu regula de aur că orice inegalitate devine nestrictă. Al șaselea: operațiile cu șiruri convergente, cu ipotezele lor complete.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește materia predată până la această lecție. Regulile de calcul se aplică numai unor bucăți convergente; de aceea, acolo unde apare un raport de forma $\frac{an+b}{cn+d}$, cerința este fie de a demonstra limita cu definiția, fie de a explica de ce regula câtului nu se poate aplica direct. Cazurile de nedeterminare și tehnicile de eliminare a lor, criteriile de comparație, teorema lui Weierstrass și numărul $e$ nu fac obiectul acestui test.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute; orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $19$ pentru Partea a II-a și $19$ pentru Partea a III-a. La orice cerință de tip „arătați cu definiția" se scrie întâi distanța $|a_n-\ell |$, apoi se rezolvă inecuația în raport cu $n$.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: formularea „nu are limită" despre un șir cu limita infinită, scrierea „limita este $\pm \infty$" la cazul $q\le -1$, aplicarea regulii câtului fără verificarea faptului că limita numitorului este nenulă, aplicarea regulilor de operații unor șiruri care nu sunt convergente, păstrarea inegalității stricte la trecerea la limită și afirmația că toți termenii unui șir se află în vecinătatea limitei.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe definiția limitei și pe ipotezele regulilor de calcul.
• Unde apare la BAC M1: cerințele explicite cu $\epsilon$ sunt rare, dar tot restul se cere frecvent la subiectul al doilea — clasificarea convergent/divergent, criteriul cu două subșiruri la șirurile cu $(-1{)}^n$, tabelul lui $(q^n)$ ascuns într-o sumă de progresie geometrică și regulile de operații aplicate unor bucăți despre care trebuie spus, în scris, că sunt convergente. Punctele se pierd cel mai des la cazul $q\le -1$ și la formularea „nu are limită" folosită greșit pentru un șir cu limita infinită.
• Formule de reținut: definiția cu vecinătăți — $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $\ell$ există un rang $N$ cu $a_n\in V$ pentru orice $n\ge N$; echivalent, în afara oricărei vecinătăți a lui $\ell$ rămân cel mult un număr finit de termeni. Pentru $\ell$ finit: pentru orice $\epsilon >0$ există $N(\epsilon )$ cu $|a_n-\ell |<\epsilon$ pentru orice $n\ge N(\epsilon )$. Pentru $\ell =+\infty$: pentru orice $M$ există $N(M)$ cu $a_n>M$ pentru orice $n\ge N(M)$; pentru $-\infty$, cu $a_n<M$. Convergent = are limită finită; divergent = nu este convergent. Șirurile-etalon: $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a$ este $+\infty$ pentru $a>0$, $1$ pentru $a=0$ și $0$ pentru $a<0$; pentru $(q^n)$, $$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0(|q|<1);1(q=1);+\infty (q>1);\text{nu exista˘}(q\le -1).$$ Subșir: $\left(a_{n_k}\right)$ cu $(n_k)$ strict crescător de numere naturale nenule; orice subșir moștenește limita, deci două subșiruri cu limite diferite arată că șirul nu are limită. Orice șir convergent este mărginit (reciproca este falsă). Trecerea la limită: din $a_n\le b_n$ de la un rang încolo și din existența ambelor limite rezultă $\lim a_n\le \lim b_n$; inegalitatea strictă nu se păstrează. Operații, pentru $a_n\to a$ și $b_n\to b$ finite: $a_n+b_n\to a+b$; $a_n-b_n\to a-b$; $\lambda a_n\to \lambda a$; $a_n{b}_n\to ab$; $\frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b}$ numai dacă $b\ne 0$; $|a_n|\to |a|$; $a_n^p\to a^p$; $\sqrt[k]{a_n}\to \sqrt[k]{a}$ (cu termeni și limită nenegative); $a_n^{b_n}\to a^b$ (cu bază strict pozitivă și limită strict pozitivă).

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția limitei, praguri și vocabular

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Despre șirul $a_n=(-5{)}^n$ se poate afirma că: A. are limita $+\infty$; B. are limita $-\infty$; C. nu are limită; D. este convergent.

b) Limita șirului $a_n=n^{-\frac{3}{4}}$ este: A. $+\infty$; B. $1$; C. $0$; D. nu există.

c) Dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=4$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0$, cu $b_n\ne 0$ pentru orice $n$, atunci despre $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ se poate spune că: A. este $0$; B. este $+\infty$; C. nu se poate calcula cu regula câtului; D. este $4$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează fiecare limită, precizând în ce caz al tabelului te afli (câte 1,5 puncte): a) $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{2}{5}}$; b) $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{-4}$; c) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{5}{8}\right)}^n$; d) $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{7}{9}\right)}^n$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice șir divergent nu are limită." b) „Orice șir mărginit este convergent." c) „Dacă $a_n<7$ pentru orice $n$ și șirul $(a_n)$ are limită, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n<7$." d) „Orice subșir al unui șir care are limită are aceeași limită."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Pentru șirul $a_n=\frac{6n-5}{n+1}$, arată că $|a_n-6|=\frac{11}{n+1}$ și determină cel mai mic rang $N$ pentru care toți termenii de la $a_N$ încolo se află în vecinătatea $(5,99;6,01)$ a lui $6$. (3 p) b) Arată, cu definiția, că $\underset{n\to \infty }{\lim }(7n-4)=+\infty$ și determină primul rang de la care termenii depășesc $10^4$. (3 p)

Partea a II-a – Șiruri-etalon, subșiruri și operații

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează limitele, scriind mai întâi limitele bucăților (câte 2 puncte): a) $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(4+\frac{14}{n}-2{\left(\frac{1}{7}\right)}^n\right)$; b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{11}{n^2}\right)$; c) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n}}$; d) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{36+\frac{5}{n}}$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(5+\frac{1}{n}\right)}^{2-\frac{1}{n}}$, verificând ipotezele regulii folosite. (3 p) b) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|-8+\frac{3}{n}\right|$. (2 p) c) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(3+\frac{2}{n}\right)}^4$, precizând regula folosită. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Fie progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu $b_1=9$ și rația $q=\frac{1}{4}$, iar $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$. Arată că $S_n=12\left(1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\right)$ și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$. (4 p) b) Arată, folosind o progresie geometrică, că $0,(12)=\frac{4}{33}$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră șirul $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{5n+2}{n+1}$, $n\ge 1$. a) Calculează $a_1$, $a_2$ și $a_3$. (2 p) b) Determină limitele subșirului termenilor de rang par și ale celui de rang impar și arată că șirul nu are limită. (4 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Precizează, pentru fiecare șir, dacă este convergent, divergent cu limită sau divergent fără limită, justificând pe scurt (câte 1,5 puncte): a) $a_n=8-\frac{1}{n^2}$; b) $b_n=6n+5$; c) $c_n=(-1{)}^n\cdot 6$; d) $d_n=9-4n$.

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează regula limitei sumei: dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n+b_n)=a+b$. (5 p) b) Explică de ce regula câtului nu se poate aplica direct la $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n+1}{n+5}$ și dă un exemplu de două șiruri fără limită a căror sumă este convergentă. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Arată, folosind inegalitatea lui Bernoulli, că $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{11}{4}\right)}^n=+\infty$. (3 p) b) Arată că șirul $a_n={\left(-\frac{9}{4}\right)}^n$ nu are limită, punând în evidență două subșiruri cu limite diferite, și precizează de ce formularea „limita este $\pm \infty$" este greșită. (5 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Se știe că $3\le a_n\le 8$ pentru orice $n\ge 1$ și că șirul $(a_n)$ are limită. Încadrează limita și precizează dacă ea poate fi $9$, respectiv $3$. (3 p) b) Arată că nu există niciun șir $(a_n)$ cu $a_n\le 4$ pentru orice $n$ și cu $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=5$. (3 p) c) Șirul $a_n=4-\frac{15}{n}$ are limita $4$. Determină cel mai mic rang de la care toți termenii sunt strict pozitivi. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$, $a_n=\frac{8n+3}{2n+1}$. a) Calculați $a_1$ și $a_2$ și arătați că $a_n=4-\frac{1}{2n+1}$ pentru orice $n\ge 1$. (2 p) b) Demonstrați, folosind definiția, că $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=4$ și determinați cel mai mic rang $N$ pentru $\epsilon =0,01$. (3 p) c) Arătați că $a_n<4$ pentru orice $n\ge 1$ și explicați de ce din această inegalitate strictă nu rezultă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n<4$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) C. Avem $q=-5\le -1$, cazul în care șirul nu are limită: subșirul de rang par, $25^k$, are limita $+\infty$, iar cel de rang impar, $-5\cdot 25^k$, are limita $-\infty$. Variantele A și B ar cere o singură limită, iar D ar cere o limită finită. b) (2 p) C. Exponentul este $a=-\frac{3}{4}<0$, deci limita este $0$. c) (2 p) C. Regula câtului cere ca limita numitorului să fie nenulă. Aici ea este $0$, deci regula nu spune nimic: rezultatul poate fi orice, în funcție de șiruri.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p identificarea cazului, 1 p răspunsul).

a) (1,5 p) Șir de tip $n^a$ cu $a=\frac{2}{5}>0$, deci limita este $+\infty$. (Creșterea este lentă — $n^{\frac{2}{5}}$ ajunge la $100$ abia pentru $n=10^5$ — dar „lent" nu înseamnă „mărginit".) b) (1,5 p) Șir de tip $n^a$ cu $a=-4<0$, deci limita este $0$. c) (1,5 p) Șir de tip $q^n$ cu $\left|\frac{5}{8}\right|<1$, deci limita este $0$. d) (1,5 p) Șir de tip $q^n$ cu $q=-\frac{7}{9}$; cum $\left|-\frac{7}{9}\right|=\frac{7}{9}<1$, limita este tot $0$. Alternanța semnului nu contează: în definiție intervine doar distanța până la $0$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. „Divergent" înseamnă „nu are limită finită". Șirul $6n+5$ are limita $+\infty$, deci are limită, și este totuși divergent. Abia șiruri precum $\left((-1{)}^n\right)$ sunt divergente fără limită. b) (1,5 p) F. Contraexemplul standard este $\left((-1{)}^n\right)$: mărginit ($|a_n|=1$), dar fără limită. Implicația adevărată merge invers: orice șir convergent este mărginit. c) (1,5 p) F. La trecerea la limită orice inegalitate devine nestrictă: se poate deduce doar $\lim a_n\le 7$. Contraexemplu: $a_n=7-\frac{1}{n}<7$ pentru orice $n$, iar limita este chiar $7$. d) (1,5 p) A. Este teorema subșirurilor: dacă $a_n\in V$ pentru orice $n\ge N$ și $n_k\ge k$, atunci $a_{n_k}\in V$ pentru orice $k\ge N$, deci același rang funcționează și pentru subșir.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Calculăm distanța până la $6$: $$|a_n-6|=\left|\frac{6n-5-6(n+1)}{n+1}\right|=\frac{11}{n+1}$$ (1 p). Vecinătatea din enunț are raza $\epsilon =0,01$, deci condiția este $$\frac{11}{n+1}<0,01⟺n+1>1100⟺n>1099,$$ adică cel mai mic rang este $N=1100$ (1,5 p). Verificare: $|a_{1100}-6|=\frac{11}{1101}\approx 0,009991<0,01$ ✓, iar $|a_{1099}-6|=\frac{11}{1100}=0,01$, care nu este strict mai mic decât $\epsilon$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Fie $M\in \mathbb{R}$ oarecare. Inecuația $7n-4>M$ este echivalentă cu $n>\frac{M+4}{7}$, iar un asemenea număr natural există întotdeauna (1,5 p). Deci pentru orice $M$ avem un rang $N(M)$ de la care $a_n>M$, adică $\underset{n\to \infty }{\lim }(7n-4)=+\infty$ (0,5 p). Pentru $M=10^4$: $n>\frac{10004}{7}\approx 1429,14$, deci primul rang este $N=1430$ (0,5 p). Verificare: $a_{1430}=10006>10^4$ ✓, iar $a_{1429}=9999<10^4$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p limitele bucăților, 1 p compunerea rezultatului).

a) (2 p) Bucățile: constanta $4$ are limita $4$; $\frac{14}{n}=14\cdot \frac{1}{n}$ are limita $14\cdot 0=0$; ${\left(\frac{1}{7}\right)}^n$ are limita $0$, rația fiind subunitară, deci $-2{\left(\frac{1}{7}\right)}^n\to 0$. Toate sunt convergente, deci limita sumei este $4+0-0=4$. b) (2 p) Prima paranteză are limita $3$, a doua limita $2$; ambele sunt convergente, deci regula produsului dă $3\cdot 2=6$. c) (2 p) Numărătorul are limita $9$, numitorul are limita $2$. Cum $2\ne 0$, regula câtului se aplică și limita este $\frac{9}{2}$. (În plus, $2+\frac{3}{n}>2>0$ pentru orice $n$, deci câtul are sens la fiecare rang.) d) (2 p) Expresia de sub radical are limita $36$ și termeni pozitivi, deci limita este $\sqrt{36}=6$.

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Verificarea ipotezelor: baza $5+\frac{1}{n}$ este strict pozitivă la fiecare rang și are limita $5>0$, iar exponentul $2-\frac{1}{n}$ are limita $2$ (1,5 p). Regula puterii cu exponent variabil dă $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(5+\frac{1}{n}\right)}^{2-\frac{1}{n}}=5^2=25$$ (1 p). Control: pentru $n=10^5$ valoarea este $\approx 24,9997$ ✓ (0,5 p).

b) (2 p) Șirul din interiorul modulului are limita $-8$ (1 p), iar regula modulului dă $|-8|=8$ (1 p). Modulul schimbă semnul, nu convergența.

c) (2 p) Paranteza are limita $3$ (1 p), iar regula puterii cu exponent natural — obținută prin inducție din regula produsului — dă $3^4=81$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice cu rația $q\ne 1$ este $S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ (1 p), deci $$S_n=9\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{1-\frac{1}{4}}=9\cdot \frac{4}{3}\left(1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\right)=12\left(1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\right)$$ (1,5 p). Paranteza este un șir convergent: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^n\to 0$, rația fiind subunitară, deci paranteza are limita $1$; prin regula înmulțirii cu o constantă, $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=12\cdot 1=12$ (1 p). Verificare: $S_1=9$, $S_5\approx 11,988$, $S_{10}\approx 11,99999$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Scrierea $0,(12)$ înseamnă limita sumelor $0,12+0,0012+0,000012+\dots$, adică sumele unei progresii geometrice cu $b_1=\frac{12}{100}$ și $q=\frac{1}{100}$ (1 p). Atunci $$S_n=\frac{12}{100}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{100}\right)}^n}{1-\frac{1}{100}}=\frac{12}{99}\left(1-{\left(\frac{1}{100}\right)}^n\right)$$ (1 p), iar cum ${\left(\frac{1}{100}\right)}^n\to 0$, limita este $\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$ (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (2 p) $a_1=-\frac{7}{2}$; $a_2=\frac{12}{3}=4$; $a_3=-\frac{17}{4}$.

b) (4 p) Subșirul de rang par, $n=2k$: $$a_{2k}=\frac{10k+2}{2k+1}=5-\frac{3}{2k+1},\text{deci}|a_{2k}-5|=\frac{3}{2k+1}<\epsilon \text{ pentru }k>\frac{1}{2}\left(\frac{3}{\epsilon }-1\right),$$ adică $a_{2k}\to 5$ (1,5 p). Subșirul de rang impar, $n=2k+1$: $$a_{2k+1}=-\frac{10k+7}{2k+2}=-\left(5-\frac{3}{2k+2}\right),\text{deci}|a_{2k+1}+5|=\frac{3}{2k+2},$$ care devine mai mic decât orice $\epsilon >0$, adică $a_{2k+1}\to -5$ (1,5 p). Cele două limite sunt diferite ($5\ne -5$), deci, prin criteriul cu două subșiruri, șirul $(a_n)$ nu are limită; în particular, este divergent (1 p).

Itemul 9. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p clasificarea, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) Convergent, cu limita $8$: $\frac{1}{n^2}\to 0$, deci $8-\frac{1}{n^2}\to 8$, limită finită. b) (1,5 p) Divergent, cu limită. Pentru orice $M$, inegalitatea $6n+5>M$ are loc de la $n>\frac{M-5}{6}$, deci limita este $+\infty$; ea nu este finită, deci șirul nu este convergent. c) (1,5 p) Divergent, fără limită. Subșirul de rang par este constant $6$, cel de rang impar este constant $-6$; limitele diferă, deci șirul nu are limită. d) (1,5 p) Divergent, cu limită. Din $9-4n<M$ rezultă $n>\frac{9-M}{4}$, deci limita este $-\infty$. (Control: primul rang cu $d_n<-10^3$ este $n=253$, unde $d_{253}=-1003$.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $\epsilon >0$ oarecare. Ideea este împărțirea „bugetului de eroare" în două: cerem fiecărui șir să se apropie de limita lui cu mai puțin de $\frac{\epsilon }{2}$ (0,5 p). Din definiția limitei aplicată lui $(a_n)$, cu $\frac{\epsilon }{2}$ în loc de $\epsilon$, există un rang $n_1$ astfel încât $|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2}$ pentru orice $n\ge n_1$ (1 p). Analog, există $n_2$ cu $|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}$ pentru orice $n\ge n_2$ (1 p). Fie $N=\max (n_1,n_2)$. Pentru orice $n\ge N$, folosind inegalitatea modulului sumei: $$|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|\le |a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$ (2 p). Am arătat că pentru orice $\epsilon >0$ există un rang de la care toți termenii șirului sumă se află în intervalul $(a+b-\epsilon ,a+b+\epsilon )$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n+b_n)=a+b$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) De ce nu se aplică regula: teoremele de operații sunt enunțate pentru șiruri convergente, adică pentru limite finite. Aici nici $(4n+1)$, nici $(n+5)$ nu sunt convergente — ambele au limita $+\infty$ —, deci regula câtului nu are ipotezele îndeplinite și nu se poate scrie „câtul limitelor" (1,5 p). Limita există totuși și se obține fie prin prelucrarea prealabilă a termenului general, $\frac{4n+1}{n+5}=4-\frac{19}{n+5}$, fie direct din definiție, arătând că $\left|\frac{4n+1}{n+5}-4\right|=\frac{19}{n+5}<\epsilon$ pentru $n>\frac{19}{\epsilon }-5$; în ambele variante limita este $4$ (0,5 p). Exemplu de sumă convergentă din bucăți fără limită: $a_n=(-1{)}^n$ și $b_n=(-1{)}^{n+1}$ au $a_n+b_n=0$ pentru orice $n$, deci suma este șirul constant $0$, convergent, deși niciunul dintre șiruri nu are limită. Regulile merg numai dinspre bucăți spre întreg (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Scriem $\frac{11}{4}=1+h$, cu $h=\frac{7}{4}>0$ (0,5 p). Din inegalitatea lui Bernoulli, $(1+h{)}^n\ge 1+nh$, deci $${\left(\frac{11}{4}\right)}^n\ge 1+\frac{7n}{4}$$ (1 p). Fie $M$ un prag oarecare. Inegalitatea $1+\frac{7n}{4}>M$ este echivalentă cu $n>\frac{4(M-1)}{7}$, deci pentru orice rang mai mare decât acest număr avem, cu atât mai mult, ${\left(\frac{11}{4}\right)}^n>M$ (1 p). Toți termenii, de la un rang încolo, depășesc pragul $M$, adică limita este $+\infty$ (0,5 p).

b) (5 p) Aici $q=-\frac{9}{4}\le -1$, deci suntem în cazul „nu există limită"; scriem argumentul complet. Subșirul de rang par: $a_{2k}={\left(-\frac{9}{4}\right)}^{2k}={\left(\frac{81}{16}\right)}^k$, iar $\frac{81}{16}>1$, deci acest subșir are limita $+\infty$ (1,5 p). Subșirul de rang impar: $a_{2k+1}=-\frac{9}{4}\cdot {\left(\frac{81}{16}\right)}^k$, un șir de numere negative ale căror module cresc peste orice prag, deci limita lui este $-\infty$ (1,5 p). Dacă $(a_n)$ ar avea limita $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci, prin teorema subșirurilor, ambele subșiruri ar avea limita $\ell$; cum $+\infty \ne -\infty$, presupunerea cade. Șirul este divergent și nu are limită (1,5 p). De ce „limita este $\pm \infty$" este greșit: în $\overline{\mathbb{R}}$ nu există un element numit „$\pm \infty$", iar limita, atunci când există, este unică. Formularea corectă de barem este „șirul nu are limită" (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Aplicăm trecerea la limită în inegalitățile $3\le a_n$ și $a_n\le 8$, comparând șirul cu șirurile constante $3$ și $8$; obținem $$3\le \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\le 8$$ (1,5 p). Valoarea $9$ este deci imposibilă, fiind în afara intervalului $[3,8]$ (0,5 p). Valoarea $3$ este, în schimb, posibilă: șirul constant $a_n=3$ verifică ipotezele și are limita $3$ (1 p).

b) (3 p) Presupunem, prin reducere la absurd, că ar exista un astfel de șir (0,5 p). Din $a_n\le 4$ pentru orice $n$ și din existența limitei rezultă, prin trecere la limită, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\le 4$ (1,5 p). Dar am presupus că limita este $5$, deci am obține $5\le 4$ — fals (0,5 p). Prin urmare un asemenea șir nu există (0,5 p).

c) (2 p) Rezolvăm inecuația: $4-\frac{15}{n}>0⟺4n>15⟺n>\frac{15}{4}=3,75$, deci cel mai mic rang este $n=4$ (1,5 p). Verificare: $a_3=4-5=-1<0$, iar $a_4=4-\frac{15}{4}=\frac{1}{4}>0$ ✓ Limita fiind strict pozitivă, existența unui asemenea rang era garantată, dar el nu este obligatoriu primul (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $a_1=\frac{11}{3}$ și $a_2=\frac{19}{5}$ (1 p). Scriem $8n+3=4(2n+1)-1$, deci $$a_n=\frac{4(2n+1)-1}{2n+1}=4-\frac{1}{2n+1}$$ (1 p).

b) (3 p) Distanța până la $4$ este $|a_n-4|=\frac{1}{2n+1}$ (0,5 p). Fie $\epsilon >0$ arbitrar; inecuația $$\frac{1}{2n+1}<\epsilon ⟺2n+1>\frac{1}{\epsilon }⟺n>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\epsilon }-1\right)$$ are întotdeauna soluții naturale, deci pentru orice $\epsilon >0$ există $N(\epsilon )$ cu $|a_n-4|<\epsilon$ pentru orice $n\ge N(\epsilon )$: limita este $4$ (1,5 p). Pentru $\epsilon =0,01$: $n>\frac{99}{2}=49,5$, deci cel mai mic rang este $N=50$ (0,5 p). Verificare: $|a_{50}-4|=\frac{1}{101}\approx 0,009901<0,01$ ✓, iar $|a_{49}-4|=\frac{1}{99}\approx 0,010101$, care nu este mai mic decât $\epsilon$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Pentru orice $n\ge 1$ avem $2n+1>0$, deci $\frac{1}{2n+1}>0$ și $a_n=4-\frac{1}{2n+1}<4$ (1 p). De ce nu rezultă $\lim a_n<4$: la trecerea la limită orice inegalitate devine nestrictă, deci din $a_n<4$ se poate deduce doar $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\le 4$ (1,5 p). Motivul este că inegalitatea strictă cere doar ca diferența $4-a_n$ să fie pozitivă la fiecare rang, nu ca ea să rămână mai mare decât o valoare fixă; aici diferența este chiar $\frac{1}{2n+1}$, care se micșorează sub orice prag. De altfel, la punctul b) am arătat că limita este $4$, ceea ce confirmă că inegalitatea strictă nu se putea păstra (0,5 p).