Test: limite fundamentale

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică cele cinci limite fundamentale cerute de programă și modul în care ele se combină între ele. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: limita cu sinus și cele două corolare ale ei, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$, împreună cu reflexul de a construi raportul fundamental prin amplificare: dacă sub sinus stă $u$, la numitor trebuie să apară exact $u$. Al doilea: limitele cu exponențială și logaritm, cu accent pe valoarea $\ln a$ — nu $1$ — la o bază oarecare; egalitatea cu $1$ are loc numai pentru $a=e$, iar un răspuns $1$ la baza $2$ sau $9$ este greșit din start. Al treilea: a cincea limită fundamentală, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$, valabilă pentru orice exponent real, inclusiv negativ sau irațional. Al patrulea: nedeterminarea $1^{\infty }$, rezolvată cu rețeta în cinci pași, în care numărul $c=\lim g\left(f-1\right)$ se calculează separat și decide totul; se verifică inclusiv primul pas, adică deosebirea cazului autentic de un „fals $1^{\infty }$", în care baza nu tinde la $1$.

Peste tot, la fiecare formă compusă, se cere justificarea scrisă a substituției, cu ambele condiții: $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a punctului. Baremele de Bacalaureat M1 punctează separat acest pas.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute; la itemii cu redactare completă se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele se lasă în formă exactă ($\ln 5$, $\frac{9}{4}$, $e^{-2}$, $\sqrt{2}$), nu în aproximări zecimale. Se depunctează: răspunsul $1$ la o bază diferită de $e$; omiterea justificării substituției; nepotrivirea expresiei de sub sinus (sau de la exponent) cu numitorul; folosirea gradelor în locul radianilor; răspunsul „$e$" fără calculul numărului $c$; aplicarea rețetei pentru $1^{\infty }$ fără verificarea prealabilă a limitei bazei. Nu se acceptă rezolvări cu derivate sau cu regulile lui L'Hôpital: derivatele funcțiilor $\sin x$, $a^x$ și $\ln x$ se calculează folosind exact limitele verificate aici, deci un asemenea raționament ar fi circular.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe formele compuse și pe rețeta în cinci pași.
• Formule de reținut: cele cinci limite fundamentale, toate pentru $x\to 0$ și cu argumentul în radiani: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1;\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a,a>0;$$ $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r,r\in \mathbb{R}.$$ Corolarele primei limite: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$. Corolarele celei de-a treia și a patra: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Forma cu exponent infinit a celei de-a doua: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$. Formele compuse: dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $\frac{\sin u(x)}{u(x)}\to 1$, $\frac{a^{u(x)}-1}{u(x)}\to \ln a$, $\frac{\ln \left(1+u(x)\right)}{u(x)}\to 1$ și $\frac{{\left(1+u(x)\right)}^r-1}{u(x)}\to r$. Formula de lucru pentru $1^{\infty }$: dacă $f(x)\to 1$, $g(x)\to \pm \infty$, $f>0$ și $f\ne 1$ pe o vecinătate redusă, iar $c=\lim g(x)\left(f(x)-1\right)$, atunci $\lim f(x{)}^{g(x)}=e^c$, cu convențiile $e^{+\infty }=+\infty$ și $e^{-\infty }=0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Limita fundamentală cu sinus și corolarele ei

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 6x}{2x}$ este egală cu: A. $1$; B. $3$; C. $6$; D. $\frac{1}{3}$.

b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x}$ este egală cu: A. $1$; B. $2$; C. $\ln 2$; D. $\frac{1}{\ln 2}$.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^x$ este egală cu: A. $1$; B. $e$; C. $e^3$; D. $+\infty$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, scriind de fiecare dată amplificarea prin care ai construit raportul fundamental (câte 1,5 puncte): a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 9x}{\sin 4x}$; b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}6x}{x}$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 4x}{x^2}$; d) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{\mathrm{tg}2x}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Există exact o bază $a>0$ pentru care $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=1$." b) „$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$ au aceeași valoare." c) „Dacă $f(x)\to 1$, $g(x)\to +\infty$ și $c=\lim g(x)\left(f(x)-1\right)=0$, atunci $\lim f(x{)}^{g(x)}=1$." d) „Egalitatea $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$ este adevărată numai pentru $r$ număr natural."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin 3x}$. (3 p) b) Calculează $\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin 2x}{x-\pi }$, justificând substituția folosită. (3 p)

Partea a II-a – Exponențială, logaritm și a cincea limită fundamentală

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, precizând de fiecare dată baza care dă valoarea limitei (câte 2 puncte): a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5^x-1}{x}$; b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3^{4x}-1}{x}$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+6x)}{2x}$; d) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-1}{x}$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{7^x-4^x}{x}$, explicând de ce fracția nu poate fi despărțită în două înainte de a scădea și aduna $1$ la numărător. (4 p) b) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4^x-1}{\ln (1+3x)}$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x^2-1}$, scriind substituția cu ambele condiții verificate. (4 p) b) Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\ln (x-2)}{x-3}$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[4]{1+8x}-1}{x}$, precizând valoarea lui $r$. (3 p) b) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\sqrt{2}}-1}{x}$ și explică de ce acest rezultat nu se poate obține prin amplificare cu o conjugată. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Calculează, indicând de fiecare dată care dintre cele cinci limite fundamentale intervine (câte 2 puncte): a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{e^{5x}-1}$; b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{1-\cos x}$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x}$.

Partea a III-a – Nedeterminarea $1^{\infty }$, redactare completă și item de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice $a>0$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$. Tratează separat cazul $a=1$, folosește substituția $t=a^x-1$ și verifică ambele ipoteze ale ei. (5 p) b) Deduce valoarea limitei $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{9^x-1}{x}$, scrie-o și ca multiplu al lui $\ln 3$ și explică de ce răspunsul nu este $1$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2x+5}{2x-1}\right)}^{3x}$, scriind toți cei cinci pași ai rețetei. (5 p) b) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+\sin 2x\right)}^{\frac{3}{x}}$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\cos 2x\right)}^{\frac{1}{x^2}}$, verificând și ipoteza care cere ca baza să nu ia valoarea $1$. (5 p) b) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3x+1}{x+2}\right)}^x$. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(\frac{x^2+5x+2}{x^2+x+3}\right)}^x$. a) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+5x+2}{x^2+x+3}=1$. (2 p) b) Calculați $c=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{x^2+5x+2}{x^2+x+3}-1\right)$. (3 p) c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Sub sinus stă $6x$, deci la numitor trebuie să apară tot $6x$: scriem $2x=\frac{1}{3}\cdot 6x$, adică $$\frac{\sin 6x}{2x}=3\cdot \frac{\sin 6x}{6x}⟶3.$$ Varianta C este greșeala de a citi coeficientul de sub sinus fără să-l raportezi la numitor.

b) C. Este a treia limită fundamentală, cu $a=2$: valoarea este $\ln 2\approx 0,693$. Varianta A este greșeala clasică a capitolului — răspunsul $1$ se obține numai pentru $a=e$.

c) C. Este forma cu exponent infinit a celei de-a doua limite fundamentale, cu $u(x)=\frac{3}{x}$: numărul $c$ este $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \frac{3}{x}=3$, deci limita este $e^3$. Varianta B este răspunsul „$e$" dat fără calculul lui $c$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p amplificarea, 1 p rezultatul).

Notă de redactare. Justificarea substituției este scrisă integral la primul subpunct; în celelalte ea se subînțelege, ca să nu se repete de patru ori. Pe foaie se scrie de fiecare dată — este pas de barem.

a) Construim ambele rapoarte fundamentale. Notăm întâi $u(x)=9x$ și $v(x)=4x$: amândouă tind la $0$ când $x\to 0$ și amândouă sunt nenule pentru $x\ne 0$, deci pe orice vecinătate redusă a lui $0$; formele compuse se aplică. Atunci $$\frac{\sin 9x}{\sin 4x}=\frac{9}{4}\cdot \frac{\sin 9x}{9x}\cdot \frac{4x}{\sin 4x}⟶\frac{9}{4}\cdot 1\cdot 1=\frac{9}{4}.$$ Al doilea factor are limita $1\ne 0$, deci câtul are sens.

b) Scriem tangenta ca raport și amplificăm cu $6$: $$\frac{\mathrm{tg}6x}{x}=6\cdot \frac{\sin 6x}{6x}\cdot \frac{1}{\cos 6x}⟶6\cdot 1\cdot 1=6.$$ Ultimul factor tinde la $\frac{1}{\cos 0}=1$, numitorul având limita $1\ne 0$. Se poate invoca direct și corolarul $\frac{\mathrm{tg}u}{u}\to 1$, cu $u(x)=6x$.

c) Amplificăm cu $1+\cos 4x$, nenul lângă $0$: $$\frac{1-\cos 4x}{x^2}=\frac{{\sin }^{2}4x}{x^2\left(1+\cos 4x\right)}=16{\left(\frac{\sin 4x}{4x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos 4x}⟶16\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=8.$$ (Regula din tabel, $\frac{a^2}{2}$ cu $a=4$, dă același rezultat.)

d) Aducem ambele expresii la rapoarte fundamentale: $$\frac{\sin 5x}{\mathrm{tg}2x}=\frac{5}{2}\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\cdot \cos 2x⟶\frac{5}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 1=\frac{5}{2}.$$

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Limita este $\ln a$, iar condiția $\ln a=1$ dă $a=e$ și numai $a=e$, pentru că funcția logaritmică este injectivă. Există deci exact o asemenea bază.

b) F. Prima limită este $1$ (nedeterminare $\frac{0}{0}$, rezolvată de limita fundamentală), a doua este $0$: la $+\infty$ nu mai avem nedeterminare, pentru că $\left|\sin x\right|\le 1$, iar $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0$.

c) A. Formula de lucru dă $\lim f^g=e^c$, iar pentru $c=0$ obținem $e^0=1$. Cazul acesta arată limpede că nu orice nedeterminare $1^{\infty }$ produce numărul $e$.

d) F. A cincea limită fundamentală este valabilă pentru orice $r\in \mathbb{R}$: pentru $r=\frac{1}{2}$ dă $\frac{1}{2}$, pentru $r=-2$ dă $-2$, iar pentru $r=\sqrt{2}$ dă $\sqrt{2}$. Pentru $r$ natural rezultatul se poate verifica și cu binomul lui Newton — după împărțirea cu $x$, toți termenii în afară de $r$ mai conțin cel puțin un factor $x$ și se sting —, dar aceasta este o confirmare pe un caz particular, nu o restricție a enunțului. Chiar demonstrația generală, prin scrierea $(1+x{)}^r=e^{r\ln (1+x)}$, nu folosește nicăieri faptul că $r$ ar fi întreg.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$, ca să apară două expresii cunoscute (1 p): $$\frac{1-\cos x}{x\sin 3x}=\frac{\frac{1-\cos x}{x^2}}{\frac{\sin 3x}{x}}=\frac{\frac{1-\cos x}{x^2}}{3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}}$$ (1 p). Numărătorul tinde la $\frac{1}{2}$ (corolarul limitei cu sinus), numitorul la $3\ne 0$, deci limita este $\frac{1/2}{3}=\frac{1}{6}$ (1 p).

b) (3 p) Notăm $t=x-\pi$; cum $x\to \pi$ avem $t\to 0$, iar $t\ne 0$ pe orice vecinătate redusă a lui $\pi$, deci substituția este legitimă (1 p). Din periodicitatea sinusului, $\sin 2x=\sin \left(2t+2\pi \right)=\sin 2t$, deci $$\frac{\sin 2x}{x-\pi }=\frac{\sin 2t}{t}=2\cdot \frac{\sin 2t}{2t}⟶2$$ (1,5 p). Limita cerută este $2$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p identificarea bazei și a substituției, 1 p prelucrarea, 0,5 p valoarea).

Notă de redactare. La primul subpunct nu apare nicio substituție, pentru că expresia este chiar forma simplă a teoremei; de la al doilea încolo, justificarea celor două condiții se scrie integral o dată și se subînțelege apoi.

a) Este chiar a treia limită fundamentală, cu $a=5$: limita este $\ln 5\approx 1,609$. Nu se aplică nicio substituție, pentru că la exponent stă exact $x$, adică expresia de la numitor.

b) La exponent stă $4x$, deci amplificăm cu $4$. Notăm $u(x)=4x$: avem $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pentru $x\ne 0$, deci forma compusă se aplică: $$\frac{3^{4x}-1}{x}=4\cdot \frac{3^{4x}-1}{4x}⟶4\ln 3=\ln 81.$$

c) Aici baza nu mai contează: este a patra limită fundamentală, cea cu logaritm, a cărei valoare este $1$. În logaritm stă $6x$, la numitor avem $2x$; scriem $2x=\frac{1}{3}\cdot 6x$: $$\frac{\ln (1+6x)}{2x}=3\cdot \frac{\ln (1+6x)}{6x}⟶3\cdot 1=3.$$ Coeficientul $3$ este raportul dintre expresia din logaritm și cea de la numitor, nu unul dintre numerele din enunț luat separat.

d) Baza este $a=\frac{1}{3}$, deci limita este $\ln \frac{1}{3}=-\ln 3\approx -1,099$. Rezultatul este negativ, pentru că baza este subunitară — un răspuns pozitiv aici este greșit din start. Se acceptă și scrierea $-\ln 3$ sub forma $\ln 3^{-1}$.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) De ce nu se desparte direct. Dacă am scrie $\frac{7^x}{x}-\frac{4^x}{x}$, fiecare fracție ar avea numărătorul tinzând la $1$ și numitorul la $0$, deci niciuna nu ar avea limită finită; regula limitei diferenței cere ca fiecare bucată să aibă limită și ca operația dintre ele să aibă sens (1 p). Scădem și adunăm $1$ la numărător, ca fiecare bucată să devină un raport fundamental (1 p): $$\frac{7^x-4^x}{x}=\frac{\left(7^x-1\right)-\left(4^x-1\right)}{x}=\frac{7^x-1}{x}-\frac{4^x-1}{x}$$ (1 p). Acum fiecare termen are limită finită, deci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{7^x-4^x}{x}=\ln 7-\ln 4=\ln \frac{7}{4}$$ (1 p).

b) (3 p) Împărțim numărătorul și numitorul cu $x$, operație permisă pentru $x\ne 0$ (1 p): $$\frac{4^x-1}{\ln (1+3x)}=\frac{\frac{4^x-1}{x}}{\frac{\ln (1+3x)}{x}}=\frac{\frac{4^x-1}{x}}{3\cdot \frac{\ln (1+3x)}{3x}}$$ (1,5 p). Numărătorul tinde la $\ln 4$, numitorul la $3\ne 0$, deci limita este $\frac{\ln 4}{3}=\frac{2\ln 2}{3}$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Notăm $t=x-1$. Cele două condiții: $t\to 0$ când $x\to 1$, iar $t\ne 0$ pe orice vecinătate redusă a lui $1$; substituția este deci legitimă (1 p). Din $x=1+t$ obținem $\ln x=\ln (1+t)$, iar numitorul se descompune ca $x^2-1=(x-1)(x+1)$ (1 p): $$\frac{\ln x}{x^2-1}=\frac{\ln (1+t)}{t}\cdot \frac{1}{x+1}$$ (1 p). Primul factor tinde la $1$ prin a patra limită fundamentală, al doilea la $\frac{1}{2}$, deci limita este $\frac{1}{2}$ (1 p). (Fără substituție expresia nu seamănă cu nicio limită fundamentală, deși este chiar una, deghizată — de aceea primul pas al rezolvării este întotdeauna aducerea punctului în $0$.)

b) (3 p) Notăm $t=x-3$: avem $t\to 0$ și $t\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $3$ (1 p). Argumentul logaritmului se aduce astfel la forma cerută de limita fundamentală, $1+t$: din $x-2=(x-3)+1$ obținem $x-2=1+t$, deci $$\frac{\ln (x-2)}{x-3}=\frac{\ln (1+t)}{t}⟶1$$ (1,5 p). Limita este $1$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Radicalul de ordinul al patrulea se scrie ca putere: $\sqrt[4]{1+8x}=(1+8x{)}^{\frac{1}{4}}$, deci $r=\frac{1}{4}$ (1 p). Cu $u(x)=8x$, care tinde la $0$ și este nenul pentru $x\ne 0$, amplificăm cu $8$ (1 p): $$\frac{\sqrt[4]{1+8x}-1}{x}=8\cdot \frac{(1+8x{)}^{\frac{1}{4}}-1}{8x}⟶8\cdot \frac{1}{4}=2$$ (1 p).

b) (3 p) Puterea cu exponent real cere baza strict pozitivă, deci expresia are sens pe $(-1,0)\cup (0,+\infty )$, mulțime pentru care $0$ este punct de acumulare. Este a cincea limită fundamentală cu $r=\sqrt{2}$, deci limita este $\sqrt{2}$ (1 p). De ce nu merge conjugata: amplificarea cu conjugata folosește identități de tipul $\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B$ sau diferența de cuburi, care există numai pentru radicali de ordin întreg (1 p). Pentru un exponent irațional ca $\sqrt{2}$ nu există nicio identitate algebrică de acest fel; tocmai aceasta este valoarea limitei fundamentale — ea acoperă dintr-o dată toți exponenții reali (1 p).

Itemul 9. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p limitele fundamentale identificate, 1 p prelucrarea, 0,5 p valoarea).

Tiparul comun al celor trei subpuncte: se împart numărătorul și numitorul cu aceeași putere a lui $x$, aleasă astfel încât fiecare bucată să devină un raport fundamental. Puterea nu este întotdeauna $x$ — la subpunctul b) este $x^2$, iar la c) tocmai nepotrivirea puterilor decide rezultatul.

a) Intervin prima limită fundamentală și cea cu exponențială, în cazul $a=e$. Împărțim sus și jos cu $x$: $$\frac{\sin 2x}{e^{5x}-1}=\frac{2\cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{5\cdot \frac{e^{5x}-1}{5x}}⟶\frac{2\cdot 1}{5\cdot 1}=\frac{2}{5}.$$

b) Intervin a patra limită fundamentală și corolarul celei cu sinus. Împărțim sus și jos cu $x^2$: $$\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{1-\cos x}=\frac{\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{x^2}}{\frac{1-\cos x}{x^2}}⟶\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$$ Substituția $u(x)=x^2$ este legitimă: $x^2\to 0$ și $x^2\ne 0$ pentru $x\ne 0$.

c) Intervine corolarul $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$, dar numărăm gradele înainte de a răspunde: la numitor avem doar $x$, nu $x^2$, deci $$\frac{1-\cos 2x}{x}=x\cdot \frac{1-\cos 2x}{x^2}⟶0\cdot 2=0.$$ Răspunsul este $0$, nu $2$ — exact confuzia pe care o testează itemul.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Cazul $a=1$. Atunci $a^x-1=0$ pentru orice $x$, deci expresia este constant $0$; cum $\ln 1=0$, egalitatea se verifică (0,5 p).

Substituția, cu ambele ipoteze. Fie $a\ne 1$ și $t=a^x-1$. Prima ipoteză: $t\to 0$ când $x\to 0$, pentru că $\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x=a^0=1$. A doua ipoteză: $t\ne 0$ pentru $x\ne 0$, pentru că funcția exponențială de bază $a\ne 1$ este strict monotonă, deci injectivă; din $a^x=1=a^0$ ar rezulta $x=0$ (1,5 p).

Rescrierea. Din $a^x=1+t$ obținem $x={\log }_a(1+t)$, iar formula de schimbare a bazei dă $x=\frac{\ln (1+t)}{\ln a}$, unde $\ln a\ne 0$ tocmai pentru că $a\ne 1$ (1,5 p). Prin urmare $$\frac{a^x-1}{x}=\frac{t}{\frac{\ln (1+t)}{\ln a}}=\ln a\cdot \frac{1}{\frac{\ln (1+t)}{t}}.$$

Trecerea la limită. Cu $u(x)=a^x-1$, forma compusă a limitei cu logaritm dă $\frac{\ln \left(1+u(x)\right)}{u(x)}\to 1\ne 0$, deci se poate aplica regula câtului (1 p): $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a\cdot \frac{1}{1}=\ln a.■$$ (0,5 p)

b) (3 p) Aplicăm teorema cu $a=9$: limita este $\ln 9$ (1 p). Din proprietatea logaritmului unei puteri, $\ln 9=\ln 3^2=2\ln 3\approx 2,197$ (1 p). Răspunsul nu este $1$ pentru că valoarea $1$ se obține numai pentru $a=e$; baza fiind $9\ne e$, un răspuns egal cu $1$ ar fi greșit din start (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Pasul 1 — confirmarea nedeterminării. Baza este un raport de expresii de gradul întâi cu aceiași coeficienți dominanți, deci tinde la $\frac{2}{2}=1$, iar exponentul $3x$ tinde la $+\infty$: avem un caz autentic $1^{\infty }$ (1 p).

Pasul 2 — baza scrisă ca $1+u$, prin împărțire cu rest: $$\frac{2x+5}{2x-1}=\frac{(2x-1)+6}{2x-1}=1+\frac{6}{2x-1},$$ deci $u(x)=\frac{6}{2x-1}$, care tinde la $0$ și este nenul pentru orice $x>\frac{1}{2}$ (1,5 p).

Pasul 3 — construirea exponentului $\frac{1}{u}$: $${\left(\frac{2x+5}{2x-1}\right)}^{3x}={\left[{\left(1+\frac{6}{2x-1}\right)}^{\frac{2x-1}{6}}\right]}^{3x\cdot \frac{6}{2x-1}}$$ (1 p).

Pasul 4 — numărul $c$: $$c=\underset{x\to +\infty }{\lim }3x\cdot \frac{6}{2x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{18x}{2x-1}=\frac{18}{2}=9,$$ raport de polinoame de grade egale (1 p).

Pasul 5 — răspunsul: $c$ fiind finit, limita este $e^9$ (0,5 p).

Observație de metodă. Aducerea bazei la forma $1+u$ se face prin împărțire cu rest, nu din ochi: numărătorul se scrie ca „numitor plus rest", iar $u$ este raportul dintre rest și numitor. După acest pas, $c$ iese ca un simplu raport de polinoame de grade egale.

b) (3 p) Baza tinde la $1$, iar exponentul $\frac{3}{x}$ tinde la $\pm \infty$: caz $1^{\infty }$ (0,5 p). Aici $u(x)=\sin 2x$ tinde la $0$; el este nenul pe vecinătatea redusă $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)\setminus \{0\}$, pentru că zerourile sinusului sunt numerele $k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, deci $\sin 2x=0$ cere $2x=k\pi$, adică $x=\frac{k\pi }{2}$ — valori aflate în afara acestui interval, cu excepția lui $0$. Pe același interval $\sin 2x$ ia valori strict cuprinse între $-1$ și $1$, deci baza $1+\sin 2x$ este strict pozitivă și diferită de $1$, cum cere teorema (1 p). Calculăm $$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3}{x}\cdot \sin 2x=3\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}=3\cdot 2=6$$ (1 p), folosind prima limită fundamentală. Prin urmare limita este $e^6$ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Baza tinde la $\cos 0=1$ și este strict pozitivă pe $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$, iar exponentul $\frac{1}{x^2}$ tinde la $+\infty$: caz $1^{\infty }$ (1 p). Ipoteza $f(x)\ne 1$: ecuația $\cos 2x=1$ are, pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, singura soluție $x=0$, deci pe o vecinătate redusă a lui $0$ baza este diferită de $1$ și scrierea ${\left[{\left(1+u\right)}^{1/u}\right]}^{ug}$ are sens (1 p). Calculăm numărul $c$: $$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\left(\cos 2x-1\right)=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x^2}$$ (1,5 p). Prin corolarul limitei cu sinus, amplificând cu $1+\cos 2x$, obținem $\frac{1-\cos 2x}{x^2}\to \frac{2^2}{2}=2$, deci $c=-2$ (1 p). Limita este $e^{-2}=\frac{1}{e^2}$ (0,5 p).

b) (3 p) Primul pas al rețetei este calculul limitei bazei: gradele numărătorului și numitorului sunt egale, dar coeficienții dominanți nu, deci baza tinde la $\frac{3}{1}=3\ne 1$ (1 p). Nu avem, prin urmare, nicio nedeterminare — este un „fals $1^{\infty }$" (1 p). Exponentul tinde la $+\infty$, deci, pe rândul $a^{+\infty }$ din tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$, cu $a=3>1$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3x+1}{x+2}\right)}^x=3^{+\infty }=+\infty$$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Raport de polinoame de același grad, deci tip $\frac{\infty }{\infty }$ (1 p). Limita este raportul coeficienților dominanți: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+5x+2}{x^2+x+3}=\frac{1}{1}=1$$ (1 p).

b) (3 p) Calculăm întâi diferența, aducând la același numitor (1 p): $$\frac{x^2+5x+2}{x^2+x+3}-1=\frac{\left(x^2+5x+2\right)-\left(x^2+x+3\right)}{x^2+x+3}=\frac{4x-1}{x^2+x+3}.$$ Înmulțind cu $x$ obținem un raport de polinoame de gradul al doilea (1,5 p): $$c=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2-x}{x^2+x+3}=\frac{4}{1}=4$$ (0,5 p).

c) (3 p) Din a) și b) suntem în cazul $1^{\infty }$, cu $c=4$ (1 p). Ipotezele teoremei sunt îndeplinite pe o vecinătate a lui $+\infty$: baza este strict pozitivă pentru $x>0$ și este diferită de $1$ pentru $x\ne \frac{1}{4}$, ecuația $4x-1=0$ având o singură soluție (1 p). Prin urmare $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=e^4\approx 54,598$$ (1 p). (Decupajul pe trei subpuncte — limita bazei, numărul $c$, rezultatul — este chiar forma în care subiectul apare la Bacalaureat M1, iar baremul oficial plătește separat fiecare etapă. Un candidat care scrie direct „$e^4$", fără b), pierde punctele intermediare chiar dacă răspunsul final este corect.)