Test: limitele funcțiilor uzuale și lecturi grafice

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică repertoriul de rezultate al capitolului de limite: ce limită are fiecare funcție uzuală în fiecare punct de acumulare al domeniului ei maxim. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: domeniul maxim și mulțimea punctelor de acumulare — pasul care decide dacă întrebarea are sens; el separă cele trei răspunsuri posibile la o cerere de limită („limita este…", „funcția nu are limită", „punctul nu este de acumulare, deci întrebarea nu se pune"). Al doilea: discuția după paritate la funcția putere — semnul limitei lui $x^n$ la $-\infty$ și, mai ales, existența limitei lui $\frac{1}{x^n}$ în $0$. Al treilea: discuția după bază la exponențială și la logaritm, cu observația că baza subunitară schimbă între ele cele două rezultate de la capete. Al patrulea: funcțiile trigonometrice, singurele funcții uzuale care nu au limită la $\pm \infty$, și limitele laterale ale tangentei și cotangentei în punctele scoase din domeniu, cu ordinea semnelor care le deosebește. Al cincilea: lectura unui tabel de valori — citirea tendinței și traducerea ei într-o limită, așa cum cere programa, împreună cu observația că un tabel sugerează, dar nu justifică.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește materia predată până la această lecție. Nu se cer operațiile cu limite de funcții, cazurile de nedeterminare și limitele fundamentale. De aceea, în enunțuri nu apare nicio sumă, niciun produs și niciun raport de funcții uzuale: fiecare limită se citește din tabelul construit în lecții, se justifică prin monotonie, prin semnul numitorului sau prin criteriul cu șiruri, și se scrie cu formularea corectă.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute; orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $19$ pentru Partea a II-a și $19$ pentru Partea a III-a. La orice cerință se scrie întâi domeniul maxim și punctele de acumulare, apoi discuția (paritate, bază sau semnul numitorului), apoi valoarea limitei.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: scrierea lui $\infty$ fără semn; formularea „limita nu există" despre o limită infinită; formularea „limita este $+\infty$" în punctele în care doar una dintre laterale este $+\infty$; răspunsul „nu există limită" acolo unde punctul nu este de acumulare al domeniului (răspunsul corect fiind că întrebarea nu se pune); omiterea discuției după paritate sau după bază; identificarea funcției putere $x^{1/n}$ cu radicalul $\sqrt[n]{x}$; justificarea unei limite exclusiv printr-un tabel de valori.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe tabelele funcțiilor uzuale și pe distincția dintre limită infinită și limită inexistentă.
• Unde apare la BAC M1: rezultatele acestei lecții apar rareori singure, dar sunt pasul final al aproape oricărui calcul de limită din subiectele de examen și, mai târziu, al oricărui tabel de variație. Cel mai des se cer: limitele exponențialei și ale logaritmului la capetele domeniului, limitele laterale ale unei funcții raționale sau trigonometrice într-un punct scos din domeniu și formularea corectă a inexistenței limitei.
• Formule de reținut: Puterea cu exponent natural nenul: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$ pentru orice $n$, iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$ dacă $n$ e par și $-\infty$ dacă $n$ e impar. Puterea cu exponent întreg negativ: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$; în $0$ avem $l_d(0)=+\infty$ întotdeauna, iar $l_s(0)=+\infty$ pentru $n$ par (deci limita există și este $+\infty$) și $l_s(0)=-\infty$ pentru $n$ impar (deci limita nu există). Exponent real neîntreg: domeniul este $[0,+\infty )$ pentru $\alpha >0$ (cu $0^{\alpha }=0$) și $(0,+\infty )$ pentru $\alpha <0$; la $+\infty$ limita este $+\infty$, respectiv $0$, iar în $0$ (dinspre dreapta) este $0$, respectiv $+\infty$. Radicalul de ordin par are domeniul $[0,+\infty )$, cel de ordin impar are domeniul $\mathbb{R}$; ambele au limita $+\infty$ la $+\infty$, iar cel de ordin impar are limita $-\infty$ la $-\infty$. Exponențiala $a^x$: pentru $a>1$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$; pentru $0<a<1$ cele două se schimbă între ele. **Logaritmul** ${\log }_{a}x$: pentru $a>1$, $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=+\infty ,$$ iar pentru $0<a<1$ cele două se schimbă între ele. Trigonometrice: în orice punct din domeniu limita este valoarea funcției; $\sin$ și $\cos$ nu au limită la $-\infty$ și la $+\infty$; tangenta are în fiecare punct $\frac{\pi }{2}+k\pi$ limitele laterale $+\infty$ (la stânga) și $-\infty$ (la dreapta), iar cotangenta are în fiecare punct $k\pi$ limitele laterale $-\infty$ (la stânga) și $+\infty$ (la dreapta) — în ambele cazuri limita nu există.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Funcțiile putere și radical. Vocabularul limitelor

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^8$ este: A. $-\infty$; B. $+\infty$; C. $0$; D. nu există.

b) Despre $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^6}$ se poate afirma că: A. este $0$; B. este $-\infty$; C. este $+\infty$; D. nu există.

c) Despre $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[8]{x}$ se poate afirma că: A. este $-\infty$; B. este $+\infty$; C. nu există; D. întrebarea nu se pune, pentru că $-\infty$ nu este punct de acumulare al domeniului.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, precizând de fiecare dată în ce caz al tabelului te afli (câte 1,5 puncte): a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{11}$; b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{12}$; c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^7}$; d) $\underset{x\to -1024}{\lim }\sqrt[5]{x}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Funcțiile $f(x)=x^{1/5}$ și $g(x)=\sqrt[5]{x}$ au același domeniu maxim, deci și aceleași limite la $-\infty$." b) „Funcția $f(x)=\frac{1}{x^9}$ are limită în $0$, pentru că ambele limite laterale acolo sunt infinite." c) „Pentru $f(x)={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$ avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, pentru că funcția exponențială crește peste orice prag." d) „Punctul $\frac{\pi }{2}$ este punct de acumulare al domeniului funcției tangentă, deși nu îi aparține."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^8}$, calculează $l_s(0)$ și $l_d(0)$, precizează dacă funcția are limită în $0$ și calculează limitele la $-\infty$ și la $+\infty$. (3 p) b) Aceleași cerințe pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^{11}}$. (3 p)

Partea a II-a – Exponențiala, logaritmul, funcțiile trigonometrice și lectura tabelelor

Itemul 5 (8 puncte)

Pentru fiecare funcție, precizează poziția bazei față de $1$ și calculează ambele limite de la capetele domeniului (câte 2 puncte): a) $f(x)=7^x$: limitele la $-\infty$ și la $+\infty$; b) $f(x)={\left(\frac{3}{8}\right)}^x$: limitele la $-\infty$ și la $+\infty$; c) $f(x)={\log }_{6}x$: limita în $0$ și limita la $+\infty$; d) $f(x)={\log }_{1/4}x$: limita în $0$ și limita la $+\infty$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează, verificând mai întâi că punctul aparține domeniului (câte 1 punct): $\underset{x\to 7\pi /6}{\lim }\sin x$, $\underset{x\to 3\pi /4}{\lim }\cos x$ și $\underset{x\to \pi /3}{\lim }\mathrm{tg}x$. (3 p) b) Calculează limitele laterale ale funcției tangentă în punctul $\frac{5\pi }{2}$ și precizează dacă funcția are limită acolo. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Calculează limitele laterale ale funcției cotangentă în punctul $2\pi$, precizează dacă funcția are limită acolo și compară ordinea semnelor cu cea obținută la tangentă. (3 p) b) Arată, folosind două șiruri, că funcția cosinus nu are limită la $+\infty$, alegând șirurile astfel încât limitele imaginilor să fie $-1$ și, respectiv, $\frac{\sqrt{2}}{2}$. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Tabelul de mai jos conține valori ale funcției $f(x)=\sqrt[4]{x}$:

Citește tendința, scrie $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[4]{x}$ și descrie ce se vede pe grafic spre dreapta; explică de ce „creștere lentă" nu înseamnă „mărginită" și de ce, la $-\infty$, întrebarea nu se pune. (3 p)

b) Tabelul de mai jos conține valori ale funcției $g(x)=4^x$:

Citește tendința, scrie $\underset{x\to -\infty }{\lim }{4}^x$, explică de ce valorile nu ajung niciodată la $0$ și spune cum arată graficul în partea stângă, față de axa $Ox$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Precizează, pentru fiecare situație, dacă limita este finită, infinită (și deci există) sau dacă funcția nu are limită, justificând pe scurt (câte 1,5 puncte): a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^{10}}$; b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin x$; c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{6}\right)}^x$; d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[9]{x}$.

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează, folosind monotonia funcției exponențiale și definiția limitei cu șiruri, că pentru $a>1$ avem $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$. (5 p) b) Explică de ce mărginirea funcției sinus exclude o limită infinită la $+\infty$, dar nu garantează existența unei limite finite; dă exemplul de șir, din capitolul precedent, care ilustrează aceeași situație. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră funcțiile $f(x)={\log }_{3}x$ și $g(x)=3^x$. a) Determină domeniile maxime ale celor două funcții și, pentru fiecare, punctele de acumulare care nu aparțin domeniului. (2 p) b) Calculează limitele lui $f$ în aceste puncte, precizând poziția bazei față de $1$. (3 p) c) Calculează limitele lui $g$ la $-\infty$ și la $+\infty$ și explică legătura dintre cele două seturi de rezultate. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Scrie domeniul maxim al funcției cotangentă și explică de ce fiecare punct scos din domeniu rămâne punct de acumulare al lui. (3 p) b) Folosind periodicitatea, scrie mulțimea punctelor în care funcția tangentă nu are limită, precizează valorile limitelor laterale în acele puncte și explică de ce răspunsul „limita tangentei în $\frac{\pi }{2}$ este $+\infty$" nu primește punctajul. (5 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcțiile $f(x)=x^{5/3}$ și $g(x)=x^{-5/3}$. a) Determinați domeniile maxime ale celor două funcții și mulțimile punctelor de acumulare ale acestora. (3 p) b) Calculați limitele fiecărei funcții în punctele de acumulare care nu aparțin domeniului. (3 p) c) Precizați, pentru fiecare limită obținută, dacă este finită sau infinită, și explicați de ce, pentru funcția $f$, limita în $0$ coincide cu valoarea funcției. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) B. Exponentul $8$ este par, deci un produs de opt factori negativi este pozitiv și crește nemărginit: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^8=+\infty$. (Control: $(-10^3{)}^8=10^{24}$.) Varianta A ar fi corectă pentru un exponent impar.

b) (2 p) C. Exponentul $6$ este par, deci $x^6>0$ pentru orice $x\ne 0$ și tinde la $0^{+}$ din ambele părți; prin urmare $l_s(0)=l_d(0)=+\infty$, cele două laterale sunt egale și limita există, fiind $+\infty$. Varianta D este capcana: aici laterale egale, deci limită.

c) (2 p) D. Radicalul de ordin par are domeniul $[0,+\infty )$, mulțime mărginită inferior; nicio vecinătate a lui $-\infty$ nu conține puncte ale domeniului, deci $-\infty$ nu este punct de acumulare al lui. Răspunsul corect nu este „nu există limită", ci „limita nu se pune în discuție în acest punct".

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p identificarea cazului, 1 p răspunsul).

a) (1,5 p) Funcție putere cu exponent natural impar ($n=11$), deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{11}=-\infty$.

b) (1,5 p) Exponent natural par ($n=12$), deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{12}=+\infty$.

c) (1,5 p) Funcție de tip $\frac{1}{x^n}$: la $\pm \infty$ numitorul crește nemărginit în valoare absolută, deci raportul tinde la $0$. Așadar $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^7}=0$. (Apropierea se face prin valori negative, exponentul fiind impar, dar limita este tot $0$.)

d) (1,5 p) Radicalul de ordin impar are domeniul $\mathbb{R}$, deci $-1024$ aparține domeniului, iar limita este valoarea funcției: cum $(-4{)}^5=-1024$, avem $\underset{x\to -1024}{\lim }\sqrt[5]{x}=-4$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Domeniile sunt diferite: exponentul $\frac{1}{5}$ este neîntreg și pozitiv, deci $x^{1/5}$ are domeniul maxim $[0,+\infty )$, în timp ce $\sqrt[5]{x}$, radical de ordin impar, are domeniul $\mathbb{R}$. Ele coincid numai pe $[0,+\infty )$. La $-\infty$, întrebarea are răspuns doar pentru radical ($-\infty$), iar pentru $x^{1/5}$ nici nu se pune.

b) (1,5 p) F. Exponentul $9$ fiind impar, $x^9<0$ pentru $x<0$ și $x^9>0$ pentru $x>0$, deci $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$. Cele două laterale există, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $0$. „Amândouă infinite" nu ajunge; ele trebuie să fie egale.

c) (1,5 p) F. Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{5}\right)}^x=0$. Afirmația ar fi adevărată doar pentru $a>1$; de aceea discuția după bază nu se sare niciodată.

d) (1,5 p) A. Din domeniul tangentei se scot puncte izolate, nu intervale, deci orice vecinătate a lui $\frac{\pi }{2}$ conține o infinitate de puncte în care funcția este definită. Apartenența la mulțime nu are legătură cu proprietatea de a fi punct de acumulare — tocmai de aceea are sens să se ceară limita acolo.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Punctul $0$ nu aparține domeniului, dar este punct de acumulare al lui ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (0,5 p). Exponentul $8$ este par, deci $x^8>0$ pentru orice $x\ne 0$ și tinde la $0^{+}$ din ambele părți: $$l_s(0)=+\infty ,l_d(0)=+\infty$$ (1 p). Cele două laterale fiind egale, limita există și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^8}=+\infty$ (1 p). La capete, numitorul crește nemărginit, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^8}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^8}=0$ (0,5 p).

b) (3 p) Exponentul $11$ este impar, deci semnul numitorului se schimbă la trecerea prin $0$: pentru $x<0$ avem $x^{11}\to 0^{-}$, iar pentru $x>0$, $x^{11}\to 0^{+}$ (0,5 p). Prin urmare $$l_s(0)=-\infty ,l_d(0)=+\infty$$ (1 p), iar cele două fiind diferite, funcția nu are limită în $0$ (1 p). La capete rezultatul este același ca la punctul a): $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^{11}}=0$ (0,5 p). (Comparația dintre a) și b) este chiar miezul itemului: aceeași formă a expresiei, aceeași apropiere de $0$, dar concluzii de tipuri diferite — singura deosebire este paritatea exponentului.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p poziția bazei față de $1$, câte 0,75 p fiecare limită).

a) (2 p) Baza $7>1$, deci funcția este strict crescătoare: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{7}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{7}^x=+\infty .$$ (Valorile rămân strict pozitive; ele se apropie de $0$, fără să-l atingă.)

b) (2 p) Baza $\frac{3}{8}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar rolurile se inversează: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{8}\right)}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{8}\right)}^x=0.$$

c) (2 p) Baza $6>1$, deci funcția logaritmică este strict crescătoare. Domeniul fiind $(0,+\infty )$, în $0$ se cere numai limita la dreapta, iar ea este chiar limita funcției în $0$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{6}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{6}x=+\infty .$$ Control: ${\log }_{6}10^{-6}\approx -7,71$ și ${\log }_{6}10^{-20}\approx -25,70$ — valorile coboară fără prag, chiar dacă lent.

d) (2 p) Baza $\frac{1}{4}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare și cele două rezultate se schimbă între ele: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{1/4}x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{1/4}x=-\infty .$$ Verificare independentă: ${\log }_{1/4}x=-{\log }_{4}x$, iar pentru baza $4$ rezultatele sunt $-\infty$ și $+\infty$; schimbând semnul, obținem exact valorile de mai sus.

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. Toate trei punctele aparțin domeniilor respective (sinusul și cosinusul sunt definite pe $\mathbb{R}$, iar $\frac{\pi }{3}$ nu este de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$), deci limita este chiar valoarea funcției: $$\underset{x\to 7\pi /6}{\lim }\sin x=-\frac{1}{2},\underset{x\to 3\pi /4}{\lim }\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\underset{x\to \pi /3}{\lim }\mathrm{tg}x=\sqrt{3}.$$ (Unghiul $\frac{7\pi }{6}$ este în cadranul al treilea, unde sinusul este negativ.)

b) (4 p) Cum $\frac{5\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+2\pi$, punctul este de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$ (cu $k=2$), deci a fost scos din domeniu, dar rămâne punct de acumulare al lui (0,5 p). Scriem $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și discutăm semnul numitorului; prin periodicitatea de perioadă $\pi$, comportarea este identică celei din $\frac{\pi }{2}$ (0,5 p). La stânga: $\sin x$ este aproape de $1$, deci pozitiv, iar $\cos x$ este pozitiv și oricât de mic, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 5\pi /2\\ x<5\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty$$ (1,5 p). La dreapta: $\sin x$ rămâne aproape de $1$, dar $\cos x$ devine negativ și oricât de mic în valoare absolută, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 5\pi /2\\ x>5\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=-\infty$$ (1 p). Cele două laterale există, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $\frac{5\pi }{2}$ (0,5 p). Control: la $\frac{5\pi }{2}\mp 10^{-6}$ valorile sunt aproximativ $\pm 10^6$.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Punctul $2\pi$ este de forma $k\pi$ (cu $k=2$), deci nu aparține domeniului cotangentei, dar este punct de acumulare al lui (0,5 p). Scriem $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$: numărătorul este aproape de $1$ și pozitiv, iar la stânga lui $2\pi$ sinusul este negativ și oricât de mic în valoare absolută, iar la dreapta este pozitiv și oricât de mic (0,5 p). Prin urmare $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\pi \\ x<2\pi \end{array}}{\lim }\mathrm{ctg}x=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\pi \\ x>2\pi \end{array}}{\lim }\mathrm{ctg}x=+\infty$$ (1,5 p), iar cele două fiind diferite, cotangenta nu are limită în $2\pi$. Ordinea semnelor este inversă față de tangentă, unde la stânga apare $+\infty$ și la dreapta $-\infty$; explicația este că la numitor stă $\sin x$ în loc de $\cos x$, iar cele două își schimbă semnul diferit la trecerea prin punctele respective (0,5 p).

b) (4 p) Alegem două șiruri de numere reale care tind la $+\infty$: $$x_n=\pi +2n\pi ,y_n=\frac{\pi }{4}+2n\pi ,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ (1 p). Din periodicitatea de perioadă $2\pi$ a cosinusului, $$\cos x_n=\cos \pi =-1\text{ pentru orice }n,\cos y_n=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ pentru orice }n$$ (1,5 p). Cele două șiruri de imagini sunt constante, deci au limitele $-1$, respectiv $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (0,5 p). Cum $-1\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, prin definiția cu șiruri funcția cosinus nu are limită la $+\infty$ (1 p). $■$ (Alegerea șirurilor nu este unică: orice pereche ale cărei imagini au limite diferite rezolvă cerința.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Argumentul se înmulțește de fiecare dată cu $10^4$, iar valoarea se înmulțește cu $10$: valorile cresc, fără să se apropie de vreun prag (0,5 p). Domeniul lui $\sqrt[4]{x}$ este $[0,+\infty )$, funcția este strict crescătoare și nemărginită superior, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[4]{x}=+\infty$$ (1 p). Pe grafic: curba pornește din origine și urcă tot mai lin spre dreapta, fără să se apropie de vreo dreaptă orizontală — ea depășește, mai devreme sau mai târziu, orice înălțime aleasă dinainte. „Creștere lentă" înseamnă doar că trebuie să mergi foarte departe pentru valori mari — ca să depășești $10^4$ ai nevoie de $x>10^{16}$ —, dar pentru orice prag $M$ există $x=M^4$ cu $\sqrt[4]{x}=M$, deci funcția nu este mărginită (1 p). La $-\infty$ întrebarea nu se pune: domeniul $[0,+\infty )$ este mărginit inferior, deci $-\infty$ nu este punct de acumulare al lui (0,5 p). (Observație de barem: tabelul singur nu justifică limita; justificarea este monotonia plus nemărginirea.)

b) (3 p) Valorile scad la fiecare pas, rămânând strict pozitive: la fiecare dublare a distanței față de origine, ele se micșorează de câteva sute de mii de ori (0,5 p). Baza $4>1$, deci funcția exponențială este strict crescătoare, iar la $-\infty$ $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{4}^x=0$$ (1 p). Valorile nu ajung niciodată la $0$ pentru că $4^x>0$ pentru orice număr real $x$; limita descrie tendința valorilor, nu o valoare atinsă. Pe grafic: în partea stângă curba coboară și se lipește de axa $Ox$, apropiindu-se oricât de mult de ea fără să o atingă și rămânând tot timpul deasupra ei (1,5 p).

Itemul 9. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p clasificarea, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) Limită infinită, care există: $+\infty$. Exponentul $10$ este par, deci $x^{10}\to 0^{+}$ din ambele părți, iar cele două limite laterale sunt egale.

b) (1,5 p) Funcția nu are limită. Șirurile $x_n=2n\pi$ și $y_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ tind amândouă la $+\infty$, dar $\sin x_n=0$ și $\sin y_n=1$ pentru orice $n$, deci imaginile au limite diferite.

c) (1,5 p) Limită finită: $0$. Baza $\frac{1}{6}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar la $+\infty$ valorile se apropie de $0$ rămânând pozitive.

d) (1,5 p) Limită infinită, care există: $-\infty$. Radicalul de ordin $9$ este impar, deci are domeniul $\mathbb{R}$, este strict crescător și nemărginit inferior. (Control: $\sqrt[9]{-10^9}=-10$.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Domeniul funcției $f(x)=a^x$ este $\mathbb{R}$, mulțime nemărginită inferior, deci $-\infty$ este punct de acumulare al lui și întrebarea are sens (0,5 p).

Fie $(x_n)$ un șir arbitrar de numere reale cu $x_n\to -\infty$; trebuie să arătăm că $a^{x_n}\to 0$ (0,5 p). Fie $\epsilon >0$ oarecare. Cum $a>1$, funcția $x\mapsto a^x$ este strict crescătoare, deci inegalitatea $a^x<\epsilon$ este echivalentă cu $x<{\log }_a\epsilon$ (1,5 p). Șirul $(x_n)$ tinzând la $-\infty$, există un rang $N$ astfel încât $x_n<{\log }_a\epsilon$ pentru orice $n\ge N$ (1 p); pentru astfel de indici obținem $$0<a^{x_n}<\epsilon ,$$ prima inegalitate fiind valabilă pentru că funcția exponențială ia numai valori strict pozitive (1 p). Am arătat deci că pentru orice $\epsilon >0$ există un rang de la care $|a^{x_n}-0|<\epsilon$, adică $a^{x_n}\to 0$. Cum șirul a fost arbitrar, prin definiția cu șiruri $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Din $-1\le \sin x\le 1$ rezultă că valorile funcției nu pot depăși niciun prag din afara intervalului $[-1,1]$; o limită $+\infty$ sau $-\infty$ ar cere ca valorile să treacă peste orice prag, ceea ce este imposibil. Deci mărginirea exclude limitele infinite (1,5 p). Ea nu garantează însă existența unei limite finite: o funcție mărginită poate oscila la nesfârșit în interiorul benzii, fără să se apropie de vreo valoare — exact ce face sinusul. Exemplul din capitolul de șiruri este $\left((-1{)}^n\right)$: mărginit, cu $|a_n|=1$, și totuși fără limită, pentru că subșirul de rang par tinde la $1$, iar cel de rang impar la $-1$ (1,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) Pentru $f(x)={\log }_{3}x$: domeniul maxim este $D_f=(0,+\infty )$, iar $D_f^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$; punctele de acumulare care nu aparțin domeniului sunt $0$ și $+\infty$ (1 p). Pentru $g(x)=3^x$: domeniul maxim este $D_g=\mathbb{R}$, iar $D_g^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$; punctele care nu aparțin domeniului sunt $-\infty$ și $+\infty$ (1 p).

b) (3 p) Baza $3>1$ este supraunitară, deci funcția logaritmică este strict crescătoare (0,5 p). Apropierea de $0$ se poate face numai dinspre dreapta, iar valorile coboară nemărginit (1 p): $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{3}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{3}x=+\infty$$ (1 p). Ambele limite sunt infinite, dar amândouă există în $\overline{\mathbb{R}}$; în $0$ nu se pune problema unei limite la stânga, pentru că acolo funcția nici nu este definită (0,5 p).

c) (3 p) Baza fiind aceeași, $3>1$, funcția exponențială este strict crescătoare și $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{3}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{3}^x=+\infty$$ (1,5 p). Legătura: cele două funcții sunt inverse una alteia, deci graficele lor sunt simetrice față de dreapta $y=x$. Simetria schimbă între ele rolurile axelor, transformând comportarea „valorile tind la $0$ când $x\to -\infty$" (exponențiala) în comportarea „valorile coboară spre $-\infty$ când $x$ se apropie de $0$ dinspre dreapta" (logaritmul); comportarea la $+\infty$ rămâne, în schimb, neschimbată, fiind simetrică față de bisectoare (1,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Cotangenta se scrie $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ și este definită acolo unde $\sin x\ne 0$, adică $$D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$ (1,5 p). Fiecare punct scos rămâne punct de acumulare al domeniului: o vecinătate oarecare a lui $k\pi$ conține un interval $\left(k\pi -\epsilon ,k\pi +\epsilon \right)$ cu $\epsilon >0$, iar acest interval conține o infinitate de numere reale, dintre care cel mult unul singur — chiar $k\pi$ — a fost scos din domeniu (pentru $\epsilon <\pi$). Deci în orice vecinătate există puncte din $D$ diferite de $k\pi$ (1,5 p). (Se scot puncte izolate, nu intervale — de aceea are sens să se ceară limita acolo.)

b) (5 p) Tangenta are perioada $\pi$, deci comportarea studiată în $\frac{\pi }{2}$ se repetă identic în toate punctele obținute din el prin translații cu multipli de $\pi$ (1 p). Mulțimea cerută este $$\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$$ (1,5 p), adică exact mulțimea punctelor scoase din domeniu. În fiecare dintre ele, $$\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2+k\pi \\ x<\pi /2+k\pi \end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2+k\pi \\ x>\pi /2+k\pi \end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=-\infty$$ (1,5 p). Răspunsul „limita tangentei în $\frac{\pi }{2}$ este $+\infty$" nu primește punctajul pentru că $+\infty$ este numai limita la stânga: cele două laterale sunt diferite, deci limita funcției în acel punct nu există. Cine scrie doar $+\infty$ a calculat, de fapt, o singură limită laterală și a omis condiția $x<\frac{\pi }{2}$ de sub semnul limitei (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Exponentul $\frac{5}{3}$ este neîntreg și pozitiv, deci domeniul maxim al lui $f$ este $[0,+\infty )$, cu convenția $0^{5/3}=0$ (1 p). Exponentul $-\frac{5}{3}$ este neîntreg și negativ, deci domeniul maxim al lui $g$ este $(0,+\infty )$ (1 p). În ambele cazuri mulțimea punctelor de acumulare este $$D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$$ (1 p).

b) (3 p) Pentru $f$, singurul punct de acumulare care nu aparține domeniului este $+\infty$; funcția fiind strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ și nemărginită superior, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{5/3}=+\infty$$ (1 p). Pentru $g$, punctele care nu aparțin domeniului sunt $0$ și $+\infty$; funcția fiind strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$, $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^{-5/3}=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{-5/3}=0$$ (2 p). Control: ${\left(10^{-6}\right)}^{-5/3}=10^{10}$ și ${\left(10^6\right)}^{-5/3}=10^{-10}$.

c) (2 p) Pentru $f$: limita la $+\infty$ este infinită, iar limita în $0$ (dinspre dreapta) este finită, egală cu $0$. Pentru $g$: limita în $0$ este infinită, iar cea la $+\infty$ este finită, egală cu $0$ (1 p). Pentru $f$, limita în $0$ coincide cu valoarea funcției pentru că $0$ aparține domeniului: convenția $0^{\alpha }=0$ pune punctul $(0,0)$ chiar pe curbă, deci suntem în cazul obișnuit „punct din domeniu, limita este valoarea" (1 p).