Test: logaritmi și proprietățile lor

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică noțiunea care închide cercul deschis de funcția exponențială: logaritmul. Ideea de bază, pe care se sprijină toți itemii, este că logaritmul este un exponent — $lo g_{a} b$ este exponentul la care trebuie ridicată baza $a$ pentru a obține $b$ . Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția și condițiile de existență — argument strict pozitiv, bază strict pozitivă și diferită de $1$ ; ele se scriu întâi, înaintea oricărui calcul, iar baremul le punctează separat. Al doilea: calculul din definiție, adică scrierea argumentului ca putere a bazei, inclusiv la baze subunitare sau iraționale. Al treilea: cele trei proprietăți — logaritmul produsului, al câtului și al puterii — împreună cu capcana lor gemenă: nu există formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ , iar $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ atunci când $x$ poate fi negativ. Al patrulea: formula de schimbare a bazei și consecințele ei imediate (inversarea bazei cu argumentul, baze și argumente care sunt puteri, lanțurile de logaritmi care se telescopează).

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele se dau în formă exactă. Notațiile sunt obligatorii: $lo g_{a} x$ pentru baza generală, $l g x$ pentru baza $10$ , $ln x$ pentru baza $e$ ; scrierea „log" fără bază se consideră greșită. Înainte de a folosi orice proprietate se verifică dacă toate logaritmii care apar există.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe definiție și pe imposibilitatea desfacerii sumelor din argument.
Formule de reținut: definiția, pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ : $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b .$ Identitățile de bază: $a^{l o g_{a} b} = b$ , $lo g_{a} a^{x} = x$ , $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ . Cele trei proprietăți, pentru $x, y > 0$ și $n$ real: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y, lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y, lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x .$ În particular, $lo g_{a} n x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ și $lo g_{a} \frac{1}{y} = - lo g_{a} y$ . Nu există formulă pentru $lo g_{a} (x + y)$ . Schimbarea bazei, pentru $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ , $b > 0$ : $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a} (b \neq = 1), lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b, lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c .$ Notații: $l g x = lo g_{10} x$ și $ln x = lo g_{e} x$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția logaritmului și calcule directe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea numărului $lo g_{2} 32$ este: A. $4$ ; B. $5$ ; C. $6$ ; D. $16$ .

b) Valoarea numărului $l g 0, 001$ este: A. $- 3$ ; B. $3$ ; C. $- 2$ ; D. $0, 001$ .

c) Expresia $lo g_{a} b$ are sens dacă și numai dacă: A. $a > 0$ și $b > 0$ ; B. $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ ; C. $a \neq = 1$ și $b \neq = 0$ ; D. $a$ și $b$ sunt numere reale oarecare.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează din definiție, scriind argumentul ca putere a bazei (câte 1,5 puncte): a) $lo g_{3} 81$ ; b) $lo g_{\frac{1}{2}} 8$ ; c) $lo g_{5} \frac{1}{25}$ ; d) $lo g_{9} 27$ .

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „ $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8$ ." b) „Pentru orice număr real nenul $x$ are loc $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ ." c) „Pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ are loc $a^{l o g_{a} b} = b$ ." d) „ $lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 3 = 1$ ."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Calculează $E = lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3$ . (3 p) b) Calculează $F = lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9$ . (3 p)

Partea a II-a – Proprietăți, descompuneri și schimbarea bazei

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, folosind proprietățile logaritmilor (câte 2 puncte): a) $lo g_{2} 5 + lo g_{2} \frac{8}{5}$ ; b) $l g 25 + l g 4$ ; c) $lo g_{3} 27$ ; d) $\frac{lo g _{2} 64}{lo g _{2} 4}$ .

Itemul 6 (7 puncte)

a) Se notează $u = l g 2$ și $v = l g 3$ . Exprimă în funcție de $u$ și $v$ (câte 1 punct): $l g 6$ ; $l g 12$ ; $l g 5$ ; $l g 0, 75$ . (4 p) b) Restrânge într-un singur logaritm expresia $2 lo g_{a} 3 + lo g_{a} 5 - lo g_{a} 9$ , unde $a > 0$ și $a \neq = 1$ . (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Folosind formula de schimbare a bazei către baza $2$ , arată că $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ . (4 p) b) Calculează $P = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4$ . (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Calculează $lo g_{3} 9$ . (3 p) b) Calculează $Q = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 8$ . (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Încadrează numărul $lo g_{2} 10$ între doi întregi consecutivi, justificând. (3 p) b) Stabilește, fără calculator, semnul numerelor $lo g_{3} 0, 5$ și $lo g_{0, 5} 0, 2$ . (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează, pornind de la definiția logaritmului, că pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $x, y > 0$ are loc $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y .$ (5 p) b) Arată printr-un contraexemplu că formula nu se poate extinde la $lo g_{a} (x + y)$ . (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Demonstrează formula de schimbare a bazei: pentru $a, c > 0$ , $a, c \neq = 1$ și $b > 0$ , $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} .$ (4 p) b) Deduce relația $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ (cu $b \neq = 1$ ) și calculează $lo g_{8} 2 + lo g_{2} 8$ . (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Demonstrează, prin reducere la absurd, că numărul $lo g_{2} 3$ este irațional. (4 p) b) Calculează $E = 4^{l o g_{2} 5}$ . (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) a) Arătați că $lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = 2$ . (3 p) b) Se notează $x = lo g_{2} 3$ . Arătați că $lo g_{2} 24 = 3 + x$ și calculați $lo g_{4} 9$ în funcție de $x$ . (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Căutăm exponentul $c$ cu $2^{c} = 32$ . Cum $32 = 2^{5}$ , avem $lo g_{2} 32 = 5$ .

b) A. $l g$ înseamnă logaritm în baza $10$ , iar $0, 001 = \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ , deci $l g 0, 001 = - 3$ . Varianta D confundă logaritmul cu argumentul lui.

c) B. Argumentul trebuie să fie strict pozitiv (puterile unei baze pozitive sunt strict pozitive, deci ecuația $a^{c} = b$ nu are soluție pentru $b \leq 0$ ), baza trebuie să fie strict pozitivă (altfel puterea cu exponent real nu are sens) și diferită de $1$ (pentru că $1^{c} = 1$ oricare ar fi $c$ , deci ecuația ori nu are soluție, ori are o infinitate).

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p scrierea ca putere, 1 p rezultatul).

a) $81 = 3^{4}$ , deci $lo g_{3} 81 = 4$ .

b) Scriem $8$ ca putere a bazei $\frac{1}{2}$ : $8 = 2^{3} = (\frac{1}{2})^{- 3}$ , deci $lo g_{\frac{1}{2}} 8 = - 3$ . (La bază subunitară, un argument supraunitar dă logaritm negativ.)

c) $\frac{1}{25} = 5^{- 2}$ , deci $lo g_{5} \frac{1}{25} = - 2$ .

d) Căutăm $c$ cu $9^{c} = 27$ . Aducem la baza $3$ : $3^{2 c} = 3^{3}$ , deci $2 c = 3$ și $lo g_{9} 27 = \frac{3}{2}$ . Verificare: $9^{\frac{3}{2}} = (9)^{3} = 27$ ✓.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Suma din argument nu se desface niciodată. Calculăm efectiv: membrul stâng este $lo g_{2} 16 = 4$ , iar membrul drept este $3 + 3 = 6$ ; cum $4 \neq = 6$ , egalitatea este falsă. Proprietatea corectă privește produsul, nu suma.

b) F. Formula $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} x$ cere $x > 0$ ; pentru $x < 0$ , membrul stâng există (căci $x^{2} > 0$ ), dar membrul drept nu are sens. Scrierea corectă pentru orice $x$ nenul este $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣.$

c) A. Este chiar definiția, citită invers: $lo g_{a} b$ este exponentul la care se ridică $a$ pentru a obține $b$ , deci ridicând $a$ la acest exponent obținem $b$ . Exemplu: $3^{l o g_{3} 7} = 7$ .

d) A. Din formula de inversare, $lo g_{3} 5 = \frac{1}{lo g _{5} 3}$ , deci produsul celor doi logaritmi este $1$ . Echivalent, prin lanț: $lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 3 = lo g_{3} 3 = 1$ .

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Diferența de logaritmi cu aceeași bază este logaritmul câtului (1,5 p): $E = lo g_{2} \frac{6}{3} = lo g_{2} 2 = 1$ (1,5 p).

b) (3 p) Suma de logaritmi cu aceeași bază este logaritmul produsului (1,5 p): $F = lo g_{6} (4 \cdot 9) = lo g_{6} 36 = 2,$ pentru că $36 = 6^{2}$ (1,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p proprietatea aplicată, 1 p rezultatul).

a) $lo g_{2} 5 + lo g_{2} \frac{8}{5} = lo g_{2} (5 \cdot \frac{8}{5}) = lo g_{2} 8 = 3$ .

b) $l g 25 + l g 4 = l g (25 \cdot 4) = l g 100 = 2$ .

c) Scriem radicalul ca putere: $27 = 2 7^{\frac{1}{2}} = (3^{3})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ , deci $lo g_{3} 27 = \frac{3}{2} .$

d) $lo g_{2} 64 = 6$ și $lo g_{2} 4 = 2$ , deci raportul este $\frac{6}{2} = 3$ . (Observație: raportul este exact $lo g_{4} 64$ , prin formula de schimbare a bazei — și, într-adevăr, $4^{3} = 64$ .)

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) — câte 1 punct. – $l g 6 = l g (2 \cdot 3) = l g 2 + l g 3 = u + v$ . – $l g 12 = l g (2^{2} \cdot 3) = 2 l g 2 + l g 3 = 2u + v$ . – $l g 5 = l g \frac{10}{2} = l g 10 - l g 2 = 1 - u$ . – $l g 0, 75 = l g \frac{3}{4} = l g 3 - l g 4 = v - 2u$ .

b) (3 p) Aducem primul termen sub logaritm, folosind proprietatea puterii (1 p): $2 lo g_{a} 3 = lo g_{a} 3^{2} = lo g_{a} 9.$ Expresia devine (1 p) $lo g_{a} 9 + lo g_{a} 5 - lo g_{a} 9 = lo g_{a} \frac{9 \cdot 5}{9} = lo g_{a} 5$ (1 p). Rezultatul este $lo g_{a} 5$ .

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Aplicăm formula de schimbare a bazei, cu baza nouă $c = 2$ (1,5 p): $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} .$ Calculăm cei doi logaritmi din definiție: $8 = 2^{3}$ dă $lo g_{2} 8 = 3$ , iar $4 = 2^{2}$ dă $lo g_{2} 4 = 2$ (1,5 p). Prin urmare $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2} ✓$ (0,5 p) Verificare directă din definiție: $4^{\frac{3}{2}} = (4)^{3} = 2^{3} = 8$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Folosim regula lanțului, „veriga din mijloc se simplifică" (1,5 p): $P = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 = lo g_{2} 4 = 2$ (1,5 p). (Justificare prin schimbarea bazei: $lo g_{3} 4 = \frac{lo g _{2} 4}{lo g _{2} 3}$ , iar la înmulțire factorul $lo g_{2} 3$ se simplifică.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Scriem argumentul ca putere a bazei $3$ (1,5 p): $9 = 3^{2} = (3)^{4},$ deci $lo g_{3} 9 = 4$ (1 p). Metodă echivalentă: $lo g_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{2} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$ , prin formula $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ (0,5 p).

b) (3 p) Lanțul se telescopează, verigile intermediare $3$ , $4$ și $5$ dispărând pe rând (1,5 p): $Q = (lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4) \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 8 = lo g_{2} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 8 = lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 8 = lo g_{2} 8 = 3$ (1,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Căutăm puteri ale lui $2$ care încadrează argumentul (1 p): $2^{3} = 8 < 10 < 16 = 2^{4} .$ Funcția logaritmică de bază $2$ (bază supraunitară) este strict crescătoare, deci ordinea se păstrează (1,5 p): $3 < lo g_{2} 10 < 4$ (0,5 p). (Altfel spus, $lo g_{2} 10$ este cuprins strict între $3$ și $4$ ; el nu poate fi întreg, pentru că $10$ nu este putere a lui $2$ .)

b) (3 p) – $lo g_{3} 0, 5 < 0$ : baza $3$ este supraunitară, iar argumentul $0, 5$ este subunitar; cum $lo g_{3} 1 = 0$ și funcția e strict crescătoare, argumentele mai mici decât $1$ dau logaritmi negativi (1,5 p). – $lo g_{0, 5} 0, 2 > 0$ : baza $0, 5$ este subunitară, deci funcția e strict descrescătoare; argumentul $0, 2$ fiind mai mic decât $1$ , logaritmul este pozitiv (1,5 p). (Control din definiție: $(0, 5)^{c} = 0, 2$ cere $c > 1$ , pentru că $(0, 5)^{1} = 0, 5 > 0, 2$ .)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Notăm $m = lo g_{a} x$ și $n = lo g_{a} y$ ; aceste numere există, pentru că $x, y > 0$ , iar $a > 0$ , $a \neq = 1$ (1 p).

Din definiția logaritmului, cele două notații înseamnă (1 p): $a^{m} = x, a^{n} = y .$ Înmulțim cele două egalități și folosim regula produsului puterilor cu aceeași bază (1,5 p): $x y = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$ Observăm că $x y > 0$ , deci $lo g_{a} (x y)$ există. Egalitatea $a^{m + n} = x y$ înseamnă, citită din nou prin definiție, exact (1 p) $lo g_{a} (x y) = m + n = lo g_{a} x + lo g_{a} y . ■$ (Pasul-cheie este unicitatea exponentului: funcția exponențială fiind injectivă, există un singur număr $c$ cu $a^{c} = x y$ , iar noi am găsit unul, anume $m + n$ .) (0,5 p)

b) (3 p) Presupusa formulă ar fi $lo g_{a} (x + y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ . Luăm $a = 2$ , $x = 2$ și $y = 4$ (1 p): $lo g_{2} (2 + 4) = lo g_{2} 6, iar lo g_{2} 2 + lo g_{2} 4 = 1 + 2 = 3.$ Cele două valori sunt diferite, pentru că $lo g_{2} 6 = 3$ ar însemna $2^{3} = 6$ , adică $8 = 6$ — fals (1,5 p). Prin urmare formula nu se poate extinde la sume (0,5 p). (Motivul de fond: proprietatea vine din regula $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , care privește produsul puterilor; pentru sume nu există nicio regulă analogă.)

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Notăm $m = lo g_{a} b$ ; prin definiție, $a^{m} = b$ (1 p). Aplicăm $lo g_{c}$ ambilor membri — operație legitimă, pentru că ambii membri sunt strict pozitivi (1 p): $lo g_{c} (a^{m}) = lo g_{c} b .$ Prin proprietatea logaritmului unei puteri, membrul stâng devine $m lo g_{c} a$ (1 p): $m lo g_{c} a = lo g_{c} b .$ Cum $a \neq = 1$ , avem $lo g_{c} a \neq = 0$ , deci putem împărți (0,5 p): $m = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}, adic \overset{a}{˘} lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} . ■$ (0,5 p)

b) (4 p) Luăm $c = b$ în formula de mai sus (posibil, pentru că $b > 0$ și $b \neq = 1$ ) (1,5 p): $lo g_{a} b = \frac{lo g _{b} b}{lo g _{b} a} = \frac{1}{lo g _{b} a} .$ Aplicăm pentru numerele cerute: $lo g_{2} 8 = 3$ , pentru că $8 = 2^{3}$ , deci $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ (1,5 p). Prin urmare $lo g_{8} 2 + lo g_{2} 8 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Mai întâi observăm că $lo g_{2} 3 > 0$ , pentru că $3 > 1$ și baza este supraunitară (0,5 p).

Presupunem, prin absurd, că $lo g_{2} 3$ este rațional. Fiind pozitiv, el se scrie $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ , cu $p, q \in N^{*}$ (1 p). Din definiție, $2^{\frac{p}{q}} = 3.$ Ridicăm ambii membri la puterea $q$ (1 p): $2^{p} = 3^{q} .$ Cum $p \geq 1$ , membrul stâng este un număr par; cum $q \geq 1$ , membrul drept este un număr impar (produs de factori impari) (1 p). Un număr nu poate fi simultan par și impar — contradicție. (Echivalent: cele două descompuneri în factori primi diferă, ceea ce contrazice unicitatea descompunerii.) Prin urmare presupunerea este falsă, deci $lo g_{2} 3$ este irațional. $■$ (0,5 p)

b) (4 p) Aducem baza puterii la $2$ (1 p): $E = 4^{l o g_{2} 5} = (2^{2})^{l o g_{2} 5} = 2^{2 l o g_{2} 5} .$ Folosim proprietatea puterii logaritmului: $2 lo g_{2} 5 = lo g_{2} 5^{2} = lo g_{2} 25$ (1,5 p). Rămâne $E = 2^{l o g_{2} 25} = 25,$ prin identitatea $a^{l o g_{a} b} = b$ (1,5 p). (Variantă de calcul: $E = (2^{l o g_{2} 5})^{2} = 5^{2} = 25$ .)

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Diferența de logaritmi cu aceeași bază este logaritmul câtului (1,5 p): $lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{18}{2} = lo g_{3} 9.$ Cum $9 = 3^{2}$ , obținem $lo g_{3} 9 = 2$ ✓ (1,5 p).

b) (5 p) Prima cerință. Descompunem argumentul într-un produs în care apare o putere a bazei (1 p): $24 = 8 \cdot 3 = 2^{3} \cdot 3.$ Prin urmare (1,5 p) $lo g_{2} 24 = lo g_{2} (2^{3} \cdot 3) = lo g_{2} 2^{3} + lo g_{2} 3 = 3 + x ✓$

A doua cerință. Aplicăm formula de schimbare a bazei către baza $2$ (1 p): $lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} .$ La numărător, $lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3 = 2 x$ ; la numitor, $lo g_{2} 4 = 2$ (1 p). Așadar $lo g_{4} 9 = \frac{2 x}{2} = x$ (0,5 p). (Rezultatul se putea anticipa cu formula $lo g_{a^{n}} b^{n} = lo g_{a} b$ : aici $lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3$ .)