Test: matrice inversabile și calculul inversei

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Permutări, determinanți și matrice inversabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică trecerea de la calcul la existență: până la această unitate, tot ce se cerea în capitolul de matrice se putea calcula direct; de aici înainte, elevul trebuie să decidă mai întâi dacă obiectul căutat există. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția matricei inversabile, care cere ambele produse, $A\cdot B=B\cdot A=I_n$, și care se aplică numai matricelor pătratice. Al doilea: criteriul determinantului — o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$ — împreună cu vocabularul nesingulară / singulară și cu discuția pe un parametru, unde întrebarea despre matrice devine o ecuație obișnuită. Al treilea: algoritmul cu matricea adjunctă, adică minorii ${\Delta }_{ij}$, complemenții algebrici ${\delta }_{ij}$, transpunerea (pasul cel mai des uitat) și împărțirea la determinant, la ordinele $2$, $3$ și $4$. Al patrulea: proprietățile inversei, cu accent pe inversarea ordinii la produs și pe determinanții derivați.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare inversă calculată se consideră completă doar dacă este verificată prin cele două produse, $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$; la ordinul $3$ și $4$ se acceptă drept control minimal o linie a produsului. Se depunctează: pornirea calculului complemenților fără a fi calculat întâi determinantul, omiterea transpunerii matricei complemenților, semnele $(-1{)}^{i+j}$ ignorate, folosirea regulii lui Sarrus la un determinant de ordinul al patrulea și scrierea „$\frac{B}{A}$" în locul înmulțirii cu inversa.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe algoritmul matricei adjuncte și pe discuția cu parametru.
• Formule de reținut: definiția — $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este inversabilă dacă există $B$ cu $A\cdot B=B\cdot A=I_n$; inversa este atunci unică și se notează $A^{-1}$. Criteriul determinantului: $A$ inversabilă $⟺\det A\ne 0$ (matrice nesingulară); $\det A=0$ înseamnă matrice singulară. Minorul și complementul algebric: ${\Delta }_{ij}$ este determinantul de ordin $n-1$ rămas după eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$, iar ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$. Matricea adjunctă $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici, adică elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$, și verifică $$A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n,$$ egalitate adevărată pentru orice matrice pătratică, inversabilă sau nu. Formula inversei: $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast },\det A\ne 0;$$ la ordinul $2$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu $ad-bc\ne 0$, ea devine $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Proprietăți: $(A^{-1}{)}^{-1}=A$; $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$ (ordinea se inversează); $({}^{t}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$; $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}$; $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}$; $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Criteriul determinantului și inversa la ordinul 2

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$ este: A. $\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)$; B. $\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 4\end{array}\right)$; C. $\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ 5& -4\end{array}\right)$; D. $\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$.

b) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ și $\det A=4$, atunci $\det (A^{-1})$ este: A. $4$; B. $\frac{1}{4}$; C. $64$; D. $\frac{1}{64}$.

c) Matricea adjunctă $A^{\ast }$ a unei matrice pătratice este: A. matricea complemenților algebrici; B. transpusa matricei complemenților algebrici; C. inversa lui $A$; D. matricea minorilor ${\Delta }_{ij}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește, calculând determinantul, dacă matricea este inversabilă sau singulară (câte 1,5 puncte): a) $\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ -3& 2\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$; d) $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 0& 5\end{array}\right)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $\det A=0$, atunci $A\cdot A^{\ast }=O_n$." b) „Pentru orice matrice inversabile $A$ și $B$ de același ordin are loc $(A\cdot B{)}^{-1}=A^{-1}\cdot B^{-1}$." c) „O matrice cu $3$ linii și $4$ coloane poate fi inversabilă." d) „Dacă $A$ are toate elementele numere întregi și $\det A=-1$, atunci și $A^{-1}$ are toate elementele numere întregi."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\right)$ și verifică rezultatul prin ambele produse. (3 p) b) Determină inversa matricei $B=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 4\end{array}\right)$ și explică de ce elementele ei sunt numere întregi. (3 p)

Partea a II-a – Matricea adjunctă, ordinul 3 și parametrul

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. (2 p) b) Calculează cei nouă complemenți algebrici ${\delta }_{ij}$ și scrie matricea complemenților. (3 p) c) Scrie matricea adjunctă $A^{\ast }$, determină $A^{-1}$ și verifică prima linie a produsului $A\cdot A^{-1}$. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$. a) Arată că $A$ este inversabilă și determină $A^{-1}$ cu ajutorul matricei adjuncte. (5 p) b) Verifică, pe prima linie, egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ m& 2& 0\\ 1& 1& m-1\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A(m)$ și scrie-l în formă factorizată. (3 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă. (2 p) c) Calculează $A(0{)}^{-1}$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Se știe că $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, cu $\det A=2$ și $\det B=-5$. Calculează $\det (A\cdot B)$, $\det (A^{-1})$, $\det (A^{\ast })$ și $\det (2A)$. (4 p) b) Se știe că $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$. Determină matricea $A$. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Matricea $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ verifică relația $A^2-4A+3I_2=O_2$. a) Arată că $A$ este inversabilă și determină $A^{-1}$ în funcție de $A$. (3 p) b) Verifică rezultatul pe matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. (3 p)

Partea a III-a – Ordinul 4, demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 1& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 2& 0& 1\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$, alegând linia după care dezvoltarea costă cel mai puțin, și justifică alegerea. (3 p) b) Stabilește dacă $A$ este inversabilă și precizează dacă $A^{-1}$ are elemente întregi. (2 p) c) Calculează minorul ${\Delta }_{14}$ și complementul algebric ${\delta }_{14}$, apoi scrie elementul de pe linia $4$, coloana $1$ al matricei $A^{\ast }$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 0& 0\\ 1& m& 0& 0\\ 0& 0& 1& m\\ 0& 0& m& 4\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A(m)$, folosind structura pe blocuri. (3 p) b) Determină valorile lui $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă. (2 p) c) Calculează $A(0{)}^{-1}$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, dacă $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ sunt inversabile, atunci $A\cdot B$ este inversabilă și $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$. (4 p) b) Pornind de la egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$, demonstrează că pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ cu $\det A\ne 0$ are loc $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^2$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. (2 p) b) Arătați că $A$ este inversabilă. (1 p) c) Determinați $A^{-1}$, folosind matricea adjunctă. (4 p) d) Calculați $\det (A^{-1})$, fără a folosi elementele inversei. (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) A. $\det A=4\cdot 4-3\cdot 5=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă, iar la ordinul $2$ se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală, se schimbă semnul celorlalte două și se împarte la determinant: $$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right).$$ Varianta B este greșeala clasică de transpunere (se schimbă $-3$ cu $-5$), iar D este chiar $A$.

b) B. Din $A\cdot A^{-1}=I_3$ și din formula determinantului unui produs obținem $\det A\cdot \det (A^{-1})=\det I_3=1$, deci $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{4}$. Varianta D ar corespunde lui $\frac{1}{(\det A{)}^3}$, o confuzie cu $\det (\alpha A)$.

c) B. Prin definiție, $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici: elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$. Varianta A este exact greșeala de a sări peste transpunere, iar D ignoră semnele $(-1{)}^{i+j}$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (1 p calculul determinantului, 0,5 p concluzia).

a) $\det =5\cdot 2-3\cdot 3=10-9=1\ne 0$, deci matricea este inversabilă (nesingulară).

b) $\det =6\cdot 2-(-4)(-3)=12-12=0$, deci matricea este singulară. (Se putea răspunde și fără calcul: linia a doua este prima înmulțită cu $-\frac{1}{2}$, deci liniile sunt proporționale — Proprietatea 7 din lecția 19.)

c) Cu regula lui Sarrus, valabilă exclusiv la ordinul $3$: $$\det =2\cdot 3\cdot 2+1\cdot 1\cdot 1+0\cdot 0\cdot 0-(0\cdot 3\cdot 1+2\cdot 1\cdot 0+1\cdot 0\cdot 2)=12+1=13\ne 0,$$ deci matricea este inversabilă.

d) Linia a doua este prima înmulțită cu $2$, deci cele două linii sunt proporționale și, prin Proprietatea 7 din lecția 19, $\det =0$: matricea este singulară. (Calculul cu Sarrus confirmă: $20+12+0-(12+0+20)=0$.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ este adevărată pentru orice matrice pătratică, inversabilă sau nu; pentru $\det A=0$ membrul drept este $0\cdot I_n=O_n$. Ipoteza $\det A\ne 0$ e necesară doar la împărțirea cu care se obține inversa.

b) F. Formula corectă este $(A\cdot B{)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$: ordinea se inversează, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă. Contraexemplu: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ avem $(A\cdot B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -5& 3\end{array}\right)$, în timp ce $A^{-1}\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -8& 5\end{array}\right)$.

c) F. Numai matricele pătratice pot fi inversabile: definiția cere ca $A\cdot B$ și $B\cdot A$ să fie amândouă egale cu aceeași matrice unitate, iar pentru o matrice cu $3$ linii și $4$ coloane cele două produse au ordine diferite ($3$ și $4$), deci egalitatea e imposibilă. De observat și că nici criteriul determinantului nu se poate invoca aici: determinantul se definește numai pentru matrice pătratice.

d) A. Complemenții algebrici sunt determinanți formați din elementele întregi ale lui $A$, deci $A^{\ast }$ are elemente întregi; împărțirea la $\det A=-1$ doar schimbă semnele. De exemplu, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$ are $\det A=-1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& -2\end{array}\right)$.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) $\det A=3\cdot 4-5\cdot 2=2\ne 0$, deci $A$ este inversabilă (0,5 p). Adjuncta este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -2& 3\end{array}\right)$, deci $$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -2& 3\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificarea pe ambele produse: $$A\cdot A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}12-10& -15+15\\ 8-8& -10+12\end{array}\right)=I_2,A^{-1}\cdot A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}12-10& 20-20\\ -6+6& -10+12\end{array}\right)=I_2$$ ✓ (1 p).

b) (3 p) $\det B=2\cdot 4-7\cdot 1=1\ne 0$ (1 p), deci $$B^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}4& -7\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -7\\ -1& 2\end{array}\right)$$ (1 p). Elementele sunt întregi pentru că adjuncta unei matrice cu elemente întregi are elemente întregi, iar aici se împarte la $\det B=1$, adică nu se împarte deloc (0,5 p). (Se acceptă și formularea generală: elementele inversei sunt întregi exact când $\det B=\pm 1$.) Verificare: $B\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}8-7& -14+14\\ 4-4& -7+8\end{array}\right)=I_2$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Dezvoltăm după prima linie: $$\det A=1\cdot (1\cdot 0-2\cdot 1)-2\cdot (0\cdot 0-2\cdot 1)+1\cdot (0\cdot 1-1\cdot 1)=-2+4-1=1.$$ (Controlul cu regula lui Sarrus, valabilă la ordinul $3$, dă aceeași valoare: $0+4+0-(1+2+0)=1$.)

b) (3 p) Fiecare complement algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, cu semnele așezate ca o tablă de șah, cu $+$ în colțul din stânga-sus:

Matricea complemenților algebrici este $\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& -1\\ 1& -1& 1\\ 3& -2& 1\end{array}\right)$.

c) (3 p) Transpunem — pasul obligatoriu — și obținem adjuncta; cum $\det A=1$, împărțirea nu schimbă nimic: $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\\ 2& -1& -2\\ -1& 1& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{1}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\\ 2& -1& -2\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$$ (2 p). Verificare pe prima linie: linia $(1,2,1)$ a lui $A$ înmulțită, pe rând, cu cele trei coloane ale inversei dă $-2+4-1=1$, apoi $1-2+1=0$ și $3-4+1=0$ — exact prima linie a lui $I_3$ ✓ (1 p). (Matricea complemenților nu este simetrică, deci fără transpunere rezultatul ar fi fost greșit.)

Itemul 6. (7 p)

a) (5 p) Determinantul, dezvoltat după prima linie: $$\det A=3\cdot (2\cdot 1-0\cdot 1)-0\cdot (1\cdot 1-0\cdot 0)+1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 0)=6+1=7\ne 0,$$ deci $A$ este inversabilă (1,5 p). Complemenții algebrici sunt $${\delta }_{11}=2,{\delta }_{12}=-1,{\delta }_{13}=1,{\delta }_{21}=1,{\delta }_{22}=3,{\delta }_{23}=-3,{\delta }_{31}=-2,{\delta }_{32}=1,{\delta }_{33}=6,$$ deci matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 3& -3\\ -2& 1& 6\end{array}\right)$ (2 p). Transpunem și împărțim la $\det A=7$, lăsând factorul în față: $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ -1& 3& 1\\ 1& -3& 6\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2\\ -1& 3& 1\\ 1& -3& 6\end{array}\right)$$ (1,5 p).

b) (2 p) Prima linie a lui $A$ este $(3,0,1)$; înmulțită cu cele trei coloane ale lui $A^{\ast }$ dă $$3\cdot 2+0\cdot (-1)+1\cdot 1=7,3\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot (-3)=0,3\cdot (-2)+0\cdot 1+1\cdot 6=0,$$ adică prima linie a matricei $7I_3$ ✓. Celelalte două linii se calculează la fel și dau tot $7I_3=(\det A)I_3$.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Coloana a treia are un singur element nenul, pe poziția $(3,3)$, deci dezvoltăm după ea (1 p): $$\det A(m)=(m-1)\cdot (-1{)}^{3+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}2& m\\ m& 2\end{array}\right|=(m-1)(4-m^2)$$ (1,5 p). În formă factorizată, $\det A(m)=-(m-1)(m-2)(m+2)$ (0,5 p).

b) (2 p) Condiția de inversabilitate este $\det A(m)\ne 0$, adică $(m-1)(m-2)(m+2)\ne 0$, deci $$m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1,2\}.$$ (Control: $\det A(0)=-4\ne 0$, $\det A(3)=2\cdot (-5)=-10\ne 0$, iar pentru $m\in \{-2,1,2\}$ determinantul se anulează.)

c) (2 p) Pentru $m=0$, $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$, cu $\det A(0)=-4$. Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 0& -2& -2\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$, iar transpusa ei dă adjuncta, deci $$A(0{)}^{-1}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ -2& -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\end{array}\right).$$ Verificare pe ultima linie a lui $A(0)$, adică $(1,1,-1)$: $\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}=0$, $0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ și $0+0+1=1$ ✓.

Itemul 8. (6 p)

a) (4 p) — câte 1 punct. $$\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B=2\cdot (-5)=-10;\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{2};$$ $$\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}=2^2=4;\det (2A)=2^3\det A=8\cdot 2=16.$$ La ultimele două, exponentul este $n=3$, ordinul matricei: la $\det (A^{\ast })$ apare $n-1=2$, iar la $\det (\alpha A)$ apare $n=3$ — cele două exponente nu se confundă.

b) (2 p) Din $(A^{-1}{)}^{-1}=A$, matricea căutată este inversa lui $A^{-1}$ (0,5 p). Cum $\det (A^{-1})=9-8=1$, $$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}9-8& -6+6\\ 12-12& -8+9\end{array}\right)=I_2$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Izolăm $I_2$ în relația dată: din $A^2-4A+3I_2=O_2$ obținem $4A-A^2=3I_2$, adică $$A\cdot (4I_2-A)=3I_2⟺A\cdot \frac{1}{3}(4I_2-A)=I_2$$ (1,5 p). Cum $A$ comută cu $I_2$ și cu ea însăși, produsul în cealaltă ordine dă tot $I_2$, deci, prin definiție, $A$ este inversabilă și $$A^{-1}=\frac{1}{3}(4I_2-A)$$ (1,5 p).

b) (3 p) Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ avem $A^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, deci $$A^2-4A+3I_2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=O_2$$ ✓ (1,5 p). Formula dă $A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar controlul prin cele două produse confirmă: $$A\cdot A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4-1& -2+2\\ 2-2& -1+4\end{array}\right)=I_2$$ ✓ (1,5 p). (Același rezultat se obține și cu formula de la ordinul $2$: $\det A=3$.)

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) Linia a doua are trei zerouri, deci dezvoltarea după ea lasă un singur termen, în loc de patru determinanți de ordin $3$ (1 p): $$\det A=a_{22}{\delta }_{22}=1\cdot (-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|.$$ Determinantul de ordin $3$ rămas se calculează cu regula lui Sarrus — valabilă exclusiv la ordinul $3$, niciodată la ordinul $4$ (0,5 p): $$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right|=2+1+0-(3+0+1)=-1.$$ Prin urmare $\det A=-1$ (1,5 p).

b) (2 p) Cum $\det A=-1\ne 0$, matricea este inversabilă (1 p). Elementele lui $A$ fiind întregi, adjuncta are elemente întregi, iar împărțirea la $-1$ doar schimbă semnele: deci $A^{-1}$ are toate elementele întregi (1 p).

c) (3 p) Minorul ${\Delta }_{14}$ se obține eliminând linia $1$ și coloana $4$ (0,5 p): $${\Delta }_{14}=\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right|=0\cdot (0-2)-1\cdot (0-1)+0\cdot (2-0)=1$$ (1,5 p). Semnul este $(-1{)}^{1+4}=-1$, deci ${\delta }_{14}=-1$ (0,5 p). Cum elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$, elementul cerut, de pe linia $4$ și coloana $1$, este chiar ${\delta }_{14}=-1$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Matricea se rupe în două blocuri de ordin $2$ pe diagonală, cu zerouri în rest, deci determinantul este produsul determinanților celor două blocuri (1 p): $$\det A(m)=\left|\begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cc}1& m\\ m& 4\end{array}\right|=(m^2-1)(4-m^2)$$ (2 p). În formă factorizată: $\det A(m)=(m-1)(m+1)(2-m)(2+m)$.

b) (2 p) Determinantul se anulează exact pentru $m\in \{-2,-1,1,2\}$, deci matricea este inversabilă pentru $$m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1,1,2\}.$$ (Control: $\det A(0)=(-1)\cdot 4=-4\ne 0$, $\det A(3)=8\cdot (-5)=-40\ne 0$.)

c) (3 p) Pentru $m=0$ matricea devine $A(0)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$, cu $\det A(0)=-4\ne 0$ (0,5 p). Inversa se obține bloc cu bloc: primul bloc, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, are determinantul $-1$ și este propria lui inversă; al doilea bloc este diagonal, cu inversa $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$ (1,5 p). Prin urmare $$A(0{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$$ (0,5 p). Verificare: produsul se face pe blocuri și dă $I_2$ în fiecare, adică $I_4$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Existența. Fie $C=B^{-1}\cdot A^{-1}$, care are sens pentru că $A$ și $B$ sunt inversabile (0,5 p). Calculăm cele două produse, folosind numai asociativitatea și proprietatea matricei unitate: $$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot B^{-1})\cdot A^{-1}=A\cdot I_n\cdot A^{-1}=A\cdot A^{-1}=I_n$$ (1,5 p), $$C\cdot (A\cdot B)=B^{-1}\cdot (A^{-1}\cdot A)\cdot B=B^{-1}\cdot I_n\cdot B=B^{-1}\cdot B=I_n$$ (1,5 p). Ambele produse fiind $I_n$, matricea $A\cdot B$ este inversabilă, iar din unicitatea inversei rezultă $(A\cdot B{)}^{-1}=C=B^{-1}\cdot A^{-1}$ (0,5 p). $■$ (De reținut de ce ordinea se inversează: $B^{-1}$ trebuie să ajungă lipit de $B$ pentru a se simplifica primul.)

b) (4 p) Aplicăm determinantul în ambii membri ai egalității $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$ (1 p). În stânga, prin formula determinantului unui produs, obținem $\det A\cdot \det (A^{\ast })$ (1 p). În dreapta, matricea $(\det A)I_3$ este diagonală, cu $\det A$ pe toată diagonala, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală, adică $(\det A{)}^3$ (1 p). Rezultă $$\det A\cdot \det (A^{\ast })=(\det A{)}^3,$$ iar împărțind la $\det A\ne 0$ obținem $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^2$ (1 p). $■$ (Control numeric: matricea de la itemul 5 are $\det A=1$ și $\det(A^{}) = 1$;ceadelaitemul6are$\det A = 7$și$\det(A^{}) = 49$.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Dezvoltăm după prima linie: $$\det A=1\cdot (1\cdot 1-0\cdot 1)-0\cdot (2\cdot 1-0\cdot 1)+1\cdot (2\cdot 1-1\cdot 1)=1+1=2.$$ (Control cu regula lui Sarrus: $1+0+2-(1+0+0)=2$.)

b) (1 p) Cum $\det A=2\ne 0$, criteriul determinantului asigură că $A$ este inversabilă.

c) (4 p) Calculăm cei nouă complemenți algebrici (2 p): $${\delta }_{11}=1,{\delta }_{12}=-2,{\delta }_{13}=1,{\delta }_{21}=1,{\delta }_{22}=0,{\delta }_{23}=-1,{\delta }_{31}=-1,{\delta }_{32}=2,{\delta }_{33}=1.$$ Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 1& 0& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$; ea nu este simetrică, deci transpunerea schimbă efectiv rezultatul (0,5 p): $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 0& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 0& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare pe prima linie: linia $(1,0,1)$ înmulțită cu cele trei coloane ale lui $A^{\ast }$ dă $1+0+1=2$, apoi $1+0-1=0$ și $-1+0+1=0$, adică $2\cdot (1,0,0)$; după împărțirea la $2$ se obține prima linie a lui $I_3$ ✓ (0,5 p).

d) (1 p) $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{2}$, direct din $\det A\cdot \det (A^{-1})=\det I_3=1$.