Test: medie, mediană și mod

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Statistică matematică

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică cei trei indicatori de poziție ai unui set de date și, mai ales, deprinderea de a-i alege pe cel potrivit întrebării. Media aritmetică folosește toate valorile, deci este singura potrivită când contează totalul (bani, cantități), dar este sensibilă la valori extreme. Mediana taie setul ordonat în două părți egale ca număr de date, deci este robustă: un singur salariu foarte mare nu o mișcă. Modul spune ce se întâmplă cel mai des și este singurul dintre cei trei care se poate determina pentru date calitative. Testul mai verifică trei lucruri care se greșesc constant: ordonarea obligatorie a datelor înainte de calculul medianei; folosirea frecvențelor cumulate pentru a găsi mediana într-un tabel; și faptul că, la date grupate pe clase, se determină doar clasa mediană și clasa modală — un interval, nu un număr — iar media pe centre este o aproximare.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu tabel se cere calculul scris, nu doar rezultatul.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, și are voie să folosească un calculator de buzunar. Convenția de rotunjire, aceeași peste tot în test: rezultatele se dau în formă exactă (fracție ordinară sau zecimal finit) ori de câte ori împărțirea este exactă; acolo unde nu este, se rotunjește la două zecimale și se scrie semnul $\approx$ . Mediana se calculează întotdeauna după ordonarea crescătoare a datelor.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe mediana din tabelul de frecvențe și pe alegerea indicatorului potrivit.
Formule de reținut: media aritmetică și media dintr-un tabel de frecvențe $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}, \overset{x}{ˉ} = \frac{\sum _{i = 1}^{k} n _{i} x _{i}}{n}, n = i = 1 \sum k n_{i} .$ Media ponderată: $\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{\sum p _{i} x _{i}}{\sum p _{i}}$ . Mediana (pe date ordonate crescător): dacă $n$ este impar, $Q_{2} = x_{\frac{n + 1}{2}}$ ; dacă $n$ este par, $Q_{2} = \frac{x _{\frac{n}{2}} + x _{\frac{n}{2} + 1}}{2} .$ Modul $M o$ este valoarea cu frecvența absolută cea mai mare; un set poate fi unimodal, bimodal, multimodal sau fără mod. Date grupate: $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{\sum n _{i} c _{i}}{n}$ , cu $c_{i} = \frac{a _{i} + b _{i}}{2}$ centrul clasei; clasa mediană este prima clasă în dreptul căreia frecvența cumulată depășește $\frac{n}{2}$ , iar clasa modală este clasa cu frecvența cea mai mare. Proprietăți: $x_{m i n} \leq \overset{x}{ˉ} \leq x_{m a x}$ și $\sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Cei trei indicatori pe seturi mici

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Media aritmetică a numerelor $4, 6, 8, 10, 12$ este: A. $6$ ; B. $8$ ; C. $10$ ; D. $40$ .

b) Mediana setului $3, 7, 9, 15$ este: A. $7$ ; B. $8$ ; C. $8, 5$ ; D. $9$ .

c) Modul setului $2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9$ este: A. $3$ ; B. $5$ ; C. $6$ ; D. $7$ .

Itemul 2 (6 puncte)

Numărul de mesaje primite într-o zi de $7$ elevi a fost: $18, 15, 22, 12, 24, 15, 20$ . a) Calculează media aritmetică. (2 p) b) Determină mediana. (2 p) c) Determină modul și precizează ce ne spune el, în cuvinte, despre setul de date. (2 p)

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Mediana unui set de date este întotdeauna una dintre valorile setului." b) „Modul este singurul dintre cei trei indicatori care se poate determina și pentru date calitative." c) „Dacă adunăm $5$ la fiecare valoare a unui set, media crește cu $5$ ." d) „Orice set de date are exact un mod."

Itemul 4 (6 puncte)

Se dă setul de date $3, 5, 6, 8, 9, 9, 11, 13$ . a) Calculează media aritmetică. (2 p) b) Determină mediana. (2 p) c) Compară media cu mediana și precizează ce spune această comparație despre forma setului. (2 p)

Partea a II-a – Tabele, ponderi, date grupate și valori extreme

Itemul 5 (8 puncte)

Notele celor $20$ de elevi ai unei clase sunt date în tabelul:

Nota $x_{i}$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$n_{i}$	$2$	$3$	$5$	$6$	$3$	$1$

a) Calculează media clasei. (3 p) b) Determină mediana, folosind coloana frecvențelor cumulate. (3 p) c) Determină modul. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) La o disciplină, media semestrială se calculează ca medie ponderată între media notelor din timpul semestrului (pondere $3$ ) și nota de la teză (pondere $1$ ). Un elev are notele $7$ , $8$ și $9$ în timpul semestrului și nota $6$ la teză. Calculează media semestrială. (3 p) b) O grupă de $12$ elevi are media $7, 5$ , iar o altă grupă, de $18$ elevi, are media $8, 5$ . Calculează media celor $30$ de elevi luați împreună și explică de ce rezultatul nu este $8$ . (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Timpul (în minute) de așteptare în stație al unor călători a fost grupat pe clase:

Clasa	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
$n_{i}$	$3$	$6$	$9$	$2$

a) Calculează media aproximativă a timpului de așteptare și explică de ce este doar o aproximare. (3 p) b) Determină clasa mediană. (2 p) c) Determină clasa modală. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Salariile lunare (în lei) ale celor $8$ angajați ai unei firme mici sunt: $2000, 2200, 2400, 2400, 2600, 2800, 3000, 14600.$ a) Calculează media și mediana salariilor. (4 p) b) Precizează care dintre cei doi indicatori descrie mai bine „salariul obișnuit" din firmă și justifică. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină modul (sau modurile) pentru fiecare set: $3, 3, 5, 5, 7, 9$ și $2, 4, 6, 8$ . (3 p) b) Într-un magazin s-au vândut într-o zi $12$ tricouri albastre, $9$ albe, $15$ negre și $9$ verzi. Determină modul și explică de ce, pentru aceste date, media și mediana nu au niciun sens. (3 p)

Partea a III-a – Ecuații cu indicatori și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

a) Media a $6$ numere este $12$ . Ce valoare trebuie să aibă al șaptelea număr, pentru ca media celor $7$ numere să fie $13$ ? (3 p) b) Setul ordonat crescător $4, 7, x, 12, 15$ are mediana $9$ . Determină $x$ . (2 p) c) Setul ordonat crescător $2, 4, 4, x, 6, 8$ are mediana $4, 5$ . Determină $x$ și precizează între ce valori trebuie să se afle el, ca setul să rămână ordonat. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Caracteristica „numărul de animale de companie" a fost înregistrată într-un tabel de frecvențe:

$x_{i}$	$1$	$2$	$3$	$4$
$n_{i}$	$5$	$8$	$x$	$4$

Se știe că media datelor este $2, 5$ . a) Determinați $x$ și volumul $n$ al setului de date. (4 p) b) Determinați mediana setului. (2 p) c) Determinați modul setului. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Pentru setul $12, 15, 15, 18, 20, 22, 24$ , calculează abaterile fiecărei valori față de medie și arată că suma lor este $0$ . (3 p) b) Demonstrează, în general, că $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = 0$ pentru orice set de date. (3 p) c) Media a $10$ numere este $6$ . La set se adaugă numărul $17$ . Calculează noua medie. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Cei $25$ de elevi ai unei clase au fost întrebați câte cărți au citit în vacanță. Răspunsurile sunt în tabelul:

Nr. de cărți $x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$n_{i}$	$3$	$5$	$8$	$6$	$2$	$1$

a) Calculați numărul mediu de cărți citite. (3 p) b) Determinați mediana și modul. (3 p) c) Profesorul vrea să comunice părinților „câte cărți citește un elev obișnuit din această clasă". Precizați ce indicator este potrivit și justificați alegerea. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B (2 p). $\overset{x}{ˉ} = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$ . Varianta D este suma, nu media. b) B (2 p). Datele sunt deja ordonate și $n = 4$ este par, deci $Q_{2} = \frac{x _{2} + x _{3}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8$ . c) D (2 p). Valoarea $7$ apare de trei ori, mai des decât oricare alta; $3$ apare de două ori.

Itemul 2. (6 p)

a) (2 p) $\overset{x}{ˉ} = \frac{18 + 15 + 22 + 12 + 24 + 15 + 20}{7} = \frac{126}{7} = 18$ mesaje.

b) (2 p) Ordonăm crescător: $12, 15, 15, 18, 20, 22, 24$ (1 p). Cum $n = 7$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția $\frac{7 + 1}{2} = 4$ , adică $Q_{2} = 18$ (1 p).

c) (2 p) $M o = 15$ , singura valoare care se repetă (1 p). El arată că cea mai frecventă situație a zilei a fost „ $15$ mesaje", deși media și mediana sunt amândouă $18$ : valoarea tipică prin repetare nu coincide cu centrul setului (1 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F (1,5 p). Când $n$ este par, mediana este media celor două valori din mijloc și poate să nu fie o valoare a setului: pentru $3, 7, 9, 15$ mediana este $8$ , care nu apare în set. b) A (1,5 p). Pe date calitative (culori, mărci, răspunsuri) nu se pot face adunări și împărțiri, deci nu există medie; nu există nici o ordonare naturală, deci nici mediană. Dar „valoarea cea mai frecventă" are întotdeauna sens. c) A (1,5 p). Dacă $y_{i} = x_{i} + 5$ , atunci $\overset{y}{ˉ} = \frac{\sum ( x _{i} + 5 )}{n} = \frac{\sum x _{i} + 5 n}{n} = \overset{x}{ˉ} + 5$ . d) F (1,5 p). Un set poate fi bimodal ( $3, 3, 5, 5, 7$ are modurile $3$ și $5$ ) sau fără mod ( $2, 4, 6, 8$ , unde fiecare valoare apare o singură dată).

Itemul 4. (6 p)

a) (2 p) $\overset{x}{ˉ} = \frac{3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 11 + 13}{8} = \frac{64}{8} = 8$ .

b) (2 p) Datele sunt ordonate, $n = 8$ este par, deci $Q_{2} = \frac{x _{4} + x _{5}}{2} = \frac{8 + 9}{2} = 8, 5$ .

c) (2 p) Avem $\overset{x}{ˉ} = 8 < 8, 5 = Q_{2}$ (1 p). Media este trasă în jos de valorile mici de la începutul setului ( $3$ și $5$ sunt mai depărtate de centru decât $11$ și $13$ ), deci setul are o ușoară asimetrie spre stânga; diferența este însă mică, așa că setul este aproape simetric (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) $\sum n_{i} x_{i} = 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 1 = 10 + 18 + 35 + 48 + 27 + 10 = 148$ (2 p), deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{148}{20} = 7, 4$ (1 p).

b) (3 p) Frecvențele cumulate crescător sunt $2, 5, 10, 16, 19, 20$ (1 p). Cum $n = 20$ este par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $10$ și $11$ (1 p). Poziția $10$ cade încă pe nota $7$ (cumulata ajunge exact la $10$ ), iar poziția $11$ cade pe nota $8$ , deci $Q_{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5$ (1 p).

c) (2 p) Frecvența cea mai mare este $6$ , pentru nota $8$ , deci $M o = 8$ (2 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Media notelor din timpul semestrului este $\frac{7 + 8 + 9}{3} = 8$ (1 p). Media semestrială este media ponderată (1 p) $\overset{x}{ˉ}_{p} = \frac{3 \cdot 8 + 1 \cdot 6}{3 + 1} = \frac{24 + 6}{4} = \frac{30}{4} = 7, 5$ (1 p).

b) (4 p) Media unui grup reunit se calculează din sume, nu din medii (1 p). Suma notelor primei grupe este $12 \cdot 7, 5 = 90$ , iar a celei de-a doua $18 \cdot 8, 5 = 153$ (1,5 p), deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{90 + 153}{30} = \frac{243}{30} = 8, 1$ (1 p). Rezultatul nu este $8$ (media simplă a mediilor $7, 5$ și $8, 5$ ), pentru că grupele au efective diferite: grupa cu media mai mare are mai mulți elevi, deci trage rezultatul spre ea. Media mediilor ar fi corectă doar dacă grupele ar avea același număr de elevi (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Centrele claselor sunt $c_{1} = 5$ , $c_{2} = 15$ , $c_{3} = 25$ , $c_{4} = 35$ , iar $n = 3 + 6 + 9 + 2 = 20$ (1 p): $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{3 \cdot 5 + 6 \cdot 15 + 9 \cdot 25 + 2 \cdot 35}{20} = \frac{15 + 90 + 225 + 70}{20} = \frac{400}{20} = 20 minute$ (1,5 p). Este doar o aproximare pentru că, o dată grupate, valorile individuale s-au pierdut: fiecare dată este înlocuită cu centrul clasei ei, ceea ce introduce o eroare (0,5 p).

b) (2 p) Frecvențele cumulate sunt $3, 9, 18, 20$ , iar $\frac{n}{2} = 10$ (1 p). Prima cumulată care depășește $10$ este $18$ , deci clasa mediană este $[20, 30)$ (1 p). (Din tabelul grupat se poate preciza doar intervalul, nu valoarea exactă a medianei.)

c) (2 p) Frecvența cea mai mare este $9$ , deci clasa modală este $[20, 30)$ — un interval, nu un număr (2 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (4 p) Suma salariilor este $2000 + 2200 + 2400 + 2400 + 2600 + 2800 + 3000 + 14600 = 32000,$ deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{32 000}{8} = 4000$ lei (2 p). Datele sunt ordonate și $n = 8$ este par, deci $Q_{2} = \frac{x _{4} + x _{5}}{2} = \frac{2400 + 2600}{2} = 2500 lei$ (2 p).

b) (2 p) Descrie mai bine „salariul obișnuit" mediana, adică $2500$ de lei (1 p). Media de $4000$ de lei este trasă în sus de o singură valoare extremă (salariul de $14600$ de lei) și este mai mare decât șapte dintre cele opt salarii — deci nu descrie pe nimeni din firmă. Mediana este robustă: dacă acel salariu ar crește la $30000$ , media ar sări la $5925$ , dar mediana ar rămâne $2500$ (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Setul $3, 3, 5, 5, 7, 9$ este bimodal: valorile $3$ și $5$ apar amândouă de câte două ori, mai des decât $7$ și $9$ ; se scriu ambele moduri, $M o \in {3, 5}$ (1,5 p). Setul $2, 4, 6, 8$ este fără mod: fiecare valoare apare exact o dată, deci nu există o valoare mai frecventă decât celelalte (1,5 p).

b) (3 p) Frecvența cea mai mare este $15$ , deci $M o =$ „negru" (1,5 p). Culoarea este o caracteristică calitativă: valorile ei sunt cuvinte, pe care nu le putem aduna și împărți (nu există „media dintre albastru și verde") și pe care nu le putem ordona natural, deci nu putem găsi nici o valoare de mijloc. Modul rămâne singurul indicator cu sens (1,5 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) Din $\overset{x}{ˉ} = \frac{S _{6}}{6} = 12$ rezultă $S_{6} = 72$ (1 p). Pentru ca media celor $7$ numere să fie $13$ , trebuie ca $S_{7} = 7 \cdot 13 = 91$ (1 p), deci al șaptelea număr este $x = 91 - 72 = 19$ (1 p). (Verificare: $\frac{72 + 19}{7} = \frac{91}{7} = 13$ ✓)

b) (2 p) Setul are $n = 5$ valori, deci mediana este valoarea de pe poziția a treia, adică chiar $x$ (1 p). Prin urmare $x = 9$ , valoare care respectă și ordonarea, fiind între $7$ și $12$ (1 p).

c) (3 p) Aici $n = 6$ este par, deci mediana este media valorilor de pe pozițiile $3$ și $4$ , adică $\frac{4 + x}{2}$ (1 p). Din $\frac{4 + x}{2} = 4, 5$ rezultă $4 + x = 9$ , deci $x = 5$ (1 p). Pentru ca setul să rămână ordonat crescător trebuie ca $4 \leq x \leq 6$ , condiție îndeplinită de $x = 5$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Volumul setului este $n = 5 + 8 + x + 4 = 17 + x$ (1 p), iar suma valorilor este $\sum n_{i} x_{i} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot x + 4 \cdot 4 = 37 + 3 x$ (1 p). Condiția $\overset{x}{ˉ} = 2, 5 = \frac{5}{2}$ dă ecuația $\frac{37 + 3 x}{17 + x} = \frac{5}{2} ⟺ 2 (37 + 3 x) = 5 (17 + x) ⟺ 74 + 6 x = 85 + 5 x$ (1 p), de unde $x = 11$ și $n = 28$ (1 p). (Verificare: $\sum n_{i} x_{i} = 37 + 33 = 70$ și $\frac{70}{28} = 2, 5$ ✓)

b) (2 p) Frecvențele cumulate sunt $5, 13, 24, 28$ . Cum $n = 28$ este par, mediana este media valorilor de pe pozițiile $14$ și $15$ (1 p); ambele cad pe valoarea $3$ (cumulata trece de la $13$ la $24$ ), deci $Q_{2} = 3$ (1 p).

c) (2 p) Frecvența cea mai mare este $11$ , obținută pentru valoarea $3$ , deci $M o = 3$ (2 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Media este $\overset{x}{ˉ} = \frac{12 + 15 + 15 + 18 + 20 + 22 + 24}{7} = \frac{126}{7} = 18$ (1 p). Abaterile $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ sunt $- 6, - 3, - 3, 0, 2, 4, 6$ (1 p), iar suma lor este $(- 6) + (- 3) + (- 3) + 0 + 2 + 4 + 6 = 0$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Desfacem suma (1 p): $i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = i = 1 \sum n x_{i} - i = 1 \sum n \overset{x}{ˉ} = i = 1 \sum n x_{i} - n \overset{x}{ˉ}$ (1 p). Din definiția mediei, $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum x_{i}$ , adică $n \overset{x}{ˉ} = \sum x_{i}$ , deci expresia de mai sus este $0$ (1 p). $■$ (De aceea abaterile nu se pot aduna direct pentru a măsura împrăștierea — ele se anulează întotdeauna.)

c) (2 p) Suma celor $10$ numere este $10 \cdot 6 = 60$ (1 p), deci noua medie este $\frac{60 + 17}{11} = \frac{77}{11} = 7$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) $n = 3 + 5 + 8 + 6 + 2 + 1 = 25$ (0,5 p) și $\sum n_{i} x_{i} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 0 + 5 + 16 + 18 + 8 + 5 = 52$ (1,5 p), deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{52}{25} = 2, 08$ cărți (1 p).

b) (3 p) Frecvențele cumulate sunt $3, 8, 16, 22, 24, 25$ (1 p). Cum $n = 25$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția $\frac{25 + 1}{2} = 13$ ; cumulata trece de la $8$ la $16$ , deci poziția $13$ cade pe valoarea $2$ , adică $Q_{2} = 2$ (1 p). Frecvența cea mai mare este $8$ , deci $M o = 2$ (1 p).

c) (2 p) Potrivită este mediana (sau modul), adică $2$ cărți (1 p). Întrebarea „câte cărți citește un elev obișnuit" cere valoarea din mijlocul setului, nu totalul împărțit la număr; în plus, media $2, 08$ nu este un număr întreg de cărți, deci nu descrie niciun elev real. Media rămâne indicatorul potrivit pentru o altă întrebare — de exemplu „câte cărți trebuie să cumpere biblioteca pentru toată clasa", unde contează suma: $25 \cdot 2, 08 = 52$ (1 p).