Test: metoda lui Gauss și sisteme cu parametru

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Sisteme de ecuații liniare

Pentru părinți și profesori

Acest test închide unitatea sistemelor liniare și verifică metoda care le rezolvă pe toate: eliminarea lui Gauss. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: cele trei transformări elementare pe linii, scrise corect și justificate — programa cere explicit ca fiecare pas să fie motivat, iar motivul este întotdeauna reversibilitatea, de unde cele două condiții ($\alpha \ne 0$ la înmulțirea unei linii cu un scalar, $i\ne j$ la adunarea unei linii la alta). Al doilea: aducerea matricei extinse $\overline{A}$ la formă eșalonată, recunoașterea pivoților și citirea din ei a naturii sistemului, urmată de substituția inversă. Al treilea: sistemele omogene — întotdeauna compatibile, cu soluția banală, având și soluții nebanale exact când rangul este mai mic decât numărul necunoscutelor. Al patrulea: inversa unei matrice prin metoda lui Gauss (tabloul dublu) și ecuațiile matriceale rezolvate prin sisteme, inclusiv cazul în care matricea nu este inversabilă. Al cincilea: discuția unui sistem cu parametru și modelarea unei situații practice, cu control dimensional și interpretarea rezultatului.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 55 de minute; la itemii rezolvați prin eliminare se cere ca fiecare transformare să fie scrisă deasupra săgeții, nu „se fac calculele".
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Verificarea finală se face în sistemul inițial, în toate ecuațiile — o verificare făcută în forma eșalonată repetă eventualele greșeli de pe parcurs și nu detectează nimic. Se depunctează: transformarea aplicată doar zonei coeficienților, fără coloana termenilor liberi; coeficienții lipsă necompletați cu $0$; confuzia dintre o linie complet nulă (o ecuație de prisos) și o linie cu toți coeficienții nuli și termenul liber nenul (sistem incompatibil); simplificarea unei fracții cu un factor care se anulează într-o valoare critică a parametrului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe justificarea transformărilor elementare și pe citirea formei eșalonate.
• Formule de reținut: cele trei transformări elementare pe linii, cu condițiile lor complete — $$L_i\leftrightarrow L_j(i\ne j);L_i\leftarrow \alpha L_i,\alpha \ne 0;L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j,i\ne j;$$ fiecare dintre ele înlocuiește sistemul cu unul echivalent (aceeași mulțime de soluții), pentru că fiecare este reversibilă. Forma eșalonată: liniile nule stau la sfârșit, iar pivotul fiecărei linii nenule (primul element nenul, de la stânga) este strict mai la dreapta decât pivotul liniei de deasupra; numărul pivoților este egal cu rangul. Citirea rezultatului: o linie cu toți coeficienții nuli și termenul liber nenul înseamnă incompatibil; altfel, dacă numărul pivoților din zona coeficienților este $r=n$, sistemul e compatibil determinat, iar dacă $r<n$, e compatibil nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare. Sistemul omogen $AX=O$ este întotdeauna compatibil (soluția banală) și are și soluții nebanale dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A<n$; la un sistem pătratic aceasta înseamnă $\det A=0$. Inversa prin metoda lui Gauss: se scrie un singur tablou cu $n$ linii și $2n$ coloane, având în primele $n$ coloane matricea $A$ și în ultimele $n$ matricea $I_n$ — fără nicio bară de despărțire — și se transformă până când în primele $n$ coloane apare $I_n$; atunci ultimele $n$ coloane formează $A^{-1}$. Ecuații matriceale: $AX=B$ se rezolvă punând $B$ în dreapta tabloului, iar $XA=B$ se transpune, folosind ${}^t(XA)={}^{t}A\cdot {}^{t}X$. Discuția cu parametru: se calculează $\Delta =\det A$, se factorizează, se rezolvă $\Delta =0$; pe cazul general se aplică $x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$, iar fiecare valoare critică se studiază separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Transformări elementare, forma eșalonată și rezolvarea prin eliminare

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Care dintre operațiile de mai jos nu este o transformare elementară pe linii: A. $L_1\leftrightarrow L_3$; B. $L_2\leftarrow 3L_2$; C. $L_2\leftarrow L_2-L_2$; D. $L_3\leftarrow L_3+2L_1$.

b) În forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem cu trei necunoscute apare linia $0005$. Sistemul este: A. compatibil determinat; B. compatibil nedeterminat; C. incompatibil; D. de tip Cramer.

c) Forma eșalonată a matricei extinse a unui sistem cu $4$ necunoscute are $3$ pivoți, toți aflați în zona coeficienților. Sistemul este: A. incompatibil; B. compatibil determinat; C. compatibil simplu nedeterminat; D. compatibil dublu nedeterminat.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ 2x+3y-z=-2\\ 3x-y+2z=13\end{array}$$ Scrie matricea extinsă, notează fiecare transformare deasupra săgeții, precizează pivoții formei eșalonate și verifică soluția în sistemul inițial.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Transformarea $L_2\leftarrow L_2+\alpha L_2$ este o transformare elementară pe linii." b) „Două sisteme echivalente au întotdeauna același număr de ecuații." c) „Metoda lui Gauss se poate aplica numai sistemelor pentru care $\det A\ne 0$." d) „Într-o matrice eșalonată, numărul pivoților este egal cu rangul matricei."

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+z+t=5\\ 2x+y+3z-t=4\\ x+2z+t=8\\ 3x+2y-z+t=2\end{array}$$

a) Scrie matricea extinsă $\overline{A}$, cu atenție la coeficienții necunoscutelor care lipsesc. (1 p) b) Adu-o la formă eșalonată, notând fiecare transformare. (4 p) c) Precizează natura sistemului, fă substituția inversă și verifică soluția în sistemul inițial. (2 p)

Partea a II-a – Sisteme omogene, inversa prin metoda lui Gauss și ecuații matriceale

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}2x+3y-z=0\\ x-y+2z=0\\ 4x+y+mz=0\end{array},m\in \mathbb{R}.$$

a) Justifică, fără niciun calcul, că sistemul este compatibil oricare ar fi $m$, și precizează o soluție a lui. (1 p) b) Calculează $\det A$ în funcție de $m$ și scrie-l sub formă de produs. (3 p) c) Determină valoarea lui $m$ pentru care sistemul are și soluții nebanale. (1 p) d) Pentru acea valoare, rezolvă sistemul prin metoda lui Gauss și scrie mulțimea soluțiilor. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Determină, prin metoda lui Gauss, inversa matricei $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 5& 3\\ 1& 3& 3\end{array}\right).$$ Scrie tabloul dublu, notează fiecare transformare și verifică rezultatul prin $A\cdot A^{-1}=I_3$.

Itemul 7 (8 puncte)

a) Rezolvă ecuația matriceală $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{c}5\\ 13\end{array}\right)$, lucrând pe tablou, fără a calcula inversa. (3 p)

b) Rezolvă ecuația matriceală $X\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$, unde $X\in {\mathcal{M}}_{1,2}(\mathbb{R})$. (3 p)

c) Arată că ecuația $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 6\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)$ nu are nicio soluție și explică de ce nu se poate aplica aici metoda înmulțirii cu inversa. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Explică de ce transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cere condiția $i\ne j$ și arată, pe un exemplu, ce se strică fără ea. (3 p) b) Demonstrează că, aplicând unui sistem transformarea $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$, se obține un sistem echivalent cu cel inițial. Precizează unde se folosește ipoteza $\alpha \ne 0$. (4 p)

Partea a III-a – Discuția cu parametru și modelare

Itemul 9 (9 puncte)

Discută, după valorile lui $m\in \mathbb{R}$, sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+3y+mz=3\\ x+my+3z=3\end{array}$$

a) Calculează $\Delta =\det A$, scrie-l sub formă de produs și află valorile critice ale lui $m$. (3 p) b) Rezolvă sistemul pe cazul general, scriind soluția ca expresie în $m$. (3 p) c) Studiază separat fiecare valoare critică, dă verdictul și scrie mulțimea soluțiilor acolo unde ea există; strânge totul într-un tabel de cazuri. (3 p)

Itemul 10 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Un atelier a produs într-o zi trei articole, $A$, $B$ și $C$. Pentru o bucată se consumă: $1$, $2$, respectiv $1$ ore de manoperă; $2$, $1$, respectiv $3$ kilograme de material; $4$, $3$, respectiv $6$ lei cheltuieli de ambalare. În total s-au consumat $65$ de ore de manoperă, $85$ de kilograme de material și $190$ de lei cheltuieli de ambalare.

a) Notează necunoscutele cu unitatea lor de măsură, scrie sistemul și fă controlul dimensional al unei ecuații. (3 p) b) Argumentează alegerea metodei de rezolvare și rezolvă sistemul. (3 p) c) Verifică rezultatul în enunț și interpretează-l. (2 p)

Itemul 11 (9 puncte)

(Problemă aplicată.) Se cere echilibrarea reacției $$a{\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_4+b{\mathrm{O}}_2⟶c\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+d{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}.$$

a) Scrie, pentru fiecare element chimic, condiția ca numărul de atomi să fie același în cei doi membri, și adu sistemul la forma omogenă. (3 p) b) Justifică, fără a-l rezolva, că sistemul are și soluții nebanale, și precizează gradul lui de nedeterminare. (2 p) c) Rezolvă sistemul prin metoda lui Gauss și scrie mulțimea soluțiilor. (3 p) d) Alege coeficienții reacției și verifică pe atomi. (1 p)

Itemul 12 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ 3x+5y+z=8\\ 4x+7y=a\end{array},a\in \mathbb{R}.$$

a) Scrieți matricea extinsă $\overline{A}$ și aduceți-o la formă eșalonată prin metoda lui Gauss, păstrând parametrul $a$. (4 p) b) Determinați valoarea lui $a$ pentru care sistemul este compatibil și precizați natura lui; spuneți ce se întâmplă pentru celelalte valori. (3 p) c) Pentru valoarea găsită, scrieți mulțimea soluțiilor și verificați-o în toate ecuațiile. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Operația este de forma $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i=j$ și $\alpha =-1$, adică o linie adunată la ea însăși; rezultatul este linia nulă, iar pasul nu se poate inversa. Transformările elementare cer $i\ne j$. b) C. Linia corespunde ecuației $0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=5$, adică $0=5$, egalitate falsă, pe care niciun triplet nu o poate verifica. (A nu se confunda cu o linie complet nulă, care înseamnă doar o ecuație de prisos.) c) C. Toți pivoții fiind în zona coeficienților, $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3$, deci sistemul e compatibil; cum $r=3<4=n$, el este nedeterminat, cu $n-r=1$ necunoscută secundară — cea a cărei coloană nu conține pivot.

Itemul 2. (6 p)

Matricea extinsă și eliminarea sub primul pivot (1 p): $$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 2& 3& -1& -2\\ 3& -1& 2& 13\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 0& 1& -3& -10\\ 3& -1& 2& 13\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 0& 1& -3& -10\\ 0& -4& -1& 1\end{array}\right)$$ (2 p), apoi eliminarea sub al doilea pivot (1,5 p): $$\stackrel{L_3\leftarrow L_3+4L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 0& 1& -3& -10\\ 0& 0& -13& -39\end{array}\right)$$ Pivoții sunt $1$, $1$ și $-13$, toți în zona coeficienților, deci $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=3=n$: sistem compatibil determinat (0,5 p). Substituție inversă: $-13z=-39\Rightarrow z=3$; $y-3\cdot 3=-10\Rightarrow y=-1$; $x+(-1)+3=4\Rightarrow x=2$, deci $$S=\{(2,-1,3)\}$$ (0,5 p). Verificare în sistemul inițial: $2-1+3=4$ ✓, $4-3-3=-2$ ✓, $6+1+6=13$ ✓ (0,5 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cere $i\ne j$. Scrisă cu $i=j$, ea devine $L_2\leftarrow (1+\alpha )L_2$, adică una de tipul $L_i\leftarrow \alpha L_i$; pentru $\alpha =-1$ ar înlocui ecuația cu $0=0$, deci nu ar mai fi reversibilă. b) F. Definiția cere doar ca cele două sisteme să aibă aceeași mulțime de soluții. Un sistem cu o ecuație de prisos și sistemul obținut prin eliminarea ei sunt echivalente, deși au numere diferite de ecuații. c) F. Metoda se aplică oricărui sistem liniar, indiferent de numărul ecuațiilor și al necunoscutelor și indiferent de valoarea determinantului. Aceasta este chiar forța ei: când $\det A=0$ sau când matricea nici nu e pătratică, regula lui Cramer nu se poate aplica, iar Gauss decide singur natura sistemului. d) A. Transformările elementare nu schimbă rangul, iar într-o matrice eșalonată minorul format din liniile și coloanele pivoților este triunghiular cu elemente nenule pe diagonală, deci nenul; orice minor de ordin mai mare are o linie nulă.

Itemul 4. (7 p)

a) (1 p) În ecuația a treia lipsesc $y$ și $z$, iar coeficienții lor sunt $0$: $$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 2& 1& 3& -1& 4\\ 1& 0& 2& 1& 8\\ 3& 2& -1& 1& 2\end{array}\right).$$

b) (4 p) Eliminăm sub primul pivot (1,5 p): $$\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-L_1,L_4\leftarrow L_4-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 0& -1& 1& -3& -6\\ 0& -1& 1& 0& 3\\ 0& -1& -4& -2& -13\end{array}\right)$$ apoi sub al doilea (1,5 p): $$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2,L_4\leftarrow L_4-L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 0& -1& 1& -3& -6\\ 0& 0& 0& 3& 9\\ 0& 0& -5& 1& -7\end{array}\right)$$ Pe coloana a treia, linia $3$ are $0$, deci aducem sus o linie cu element nenul (1 p): $$\stackrel{L_3\leftrightarrow L_4}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 5\\ 0& -1& 1& -3& -6\\ 0& 0& -5& 1& -7\\ 0& 0& 0& 3& 9\end{array}\right)$$

c) (2 p) Patru pivoți ($1$, $-1$, $-5$, $3$), toți în zona coeficienților, deci $r=4=n$: sistem compatibil determinat (0,5 p). Substituție inversă: $3t=9\Rightarrow t=3$; $-5z+3=-7\Rightarrow z=2$; $-y+2-9=-6\Rightarrow y=-1$; $x-1+2+3=5\Rightarrow x=1$, deci $S=\{(1,-1,2,3)\}$ (1 p). Verificare în sistemul inițial: $1-1+2+3=5$ ✓; $2-1+6-3=4$ ✓; $1+4+3=8$ ✓; $3-2-2+3=2$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (1 p) Sistemul este omogen (toți termenii liberi sunt nuli), deci tripletul $(0,0,0)$ îl verifică: fiecare membru stâng devine o sumă de produse cu factorul $0$. Prin urmare sistemul este compatibil, oricare ar fi $m$, iar $(0,0,0)$ este soluția banală.

b) (3 p) Cu regula lui Sarrus (permisă, fiind ordinul $3$): $$\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -1& 2\\ 4& 1& m\end{array}\right|=-2m+24-1-(4+4+3m)=-5m+15,$$ deci $\det A=-5(m-3)$.

c) (1 p) Fiind un sistem omogen pătratic, el are și soluții nebanale exact când $\det A=0$, adică pentru $m=3$. Pentru $m\ne 3$ singura soluție este cea banală.

d) (3 p) Pentru $m=3$ aducem matricea extinsă la formă eșalonată, aducând întâi sus o linie cu pivotul $1$ (0,5 p): $$\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 0\\ 1& -1& 2& 0\\ 4& 1& 3& 0\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftrightarrow L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 2& 3& -1& 0\\ 4& 1& 3& 0\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-4L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 0& 5& -5& 0\\ 0& 5& -5& 0\end{array}\right)$$ $$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 0& 5& -5& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ (1,5 p). Doi pivoți, deci $\mathrm{rang}A=2<3=n$, ceea ce confirmă existența soluțiilor nebanale. Cu $z=\alpha$, linia a doua dă $5y-5\alpha =0$, deci $y=\alpha$, iar prima dă $x=y-2z=\alpha -2\alpha =-\alpha$ (0,5 p): $$S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare în toate cele trei ecuații: $-2\alpha +3\alpha -\alpha =0$ ✓, $-\alpha -\alpha +2\alpha =0$ ✓, $-4\alpha +\alpha +3\alpha =0$ ✓ (0,5 p). (Observație: coloana termenilor liberi rămâne nulă după orice transformare elementară, deci ea nu poate produce niciodată un pivot — încă un motiv pentru care un sistem omogen nu poate fi incompatibil.)

Itemul 6. (7 p)

Scriem un singur tablou cu $3$ linii și $6$ coloane: în primele trei coloane matricea $A$, în ultimele trei matricea $I_3$, fără nicio bară de despărțire (1 p): $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 2& 5& 3& 0& 1& 0\\ 1& 3& 3& 0& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& -2& 1& 0\\ 0& 1& 2& -1& 0& 1\end{array}\right)$$ (1,5 p), apoi $$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& -1& 1\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftarrow L_1-2L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 5& -2& 0\\ 0& 1& 1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& -1& 1\end{array}\right)$$ (1,5 p). Pentru inversă nu e destul să obținem zerouri sub pivoți: trebuie și deasupra lor (0,5 p): $$\stackrel{L_2\leftarrow L_2-L_3,L_1\leftarrow L_1+L_3}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 6& -3& 1\\ 0& 1& 0& -3& 2& -1\\ 0& 0& 1& 1& -1& 1\end{array}\right)$$ În primele trei coloane a apărut $I_3$, deci ultimele trei formează inversa (1,5 p): $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}6& -3& 1\\ -3& 2& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right).$$ Verificare, prima linie a produsului $A\cdot A^{-1}$: $1\cdot 6+2\cdot (-3)+1\cdot 1=1$; $1\cdot (-3)+2\cdot 2+1\cdot (-1)=0$; $1\cdot 1+2\cdot (-1)+1\cdot 1=0$ — exact prima linie a lui $I_3$ ✓ (1 p). (Control opțional: $\det A=15+6+6-(5+9+12)=1$, deci elementele inversei sunt întregi — fracțiile ar fi apărut dacă determinantul nu era $\pm 1$.)

Itemul 7. (8 p)

a) (3 p) Punem coloana $B$ la dreapta lui $A$ și transformăm până când în stânga apare $I_2$ (0,5 p): $$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ 5& 3& 13\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ 1& 1& 3\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftarrow L_1-L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$$ $$\stackrel{L_2\leftarrow L_2-L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$ (2 p), deci $X=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$. Verificare: $2\cdot 2+1\cdot 1=5$ ✓ și $5\cdot 2+3\cdot 1=13$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Necunoscuta stă la stânga, iar transformările pe linii acționează la stânga, deci transpunem: din ${}^t(XA)={}^{t}A\cdot {}^{t}X$ ecuația devine ${}^{t}A\cdot {}^{t}X={}^{t}B$ (1 p), adică $$\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\cdot {}^{t}X=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$ Lucrăm pe tablou (1,5 p): $$\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 1\\ 1& 3& 1\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftrightarrow L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 5& 1\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& -1& -1\end{array}\right)$$ $$\stackrel{L_2\leftarrow (-1)L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{L_1\leftarrow L_1-3L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$ Deci ${}^{t}X=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$ și, transpunând înapoi, $X=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\end{array}\right)$. Verificare directă: $(-2)\cdot 2+1\cdot 5=1$ ✓ și $(-2)\cdot 1+1\cdot 3=1$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Aici $\det A=12-12=0$, deci $A$ nu este inversabilă și metoda „înmulțim cu $A^{-1}$" nu se poate aplica deloc — inversa nici nu există (0,5 p). Ecuația rămâne însă un sistem liniar, $2x+4y=5$, $3x+6y=7$ (0,5 p): $$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 5\\ 3& 6& 7\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow 2L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 5\\ 6& 12& 14\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 5\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$ Ultima linie dă $0=-1$, egalitate falsă: sistemul este incompatibil, deci ecuația matriceală nu are nicio soluție (1 p). Cu limbajul rangurilor: $\mathrm{rang}A=1$, dar $\mathrm{rang}\overline{A}=2$, minorul din coloana lui $x$ și coloana termenilor liberi fiind $\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 7\end{array}\right|=-1\ne 0$.

Itemul 8. (7 p) — redactare completă.

a) (3 p) Transformările elementare trebuie să fie reversibile: numai atunci sistemul obținut are aceeași mulțime de soluții ca cel inițial (1 p). Dacă am permite $i=j$, „transformarea" ar deveni $$L_i\leftarrow L_i+\alpha L_i=(1+\alpha )L_i,$$ adică una de tipul $L_i\leftarrow \alpha L_i$, iar pentru $\alpha =-1$ ea ar înlocui ecuația $i$ cu $0=0$ (1 p). Exemplu: sistemul $x+y=1$, $x-y=3$ are soluția unică $(2,-1)$; aplicând $L_2\leftarrow L_2-L_2$ am obține $x+y=1$, $0=0$, sistem cu o infinitate de soluții — deci nu echivalent cu cel dat. Pasul nu se poate inversa: din $0=0$ nu se mai poate reveni la ecuația de plecare (1 p). (Pentru a obține zerouri pe linia a doua se folosește o altă linie: $L_2\leftarrow L_2+\alpha L_1$, cu $\alpha$ ales convenabil.)

b) (4 p) Toate ecuațiile în afară de a $i$-a rămân neschimbate, deci este destul să comparăm ecuația $i$ veche cu cea nouă (1 p). Fie $(s_1,\dots ,s_n)$ un $n$-uplu oarecare. Dacă el verifică ecuația veche, $$a_{i1}{s}_1+a_{i2}{s}_2+\cdots +a_{in}{s}_n=b_i,$$ atunci, înmulțind egalitatea cu $\alpha$, obținem $\alpha a_{i1}{s}_1+\cdots +\alpha a_{in}{s}_n=\alpha b_i$, adică ecuația nouă (1,5 p). Reciproc, dacă $(s_1,\dots ,s_n)$ verifică ecuația nouă, înmulțim egalitatea cu $\frac{1}{\alpha }$ și regăsim ecuația veche (1 p). Cele două ecuații au deci aceleași soluții, iar sistemele sunt echivalente. $■$ Ipoteza $\alpha \ne 0$ se folosește exact la pasul reciproc: numărul $\frac{1}{\alpha }$ există numai atunci. Pentru $\alpha =0$ ecuația $i$ ar deveni $0=0$, adevărată pentru orice $n$-uplu, iar sistemul nou ar avea, în general, mai multe soluții decât cel vechi (0,5 p).

Itemul 9. (9 p)

a) (3 p) Cu regula lui Sarrus: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& m\\ 1& m& 3\end{array}\right|=9+m+2m-(3+m^2+6)=-m^2+3m,$$ deci $\Delta =-m(m-3)$ (2,5 p), iar valorile critice sunt $m=0$ și $m=3$ (0,5 p).

b) (3 p) Pentru $m\notin \{0,3\}$ sistemul este de tip Cramer. Înlocuind pe rând fiecare coloană cu coloana termenilor liberi se obțin (2 p) $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 3& m\\ 3& m& 3\end{array}\right|=-(m-3{)}^2,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& m\\ 1& 3& 3\end{array}\right|=-2(m-3),{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 3\\ 1& m& 3\end{array}\right|=-(m-3).$$ Presupunem $m\ne 3$; abia atunci putem simplifica fracțiile cu factorul $m-3$ (0,5 p): $$x=\frac{-(m-3{)}^2}{-m(m-3)}=\frac{m-3}{m},y=\frac{-2(m-3)}{-m(m-3)}=\frac{2}{m},z=\frac{-(m-3)}{-m(m-3)}=\frac{1}{m}.$$ Control instantaneu: pentru $m=1$ formulele dau $(-2,2,1)$, iar înlocuirea în cele trei ecuații dă $-2+2+1=1$ ✓, $-4+6+1=3$ ✓, $-2+2+3=3$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Cazul $m=0$. Sistemul devine $x+y+z=1$, $2x+3y=3$, $x+3z=3$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$ și $\Delta =0$ dau $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm minor principal, ecuația secundară fiind a treia, iar determinantul caracteristic este $${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 3\\ 1& 0& 3\end{array}\right|=9+3+0-(3+0+6)=3\ne 0,$$ deci, prin teorema lui Rouché, sistemul este incompatibil (1,5 p).

Cazul $m=3$. Sistemul devine $x+y+z=1$, $2x+3y+3z=3$, $x+3y+3z=3$. Prin eliminare: $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 3& 3& 3\\ 1& 3& 3& 3\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 2\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-2L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ Doi pivoți, ambii în zona coeficienților, deci sistem compatibil simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$: $y=1-\alpha$ și $x=1-y-z=0$, adică $$S=\{(0,1-\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$ (1 p). Verificare în ecuația a treia: $0+3(1-\alpha )+3\alpha =3$ ✓.

Tabelul de cazuri (0,5 p):

Itemul 10. (8 p)

a) (3 p) Fie $x$, $y$, $z$ numărul de bucăți produse din articolele $A$, $B$, respectiv $C$ (0,5 p). Fiecare resursă consumată integral dă câte o ecuație (1,5 p): $$\{\begin{array}{ll}x+2y+z=65& (\text{ore})\\ 2x+y+3z=85& (\text{kg})\\ 4x+3y+6z=190& (\text{lei})\end{array}$$ Controlul dimensional pe prima ecuație: coeficienții sunt ore pe bucată, iar necunoscutele sunt bucăți, deci $\left[\frac{\text{ore}}{\text{buc}}\right]\cdot [\text{buc}]=[\text{ore}]$, la fel ca membrul drept ✓ (1 p). Analog, a doua ecuație este în kilograme, iar a treia în lei; o ecuație care ar aduna ore cu lei ar fi greșită indiferent de numere.

b) (3 p) Sistemul este pătratic, dar coeficienții nu sunt toți mici, iar cerința este doar soluția, nu și o discuție; alegem metoda lui Gauss, care cere mult mai puține operații decât cei patru determinanți de ordin $3$ ai regulii lui Cramer (0,5 p). $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 65\\ 2& 1& 3& 85\\ 4& 3& 6& 190\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-4L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 65\\ 0& -3& 1& -45\\ 0& -5& 2& -70\end{array}\right)$$ $$\stackrel{L_3\leftarrow 3L_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 65\\ 0& -3& 1& -45\\ 0& -15& 6& -210\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-5L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 65\\ 0& -3& 1& -45\\ 0& 0& 1& 15\end{array}\right)$$ (2 p). Trei pivoți, deci sistem compatibil determinat. Substituție inversă: $z=15$; $-3y+15=-45\Rightarrow y=20$; $x+40+15=65\Rightarrow x=10$ (0,5 p). (Pasul $L_3\leftarrow 3L_3$ este legitim, fiind de tipul $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha =3\ne 0$; el evită fracțiile.)

c) (2 p) S-au produs $10$ bucăți din $A$, $20$ din $B$ și $15$ din $C$. Verificare în enunț (1,5 p): manopera $1\cdot 10+2\cdot 20+1\cdot 15=65$ ore ✓; materialul $2\cdot 10+1\cdot 20+3\cdot 15=85$ kg ✓; ambalarea $4\cdot 10+3\cdot 20+6\cdot 15=190$ lei ✓. Interpretare: toate cele trei numere sunt întregi și pozitive, deci răspunsul are sens; un rezultat negativ sau fracționar ar fi arătat că datele nu sunt compatibile cu realitatea (0,5 p).

Itemul 11. (9 p)

a) (3 p) Atomii nu se pierd și nu se creează, deci fiecare element chimic dă câte o ecuație (1,5 p): carbonul $2a=c$, hidrogenul $4a=2d$, oxigenul $2b=2c+d$. Mutând totul în membrul stâng obținem un sistem omogen cu $3$ ecuații și $4$ necunoscute (1,5 p): $$\{\begin{array}{l}2a-c=0\\ 4a-2d=0\\ 2b-2c-d=0\end{array}$$

b) (2 p) Sistemul este omogen, deci compatibil (soluția banală există întotdeauna) (0,5 p). Rangul unei matrice cu $3$ linii nu poate depăși $3$, deci $\mathrm{rang}A\le 3<4=n$: sistemul are cu siguranță și soluții nebanale, fără niciun calcul (1 p). Cum minorul format din coloanele lui $a$, $b$, $c$ este $\left|\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 4& 0& 0\\ 0& 2& -2\end{array}\right|=-8\ne 0$, avem $\mathrm{rang}A=3$, deci gradul de nedeterminare este $4-3=1$ (0,5 p).

c) (3 p) Aducem matricea la formă eșalonată (1,5 p): $$\left(\begin{array}{ccccc}2& 0& -1& 0& 0\\ 4& 0& 0& -2& 0\\ 0& 2& -2& -1& 0\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}2& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& 2& -2& 0\\ 0& 2& -2& -1& 0\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftrightarrow L_3}{\to }\left(\begin{array}{ccccc}2& 0& -1& 0& 0\\ 0& 2& -2& -1& 0\\ 0& 0& 2& -2& 0\end{array}\right)$$ Pivoții stau pe coloanele lui $a$, $b$ și $c$, deci $d$ este necunoscuta secundară. Ca să evităm fracțiile, luăm $d=2\alpha$ (0,5 p); atunci linia a treia dă $2c=2d$, deci $c=2\alpha$; linia a doua dă $2b=2c+d=4\alpha +2\alpha$, deci $b=3\alpha$; linia întâi dă $2a=c$, deci $a=\alpha$ (0,5 p): $$S=\{(\alpha ,3\alpha ,2\alpha ,2\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$ (0,5 p).

d) (1 p) Contextul cere coeficienți întregi pozitivi și cât mai mici, condiție care nu se poate scrie ca ecuație liniară; ea se adaugă la final și dă $\alpha =1$: $${\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_4+3{\mathrm{O}}_2⟶2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2+2{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}.$$ Control pe atomi: carbon $2=2$ ✓; hidrogen $4=4$ ✓; oxigen $6=4+2$ ✓. (Nedeterminarea nu e un defect al modelului: reacția se poate scrie cu orice multiplu al coeficienților.)

Itemul 12. (9 p)

a) (4 p) Matricea extinsă, cu coeficientul nul al lui $z$ din ultima ecuație trecut în tablou (1 p): $$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 3& 5& 1& 8\\ 4& 7& 0& a\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-3L_1,L_3\leftarrow L_3-4L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -1& 4& -1\\ 0& -1& 4& a-12\end{array}\right)$$ (2 p), apoi $$\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -1& 4& -1\\ 0& 0& 0& a-11\end{array}\right)$$ (1 p).

b) (3 p) Ultima linie corespunde ecuației $0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=a-11$ (1 p). Dacă $a\ne 11$, ea devine „$0=$ un număr nenul", egalitate falsă: sistemul este incompatibil ($\mathrm{rang}A=2$, $\mathrm{rang}\overline{A}=3$) (1 p). Dacă $a=11$, linia este complet nulă — a treia ecuație era o consecință a primelor două — și rămân doi pivoți, ambii în zona coeficienților: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2<3=n$, deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat (1 p).

c) (2 p) Pentru $a=11$, cu $z=\alpha$, linia a doua dă $-y+4\alpha =-1$, deci $y=1+4\alpha$, iar prima dă $x=3-2(1+4\alpha )+\alpha =1-7\alpha$ (1,5 p): $$S=\{(1-7\alpha ,1+4\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ Verificare în toate ecuațiile inițiale: $(1-7\alpha )+2(1+4\alpha )-\alpha =3$ ✓; $3(1-7\alpha )+5(1+4\alpha )+\alpha =8$ ✓; $4(1-7\alpha )+7(1+4\alpha )=11$ ✓ (0,5 p).