Test: modul, conjugat și planul complex

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Numere complexe

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică partea unității în care algebra numerelor complexe devine geometrie. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: conjugatul $\bar{z}$ — nu doar scrierea lui, ci proprietățile care îl fac util, mai ales faptul că se „distribuie" peste sumă și produs și că perechile $z+\bar{z}$ și $z\bar{z}$ dau întotdeauna numere reale; de aici vin criteriile $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$ și „$z$ pur imaginar sau nul $⟺\bar{z}=-z$". Al doilea: modulul $|z|$, cu relația-cheie $|z{|}^2=z\bar{z}$, care permite demonstrarea proprietăților fără radicali, și cu comportarea lui la produs și la cât — multiplicativă — spre deosebire de adunare, unde avem doar inegalitatea triunghiului. Al treilea: planul complex — corespondența dintre numărul $z=a+bi$ și punctul $M(a,b)$, cele două sensuri ale ei (imagine geometrică și afix) și simetriile pe care le realizează $\bar{z}$, $-z$, $-\bar{z}$. Al patrulea, cel mai valoros pentru examen: traducerea condițiilor cu module în figuri — $|z-z_0|=r$ este un cerc, $|z-z_0|\le r$ un disc, $|z-a|=|z-b|$ o mediatoare, iar $|z_1-z_2|$ este pur și simplu distanța dintre imaginile celor două numere.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Modulele se lasă în formă exactă (de exemplu $5\sqrt{2}$, nu $7,07$); aproximările zecimale se dau doar acolo unde enunțul le cere, cu două zecimale. La mulțimile de puncte se cere denumirea figurii plus elementele ei (centru și rază, respectiv segmentul a cărui mediatoare este). Se depunctează scrierea $|z|=z\bar{z}$ (corect: $|z{|}^2=z\bar{z}$) și confundarea lui $z^2$ cu $|z{|}^2$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe relația $|z{|}^2=z\bar{z}$ și pe citirea centrului dintr-o condiție de forma $|z-z_0|=r$.
• Formule de reținut: pentru $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$: $$\bar{z}=a-bi,|z|=\sqrt{a^2+b^2},z\bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2.$$ Proprietățile conjugatului: $$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2},\overline{\bar{z}}=z,z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z,z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}z.$$ Criterii: $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$; $z$ pur imaginar sau nul $⟺\bar{z}=-z$. Proprietățile modulului: $$|z|\ge 0\text{ cu }|z|=0⟺z=0,|\bar{z}|=|-z|=|z|,|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|,$$ $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2\ne 0),|z^n|=|z{|}^n,|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$ În planul complex: numărului $z=a+bi$ îi corespunde punctul $M(a,b)$ (imaginea geometrică), iar $z$ este afixul lui $M$; $|z|=OM$, iar $|z_1-z_2|$ este distanța dintre imaginile lui $z_1$ și $z_2$. Mulțimi: $|z-z_0|=r$ — cercul de centru $M_0(z_0)$ și rază $r$; $|z-z_0|\le r$ — discul închis; $|z-a|=|z-b|$ — mediatoarea segmentului determinat de imaginile lui $a$ și $b$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Conjugat, modul și citirea planului complex

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Modulul numărului complex $z=3-4i$ este: A. $5$; B. $7$; C. $25$; D. $-1$.

b) Conjugatul numărului complex $z=-2+5i$ este: A. $2-5i$; B. $-2-5i$; C. $2+5i$; D. $-5+2i$.

c) Imaginea geometrică a numărului complex $z=-3+2i$ se află în cadranul: A. I; B. II; C. III; D. IV.

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră numerele complexe $z_1=4-3i$ și $z_2=-1+2i$. Calculează (câte 1,5 puncte): a) $|z_1|$; b) $\overline{z_2}$; c) $z_1\cdot \overline{z_1}$; d) $|z_1{z}_2|$, folosind proprietatea modulului produsului.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Pentru orice număr complex $z$, numărul $z+\bar{z}$ este real." b) „Dacă $|z|=0$, atunci $z=0$." c) „Pentru orice numere complexe $z_1$ și $z_2$ avem $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$." d) „Dacă $\bar{z}=-z$, atunci $z$ este pur imaginar sau $z=0$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Precizează coordonatele imaginilor geometrice ale numerelor $z_1=3+2i$, $z_2=-2+i$ și $z_3=-1-3i$, indicând cadranul fiecăreia. (3 p) b) Punctele $A(2,-5)$ și $B(0,4)$ sunt date prin coordonate. Scrie afixele lor și calculează distanța $AB$, în formă exactă și rotunjită la două zecimale. (3 p)

Partea a II-a – Proprietăți, mulțimi de puncte și ecuații cu module

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră $z_1=2+3i$ și $z_2=1-4i$. Verifică prin calcul direct, în ambii membri (câte 2 puncte): a) $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$; b) $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$; c) $z_1+\overline{z_1}=2\mathrm{Re}{z}_1$ și $z_1-\overline{z_1}=2i\mathrm{Im}{z}_1$; d) $z_1\overline{z_1}=|z_1{|}^2$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează $|5-12i|$, $|-7i|$ și $|(3-4i)(1+i)|$ (ultimul, fără a efectua înmulțirea). (3 p) b) Pentru $z=1+i$, calculează $z^4$ și verifică egalitatea $|z^4|=|z{|}^4$. (2 p) c) Calculează $\left|\frac{2+3i}{1-i}\right|$, în formă exactă și cu două zecimale. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Determină și denumește mulțimea punctelor $M$ din planul complex, de afix $z$, pentru care: a) $|z-1+2i|=5$; verifică apoi dacă punctul de afix $4+2i$ aparține acestei mulțimi. (3 p) b) $|z|\le 2$. (2 p) c) $|z-1|=|z+3|$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Determină numărul complex $z$ pentru care $z+2\bar{z}=9-i$. (3 p) b) Determină toate numerele complexe $z$ pentru care $|z|=5$ și $z+\bar{z}=6$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=1+i$, $z_B=5+3i$ și $z_C=3+7i$. a) Calculează lungimile $AB$, $BC$ și $CA$. (3 p) b) Arată că triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel și precizează în ce vârf se află unghiul drept. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații, aplicații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice numere complexe $z_1$ și $z_2$, are loc egalitatea $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$. (4 p) b) Deduce, prin inducție sau prin aplicare repetată, că $|z^n|=|z{|}^n$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (2 p) c) Calculează $\left|(1+i{)}^{20}\right|$. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numărul complex $z=3-4i$. a) Arătați că $|z|=5$. (2 p) b) Arătați că $z+\bar{z}=6$ și $z\cdot \bar{z}=25$. (2 p) c) Arătați că numărul $u=\frac{z}{\bar{z}}$ are modulul egal cu $1$ și scrieți-l sub formă algebrică. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Pe o hartă digitală, poziția fiecărui obiectiv este memorată ca număr complex, partea reală fiind coordonata est–vest, iar partea imaginară coordonata sud–nord, ambele în kilometri față de un punct de referință $O$. Două antene sunt plasate în punctele $A$ și $B$, de afixe $z_A=1+2i$ și $z_B=7+10i$.

a) Calculează distanța dintre cele două antene. (2 p) b) Un releu se află în punctul $Q$ de afix $8+3i$. Arată că releul este egal depărtat de cele două antene și calculează această distanță, exact și cu două zecimale. (3 p) c) Antena din $A$ acoperă zona descrisă de condiția $|z-1-2i|\le 8$. Stabilește, prin calcul, care dintre punctele $C$ (afix $6+8i$) și $D$ (afix $-3+9i$) este acoperit. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră numerele complexe $z_1=2+i$ și $z_2=1-3i$. a) Arătați că $z_1+z_2=3-2i$ și calculați $|z_1+z_2|$. (2 p) b) Arătați că $z_1{z}_2=5-5i$ și verificați egalitatea $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$. (3 p) c) Determinați numărul real $m$ pentru care numărul $z_1+m{z}_2$ este pur imaginar. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5$. Varianta C este $|z{|}^2$, adică $z\bar{z}$, nu modulul. b) B. Conjugatul schimbă doar semnul părții imaginare: $\overline{-2+5i}=-2-5i$. Varianta A schimbă, greșit, ambele semne (acela este $-\bar{z}$). c) B. Imaginea lui $z=-3+2i$ este punctul $M(-3,2)$, cu abscisa negativă și ordonata pozitivă, deci în cadranul II.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) $|z_1|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{25}=5$. b) $\overline{z_2}=-1-2i$. c) $z_1\overline{z_1}=(4-3i)(4+3i)=16+9=25$ — un număr real, egal cu $|z_1{|}^2$. d) $|z_2|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, deci $$|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|=5\sqrt{5}.$$ (Control: $z_1{z}_2=2+11i$ și $\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ ✓.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) A. Dacă $z=a+bi$, atunci $z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a\in \mathbb{R}$. (Chiar aceasta este relația $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$.) b) A. $|z|=0$ înseamnă $\sqrt{a^2+b^2}=0$, deci $a^2+b^2=0$; o sumă de pătrate de numere reale este nulă doar dacă ambele sunt nule, adică $a=b=0$. c) F. Are loc doar inegalitatea $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$. Contraexemplu: $z_1=1$, $z_2=i$ dau $|1+i|=\sqrt{2}\approx 1,41$, în timp ce $|z_1|+|z_2|=2$. d) A. Cu $z=a+bi$, egalitatea $\bar{z}=-z$ devine $a-bi=-a-bi$, adică $a=0$. Atunci $z=bi$: este pur imaginar dacă $b\ne 0$ și este $0$ dacă $b=0$. (De aceea enunțul corect include și cazul $z=0$.)

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. $z_1=3+2i$ are imaginea $M_1(3,2)$, în cadranul I; $z_2=-2+i$ are imaginea $M_2(-2,1)$, în cadranul II; $z_3=-1-3i$ are imaginea $M_3(-1,-3)$, în cadranul III.

b) (3 p) Afixele sunt $z_A=2-5i$ și $z_B=4i$ (adică $0+4i$) (1 p). Distanța este modulul diferenței (1 p): $$AB=|z_B-z_A|=|-2+9i|=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\approx 9,22$$ (1 p). (Ordinea scăderii nu contează: $|z_A-z_B|=|2-9i|$ are același modul.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p pentru fiecare membru calculat corect).

a) $z_1+z_2=3-i$, deci $\overline{z_1+z_2}=3+i$. Pe de altă parte, $\overline{z_1}+\overline{z_2}=(2-3i)+(1+4i)=3+i$ ✓.

b) $z_1{z}_2=(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i+12=14-5i$, deci $\overline{z_1{z}_2}=14+5i$. Pe de altă parte, $$\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}=(2-3i)(1+4i)=2+8i-3i+12=14+5i✓.$$

c) $z_1+\overline{z_1}=(2+3i)+(2-3i)=4=2\cdot 2=2\mathrm{Re}{z}_1$ ✓, iar $$z_1-\overline{z_1}=6i=2i\cdot 3=2i\mathrm{Im}{z}_1✓.$$ (Atenție: $\mathrm{Im}{z}_1=3$, nu $3i$.)

d) $z_1\overline{z_1}=(2+3i)(2-3i)=4+9=13$, iar $|z_1{|}^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2=13$ ✓.

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. $|5-12i|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$; $|-7i|=\sqrt{0+49}=7$; folosind multiplicativitatea, $$|(3-4i)(1+i)|=|3-4i|\cdot |1+i|=5\sqrt{2}.$$ (Control: $(3-4i)(1+i)=7-i$ și $\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ ✓.)

b) (2 p) $z^2=(1+i{)}^2=2i$, deci $z^4=(2i{)}^2=-4$ (1 p). Atunci $|z^4|=4$, iar $|z|=\sqrt{2}$ dă $|z{|}^4={\left(\sqrt{2}\right)}^4=4$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Modulul câtului este câtul modulelor (1 p): $$\left|\frac{2+3i}{1-i}\right|=\frac{|2+3i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{26}}{2}\approx 2,55$$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Aducem condiția la forma „$z$ minus ceva" (1 p): $$|z-1+2i|=|z-(1-2i)|=5.$$ Este cercul de centru $M_0(1,-2)$ și rază $5$ (1 p). Pentru $z=4+2i$: $$|4+2i-1+2i|=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5,$$ deci punctul aparține cercului (1 p).

b) (2 p) Cu $z=x+yi$, condiția devine $x^2+y^2\le 4$: este discul închis de centru $O$ și rază $2$ (cercul de rază $2$ împreună cu interiorul lui).

c) (2 p) Condiția spune că $M$ este egal depărtat de imaginile lui $1$ și $-3$, adică de punctele $P(1,0)$ și $Q(-3,0)$: mulțimea este mediatoarea segmentului $PQ$ (1 p). Prin calcul, ridicând la pătrat: $$(x-1{)}^2+y^2=(x+3{)}^2+y^2⟺-2x+1=6x+9⟺x=-1,$$ deci dreapta verticală de ecuație $x=-1$ (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Scriem $z=x+yi$, cu $x,y\in \mathbb{R}$ (0,5 p). Atunci $$z+2\bar{z}=(x+yi)+2(x-yi)=3x-yi$$ (1 p). Din $3x-yi=9-i$ obținem $3x=9$ și $-y=-1$ (1 p), deci $x=3$, $y=1$ și $z=3+i$ (0,5 p). (Verificare: $(3+i)+2(3-i)=3+i+6-2i=9-i$ ✓.)

b) (3 p) Din $z+\bar{z}=6$ rezultă $2x=6$, deci $x=3$ (1 p). Din $|z|=5$ rezultă $x^2+y^2=25$, adică $9+y^2=25$, deci $y^2=16$ și $y=\pm 4$ (1,5 p). Există două soluții: $$z=3+4i\text{și}z=3-4i$$ (0,5 p). (Geometric: intersecția cercului de rază $5$ centrat în $O$ cu dreapta verticală $x=3$ — două puncte simetrice față de axa reală.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. $$AB=|z_B-z_A|=|4+2i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5};$$ $$BC=|z_C-z_B|=|-2+4i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5};$$ $$CA=|z_A-z_C|=|-2-6i|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$

b) (3 p) Din $AB=BC=2\sqrt{5}$ triunghiul este isoscel, cu vârful în $B$ (1 p). Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora (1,5 p): $$A{B}^2+B{C}^2=20+20=40=C{A}^2,$$ deci unghiul drept este cel opus laturii $CA$, adică unghiul din vârful $B$ (0,5 p). Triunghiul este așadar dreptunghic isoscel în $B$.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Folosim relația $|z{|}^2=z\bar{z}$, valabilă pentru orice număr complex (1 p). Calculăm pătratul membrului stâng: $$|z_1{z}_2{|}^2=(z_1{z}_2)\overline{(z_1{z}_2)}=z_1{z}_2\overline{z_1}\overline{z_2}$$ (1,5 p), unde am folosit proprietatea $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$. Comutând factorii, $$z_1\overline{z_1}\cdot z_2\overline{z_2}=|z_1{|}^2|z_2{|}^2={\left(|z_1|\cdot |z_2|\right)}^2$$ (1 p). Am obținut $|z_1{z}_2{|}^2={\left(|z_1||z_2|\right)}^2$. Cum ambele numere $|z_1{z}_2|$ și $|z_1||z_2|$ sunt nenegative, din egalitatea pătratelor rezultă egalitatea lor (0,5 p). $■$ (Pasul final nu e formal: din $x^2=y^2$ ar rezulta $x=\pm y$; semnul se elimină tocmai pentru că modulele sunt nenegative.)

b) (2 p) Pentru $n=1$ egalitatea e evidentă. Presupunem $|z^n|=|z{|}^n$; atunci, aplicând a) cu $z_1=z^n$ și $z_2=z$, $$\left|z^{n+1}\right|=\left|z^n\cdot z\right|=\left|z^n\right|\cdot |z|=|z{|}^n\cdot |z|=|z{|}^{n+1}.$$ Prin inducție, egalitatea are loc pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c) (2 p) $|1+i|=\sqrt{2}$ (0,5 p), deci $$\left|(1+i{)}^{20}\right|={\left(\sqrt{2}\right)}^{20}=2^{10}=1024$$ (1,5 p). (Control: $(1+i{)}^{20}={\left[(1+i{)}^2\right]}^{10}=(2i{)}^{10}=2^{10}{i}^{10}=-1024$, cu modulul $1024$ ✓.)

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $|z|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

b) (2 p) $\bar{z}=3+4i$, deci $z+\bar{z}=6$ (1 p) și $z\bar{z}=9+16=25=|z{|}^2$ (1 p).

c) (4 p) Modulul: folosind $|\bar{z}|=|z|$ (1 p), $$|u|=\left|\frac{z}{\bar{z}}\right|=\frac{|z|}{|\bar{z}|}=\frac{5}{5}=1$$ (1 p). Forma algebrică: amplificăm cu $z$ (sau folosim $\bar{z}z=25$) (1 p): $$u=\frac{z}{\bar{z}}=\frac{z^2}{z\bar{z}}=\frac{(3-4i{)}^2}{25}=\frac{9-24i-16}{25}=-\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i$$ (1 p). (Control: $7^2+24^2=49+576=625=25^2$, deci $|u|=\frac{25}{25}=1$ ✓.)

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) $z_B-z_A=6+8i$, deci $$AB=|6+8i|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{km}.$$

b) (3 p) $z_Q-z_A=7+i$ și $z_Q-z_B=1-7i$ (1 p), deci $$QA=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\text{și}QB=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$$ (1,5 p). Cele două distanțe sunt egale, deci releul este egal depărtat de antene: $QA=QB=5\sqrt{2}\approx 7,07$ km (0,5 p). (Geometric, $Q$ se află pe mediatoarea segmentului $AB$.)

c) (3 p) Condiția se scrie $|z-(1+2i)|\le 8$, adică „distanța până la $A$ este cel mult $8$ km" (0,5 p). Pentru $C$: $z_C-z_A=5+6i$, deci $AC=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}\approx 7,81\le 8$ — punctul este acoperit (1,25 p). Pentru $D$: $z_D-z_A=-4+7i$, deci $AD=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\approx 8,06>8$ — punctul nu este acoperit (1,25 p). (Comparația se poate face și fără radicali: $61<64<65$, adică $\sqrt{61}<8<\sqrt{65}$.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $z_1+z_2=(2+1)+(1-3)i=3-2i$ (1 p), deci $|z_1+z_2|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ (1 p).

b) (3 p) $z_1{z}_2=(2+i)(1-3i)=2-6i+i+3=5-5i$ (1,5 p). Atunci $|z_1{z}_2|=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, iar $$|z_1|\cdot |z_2|=\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}✓$$ (1,5 p).

c) (3 p) Separăm părțile (1,5 p): $$z_1+m{z}_2=(2+i)+m(1-3i)=(2+m)+(1-3m)i.$$ Numărul este pur imaginar când partea reală este nulă și partea imaginară este nenulă (1 p): din $2+m=0$ rezultă $m=-2$, iar atunci $1-3m=7\ne 0$, deci condiția a doua este îndeplinită (0,5 p). (Verificare: $z_1-2z_2=(2+i)-(2-6i)=7i$ ✓ — pur imaginar.)