Test: monotonia și punctele de extrem

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Studiul variației funcțiilor cu derivate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a unității, adică drumul de la semnul derivatei la descrierea completă a comportării unei funcții. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: monotonia dedusă din semnul derivatei întâi, cu rețeta în cinci pași — domeniu, derivată adusă la formă factorizată, zerourile derivatei și punctele de nederivabilitate, tabelul de semn, concluzia — și cu obligația de a formula concluzia pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Al doilea: criteriul derivatei întâi, care decide natura fiecărui candidat din schimbarea semnului lui $f^{\prime }$: de la $+$ la $-$ maxim, de la $-$ la $+$ minim, fără schimbare de semn nu există extrem. Criteriul cere doar continuitate în punct, nu derivabilitate, deci se aplică și în colțuri sau în puncte de întoarcere, acolo unde teorema lui Fermat tace. Al treilea: tabelul de variație cu derivata întâi, cu cele trei rânduri ale lui ($x$, $f^{\prime }(x)$, $f(x)$), cu alternanța coloană-punct / coloană-interval și cu tratarea corectă a capetelor. Al patrulea: extremele globale, aflate fie comparând valorile din toți candidații pe un interval închis, fie citind monotonia pe un domeniu nemărginit.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu tabel se cere tabelul complet, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice studiu de monotonie se consideră complet doar dacă rezolvarea începe cu domeniul și conține forma factorizată a derivatei. Se depunctează: concluzia de monotonie scrisă pe o reuniune de intervale; răspunsul „minimul este $2$" când $2$ este abscisa; declararea unui extrem imediat după rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$, fără studiul semnului; săgeata scrisă într-o coloană-punct; celula derivatei completată la $\pm \infty$; omiterea punctului exclus din domeniu.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe tabelul de semn al derivatei și pe criteriul derivatei întâi.
• Formule de reținut: Consecința 2 a teoremei lui Lagrange (monotonia) — fie $f$ derivabilă pe intervalul $I$; dacă $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ este strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$, este strict descrescătoare. Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Lema de lipire — dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și strict monotonă pe $(a,b)$, atunci este strict monotonă pe $[a,b]$; de aici, capetele finite se scriu incluse ori de câte ori funcția e continuă acolo, iar un zerou izolat al derivatei nu strică stricta monotonie. Criteriul derivatei întâi — fie $x_0$ interior domeniului, $f$ continuă în $x_0$ și derivabilă de o parte și de alta a lui: dacă $f^{\prime }$ trece de la $+$ la $-$, atunci $x_0$ este punct de maxim local; dacă trece de la $-$ la $+$, punct de minim local; dacă păstrează același semn, $x_0$ nu este punct de extrem. Punct $\ne$ valoare — punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$. Tabelul de variație cu derivata întâi are rândurile $x$ (antetul), $f^{\prime }(x)$ și $f(x)$; cu $k$ puncte marcate în interior, are $2k+4$ coloane; în coloanele-interval se scriu $+$ sau $-$ și săgețile $\nearrow$, $\searrow$; în coloanele-punct se scriu valori sau limite, urmate de $\text{M}$ ori $\text{m}$; la $\pm \infty$ celula derivatei rămâne goală, într-un punct al axei care nu aparține domeniului se scrie $|$, iar acolo unde derivatele laterale sunt diferite se scrie $\nexists$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Monotonia dedusă din semnul derivatei întâi

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+5$, este strict descrescătoare pe: A. $(-\infty ,0]$; B. $[0,4]$; C. $[4,+\infty )$; D. $\mathbb{R}$.

b) Se știe despre funcția derivabilă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ că $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x-3)$. Atunci: A. $x=1$ este punct de maxim local, iar $x=3$ este punct de minim local; B. $x=1$ nu este punct de extrem, iar $x=3$ este punct de minim local; C. $x=1$ este punct de minim local, iar $x=3$ nu este punct de extrem; D. funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) În tabelul de variație al unei funcții definite pe $\mathbb{R}$, în coloana lui $+\infty$, rândul $f^{\prime }(x)$ conține: A. limita derivatei; B. semnul derivatei; C. nimic, celula rămâne goală; D. bara $|$.

Itemul 2 (6 puncte)

Determină intervalele de monotonie ale fiecărei funcții (câte 1,5 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x^2+45x-7$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-32x$; c) $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5\ln x$; d) $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este derivabilă și strict crescătoare, atunci $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x$ real." b) „Un punct în care funcția nu este derivabilă nu poate fi punct de extrem." c) „Într-o coloană-interval a tabelului de variație se poate scrie valoarea funcției." d) „Valoarea maximă a unei funcții continue pe un interval închis se atinge întotdeauna într-un punct în care derivata se anulează."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină $a\in \mathbb{R}$ știind că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+15x+4$, are un punct de extrem local în $x_0=5$. Precizează apoi natura acestui punct și valoarea extremă corespunzătoare. (3 p) b) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+7x-2$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și deduce că nu are niciun punct de extrem. (3 p)

Partea a II-a – Puncte de extrem și tabelul de variație

Itemul 5 (8 puncte)

Determină punctele de extrem local și valorile extreme corespunzătoare (câte 4 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-4x+1\right)e^x$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+1$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2\left|x-1\right|$. Explicitează modulul, calculează derivatele laterale în $x_0=1$ și arată că $1$ este punct de minim global, deși funcția nu este derivabilă acolo. Precizează natura punctului. (4 p) b) Determină punctul de extrem al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$, și valoarea extremă. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$, știind că limitele ei la $-\infty$ și la $+\infty$ sunt $-\infty$, respectiv $+\infty$. Marchează punctul exclus din domeniu, scrie limitele laterale în el și adaugă dedesubt citirea tabelului. Verifică numărul de coloane cu formula $2k+4$.

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2$. a) Determină punctele critice ale funcției și arată că unul dintre ele nu este punct de extrem. (3 p) b) Determină valoarea maximă și valoarea minimă ale funcției pe intervalul $[-1,2]$, precizând punctele în care se ating. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Alcătuiește tabelul de variație al funcției $f:[1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x-1}-\frac{x}{2}$, știind că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$. Precizează ce se scrie în rândul $f^{\prime }(x)$ în capătul închis $x=1$ și de ce, apoi scrie citirea tabelului.

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează criteriul derivatei întâi în cazul maximului: dacă $f$ este continuă în $x_0$, derivabilă pe $(x_0-\epsilon ,x_0)\cup (x_0,x_0+\epsilon )$, cu $f^{\prime }(x)>0$ la stânga lui $x_0$ și $f^{\prime }(x)<0$ la dreapta, atunci $x_0$ este punct de maxim local. Numește rezultatele folosite. (5 p) b) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^5-5x^3$, are exact două puncte de extrem, deși derivata ei se anulează în trei puncte. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1{)}^2{e}^{-x}$, cu $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$. a) Calculează $f^{\prime }(x)$ și alcătuiește tabelul de variație al funcției. (5 p) b) Arată că minimul local din $x=-1$ este chiar minim global, în timp ce maximul din $x=1$ este doar local. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+1$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determină $a$ și $b$ știind că funcția are un punct de maxim local în $x=1$ și un punct de minim local în $x=3$. Precizează valorile extreme. (5 p) b) Arată că, pentru valorile găsite, funcția nu are niciun extrem global. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. (2 p) b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$. (3 p) c) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$, știind că $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$, și precizați punctele de extrem și valorile extreme. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Avem $f^{\prime }(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$, cu zerourile $0$ și $4$. Probele de semn dau $f^{\prime }(-1)=15>0$, $f^{\prime }(1)=-9<0$, $f^{\prime }(5)=15>0$, deci funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$, strict descrescătoare pe $[0,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$. Varianta D este exclusă tocmai de porțiunea de descreștere. b) B. Factorul $(x-1{)}^2$ este $\ge 0$, deci semnul derivatei este semnul lui $x-3$: negativ pe $(-\infty ,1)$, negativ pe $(1,3)$, pozitiv pe $(3,+\infty )$. În $1$ derivata se anulează, dar semnul nu se schimbă, deci $1$ este punct critic fără să fie punct de extrem; în $3$ semnul trece de la $-$ la $+$, deci acolo este minim local. c) C. La $\pm \infty$ nu există niciun punct al axei în care să evaluezi derivata, deci celula rămâne goală. Bara $|$ se pune numai într-un punct al axei care nu aparține domeniului funcției.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p domeniul și derivata factorizată, 0,5 p semnul, 0,5 p concluzia scrisă pe intervale). a) $f^{\prime }(x)=3x^2-24x+45=3\left(x^2-8x+15\right)=3(x-3)(x-5)$, cu zerourile $3$ și $5$. Semnele: $+$, $-$, $+$. Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,3]$, strict descrescătoare pe $[3,5]$ și strict crescătoare pe $[5,+\infty )$, cu $f(3)=47$ și $f(5)=43$. b) $f^{\prime }(x)=4x^3-32=4\left(x^3-8\right)$, cu unicul zerou real $x=2$; derivata este negativă pentru $x<2$ și pozitivă pentru $x>2$. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$, cu $f(2)=16-64=-48$. c) Pe $(0,+\infty )$, $f^{\prime }(x)=3-\frac{5}{x}=\frac{3x-5}{x}$. Numitorul este pozitiv, deci semnul este al lui $3x-5$: negativ pe $\left(0,\frac{5}{3}\right)$, pozitiv pe $\left(\frac{5}{3},+\infty \right)$. Funcția este strict descrescătoare pe $\left(0,\frac{5}{3}\right]$ și strict crescătoare pe $\left[\frac{5}{3},+\infty \right)$, cu $f\left(\frac{5}{3}\right)=5-5\ln \frac{5}{3}$. d) Prin regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}<0\text{pentru orice }x\ne 3.$$ Concluzia corectă are două afirmații: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și strict descrescătoare pe $(3,+\infty )$. Nu se scrie „pe $\mathbb{R}\setminus \{3\}$", pentru că această mulțime nu este interval: $f(0)=-\frac{1}{3}$, iar $f(4)=9$, deci $0<4$ dar $f(0)<f(4)$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Consecința 2 a teoremei lui Lagrange merge în sens invers: din $f^{\prime }>0$ rezultă stricta creștere, nu și reciproc. Contraexemplu: $f(x)=x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, dar $f^{\prime }(0)=0$. Un zerou izolat al derivatei nu strică stricta monotonie — concluzia se obține prin lema de lipire. b) F. Criteriul derivatei întâi cere continuitate în punct, nu derivabilitate. Contraexemplu: $f(x)=\left|x-3\right|$ are minim global în $3$, unde derivatele laterale sunt $-1$ și $1$, deci funcția nu e derivabilă. Teorema lui Fermat nu se aplică acolo, ceea ce nu împiedică existența extremului. c) F. Coloanele-interval poartă numai informația despre comportarea pe o porțiune întreagă: semnul $+$ sau $-$ în rândul $f^{\prime }(x)$ și săgeata $\nearrow$ ori $\searrow$ în rândul $f(x)$. Valorile și limitele se scriu exclusiv în coloanele-punct. d) F. Valoarea maximă se poate atinge într-un capăt al intervalului sau într-un punct de nederivabilitate. Contraexemplu: $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, are maximul $1$ în capătul $x=1$, iar $f^{\prime }(x)=1\ne 0$ peste tot. Teorema lui Fermat nu e contrazisă, pentru că ea cere ca punctul de extrem să fie interior.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Punctul $5$ este interior domeniului $\mathbb{R}$, iar $f$, fiind polinomială, este derivabilă în el, deci teorema lui Fermat dă condiția necesară $f^{\prime }(5)=0$ (0,5 p). Din $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+15$ obținem $$f^{\prime }(5)=75+10a+15=0,$$ deci $a=-9$ (1 p). Pentru această valoare, $$f^{\prime }(x)=3x^2-18x+15=3\left(x^2-6x+5\right)=3(x-1)(x-5),$$ cu semnele $+$ pe $(-\infty ,1)$, $-$ pe $(1,5)$ și $+$ pe $(5,+\infty )$ (1 p). În $5$ semnul trece de la $-$ la $+$, deci $x_0=5$ este punct de minim local, iar valoarea minimă este $f(5)=125-225+75+4=-21$ (0,5 p). (Verificare: celălalt punct critic, $x=1$, este punct de maxim local, cu $f(1)=1-9+15+4=11$.)

b) (3 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, și $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+7$ (1 p). Discriminantul este $\Delta =36-84=-48<0$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x$ real (1,5 p). Cum $\mathbb{R}$ este interval, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$; fiind strict monotonă, semnul derivatei nu se schimbă nicăieri, deci criteriul derivatei întâi nu produce niciun extrem (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 4 puncte (1,5 p derivata factorizată, 1 p semnul, 1 p natura punctelor, 0,5 p valorile extreme).

a) Prin regula produsului, $$f^{\prime }(x)=(2x-4)e^x+\left(x^2-4x+1\right)e^x=e^x\left(x^2-2x-3\right)=e^x(x-3)(x+1).$$ Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $(x-3)(x+1)$: pozitiv pe $(-\infty ,-1)$, negativ pe $(-1,3)$, pozitiv pe $(3,+\infty )$.

În $-1$ semnul trece de la $+$ la $-$: punct de maxim local, cu valoarea $f(-1)=\frac{1+4+1}{e}=\frac{6}{e}$. În $3$ semnul trece de la $-$ la $+$: punct de minim local, cu valoarea $f(3)=(9-12+1)e^3=-2e^3$.

b) $f^{\prime }(x)=12x^3+12x^2-24x=12x\left(x^2+x-2\right)=12x(x+2)(x-1)$, cu punctele critice $-2$, $0$ și $1$. Probele de semn: $f^{\prime }(-3)=12\cdot (-3)(-1)(-4)=-144<0$; $f^{\prime }(-1)=12\cdot (-1)(1)(-2)=24>0$; $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=12\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{15}{2}<0$; $f^{\prime }(2)=12\cdot 2\cdot 4\cdot 1=96>0$.

Trecerile sunt: $-$ la $+$ în $-2$, deci minim local, cu $f(-2)=48-32-48+1=-31$; $+$ la $-$ în $0$, deci maxim local, cu $f(0)=1$; $-$ la $+$ în $1$, deci minim local, cu $f(1)=3+4-12+1=-4$. Minimul din $-2$ este chiar global, fiind cea mai mică dintre cele două valori de minim.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Explicităm modulul (1 p): $$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x-2,& x\ge 1\\ -x+2,& x<1\end{array}$$ Funcția este continuă în $1$, pentru că ambele ramuri dau valoarea $f(1)=1$ (0,5 p). Derivatele laterale (1,5 p): $$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(-x+2)-1}{x-1}=-1,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{(3x-2)-1}{x-1}=3.$$ Ele există, sunt finite și diferite, deci $f$ nu este derivabilă în $1$, iar $1$ este punct unghiular (0,5 p). Semnul derivatei este $-1<0$ pe $(-\infty ,1)$ și $3>0$ pe $(1,+\infty )$; trecerea de la $-$ la $+$, cu funcția continuă în $1$, dă prin criteriul derivatei întâi punct de minim, cu valoarea $f(1)=1$. Minimul este global: $f$ scade pe tot $(-\infty ,1]$ și crește pe tot $[1,+\infty )$, deci $f(x)\ge f(1)=1$ pentru orice $x$ real (0,5 p).

b) (3 p) Funcția este derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $$f^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=x\left(2\ln x+1\right)$$ (1,5 p). Pe domeniu $x>0$, deci semnul este al factorului $2\ln x+1$: el se anulează pentru $\ln x=-\frac{1}{2}$, adică $x=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$, este negativ înainte și pozitiv după (1 p). Trecerea de la $-$ la $+$ arată că punctul de minim este $x_0=\frac{1}{\sqrt{e}}$, iar valoarea minimă este $$f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=\frac{1}{e}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2e}$$ (0,5 p). (Minimul este global, pentru că monotonia acoperă tot domeniul.)

Itemul 7. (7 p)

Derivata (1,5 p). Prin regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}.$$

Punctele de marcat (1 p). Numitorul este strict pozitiv pe domeniu, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $x(x-4)$: pozitiv pe $(-\infty ,0)$, negativ pe $(0,2)$, negativ pe $(2,4)$, pozitiv pe $(4,+\infty )$. Se marchează zerourile derivatei, $0$ și $4$, și punctul $2$, exclus din domeniu; avem deci $k=3$ puncte marcate, iar tabelul are $2\cdot 3+4=10$ coloane.

Valorile și limitele (1,5 p): $f(0)=0$ și $f(4)=\frac{16}{2}=8$. În $2$, numărătorul tinde la $4>0$, iar numitorul la $0$, cu semn negativ la stânga și pozitiv la dreapta, deci limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Tabelul (2 p):

Citirea tabelului (1 p): funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$, strict descrescătoare pe $[0,2)$, strict descrescătoare pe $(2,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$ — cele două intervale de descreștere se scriu separat, pentru că $2$ nu aparține domeniului. Punctul de maxim local este $x=0$, cu valoarea $f(0)=0$; punctul de minim local este $x=4$, cu valoarea $f(4)=8$. Maximul local este mai mic decât minimul local, ceea ce este cu putință tocmai pentru că fiecare compară valoarea doar cu o vecinătate.

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $[-1,2]$, și $$f^{\prime }(x)=12x^3-24x^2+12x=12x\left(x^2-2x+1\right)=12x(x-1{)}^2$$ (1,5 p). Punctele critice sunt $0$ și $1$ (0,5 p). Factorul $(x-1{)}^2$ fiind $\ge 0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x$: negativ pe $[-1,0)$, pozitiv pe $(0,1)$ și pozitiv pe $(1,2]$. În $0$ semnul trece de la $-$ la $+$, deci acolo este minim local; în $1$ semnul nu se schimbă, deci $1$ este punct critic care nu este punct de extrem — în tabel, valoarea $f(1)=1$ se trece fără marcaj, iar săgețile rămân în același sens (1 p).

b) (3 p) Candidații la extremele globale sunt punctele critice din interior și cele două capete (0,5 p). Valorile (1,5 p): $$f(-1)=3+8+6=17,f(0)=0,f(1)=3-8+6=1,f(2)=48-64+24=8.$$ Comparând numerele, valoarea maximă pe interval este $17$, atinsă în capătul $x=-1$, iar valoarea minimă este $0$, atinsă în punctul critic $x=0$ (1 p). (Verificat prin eșantionare pe $200001$ de puncte ale intervalului.)

Tabelul de variație, cu $k=2$ puncte marcate în interior, deci $8$ coloane, iar $f^{\prime }(-1)=-48$ și $f^{\prime }(2)=24$:

Citirea tabelului: funcția scade pe $[-1,0]$ și crește pe $[0,2]$; are minim în $x=0$, cu valoarea $0$, și maxime locale în cele două capete, cu valorile $17$ și $8$. În $x=1$ valoarea $f(1)=1$ se trece fără marcaj, pentru că semnul derivatei nu se schimbă acolo. Valoarea maximă pe interval este $17$, iar cea minimă este $0$.

Itemul 9. (6 p)

Domeniul și derivabilitatea (1 p). Funcția este continuă pe $[1,+\infty )$, dar radicalul este derivabil doar acolo unde radicandul este strict pozitiv, deci $f$ este derivabilă pe $(1,+\infty )$, cu $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2}=\frac{1-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}.$$

Semnul și valorile (1,5 p). Numitorul este pozitiv, deci semnul este al lui $1-\sqrt{x-1}$: pozitiv pentru $\sqrt{x-1}<1$, adică $x<2$, și negativ pentru $x>2$; zeroul este $x=2$. Valorile: $f(1)=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ și $f(2)=1-1=0$.

Celula din capătul $x=1$ (1,5 p). Punctul $1$ aparține domeniului, deci este un capăt închis: în rândul $f^{\prime }(x)$ se scrie valoarea derivatei laterale, iar aici $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2}\right)=+\infty .$$ Derivata există și este infinită, deci se scrie $+\infty$, nu $\nexists$ — simbolul $\nexists$ se păstrează pentru cazul în care derivatele laterale sunt diferite. Graficul pornește din $\left(1,-\frac{1}{2}\right)$ cu o semitangentă verticală.

Tabelul (1,5 p), cu $k=1$ punct marcat în interior, deci $2\cdot 1+4=6$ coloane:

Citirea tabelului (0,5 p): funcția este strict crescătoare pe $[1,2]$ și strict descrescătoare pe $[2,+\infty )$; are un minim local în capătul $x=1$, cu valoarea $-\frac{1}{2}$, și un maxim global în $x=2$, cu valoarea $0$; la $+\infty$ funcția tinde la $-\infty$, deci nu are minim global.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Ipotezele. Fie $\epsilon >0$ astfel încât $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ să fie inclus în domeniu, $f$ continuă în $x_0$, derivabilă pe cele două intervale laterale, cu $f^{\prime }>0$ pe $(x_0-\epsilon ,x_0)$ și $f^{\prime }<0$ pe $(x_0,x_0+\epsilon )$ (0,5 p).

La stânga. Pe intervalul $(x_0-\epsilon ,x_0)$ avem $f^{\prime }>0$, deci, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange (monotonia), $f$ este strict crescătoare acolo (1,5 p). Cum $f$ este continuă în $x_0$, lema de lipire extinde concluzia la $(x_0-\epsilon ,x_0]$, deci $$f(x)<f(x_0)\text{pentru orice }x\in (x_0-\epsilon ,x_0)$$ (1 p).

La dreapta. Analog, pe $(x_0,x_0+\epsilon )$ avem $f^{\prime }<0$, deci $f$ este strict descrescătoare, iar continuitatea în $x_0$ extinde concluzia la $[x_0,x_0+\epsilon )$; prin urmare $f(x)<f(x_0)$ și pentru $x\in (x_0,x_0+\epsilon )$ (1,5 p).

Concluzia. Am obținut $f(x)\le f(x_0)$ pe toată vecinătatea $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$, ceea ce este exact definiția punctului de maxim local (0,5 p). $■$

b) (3 p) Avem $$f^{\prime }(x)=15x^4-15x^2=15x^2\left(x^2-1\right)=15x^2(x-1)(x+1),$$ deci derivata se anulează în $-1$, $0$ și $1$ (1 p). Factorul $15x^2$ este $\ge 0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $(x-1)(x+1)$: pozitiv pe $(-\infty ,-1)$, negativ pe $(-1,0)$, negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$ (1 p). În $-1$ semnul trece de la $+$ la $-$: maxim local, cu $f(-1)=-3+5=2$; în $1$ trece de la $-$ la $+$: minim local, cu $f(1)=3-5=-2$; în $0$ semnul nu se schimbă, deci acolo nu există extrem, deși $f^{\prime }(0)=0$ (1 p). Sunt, așadar, trei puncte critice și doar două puncte de extrem.

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Prin regula produsului și derivarea funcției compuse (2 p): $$f^{\prime }(x)=2(x+1)e^{-x}-(x+1{)}^2{e}^{-x}=e^{-x}(x+1)[2-(x+1)]=e^{-x}(x+1)(1-x).$$ Cum $e^{-x}>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $(x+1)(1-x)$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,1)$, negativ pe $(1,+\infty )$ (1 p). Valorile: $f(-1)=0$ și $f(1)=\frac{4}{e}$ (0,5 p). Cu $k=2$ puncte marcate, tabelul are $2\cdot 2+4=8$ coloane (1,5 p):

Citirea tabelului: funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,1]$ și strict descrescătoare pe $[1,+\infty )$; are minim local $f(-1)=0$ și maxim local $f(1)=\frac{4}{e}$.

b) (3 p) Minimul este global. Pentru orice $x$ real avem $(x+1{)}^2\ge 0$ și $e^{-x}>0$, deci $f(x)\ge 0=f(-1)$; valoarea $0$ este atinsă, în $x=-1$, deci este chiar minimul global al funcției (1,5 p).

Maximul este doar local. La $-\infty$ funcția tinde la $+\infty$, deci ia valori oricât de mari; de pildă $f(-10)=81e^{10}>\frac{4}{e}$. Prin urmare $\frac{4}{e}$ nu este cea mai mare valoare a funcției, ci doar cea mai mare dintr-o vecinătate a lui $1$: funcția nu este mărginită superior și nu are maxim global (1,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Funcția este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$ (0,5 p). Punctele $1$ și $3$ fiind interioare și de extrem, teorema lui Fermat dă condițiile necesare $f^{\prime }(1)=0$ și $f^{\prime }(3)=0$ (1 p): $$6+2a+b=0,54+6a+b=0.$$ Scăzând prima ecuație din a doua obținem $48+4a=0$, deci $a=-12$, iar apoi $b=-6-2a=18$ (1,5 p). Pentru aceste valori, $$f^{\prime }(x)=6x^2-24x+18=6\left(x^2-4x+3\right)=6(x-1)(x-3),$$ cu semnele $+$, $-$, $+$ (1 p). Verificarea confirmă enunțul: în $1$ trecerea este de la $+$ la $-$, deci maxim local, cu valoarea $f(1)=2-12+18+1=9$; în $3$ trecerea este de la $-$ la $+$, deci minim local, cu valoarea $f(3)=54-108+54+1=1$ (1 p).

b) (3 p) Coeficientul dominant fiind pozitiv, termenul $2x^3$ decide comportarea la capete (1 p): $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$ Funcția ia deci valori oricât de mici și valori oricât de mari, adică nu este nici minorată, nici majorată (1,5 p). Prin urmare nu există nici maxim, nici minim global; cele două extreme găsite la punctul a) rămân strict locale — se observă chiar din valorile lor: maximul local $9$ este mai mare decât minimul local $1$, dar niciunul nu mărginește funcția (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Prin regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+3\right)-(x-1)\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{x^2+3-2x^2+2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{-x^2+2x+3}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{-(x-3)(x+1)}{{\left(x^2+3\right)}^2}.$$

b) (3 p) Numitorul este strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul expresiei $-(x-3)(x+1)$, care are zerourile $-1$ și $3$ (1 p). Probele de semn, calculate pe această expresie: pentru $x=-2$ obținem $-(-5)(-1)=-5<0$; pentru $x=0$, $-(-3)(1)=3>0$; pentru $x=4$, $-(1)(5)=-5<0$ (1 p). Prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,3]$ și strict descrescătoare pe $[3,+\infty )$ (1 p).

c) (3 p) Valorile în punctele critice: $f(-1)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$ și $f(3)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ (1 p). Cu $k=2$ puncte marcate, tabelul are $8$ coloane (1,5 p):

Citirea tabelului (0,5 p): punctul de minim este $x=-1$, cu valoarea minimă $f(-1)=-\frac{1}{2}$; punctul de maxim este $x=3$, cu valoarea maximă $f(3)=\frac{1}{6}$. Cum funcția scade spre $0$ la ambele capete, cele două extreme sunt de fapt globale: $-\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{6}$ pentru orice $x$ real.