Test: monotonia și mărginirea șirurilor

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică cele două proprietăți „de structură" ale unui șir, cele cu care începe orice problemă de analiză: monotonia și mărginirea. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: trecerea corectă de la $a_n$ la $a_{n+1}$, adică înlocuirea lui $n$ cu $n+1$ peste tot — sursa numărul unu de erori la această temă — și calculul termenilor unui șir dat prin formulă sau prin recurență. Al doilea: monotonia prin semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$, metoda universală, cu diferența adusă la o formă din care semnul se citește dintr-o privire. Al treilea: metoda raportului $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, comodă la puteri și factoriale, împreună cu condiția ei obligatorie — toți termenii strict pozitivi — și cu formularea exactă a concluziei atunci când șirul este monoton doar de la un rang încolo. Al patrulea: mărginirea, cerută prin toate cele trei metode predate — prelucrarea termenului general (scoaterea părții întregi la fracții), majorarea grosieră și inducția matematică, la șirurile definite prin recurență. Al cincilea: nemărginirea, demonstrată prin negarea corectă a definiției, adică printr-o rețetă care produce, pentru orice prag, un termen care îl depășește.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește materia predată până la această lecție. Se cer marginile mulțimii termenilor unui șir — $\sup$ și $\inf$, cu precizarea dacă sunt atinse —, dar nu se cere și nu se acceptă nicio afirmație despre „valoarea către care se îndreaptă" șirul: noțiunea de limită, perechea convergent/divergent și teorema care leagă monotonia de mărginire se studiază în lecțiile următoare. Un elev care scrie aici o limită nu greșește matematic, dar răspunde la altă întrebare decât cea pusă.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute; orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $19$ pentru Partea a II-a și $19$ pentru Partea a III-a. La fiecare studiu de monotonie se scrie mai întâi ce metodă se alege și de ce.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: deducerea monotoniei din primii termeni, aplicarea metodei raportului fără verificarea pozitivității termenilor, folosirea unei constante de mărginire care depinde de $n$, concluzia „este descrescător" acolo unde șirul este descrescător doar de la un rang încolo, demonstrarea nemărginirii printr-un singur termen mare și calculul greșit al lui $a_{n+1}$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe semnul diferenței și pe cele trei metode de mărginire.
• Formule de reținut: un șir este o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, notată $(a_n{)}_{n\ge 1}$. Monotonia: $(a_n)$ este strict crescător dacă $a_n<a_{n+1}$ pentru orice $n$, strict descrescător dacă $a_n>a_{n+1}$ pentru orice $n$, monoton dacă este crescător sau descrescător. Metoda diferenței (universală): se studiază semnul lui $a_{n+1}-a_n$. Metoda raportului, valabilă numai dacă $a_n>0$ pentru orice $n$: dacă $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$, șirul este strict crescător; dacă $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$, este strict descrescător. Mărginirea: $(a_n)$ este mărginit dacă există $m,M\in \mathbb{R}$, independente de $n$, cu $$m\le a_n\le M\text{pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast };$$ echivalent, dacă există $M>0$ cu $|a_n|\le M$ pentru orice $n$. Negarea: $(a_n)$ nu este mărginit superior dacă pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există un rang $n_M$ cu $a_{n_M}>M$. Cele trei metode de mărginire: prelucrarea termenului general (la fracții, $\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}+\frac{k}{cn+d}$), majorarea grosieră (înlocuirea unei expresii cu una mai mare, dar simplă) și inducția matematică (la șiruri date prin recurență). Un șir crescător este automat minorat de $a_1$, iar unul descrescător este majorat de $a_1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Termenii unui șir și monotonia prin diferență

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru șirul $a_n=\frac{2n+7}{n+4}$, termenul $a_{n+1}$ este: A. $\frac{2n+8}{n+5}$; B. $\frac{2n+9}{n+5}$; C. $\frac{2n+7}{n+5}$; D. $\frac{2n+9}{n+4}$.

b) Șirul $a_n=8-5n$ este: A. strict crescător; B. strict descrescător; C. constant; D. nemonoton.

c) Metoda raportului se poate aplica direct șirului: A. $a_n=(-1{)}^n\cdot n$; B. $a_n=n-7$; C. $a_n=\frac{3^n}{n+1}$; D. $a_n=4-n$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează primii patru termeni ai fiecărui șir (câte 1,5 puncte): a) $a_n=\frac{n-5}{n+2}$; b) $a_1=3$ și $a_{n+1}=2a_n-4$; c) $a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{n+1}{n}$; d) $a_n=\frac{5^n}{n!}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $a_1<a_2<a_3<a_4$, atunci șirul $(a_n)$ este strict crescător." b) „Un șir crescător este mărginit inferior." c) „Metoda raportului se poate aplica oricărui șir cu toți termenii nenuli." d) „Un șir mărginit este monoton."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Studiază monotonia șirului $a_n=\frac{7n+4}{n+6}$, calculând diferența $a_{n+1}-a_n$. (3 p) b) Studiază monotonia șirului $b_n=12n-n^2$, precizând exact rangurile pe care crește și pe care scade. (3 p)

Partea a II-a – Metoda raportului, mărginire și inducție

Itemul 5 (8 puncte)

a) Studiază monotonia șirului $a_n=\frac{4^n}{n+3}$ prin metoda raportului, verificând mai întâi condiția de aplicare. (4 p) b) Studiază monotonia șirului $b_n=\frac{5^n}{n!}$ și formulează concluzia cu precizarea rangurilor. (4 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră șirul $a_n=\frac{9n-2}{n+3}$, $n\ge 1$. a) Arată că $a_n=9-\frac{29}{n+3}$ și calculează $a_1$ și $a_2$. (3 p) b) Demonstrează că $\frac{7}{4}\le a_n<9$ pentru orice $n\ge 1$ și indică un număr $M>0$ cu $|a_n|\le M$ pentru orice $n$. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Arată, printr-o majorare grosieră, că șirul $a_n=\frac{n}{n^2+6}$ este mărginit. (4 p) b) Arată că șirul $b_n=\frac{5\cos n}{2n+1}$ este mărginit. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Arată că șirul $a_n=4n-9$ nu este mărginit superior și determină primul rang de la care termenii depășesc $10^5$. (3 p) b) Arată că șirul $b_n=(-1{)}^n(n+3)$ nu este mărginit nici superior, nici inferior. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră șirul definit prin $a_1=2$ și $a_{n+1}=\frac{a_n+12}{3}$, pentru orice $n\ge 1$. a) Calculează $a_2$ și $a_3$. (2 p) b) Demonstrează prin inducție că $2\le a_n<6$ pentru orice $n\ge 1$. (4 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează propoziția: dacă șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este crescător, atunci $a_1\le a_n$ pentru orice $n\ge 1$, adică șirul este mărginit inferior de primul său termen. (4 p) b) Arată că șirul $a_n=\frac{5n-4}{n+1}$ este strict crescător și deduce, folosind punctul a), un minorant al lui; determină apoi un majorant și conchide că șirul este mărginit. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră șirul definit prin $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}$, pentru orice $n\ge 1$. a) Calculează $a_2$ și $a_3$, cu trei zecimale. (2 p) b) Demonstrează prin inducție că $1\le a_n<3$ pentru orice $n\ge 1$. (3 p) c) Demonstrează prin inducție că șirul este strict crescător. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră șirul $a_n=2-\frac{9}{n}$, $n\ge 1$, și mulțimea $A=\{a_n\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ a termenilor lui. a) Calculează $a_1$, $a_2$ și $a_3$. (2 p) b) Arată că $-7\le a_n<2$ pentru orice $n\ge 1$ și deduce că șirul este mărginit. (3 p) c) Determină $\inf A$ și $\sup A$, precizând care dintre ele este atins. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$, $a_n=\frac{9n+4}{n+4}$. a) Calculați $a_1$ și $a_2$. (2 p) b) Arătați că $a_{n+1}-a_n=\frac{32}{(n+4)(n+5)}$ pentru orice $n\ge 1$ și deduceți monotonia șirului. (3 p) c) Arătați că $\frac{13}{5}\le a_n<9$ pentru orice $n\ge 1$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Se înlocuiește $n$ cu $n+1$ peste tot: $\frac{2(n+1)+7}{(n+1)+4}=\frac{2n+9}{n+5}$. Variantele A și D provin din înlocuirea făcută doar într-un loc. b) (2 p) B. $a_{n+1}-a_n=[8-5(n+1)]-(8-5n)=-5<0$ pentru orice $n$, deci șirul este strict descrescător. (Este o progresie aritmetică de rație $-5$.) c) (2 p) C. Metoda raportului cere ca toți termenii să fie strict pozitivi, iar $\frac{3^n}{n+1}>0$ pentru orice $n\ge 1$. La A termenii alternează ca semn, iar la B și D devin negativi de la un rang încolo.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (1 p calculul, 0,5 p scrierea corectă a valorilor).

a) (1,5 p) $-\frac{4}{3}$; $-\frac{3}{4}$; $-\frac{2}{5}$; $-\frac{1}{6}$. Termenii sunt negativi la început și devin pozitivi de la rangul $6$ ($a_5=0$), deci metoda raportului nu se poate folosi la acest șir. b) (1,5 p) $a_1=3$; $a_2=2\cdot 3-4=2$; $a_3=2\cdot 2-4=0$; $a_4=2\cdot 0-4=-4$. La un șir definit prin recurență, fiecare termen se obține numai din cel dinainte, deci ordinea calculelor nu se poate sări. c) (1,5 p) $-2$; $\frac{3}{2}$; $-\frac{4}{3}$; $\frac{5}{4}$. Semnul alternează, fiindcă $(-1{)}^n$ este $-1$ la rang impar și $+1$ la rang par; un asemenea șir nu poate fi monoton, dar poate fi mărginit. d) (1,5 p) $5$; $\frac{25}{2}$; $\frac{125}{6}$; $\frac{625}{24}$. Se calculează comod cu formula $a_{n+1}=a_n\cdot \frac{5}{n+1}$, obținută din raportul a doi termeni consecutivi.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Patru comparații nu spun nimic despre restul șirului. Contraexemplu: $b_n=12n-n^2$ are $b_1=11<b_2=20<b_3=27<b_4=32$, dar $b_7=35>b_8=32$. Monotonia se demonstrează pentru $n$ oarecare. b) (1,5 p) A. Dintr-un șir crescător rezultă, prin inducție, $a_1\le a_n$ pentru orice $n$, deci $a_1$ este minorant. (Superior, în schimb, un șir crescător poate fi nemărginit.) c) (1,5 p) F. Condiția este ca termenii să fie strict pozitivi, nu doar nenuli: împărțirea la un număr negativ schimbă sensul inegalității. Pentru $a_n=-n$ raportul este $\frac{-(n+1)}{-n}=\frac{n+1}{n}>1$, deși șirul este strict descrescător. d) (1,5 p) F. Șirul $a_n=(-1{)}^n$ este mărginit ($|a_n|=1$) și nu este nici crescător, nici descrescător. Mărginirea este o condiție de încadrare, nu de variație.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Calculăm diferența a doi termeni consecutivi (0,5 p): $$a_{n+1}-a_n=\frac{7n+11}{n+7}-\frac{7n+4}{n+6}=\frac{(7n+11)(n+6)-(7n+4)(n+7)}{(n+6)(n+7)}=\frac{\left(7n^2+53n+66\right)-\left(7n^2+53n+28\right)}{(n+6)(n+7)}=\frac{38}{(n+6)(n+7)}$$ (1,5 p). Numărătorul este $38>0$, iar numitorul este produs de numere pozitive, deci $a_{n+1}-a_n>0$ pentru orice $n\ge 1$: șirul este strict crescător (0,5 p). Verificare: $a_1=\frac{11}{7}$, $a_2=\frac{9}{4}$, iar $\frac{9}{4}-\frac{11}{7}=\frac{63-44}{28}=\frac{19}{28}=\frac{38}{7\cdot 8}$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) $b_{n+1}-b_n=[12(n+1)-(n+1{)}^2]-[12n-n^2]=12-(2n+1)=11-2n$ (1,5 p). Semnul depinde de $n$: pentru $n\le 5$ avem $11-2n>0$, iar pentru $n\ge 6$ avem $11-2n<0$ (1 p). Așadar șirul este strict crescător pentru $n\le 6$ și strict descrescător pentru $n\ge 6$; pe ansamblu nu este monoton (0,5 p). Verificare: $11,20,27,32,35,36,35,32,\dots$ — cel mai mare termen este $b_6=36$.

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Condiția de aplicare: $4^n>0$ și $n+3>0$, deci $a_n>0$ pentru orice $n\ge 1$; metoda raportului se poate folosi (1 p). $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4^{n+1}}{n+4}\cdot \frac{n+3}{4^n}=\frac{4(n+3)}{n+4}$$ (1,5 p). Comparăm cu $1$: $\frac{4(n+3)}{n+4}>1⟺4n+12>n+4⟺3n>-8$, adevărat pentru orice $n\ge 1$ (1 p). Deci șirul este strict crescător (0,5 p). Verificare: $a_1=1$, $a_2=\frac{16}{5}$, $a_3=\frac{32}{3}$ ✓

b) (4 p) Toți termenii sunt strict pozitivi, deci metoda raportului se aplică (0,5 p): $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{5^n}=\frac{5}{n+1}$$ (1,5 p). Comparăm cu $1$: raportul este $>1$ pentru $n\le 3$, egal cu $1$ pentru $n=4$ și $<1$ pentru $n\ge 5$ (1,5 p). Concluzia, formulată complet: șirul este strict crescător până la rangul $4$, are $b_4=b_5=\frac{625}{24}$ și este strict descrescător de la rangul $5$; pe ansamblu nu este monoton (0,5 p). Verificare: $5$; $12,5$; $\approx 20,83$; $\approx 26,04$; $\approx 26,04$; $\approx 21,70$. Egalitatea $b_4=b_5$ se vede și direct: $b_5=\frac{5^5}{5!}=\frac{3125}{120}=\frac{625}{24}$. Observă că răspunsul „strict descrescător" ar fi fost greșit din cauza unei singure egalități — de aceea concluzia trebuie să conțină întotdeauna rangul de la care începe monotonia.

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $9n-2=9(n+3)-29$ (1 p), deci $$a_n=\frac{9(n+3)-29}{n+3}=9-\frac{29}{n+3}$$ (1 p). $a_1=\frac{7}{4}$ și $a_2=\frac{16}{5}$ (1 p).

b) (4 p) Din $n\ge 1$ rezultă $n+3\ge 4$, deci $0<\frac{29}{n+3}\le \frac{29}{4}$ (1,5 p). Scăzând din $9$ (inegalitățile își schimbă sensul): $$9-\frac{29}{4}\le 9-\frac{29}{n+3}<9,\text{adica˘}\frac{7}{4}\le a_n<9$$ (1,5 p). Toți termenii sunt pozitivi și mai mici decât $9$, deci $|a_n|\le 9$: merge $M=9$, constantă care nu depinde de $n$ (1 p). Verificare: $\frac{7}{4}=1,75$; $\frac{16}{5}=3,2$; $\frac{25}{6}\approx 4,17$ — toate în $\left[\frac{7}{4},9\right)$ ✓ De ce contează independența de rang: dacă cineva „demonstrează" mărginirea scriind $a_n\le a_n$, afirmația este adevărată și complet nefolositoare. Testul rapid este simplu: dacă în constanta propusă mai apare litera $n$, ea nu este constantă.

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Toți termenii sunt strict pozitivi, deci $0$ este minorant (1 p). Pentru majorant nu căutăm valoarea optimă, ci una comodă: din $n^2+6>n^2$ rezultă $$0<a_n=\frac{n}{n^2+6}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}\le 1$$ (2 p). Deci $0<a_n\le 1$ pentru orice $n$, adică șirul este mărginit (0,5 p). Observație: marginea găsită nu este cea mai bună — cel mai mare termen este $a_2=a_3=\frac{1}{5}$ —, dar definiția cere un majorant, nu majorantul optim (0,5 p).

b) (3 p) Folosim mărginirea funcției cosinus: $|\cos n|\le 1$ pentru orice $n$ (1 p). Atunci $$|b_n|=\frac{5|\cos n|}{2n+1}\le \frac{5}{2n+1}\le \frac{5}{3}\text{pentru orice }n\ge 1$$ (1,5 p), ultima inegalitate rezultând din $2n+1\ge 3$. Deci $M=\frac{5}{3}$ funcționează și șirul este mărginit (0,5 p). Observație: nu am calculat niciun cosinus și nici nu era nevoie — singurul lucru folosit este că funcția cosinus ia valori între $-1$ și $1$. Același procedeu merge la orice expresie de forma „ceva mărginit împărțit la ceva care crește".

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Fie $M\in \mathbb{R}$ oarecare. Rezolvăm inecuația $4n-9>M$ în raport cu $n$: $n>\frac{M+9}{4}$ (1 p). Un asemenea număr natural există întotdeauna, mulțimea ${\mathbb{N}}^{\ast }$ nefiind majorată, deci pentru orice prag $M$ găsim un rang la care șirul îl depășește: șirul nu este mărginit superior (1 p). Pentru $M=10^5$: $n>\frac{100009}{4}=25002,25$, deci primul rang este $n=25003$ (0,5 p). Verificare: $a_{25003}=100003>10^5$, iar $a_{25002}=99999<10^5$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Nu este mărginit superior: fie $M\in \mathbb{R}$; alegem un rang par $n>|M|$; atunci $b_n=n+3>M$ (1,5 p). Nu este mărginit inferior: fie $m\in \mathbb{R}$; alegem un rang impar $n>|m|$; atunci $b_n=-(n+3)<m$ (1,5 p). Verificare: $-4$, $5$, $-6$, $7$, $-8$, $9$, … — la rangurile pare valorile urcă peste orice prag, la cele impare coboară sub orice prag. Concret, pe primele $399$ de ranguri cea mai mare valoare este $401$, iar cea mai mică este $-402$; niciuna dintre ele nu rămâne barieră dacă se merge mai departe. Observație de metodă: ca să arăți că un șir nu este mărginit, este de ajuns să spargi un singur capăt al benzii; aici le-am spart pe amândouă, pentru că enunțul le cerea pe amândouă.

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) $a_2=\frac{2+12}{3}=\frac{14}{3}$; $a_3=\frac{\frac{14}{3}+12}{3}=\frac{50}{9}$.

b) (4 p) Verificarea (cazul de pornire): $a_1=2$, deci $2\le a_1<6$ ✓ (1 p). Pasul de inducție: presupunem $2\le a_n<6$. Adunând $12$ obținem $14\le a_n+12<18$, iar împărțind la $3$ (număr pozitiv, deci sensul se păstrează): $$\frac{14}{3}\le a_{n+1}<6$$ (2 p). Cum $\frac{14}{3}>2$, avem în particular $2\le a_{n+1}<6$, adică exact proprietatea cerută pentru rangul următor (0,5 p). Prin inducție, $2\le a_n<6$ pentru orice $n\ge 1$: șirul este mărginit (0,5 p). $■$ Observație: majorantul $6$ nu a fost ales la întâmplare — este soluția ecuației $x=\frac{x+12}{3}$, adică singurul număr care se reproduce prin regula de recurență. Din acest motiv el este și numărul care face pasul de inducție să se închidă: dacă banda ar fi fost aleasă cu un capăt mai mic decât $6$, pasul nu ar mai fi funcționat. Control numeric: $a_1=2$; $a_2=\frac{14}{3}\approx 4,667$; $a_3=\frac{50}{9}\approx 5,556$; $a_4=\frac{158}{27}\approx 5,852$ — toate în intervalul $[2,6)$ ✓

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Enunțul de demonstrat: dacă $a_n\le a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$, atunci $a_1\le a_n$ pentru orice $n\ge 1$ (0,5 p). Demonstrație prin inducție. Cazul de pornire: pentru $n=1$ afirmația se scrie $a_1\le a_1$, adevărată (1 p). Pasul de inducție: presupunem $a_1\le a_n$. Din ipoteza de monotonie avem $a_n\le a_{n+1}$, deci, prin tranzitivitatea relației de ordine, $$a_1\le a_n\le a_{n+1}⟹a_1\le a_{n+1}$$ (2 p). Prin inducție, inegalitatea are loc pentru orice $n\ge 1$, adică $a_1$ este minorant al șirului (0,5 p). $■$ (Simetric, un șir descrescător este majorat de primul său termen.)

b) (4 p) Monotonia: $\frac{5n-4}{n+1}=\frac{5(n+1)-9}{n+1}=5-\frac{9}{n+1}$, deci $$a_{n+1}-a_n=\left(5-\frac{9}{n+2}\right)-\left(5-\frac{9}{n+1}\right)=\frac{9}{n+1}-\frac{9}{n+2}=\frac{9}{(n+1)(n+2)}>0$$ (2 p), adică șirul este strict crescător (0,5 p). Minorantul: fiind crescător, șirul este minorat de primul termen, $a_1=\frac{1}{2}$, conform punctului a) (0,5 p). Majorantul: din $\frac{9}{n+1}>0$ rezultă $a_n=5-\frac{9}{n+1}<5$, deci $5$ este majorant (0,5 p). Prin urmare $\frac{1}{2}\le a_n<5$ pentru orice $n$: șirul este mărginit (0,5 p). Verificare: $\frac{1}{2}$, $2$, $\frac{11}{4}$, $\frac{16}{5}$ — cresc și rămân sub $5$ ✓

Itemul 11. (8 p)

a) (2 p) $a_2=\sqrt{1+6}=\sqrt{7}\approx 2,646$; $a_3=\sqrt{\sqrt{7}+6}\approx \sqrt{8,646}\approx 2,940$.

b) (3 p) Verificarea: $a_1=1$, deci $1\le a_1<3$ ✓ (0,5 p). Pasul de inducție: presupunem $1\le a_n<3$. Adunând $6$: $7\le a_n+6<9$. Funcția radical este crescătoare pe $[0,+\infty )$, deci $$\sqrt{7}\le a_{n+1}<3$$ (1,5 p). Cum $\sqrt{7}>1$, avem în particular $1\le a_{n+1}<3$ (0,5 p). Prin inducție, $1\le a_n<3$ pentru orice $n\ge 1$; șirul este deci mărginit (0,5 p). $■$ (Majorantul $3$ este soluția ecuației $x=\sqrt{x+6}$, adică $x^2=x+6$ cu $x>0$.)

c) (3 p) Verificarea: $a_1=1<\sqrt{7}=a_2$, deci cazul de pornire este adevărat (0,5 p). Pasul de inducție: presupunem $a_n<a_{n+1}$. Adunând $6$ obținem $a_n+6<a_{n+1}+6$, iar radicalul păstrează ordinea pe numere nenegative, deci $$a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}<\sqrt{a_{n+1}+6}=a_{n+2}$$ (2 p). Prin inducție, $a_n<a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$: șirul este strict crescător (0,5 p). $■$ Verificare numerică: $1$; $2,646$; $2,940$; $2,990$ — valorile urcă și rămân sub $3$; la rangul $10$ termenul este deja $2,9999998$, fără să atingă vreodată $3$. Observație: punctele b) și c) se demonstrează separat, fiecare cu propria inducție. Mărginirea nu rezultă din monotonie (un șir crescător poate urca peste orice prag), iar monotonia nu rezultă din mărginire (un șir prins într-o bandă poate oscila).

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) $a_1=2-9=-7$; $a_2=2-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$; $a_3=2-3=-1$.

b) (3 p) Din $n\ge 1$ rezultă $0<\frac{9}{n}\le 9$ (1,5 p). Scăzând din $2$: $$2-9\le 2-\frac{9}{n}<2,\text{adica˘}-7\le a_n<2$$ (1 p). Șirul este și minorat, și majorat, deci mărginit; în forma cu modul, $|a_n|\le 7$ (0,5 p).

c) (3 p) Marginea inferioară: $-7$ este minorant și aparține mulțimii $A$ (se obține la $n=1$), deci $\inf A=\min A=-7$, atins; este, în același timp, cel mai mic termen al șirului (1 p). Marginea superioară: $2$ este majorant. Este cel mai mic majorant: fie $\epsilon >0$; condiția $2-\frac{9}{n}>2-\epsilon$ înseamnă $\frac{9}{n}<\epsilon$, adică $n>\frac{9}{\epsilon }$, iar un asemenea număr natural există întotdeauna (1,5 p). Deci $\sup A=2$ și nu este atins, fiindcă $\frac{9}{n}>0$ pentru orice $n$ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $a_1=\frac{13}{5}$; $a_2=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$.

b) (3 p) Scriem $9n+4=9(n+4)-32$, deci $a_n=9-\frac{32}{n+4}$ (1 p). Atunci $$a_{n+1}-a_n=\left(9-\frac{32}{n+5}\right)-\left(9-\frac{32}{n+4}\right)=\frac{32}{n+4}-\frac{32}{n+5}=\frac{32(n+5)-32(n+4)}{(n+4)(n+5)}=\frac{32}{(n+4)(n+5)}$$ (1,5 p). Numărătorul este $32>0$, iar numitorul este produs de numere pozitive, deci diferența este strict pozitivă: șirul este strict crescător (0,5 p).

c) (3 p) Din $n\ge 1$ rezultă $n+4\ge 5$, deci $0<\frac{32}{n+4}\le \frac{32}{5}$ (1,5 p). Scăzând din $9$: $$9-\frac{32}{5}\le 9-\frac{32}{n+4}<9,\text{adica˘}\frac{13}{5}\le a_n<9$$ (1 p). Minorantul $\frac{13}{5}$ este atins la $n=1$, iar majorantul $9$ nu este atins niciodată, fiindcă $\frac{32}{n+4}>0$ pentru orice $n$ (0,5 p). Verificare: $\frac{13}{5}=2,6$; $\frac{11}{3}\approx 3,67$; $\frac{31}{7}\approx 4,43$ — cresc și rămân sub $9$ ✓ Cum se leagă punctele: la Bacalaureat M1 acest tipar apare aproape identic — se cere întâi diferența adusă la o formă cu numărător constant (punctul b), apoi încadrarea între două numere (punctul c). Cele două împreună spun că șirul urcă, dar rămâne prins într-o bandă: exact ipotezele de care se folosește mai departe teoria.