Test: morfisme și izomorfisme de grupuri

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Grupuri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică ultima parte a unității, cea în care se compară două grupuri, nu unul singur. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: definiția morfismului, $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$, cu grija de a scrie separat operația grupului de plecare și pe cea a grupului de sosire, precum și cele două proprietăți care decurg din ea, $f(e)=e^{\prime }$ și $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$ — atenție, $e^{\prime }$ înseamnă „elementul neutru al celui de-al doilea grup", nu „simetric". Al doilea: izomorfismul, adică morfismul bijectiv, cu ambele condiții verificate separat, bijectivitatea fiind justificată de preferat prin scrierea funcției inverse. Al treilea: rețeta de examen — pentru o lege de forma $(x-a)(y-a)+a$ pe intervalul $(a,+\infty )$, funcția potrivită este întotdeauna $f(x)=x-a$, iar grupul-model este cel al numerelor reale strict pozitive cu înmulțirea. Al patrulea: argumentele de ne-izomorfism, în ordinea costului — cardinalul, comutativitatea, profilul ordinelor —, cu observația-cheie că un profil identic nu demonstrează izomorfismul, ci doar nu îl exclude. Al cincilea: transferul de structură, adică folosirea unui izomorfism ca instrument de calcul: puteri mari de matrice și ecuații matriceale rezolvate în grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la izomorfisme se cer ambele condiții, fiecare cu punctajul ei.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice funcție definită pe clase de resturi, prima verificare este buna definire. Când se afirmă că două grupuri nu sunt izomorfe, se numește invariantul care diferă și se redactează prin reducere la absurd. Se depunctează: verificarea condiției de morfism pe un singur exemplu numeric, uitarea bijectivității, folosirea profilului identic ca dovadă de izomorfism, formularea „am încercat și nu am găsit niciun izomorfism" și pierderea unor rădăcini la ecuațiile de tipul $X^n=B$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cele două condiții ale izomorfismului și pe invarianții de izomorfism.
• Formule de reținut: o funcție $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism de grupuri dacă $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice $x,y\in G$; atunci $$f(e)=e^{\prime },f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1},f\left(x^k\right)=f(x{)}^k\text{ pentru orice }k\in \mathbb{Z}.$$ Un izomorfism este un morfism bijectiv; se scrie $G\simeq G^{\prime }$, relația este reflexivă, simetrică și tranzitivă, iar inversa și compunerea izomorfismelor sunt tot izomorfisme. Se păstrează prin izomorfism (adică sunt invarianți de izomorfism): numărul de elemente, comutativitatea, elementul neutru, simetricele, ordinul fiecărui element — deci și profilul ordinelor și ciclicitatea. Argumente de ne-izomorfism: cardinal diferit, unul comutativ și celălalt nu, profiluri ale ordinelor diferite. Un morfism oarecare garantează doar că $\mathrm{ord}(f(x))$ divide $\mathrm{ord}(x)$; egalitatea cere bijectivitatea. Izomorfisme remarcabile: $f(x)=x-a$ duce $((a,+\infty ),\ast )$ cu $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ în $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$; $\phi (k)=t_{kd}$ duce $(\mathbb{Z},+)$ în grupul $D_d$ al translațiilor care invariază diviziunea echidistantă de pas $d$; $f(\hat{k})={\epsilon }^k$ dă $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )\simeq ({\mathcal{R}}_n,\circ )$; $\phi (a+bi)=A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ dă $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )\simeq (G,\cdot )$, cu $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ și $\det A(a,b)=a^2+b^2$. Transferul soluțiilor: ecuațiile $x^m=a$ în $G$ și $y^m=f(a)$ în $G^{\prime }$ au același număr de soluții.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Morfisme de grupuri

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism de grupuri, atunci: A. $f(e)=e$; B. $f(e)=e^{\prime }$; C. $f\left(x^{-1}\right)=f(x)$; D. $f$ este bijectivă.

b) Dintre funcțiile de mai jos, nu este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},+)$: A. $f(x)=5x$; B. $f(x)=-x$; C. $f(x)=x+2$; D. $f(x)=0$.

c) În grupul $G=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R},a^2+b^2\ne 0\right\}$, ecuația $X^5=I_2$ are: A. o soluție; B. două soluții; C. cinci soluții; D. o infinitate de soluții.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare funcție este morfism de grupuri și justifică prin calcul literal sau printr-un contraexemplu numeric (câte 2 puncte): a) $f:({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=x^4$; b) $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=x^2$; c) $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_9,+)$, $f(k)=\hat{k}$; pentru aceasta calculează și $f(2027)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ un morfism de grupuri, cu elementele neutre $e$ și $e^{\prime }$. a) Demonstrează că $f(e)=e^{\prime }$. (3 p) b) Fie $x\in G$ cu $x^9=e$. Arată că $f(x{)}^9=e^{\prime }$ și deduce că $\mathrm{ord}(f(x))$ divide $9$. (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Două grupuri finite cu același număr de elemente sunt izomorfe." b) „Un morfism bijectiv de grupuri este izomorfism." c) „Un izomorfism de grupuri păstrează ordinul fiecărui element." d) „Dacă două grupuri finite au același profil al ordinelor, atunci ele sunt izomorfe."

Partea a II-a – Izomorfisme construite și izomorfisme respinse

Itemul 5 (8 puncte)

Pe mulțimea $G=(12,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-12x-12y+156$. a) Arată că $x\ast y=(x-12)(y-12)+12$ și că $G$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. (2 p) b) Arată că $(G,\ast )$ este grup comutativ, determinând elementul neutru și simetricul unui element oarecare. (3 p) c) Arată că $f:G\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=x-12$, este izomorfism de la $(G,\ast )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, apoi rezolvă în $G$ ecuația $x\ast x=21$. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

a) Arată că grupurile $({\mathbb{Z}}_9,+)$ și $(U({\mathbb{Z}}_9,\cdot ),\cdot )$ nu sunt izomorfe, precizând argumentul folosit. (3 p) b) Arată că grupurile $(\mathbb{R},+)$ și $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ nu sunt izomorfe, redactând prin reducere la absurd. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{9}+i\sin \frac{2\pi }{9}$ și funcția $f:{\mathbb{Z}}_9\to U_9$, $f\left(\hat{k}\right)={\epsilon }^k$. a) Arată că $f$ este bine definită. (3 p) b) Arată că $f$ este izomorfism de la $({\mathbb{Z}}_9,+)$ la $(U_9,\cdot )$. (2 p) c) Determină numărul elementelor de ordinul $3$ din grupul $(U_9,\cdot )$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Arată că funcția determinant, $\det :(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, este morfism de grupuri și calculează $\det \left(A^{-1}\right)$ pentru o matrice $A$ cu $\det A=-3$. (3 p) b) Arată că $f:({\mathbb{Z}}_{12},+)\to ({\mathbb{Z}}_{12},+)$, $f\left(\hat{k}\right)=\hat{3}\cdot \hat{k}$, este morfism de grupuri, dar nu este injectiv. (3 p)

Partea a III-a – Transfer de structură și itemi de tip examen

Itemul 9 (6 puncte)

Pe o dreaptă cu reper se notează $t_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $t_a(x)=x+a$, translația de pas $a$. a) Arată că $t_a\circ t_b=t_{a+b}$ și determină translațiile care invariază diviziunea echidistantă de pas $5$, adică mulțimea $5\mathbb{Z}$. (3 p) b) Arată că $\phi :\mathbb{Z}\to D_5$, $\phi (k)=t_{5k}$, este izomorfism de la $(\mathbb{Z},+)$ la $(D_5,\circ )$. (3 p)

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră mulțimea $G=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R},a^2+b^2\ne 0\right\}$, grup față de înmulțirea matricelor, și izomorfismul $\phi :{\mathbb{C}}^{\ast }\to G$, $\phi (a+bi)=A(a,b)$. a) Arată că $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$. (2 p) b) Calculează ${\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 2\end{array}\right)}^{10}$, folosind izomorfismul $\phi$. (3 p) c) Rezolvă în $G$ ecuația $X^3=\left(\begin{array}{cc}0& -27\\ 27& 0\end{array}\right)$ și precizează numărul soluțiilor. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Determină ordinul fiecărui element al grupului $(U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot ),\cdot )$ și alcătuiește profilul ordinelor. (4 p) b) Arată că $(U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot ),\cdot )$ nu este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_8,+)$. (2 p) c) Se știe că profilul ordinelor grupului $(U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot ),\cdot )$ este: un element de ordinul $1$, trei elemente de ordinul $2$ și patru elemente de ordinul $4$. Ce se poate spune despre cele două grupuri $U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot )$ și $U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot )$ și ce nu se poate spune? (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:{\mathbb{Z}}_{18}\to {\mathbb{Z}}_{18}$, $f\left(\hat{k}\right)=\hat{5}\cdot \hat{k}$. a) Arată că $f$ este morfism de grupuri de la $({\mathbb{Z}}_{18},+)$ la $({\mathbb{Z}}_{18},+)$. (3 p) b) Arată că $f$ este bijectivă, deci izomorfism. (3 p) c) Determină funcția inversă $f^{-1}$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Pe mulțimea $M=(26,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-26x-26y+702$. a) Arătați că $x\ast y=(x-26)(y-26)+26$ și că $M$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. (2 p) b) Arătați că funcția $f:M\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=x-26$, este izomorfism de la $(M,\ast )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$. (3 p) c) Rezolvați în $M$ ecuația $x\ast x\ast x=53$ și precizați numărul soluțiilor. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Morfismul duce elementul neutru al grupului de plecare în elementul neutru al grupului de sosire, notat $e^{\prime }$; el nu este obligatoriu bijectiv, deci varianta D este falsă, iar varianta C contrazice $f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1}$.

b) (2 p) C. Pentru $f(x)=x+2$ avem $f(0)=2\ne 0$, deci neutrul nu merge în neutru. (Direct: $f(x+y)=x+y+2$, în timp ce $f(x)+f(y)=x+y+4$.) Celelalte trei sunt de forma $f(x)=ax$, cu $a\in \{5,-1,0\}$, deci morfisme.

c) (2 p) C. Prin izomorfismul $\phi$, ecuația devine $z^5=1$ în $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, adică $z\in U_5$; cum mulțimile de soluții se corespund bijectiv, ecuația matriceală are exact $5$ soluții.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p răspunsul, 1,5 p justificarea).

a) (2 p) Da. Pentru orice $x,y\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $f(xy)=(xy{)}^4=x^4{y}^4=f(x)f(y)$, folosind comutativitatea înmulțirii numerelor reale. Verificare a proprietăților: $f(1)=1$ și $f\left(x^{-1}\right)=x^{-4}=f(x{)}^{-1}$.

b) (2 p) Nu. Contraexemplu numeric: pentru $x=y=1$ avem $f(1+1)=2^2=4$, în timp ce $f(1)+f(1)=1+1=2$, iar $4\ne 2$. Egalitatea $(x+y{)}^2=x^2+y^2$ ar cere $2xy=0$.

c) (2 p) Da. Prin însăși definiția adunării claselor, $f(k+l)=\widehat{k+l}=\hat{k}+\hat{l}=f(k)+f(l)$. Pentru valoare: $2027=9\cdot 225+2$, deci $f(2027)=\hat{2}$.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Pornim de la egalitatea $e\cdot e=e$ din grupul $G$ și îi aplicăm funcția (0,5 p): $$f(e)=f(e\cdot e)=f(e)\ast f(e)$$ (1 p). Notăm $u=f(e)\in G^{\prime }$; am obținut $u=u\ast u$. Cum $G^{\prime }$ este grup, $u$ are simetric $u^{-1}$; compunem la stânga cu el (1 p): $$u^{-1}\ast u=u^{-1}\ast (u\ast u)⟹e^{\prime }=\left(u^{-1}\ast u\right)\ast u=e^{\prime }\ast u=u,$$ folosind asociativitatea și definiția elementului neutru din $G^{\prime }$. Deci $f(e)=e^{\prime }$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Din proprietatea puterilor unui morfism, $f\left(x^9\right)=f(x{)}^9$ (1 p). Cum $x^9=e$ și $f(e)=e^{\prime }$, rezultă $$f(x{)}^9=f\left(x^9\right)=f(e)=e^{\prime }$$ (1 p). Din teorema exponenților, egalitatea $f(x{)}^9=e^{\prime }$ are loc dacă și numai dacă $\mathrm{ord}(f(x))$ divide $9$, deci ordinul imaginii este $1$, $3$ sau $9$ (1 p). (Atenție: el nu este neapărat egal cu $\mathrm{ord}(x)$ — egalitatea ar cere ca $f$ să fie bijectivă.)

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Cardinalul egal poate doar respinge izomorfismul, niciodată să îl confirme. Contraexemplul canonic: grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ au patru elemente fiecare, sunt amândouă comutative și totuși nu sunt izomorfe, pentru că în primul toate cele trei elemente diferite de neutru au ordinul $2$, iar al doilea are două elemente de ordinul $4$.

b) (1,5 p) A. Este chiar definiția: izomorfismul de grupuri este un morfism bijectiv. Inversa lui este, la rândul ei, izomorfism.

c) (1,5 p) A. Din $x^n=e$ rezultă $f(x{)}^n=e^{\prime }$, deci $\mathrm{ord}(f(x))\le \mathrm{ord}(x)$; aplicând același raționament izomorfismului $f^{-1}$ se obține și inegalitatea inversă, deci egalitatea.

d) (1,5 p) F. Profilul identic este o condiție necesară, nu suficientă: el poate doar respinge izomorfismul. Pentru a-l confirma trebuie construită efectiv o funcție și verificate cele două condiții, morfismul și bijectivitatea.

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) Desfacem paranteza: $(x-12)(y-12)+12=xy-12x-12y+144+12=xy-12x-12y+156=x\ast y$ (1 p). Dacă $x>12$ și $y>12$, atunci $(x-12)(y-12)>0$, deci $x\ast y>12$: mulțimea $G$ este parte stabilă (1 p).

b) (3 p) Asociativitatea: ambele paranteze conduc la $(x-12)(y-12)(z-12)+12$, expresie simetrică în cele trei variabile (1 p). Elementul neutru: din $(x-12)(e-12)+12=x$ obținem $(x-12)(e-12)=x-12$; cum $x\ne 12$, rezultă $e=13\in G$ (1 p). Simetricul: din $(x-12)(x^{\prime }-12)=1$ rezultă $x^{\prime }=12+\frac{1}{x-12}>12$, deci $x^{\prime }\in G$ (0,75 p). Comutativitatea vine din simetria formei factorizate (0,25 p).

c) (3 p) Morfismul: $f(x\ast y)=(x\ast y)-12=(x-12)(y-12)=f(x)\cdot f(y)$ (1 p). Bijectivitatea: $f$ duce intervalul $(12,+\infty )$ pe $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, iar inversa ei este $f^{-1}(u)=u+12$, definită pe tot ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ (1 p). Prin izomorfism, ecuația $x\ast x=21$ devine $(f(x){)}^2=f(21)=9$, adică $(x-12{)}^2=9$; cum $f$ ia valori strict pozitive, rămâne $x-12=3$, deci $x=15$ (0,75 p). Verificare: $15\ast 15=225-180-180+156=21$ ✓ (0,25 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Folosim argumentul cardinalului (0,5 p). Grupul $({\mathbb{Z}}_9,+)$ are $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_9=9$ elemente (0,5 p). Clasele inversabile modulo $9$ sunt cele cu reprezentantul nedivizibil cu $3$, adică $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\right\}$, deci $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )=6$ (1,5 p). Cum orice izomorfism este bijecție, iar între o mulțime cu nouă elemente și una cu șase nu există bijecție, grupurile nu sunt izomorfe (0,5 p).

b) (4 p) Presupunem prin absurd că există un izomorfism $f:({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )\to (\mathbb{R},+)$ (0,75 p). În grupul de plecare, elementul $i$ are ordinul $4$, pentru că $i^2=-1\ne 1$, $i^3=-i\ne 1$ și $i^4=1$ (1,25 p). Cum izomorfismele păstrează ordinele, elementul $a=f(i)$ ar trebui să aibă ordinul $4$ în $(\mathbb{R},+)$, adică $4a=0$ și $a\ne 0$ (1 p). Din $4a=0$ rezultă însă $a=0$ — contradicție (0,75 p). Prin urmare cele două grupuri nu sunt izomorfe: grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule are elemente de ordin finit diferite de neutru, cel aditiv al numerelor reale nu are niciunul (0,25 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) O clasă are o infinitate de reprezentanți, deci trebuie arătat că valoarea nu depinde de reprezentantul ales (0,5 p). Fie $\hat{k}=\hat{j}$, adică $9\mid (k-j)$; scriem $k=j+9q$ cu $q\in \mathbb{Z}$ (1 p). Atunci $${\epsilon }^k={\epsilon }^{j+9q}={\epsilon }^j\cdot {\left({\epsilon }^9\right)}^q={\epsilon }^j\cdot 1^q={\epsilon }^j,$$ fiindcă ${\epsilon }^9=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$ (1,25 p). Deci $f$ este bine definită (0,25 p).

b) (2 p) Morfismul: $f(\hat{k}+\hat{j})=f\left(\widehat{k+j}\right)={\epsilon }^{k+j}={\epsilon }^k\cdot {\epsilon }^j=f\left(\hat{k}\right)\cdot f\left(\hat{j}\right)$ (1 p). Bijectivitatea: orice element al lui $U_9$ este de forma ${\epsilon }^k$ cu $k\in \{0,1,\dots ,8\}$, deci $f$ este surjectivă; cum $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_9=\mathrm{card}{U}_9=9$, o funcție surjectivă între mulțimi finite cu același număr de elemente este bijectivă (1 p).

c) (2 p) Izomorfismul păstrează ordinele, deci numărăm în $({\mathbb{Z}}_9,+)$ (0,5 p): cerem $\frac{9}{(a,9)}=3$, adică $(a,9)=3$, ceea ce dă $a\in \{3,6\}$ (1 p). Prin urmare $U_9$ are două elemente de ordinul $3$, anume ${\epsilon }^3$ și ${\epsilon }^6$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Pentru $A,B\in G{L}_2(\mathbb{R})$ are loc $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, iar produsul a două numere nenule este nenul; egalitatea aceasta este chiar condiția de morfism, cu înmulțirea matricelor în grupul de plecare și înmulțirea numerelor reale nenule în cel de sosire (2 p). Din proprietatea simetricului, $\det \left(A^{-1}\right)={\left(\det A\right)}^{-1}=-\frac{1}{3}$ (1 p).

b) (3 p) Morfismul: $f(\hat{k}+\hat{j})=\hat{3}(\hat{k}+\hat{j})=\hat{3}\hat{k}+\hat{3}\hat{j}=f\left(\hat{k}\right)+f\left(\hat{j}\right)$, folosind distributivitatea înmulțirii claselor față de adunare (1,5 p). Injectivitatea cade: $f\left(\hat{0}\right)=\hat{0}$ și $f\left(\hat{4}\right)=\widehat{12}=\hat{0}$, deci două elemente diferite au aceeași imagine (1,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Compunem, cu convenția „întâi cea din dreapta": $\left(t_a\circ t_b\right)(x)=t_a(x+b)=x+b+a=t_{a+b}(x)$, egalitate valabilă în fiecare punct, deci $t_a\circ t_b=t_{a+b}$ (1,5 p). Dacă $t_a$ invariază $5\mathbb{Z}$, atunci, aplicând translația originii, $a=t_a(0)\in 5\mathbb{Z}$, deci $a=5k$ cu $k\in \mathbb{Z}$ (1 p). Reciproc, pentru $a=5k$ avem $t_a(5m)=5(m+k)\in 5\mathbb{Z}$, iar orice $5m$ este imaginea lui $5(m-k)$, deci $t_a\left(5\mathbb{Z}\right)=5\mathbb{Z}$; mulțimea căutată este $D_5=\{t_{5k}\mid k\in \mathbb{Z}\}$ (0,5 p).

b) (3 p) Morfismul: $\phi (k+l)=t_{(k+l)\cdot 5}=t_{5k+5l}=t_{5k}\circ t_{5l}=\phi (k)\circ \phi (l)$ (1,25 p). Injectivitatea: dacă $t_{5k}=t_{5l}$, cele două funcții iau aceeași valoare în $0$, deci $5k=5l$ și $k=l$ (1 p). Surjectivitatea: orice element al lui $D_5$ este, prin definiția mulțimii, de forma $t_{5k}=\phi (k)$ (0,75 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (2 p) Înmulțim matricele: $$A(a,b)\cdot A(c,d)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& ad+bc\\ -bc-ad& -bd+ac\end{array}\right)=A(ac-bd,ad+bc),$$ rezultatul având aceeași formă (2 p).

b) (3 p) Matricea este $A(2,2)=\phi (2+2i)$ (0,5 p). Calculăm în ${\mathbb{C}}^{\ast }$: $(2+2i{)}^2=4+8i+4i^2=8i$, deci $(2+2i{)}^4=(8i{)}^2=-64$, apoi $(2+2i{)}^8=(-64{)}^2=4096$ și $$(2+2i{)}^{10}=(2+2i{)}^8\cdot (2+2i{)}^2=4096\cdot 8i=32768i$$ (1,75 p). Aplicând $\phi$, obținem $${\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 2\end{array}\right)}^{10}=\phi (32768i)=A(0,32768)=\left(\begin{array}{cc}0& 32768\\ -32768& 0\end{array}\right)$$ (0,75 p).

c) (3 p) Membrul drept este $A(0,-27)=\phi (-27i)$, deci ecuația devine $z^3=-27i$ în $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ (0,5 p). Scriem $-27i=27\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$; rădăcinile de ordinul $3$ au modulul $\sqrt[3]{27}=3$ și argumentele $\frac{\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{6}$ (1 p), adică $$z_0=3i,z_1=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i,z_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$$ (0,75 p). Aplicând $\phi$, soluțiile matriceale sunt $$X_0=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -3& 0\end{array}\right),X_1=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3\sqrt{3}}{2}& -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}& -\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{cc}\frac{3\sqrt{3}}{2}& -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}& \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}\right),$$ în total trei soluții, conform propoziției de transfer al soluțiilor (0,5 p). Verificare pe prima: $X_0^2=A(-9,0)=-9I_2$, deci $X_0^3=-9X_0=\left(\begin{array}{cc}0& -27\\ 27& 0\end{array}\right)$ ✓ (0,25 p).

Itemul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Sunt inversabile clasele cu reprezentantul nedivizibil nici cu $3$, nici cu $5$: $$U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{7},\hat{8},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{14}\right\},\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot )=8$$ (1 p). Calculăm puterile, reducând modulo $15$ (2 p): $${\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{1};{\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{1};{\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{4},{\hat{7}}^4=\widehat{16}=\hat{1};$$ $${\hat{8}}^2=\widehat{64}=\hat{4},{\hat{8}}^4=\hat{1};{\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1};{\widehat{13}}^2=\widehat{169}=\hat{4},{\widehat{13}}^4=\hat{1};{\widehat{14}}^2=\widehat{196}=\hat{1}.$$ Prin urmare $\mathrm{ord}\left(\hat{1}\right)=1$; $\mathrm{ord}\left(\hat{4}\right)=\mathrm{ord}\left(\widehat{11}\right)=\mathrm{ord}\left(\widehat{14}\right)=2$; $\mathrm{ord}\left(\hat{2}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{7}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{8}\right)=\mathrm{ord}\left(\widehat{13}\right)=4$. Profilul ordinelor este (1 p):

b) (2 p) În $({\mathbb{Z}}_8,+)$ ordinele sunt $\frac{8}{(a,8)}$, deci profilul este: un element de ordinul $1$, unul de ordinul $2$, două de ordinul $4$ și patru de ordinul $8$ (1 p). Presupunem prin absurd că ar exista un izomorfism; el ar păstra ordinele, deci elementul $\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_8$, de ordinul $8$, ar trebui dus într-un element de ordinul $8$ din $U({\mathbb{Z}}_{15},\cdot )$ — care nu există. Contradicție, deci grupurile nu sunt izomorfe (1 p).

c) (2 p) Se poate spune că profilurile coincid, deci niciunul dintre cele trei argumente de ne-izomorfism (cardinalul, comutativitatea, profilul ordinelor) nu le desparte (1 p). Nu se poate spune, în schimb, că cele două grupuri sunt izomorfe: profilul identic este o condiție necesară, nu suficientă, iar pentru a confirma un izomorfism trebuie construită efectiv o funcție și verificate morfismul și bijectivitatea (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Fie $\hat{k},\hat{j}\in {\mathbb{Z}}_{18}$. Folosind distributivitatea înmulțirii claselor față de adunarea lor, $$f(\hat{k}+\hat{j})=\hat{5}(\hat{k}+\hat{j})=\hat{5}\hat{k}+\hat{5}\hat{j}=f\left(\hat{k}\right)+f\left(\hat{j}\right),$$ deci $f$ este morfism de grupuri (3 p).

b) (3 p) Cum $(5,18)=1$, clasa $\hat{5}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{18}$, cu $\hat{5}\cdot \widehat{11}=\widehat{55}=\hat{1}$, fiindcă $55=3\cdot 18+1$ (1,5 p). Injectivitatea: din $\hat{5}\hat{k}=\hat{5}\hat{j}$, înmulțind cu $\widehat{11}$, obținem $\hat{k}=\hat{j}$ (1 p). Surjectivitatea: mulțimea de plecare și cea de sosire au același număr finit de elemente, deci o funcție injectivă între ele este și surjectivă. Prin urmare $f$ este izomorfism (0,5 p).

c) (2 p) Din $f\left(\hat{k}\right)=\hat{5}\hat{k}$ rezultă $\hat{k}=\widehat{11}\cdot f\left(\hat{k}\right)$, deci $$f^{-1}\left(\hat{k}\right)=\widehat{11}\cdot \hat{k}$$ (1,5 p). Verificare: $f\left(f^{-1}\left(\hat{k}\right)\right)=\hat{5}\cdot \widehat{11}\cdot \hat{k}=\hat{1}\cdot \hat{k}=\hat{k}$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Desfacem paranteza: $(x-26)(y-26)+26=xy-26x-26y+676+26=xy-26x-26y+702=x\ast y$ (1 p). Dacă $x>26$ și $y>26$, atunci $(x-26)(y-26)>0$, deci $x\ast y>26$ și $M$ este parte stabilă (1 p).

b) (3 p) Morfismul: $f(x\ast y)=(x\ast y)-26=(x-26)(y-26)=f(x)\cdot f(y)$, pentru orice $x,y\in M$ (1,5 p). Bijectivitatea: pentru $x>26$ avem $f(x)=x-26>0$, deci $f$ ia valori în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$; funcția $f^{-1}(u)=u+26$ este definită pe ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, ia valori în $M$ și verifică $f\left(f^{-1}(u)\right)=u$, deci $f$ este bijectivă (1,25 p). Prin urmare $f$ este izomorfism și $(M,\ast )\simeq ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ (0,25 p).

c) (3 p) Aplicăm izomorfismul, care duce compusul în produs (0,5 p): $$f(x\ast x\ast x)=(f(x){)}^3=(x-26{)}^3,f(53)=27,$$ deci ecuația devine $(x-26{)}^3=27$ (1,25 p), de unde $x-26=3$ și $x=29\in M$ (0,75 p). În ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ecuația $u^3=27$ are o singură soluție, deci, prin transferul soluțiilor, și ecuația inițială are exact o soluție (0,25 p). Verificare: $29\ast 29=9+26=35$, apoi $35\ast 29=9\cdot 3+26=53$ ✓ (0,25 p).