Test: mulțimi mărginite, dreapta reală încheiată și vecinătăți

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică vocabularul cu care se deschide analiza matematică — cel pe care se sprijină, câteva lecții mai încolo, definiția limitei. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: majorantul și minorantul unei mulțimi de numere reale, cu distincția care produce cele mai multe greșeli — un majorant nu aparține obligatoriu mulțimii și nu este unic. Al doilea: mărginirea, cerută în ambele forme echivalente, cea cu două constante ($m\le x\le M$) și cea cu modul ($|x|\le M$), plus negarea corectă a definiției, adică demonstrarea nemărginirii printr-o rețetă care funcționează pentru orice prag, nu printr-un exemplu de element mare. Al treilea: marginea superioară $\sup A$ și marginea inferioară $\inf A$, demonstrate prin cele două condiții din definiție, și deosebirea lor de maxim și de minim. Al patrulea: dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$, cu tabelul operațiilor permise și cu lista celor șapte cazuri de nedeterminare. Al cincilea: vecinătățile, ale unui punct real și ale lui $\pm \infty$.

Testul se oprește exact acolo unde se oprește materia predată până la această lecție: mulțimile scrise cu ajutorul lui $n$ sunt tratate ca mulțimi de numere, nu ca șiruri. Nu se cere nicio afirmație despre monotonie, despre comportarea „la infinit" a termenilor sau despre limită — acestea vin în lecțiile următoare. Cele șapte nedeterminări se cer numite și recunoscute, nu rezolvate: eliminarea lor este subiectul altui test.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute; orientativ, $12$ minute pentru Partea I, $19$ pentru Partea a II-a și $19$ pentru Partea a III-a. La orice margine cerută se scriu ambele condiții din definiție, nu doar prima.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: afirmația că marginea superioară aparține mulțimii, demonstrarea nemărginirii printr-un singur element mare, scrierea unui interval sub forma $[a,+\infty ]$, „calculul" unei nedeterminări ca și cum ar fi o operație, confuzia dintre „mulțimea conține punctul" și „mulțimea este vecinătate a punctului" și folosirea unei constante care depinde de $n$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe caracterizarea marginii superioare și pe definiția vecinătății.
• Unde apare la BAC M1: noțiunile acestui test nu se cer, de regulă, singure; ele apar ca primul pas al unei probleme de analiză — încadrarea $m\le x\le M$ obținută prin rescrierea unui raport sub forma „constantă plus rest", urmată de identificarea celei mai bune bariere. Tehnica de încadrare exersată aici este exact cea punctată în barem la subiectul al doilea de Bacalaureat M1, iar lista celor șapte nedeterminări se folosește la fiecare subiect de limite.
• Formule de reținut: majorant al mulțimii $A$ = un număr $M$ cu $x\le M$ pentru orice $x\in A$; minorant = un număr $m$ cu $m\le x$ pentru orice $x\in A$. $A$ este mărginită dacă are și majorant, și minorant, adică dacă $A\subseteq [m,M]$; echivalent, dacă există $M>0$ cu $|x|\le M$ pentru orice $x\in A$. Marginea superioară este cel mai mic majorant și se caracterizează prin $$s=\sup A⟺\text{(i) }x\le s\text{pentru orice }x\in A;\text{(ii) pentru orice }\epsilon >0\text{ exista˘ }{x}_{\epsilon }\in A\text{ cu }{x}_{\epsilon }>s-\epsilon ;$$ analog, $i=\inf A$ dacă $i\le x$ pentru orice $x\in A$ și, pentru orice $\epsilon >0$, există în $A$ un element mai mic decât $i+\epsilon$. Dacă $\sup A\in A$, atunci $\sup A=\max A$; dacă $\inf A\in A$, atunci $\inf A=\min A$. Axioma lui Cantor: orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are margine superioară în $\mathbb{R}$. Dreapta reală încheiată este $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, cu $-\infty <x<+\infty$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$; pe ea, $\sup A=+\infty$ pentru $A$ nemajorată și $\inf A=-\infty$ pentru $A$ neminorată. Cele șapte cazuri de nedeterminare, în ordine: $$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$ Vecinătate: $V\subseteq \mathbb{R}$ este vecinătate a lui $x_0\in \mathbb{R}$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ cu $x_0\in (a,b)\subseteq V$; vecinătatea canonică este $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$. Vecinătățile lui $+\infty$ sunt mulțimile care conțin un interval $(a,+\infty ]$, iar cele ale lui $-\infty$, cele care conțin $[-\infty ,a)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Majoranți, minoranți și mărginire

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Cel mai mic majorant al mulțimii $[-3,6)$ este: A. $-3$; B. $5$; C. $6$; D. nu există.

b) Mulțimea $\{x\in \mathbb{R}\mid |2x+1|\le 7\}$ este: A. nemărginită superior; B. mărginită; C. nemărginită inferior; D. vidă.

c) Mulțimea $[2,5]$ este vecinătate a punctului: A. $2$; B. $5$; C. $3$; D. niciunul dintre punctele $2$, $3$, $5$.

Itemul 2 (6 puncte)

Pentru fiecare mulțime, scrie un majorant și un minorant (dacă există) și precizează dacă mulțimea este mărginită (câte 1,5 puncte): a) $A=(-7,2]$; b) $B=\{-5,0,3,11\}$; c) $C=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\le 6\}$; d) $D=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2>7\}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Orice mulțime majorată de numere reale are un cel mai mare element." b) „Dacă $M$ este majorant al mulțimii $A$, atunci orice număr mai mare decât $M$ este tot majorant al lui $A$." c) „Mulțimea $[4,+\infty )$ este minorată, dar nu este mărginită." d) „Mulțimea numerelor reale mai mari sau egale cu $3$ se poate scrie $[3,+\infty ]$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Arată că mulțimea $A=\left\{\frac{5n-3}{n+4}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ verifică $\frac{2}{5}\le x<5$ pentru orice $x\in A$ și deduce că $A$ este mărginită. (3 p) b) Arată că mulțimea $B=\left\{n^2-12n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ este minorată, dar nu este majorată. (3 p)

Partea a II-a – Margini, dreapta reală încheiată și vecinătăți

Itemul 5 (8 puncte)

Determină $\inf$, $\min$, $\sup$ și $\max$ pentru fiecare mulțime, precizând care dintre margini sunt atinse (câte 2 puncte): a) $A=[-2,7)$; b) $B=(0,9]$; c) $C=\left\{2-\frac{9}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$; d) $D=\left\{n^3-1|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, marginile fiind căutate în $\overline{\mathbb{R}}$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră mulțimea $B=\left\{\frac{7n+2}{n+5}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. a) Arată că $\frac{7n+2}{n+5}=7-\frac{33}{n+5}$ și calculează primele trei elemente ale mulțimii. (2 p) b) Demonstrează, cu ambele condiții din definiție, că $\sup B=7$. (3 p) c) Pentru $\epsilon =0,01$, indică un element al lui $B$ mai mare decât $7-\epsilon$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Calculează, în $\overline{\mathbb{R}}$: $6+(-\infty )$ și $(-4)\cdot (+\infty )$. (1,5 p) b) Calculează, în $\overline{\mathbb{R}}$: $\frac{12}{-\infty }$ și ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{+\infty }$. (1,5 p) c) Calculează, în $\overline{\mathbb{R}}$: $4^{-\infty }$ și $(+\infty {)}^3$. (1,5 p) d) Precizează care dintre expresiile $(+\infty )+(+\infty )$, $0\cdot (-\infty )$, $\frac{+\infty }{+\infty }$, $\frac{5}{+\infty }$ sunt cazuri de nedeterminare și care se pot calcula. (1,5 p) e) Scrie lista celor șapte cazuri de nedeterminare, în ordinea canonică. (1 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Decide, cu justificare, dacă fiecare mulțime este vecinătate a punctului $5$ (câte 1,5 puncte): a) $V_1=(4,9)$; b) $V_2=[5,12)$; c) $V_3=(0,10)\setminus \{7\}$; d) $V_4=\{5\}\cup (6,8)$.

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină un număr $\epsilon >0$ pentru care $(3-\epsilon ,3+\epsilon )\subseteq (2,5;4)$ și precizează toate valorile lui $\epsilon$ care funcționează. (3 p) b) Decide, cu justificare, dacă $(1000,+\infty ]$ este vecinătate a lui $+\infty$, dacă $[-\infty ,-20)$ este vecinătate a lui $-\infty$ și dacă $(5,400)$ este vecinătate a lui $+\infty$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră mulțimea $C=\left\{\frac{6n+1}{2n+3}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. a) Arată că $\frac{6n+1}{2n+3}=3-\frac{8}{2n+3}$ și calculează primele trei elemente ale mulțimii. (2 p) b) Demonstrează, verificând cele două condiții din definiție, că $\sup C=3$. (4 p) c) Arată că $C$ nu are maxim și determină $\inf C$, precizând dacă este atins. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Enunță axioma lui Cantor (proprietatea de completitudine a lui $\mathbb{R}$) și scrie consecința ei pentru mulțimile minorate. (3 p) b) Se consideră mulțimea $F=\{x\in \mathbb{Q}\mid x>0\text{și}{x}^2<3\}$. Arată că $F$ este nevidă și majorată de $2$, apoi arată că cel mai mic majorant al ei în $\mathbb{R}$ este $\sqrt{3}$. Deduce, folosind faptul că $\sqrt{3}$ este irațional, că $F$ nu are margine superioară în $\mathbb{Q}$. (5 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Folosind construcția din demonstrația densității lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$, determină un număr rațional situat strict între $\frac{5}{12}$ și $\frac{3}{7}$, apoi verifică rezultatul prin compararea fracțiilor. (5 p) b) Determină un număr irațional situat strict între aceleași două numere și justifică iraționalitatea lui. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră mulțimea $G=\left\{\frac{4n+5}{n+2}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. a) Calculați primele trei elemente ale mulțimii $G$. (2 p) b) Arătați că $3\le x<4$ pentru orice $x\in G$. (3 p) c) Determinați $\inf G$ și $\sup G$, precizând care dintre ele este atins. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) C. Orice element verifică $x<6$, deci $6$ este majorant; iar niciun număr $M<6$ nu mai este majorant, pentru că între $M$ și $6$ se află elemente ale intervalului. Varianta B este o barieră depășită, de exemplu, de $5,5$. b) (2 p) B. Inecuația $|2x+1|\le 7$ se scrie $-7\le 2x+1\le 7$, adică $-4\le x\le 3$: mulțimea este intervalul $[-4,3]$, deci mărginită. c) (2 p) C. Intervalul deschis $(2,5;3,5)$ îl conține pe $3$ și este inclus în $[2,5]$. Pentru $2$ și pentru $5$ răspunsul este nu: orice interval deschis care conține un capăt conține și puncte din afara mulțimii.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p majorantul, 0,5 p minorantul, 0,5 p concluzia).

a) (1,5 p) Majorant: $2$ (sau orice număr mai mare); minorant: $-7$ (sau orice număr mai mic). Mulțimea este mărginită, fiind inclusă în $[-7,2]$. b) (1,5 p) Mulțimea este finită: majorant $11$, minorant $-5$, deci mărginită. La mulțimile finite marginile sunt întotdeauna atinse. c) (1,5 p) Inecuația $x^2\le 6$ se scrie $|x|\le \sqrt{6}$, deci $C=\left[-\sqrt{6},\sqrt{6}\right]$: majorant $\sqrt{6}\approx 2,449$, minorant $-\sqrt{6}$, mulțime mărginită. d) (1,5 p) Inecuația $x^2>7$ se scrie $|x|>\sqrt{7}$, deci $D=\left(-\infty ,-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7},+\infty \right)$: mulțimea nu are nici majorant, nici minorant, deci este nemărginită.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Mulțimea $(0,1)$ este majorată (de $1$), dar nu are cel mai mare element: pentru orice $x\in (0,1)$, numărul $\frac{x+1}{2}$ este tot în mulțime și este mai mare. Majorantul este o barieră exterioară; cel mai mare element trebuie să fie în mulțime. b) (1,5 p) A. Dacă $x\le M$ pentru orice $x\in A$ și $M^{\prime }>M$, atunci $x\le M\le M^{\prime }$ pentru orice $x\in A$. Tocmai de aceea majoranții nu sunt unici, iar întrebarea interesantă este care este cel mai mic dintre ei. c) (1,5 p) A. Numărul $4$ este minorant, fiindcă $x\ge 4$ pentru orice element. Mulțimea nu este însă majorată: pentru orice $M$, numărul $|M|+5$ îi aparține și îl depășește pe $M$. „Mărginită" cere ambele capete. d) (1,5 p) F. Simbolul $+\infty$ nu este număr real, deci nu poate fi element al unei mulțimi de numere reale și nu poate fi capăt închis. Scrierea corectă este $[3,+\infty )$, cu paranteză rotundă la infinit.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $5n-3=5(n+4)-23$, deci $$\frac{5n-3}{n+4}=5-\frac{23}{n+4}$$ (1 p). Din $n\ge 1$ rezultă $n+4\ge 5$, deci $0<\frac{23}{n+4}\le \frac{23}{5}$ (1 p). Scăzând din $5$ (inegalitățile își schimbă sensul): $$5-\frac{23}{5}\le 5-\frac{23}{n+4}<5,\text{adica˘}\frac{2}{5}\le x<5.$$ Mulțimea este minorată de $\frac{2}{5}$ și majorată de $5$, deci mărginită; în forma cu modul, $|x|<5$ pentru orice $x\in A$ (0,5 p). Verificare: primele elemente sunt $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{12}{7}$ — toate în $\left[\frac{2}{5},5\right)$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Minorată: scriem $n^2-12n=(n-6{)}^2-36\ge -36$, pentru că un pătrat este nenegativ; valoarea $-36$ se atinge la $n=6$, deci $-36$ este chiar cel mai mare minorant (1 p). Nemajorată: fie $M\in \mathbb{R}$ oarecare. Alegem un număr natural $n>|M|+12$. Atunci $n-12\ge 1$, deci $$n^2-12n=n(n-12)\ge n>|M|\ge M$$ (1,5 p). Rețeta funcționează pentru orice $M$, deci mulțimea nu este majorată; prin urmare este nemărginită (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p perechea $\inf$/$\min$, 1 p perechea $\sup$/$\max$).

a) (2 p) $\inf A=\min A=-2$ (capătul închis aparține mulțimii); $\sup A=7$, iar $\max A$ nu există, fiindcă $7\notin A$. b) (2 p) $\inf B=0$, neatins ($0\notin B$), deci minimul nu există; $\sup B=\max B=9$. c) (2 p) Din $n\ge 1$ rezultă $0<\frac{9}{n}\le 9$, deci $-7\le 2-\frac{9}{n}<2$. Primele elemente sunt $-7$, $-\frac{5}{2}$, $-1$. Așadar $\inf C=\min C=-7$ (atins la $n=1$), iar $\sup C=2$, neatins: $\frac{9}{n}>0$ pentru orice $n$. d) (2 p) Elementele sunt $0$, $7$, $26$, $63$, … Mulțimea este minorată de $0$, valoare atinsă la $n=1$, deci $\inf D=\min D=0$. Ea nu este majorată (pentru orice $M$ alegem $n>|M|+1$ și obținem $n^3-1>M$), deci, prin convenția de pe dreapta reală încheiată, $\sup D=+\infty$, iar maximul nu există.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) $7n+2=7(n+5)-33$, deci $\frac{7n+2}{n+5}=7-\frac{33}{n+5}$ (1 p). Primele trei elemente: $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$, $\frac{16}{7}$, $\frac{23}{8}$ (1 p).

b) (3 p) Condiția (i) — $7$ este majorant: pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ avem $\frac{33}{n+5}>0$, deci $7-\frac{33}{n+5}<7$ (1 p). Condiția (ii) — niciun număr mai mic decât $7$ nu este majorant: fie $\epsilon >0$. Căutăm $n$ cu $$7-\frac{33}{n+5}>7-\epsilon ⟺\frac{33}{n+5}<\epsilon ⟺n>\frac{33}{\epsilon }-5,$$ iar un asemenea număr natural există întotdeauna, mulțimea ${\mathbb{N}}^{\ast }$ nefiind majorată (1,5 p). Cele două condiții fiind îndeplinite, $\sup B=7$; maximul nu există, fiindcă $7\notin B$ (0,5 p).

c) (2 p) Pentru $\epsilon =0,01$ condiția devine $n>\frac{33}{0,01}-5=3295$, deci merge $n=3296$ (1 p). Verificare: elementul corespunzător este $7-\frac{33}{3301}\approx 6,990003$, într-adevăr mai mare decât $7-\epsilon =6,99$; la $n=3295$ am avea $\frac{33}{3300}=0,01$, care nu este strict mai mic decât $\epsilon$ ✓ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (1,5 p) $6+(-\infty )=-\infty$ (rândul $a+(-\infty )$, cu $a=6\in \mathbb{R}$); $(-4)\cdot (+\infty )=-\infty$, produsul cu $+\infty$ păstrând regula semnelor. b) (1,5 p) $\frac{12}{-\infty }=0$ (rândul $\frac{a}{\pm \infty }$, cu $a=12\in \mathbb{R}$); ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{+\infty }=0$, baza fiind subunitară. c) (1,5 p) $4^{-\infty }=0$, baza fiind supraunitară și exponentul $-\infty$; $(+\infty {)}^3=+\infty$, exponentul fiind strict pozitiv. d) (1,5 p) Sunt cazuri de nedeterminare: $0\cdot (-\infty )$ (rândul din tabel cere explicit $a\ne 0$) și $\frac{+\infty }{+\infty }$. Se pot calcula: $(+\infty )+(+\infty )=+\infty$ și $\frac{5}{+\infty }=0$. e) (1 p) În ordinea canonică: $$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$ Ele nu sunt rezultate, ci cazuri în care răspunsul nu se poate decide fără o prelucrare prealabilă a expresiei.

Itemul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) Da. Mulțimea este ea însăși un interval deschis care îl conține pe $5$; se poate lua chiar $(4,6)\subseteq V_1$. b) (1,5 p) Nu. Orice interval deschis $(a,b)$ cu $5\in (a,b)$ are $a<5$, deci conține numere mai mici decât $5$, care nu aparțin lui $V_2$. Punctul stă pe margine, fără loc în stânga. c) (1,5 p) Da. Intervalul deschis $(4,6)$ îl conține pe $5$, nu îl conține pe $7$ și este inclus în $V_3$. Faptul că din mulțime lipsește un punct nu contează, atâta timp cât punctul lipsă este departe de $5$. d) (1,5 p) Nu. Un interval deschis care îl conține pe $5$ conține și numere din intervalul $(5,6)$, care nu aparțin lui $V_4$. Mulțimea conține punctul $5$, dar nu îi lasă loc în jur.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Condiția $(3-\epsilon ,3+\epsilon )\subseteq (2,5;4)$ înseamnă $3-\epsilon \ge 2,5$ și $3+\epsilon \le 4$, adică $\epsilon \le 0,5$ și $\epsilon \le 1$ (1,5 p). Funcționează, deci, orice $\epsilon \in (0;0,5]$ (1 p). Exemplu verificat: pentru $\epsilon =\frac{1}{4}$ obținem $\left(\frac{11}{4},\frac{13}{4}\right)=(2,75;3,25)\subseteq (2,5;4)$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) $(1000,+\infty ]$ este vecinătate a lui $+\infty$: este chiar un interval de forma $(a,+\infty ]$, cu $a=1000$ (1 p). $[-\infty ,-20)$ este vecinătate a lui $-\infty$: are forma $[-\infty ,a)$, cu $a=-20$ (1 p). $(5,400)$ nu este vecinătate a lui $+\infty$: ea nu conține niciun interval de forma $(a,+\infty ]$, fiindcă toate elementele ei sunt mai mici decât $400$ (1 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Scriem numărătorul cu ajutorul numitorului: $6n+1=3(2n+3)-8$, deci $$\frac{6n+1}{2n+3}=3-\frac{8}{2n+3}$$ (1 p). Primele trei elemente: $\frac{7}{5}$, $\frac{13}{7}$, $\frac{19}{9}$ (1 p).

b) (4 p) Condiția (i) — $3$ este majorant. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ avem $2n+3>0$, deci $\frac{8}{2n+3}>0$ și $$\frac{6n+1}{2n+3}=3-\frac{8}{2n+3}<3$$ (1,5 p). Condiția (ii) — $3$ este cel mai mic majorant. Fie $\epsilon >0$ oarecare. Căutăm un element al mulțimii mai mare decât $3-\epsilon$: $$3-\frac{8}{2n+3}>3-\epsilon ⟺\frac{8}{2n+3}<\epsilon ⟺2n+3>\frac{8}{\epsilon }⟺n>\frac{1}{2}\left(\frac{8}{\epsilon }-3\right).$$ Un asemenea număr natural există întotdeauna, pentru că ${\mathbb{N}}^{\ast }$ nu este majorată (2 p). Prin urmare niciun număr mai mic decât $3$ nu este majorant al lui $C$, deci $\sup C=3$ (0,5 p). $■$ Control numeric (fără punctaj), pentru $\epsilon =0,01$: condiția dă $n>398,5$; pentru $n=399$ elementul este $3-\frac{8}{801}\approx 2,990012$, într-adevăr mai mare decât $2,99$ ✓

c) (2 p) Maximul nu există: din condiția (i) rezultă $x<3$ pentru orice $x\in C$, deci $\sup C=3\notin C$, iar maximul ar trebui să fie chiar marginea superioară (1 p). Marginea inferioară: fracția $\frac{8}{2n+3}$ este cea mai mare la $n=1$, deci cel mai mic element este $3-\frac{8}{5}=\frac{7}{5}$. Cum $\frac{7}{5}\in C$, avem $\inf C=\min C=\frac{7}{5}$, atins (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Axioma lui Cantor (proprietatea de completitudine). Orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are margine superioară în $\mathbb{R}$ (2 p). Consecința simetrică: orice mulțime nevidă și minorată de numere reale are margine inferioară în $\mathbb{R}$; ea se obține aplicând axioma mulțimii numerelor opuse (1 p).

b) (5 p) Nevidă și majorată: $1\in F$, fiindcă $1\in \mathbb{Q}$, $1>0$ și $1^2=1<3$ (0,5 p). Dacă $x\in F$, atunci $x^2<3<4=2^2$ și, cum ridicarea la pătrat păstrează ordinea pe numerele pozitive, $x<2$: numărul $2$ este majorant (1 p). Cel mai mic majorant în $\mathbb{R}$ este $\sqrt{3}$. Condiția (i): din $x>0$ și $x^2<3$ rezultă $x<\sqrt{3}$, deci $\sqrt{3}$ este majorant (1 p). Condiția (ii): fie $\epsilon >0$ și fie $M=\sqrt{3}-\epsilon$. Dacă $M<1$, atunci elementul $1\in F$ îl depășește. Dacă $M\ge 1$, folosim densitatea lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$: între $M$ și $\sqrt{3}$ există un număr rațional $r$, iar acesta verifică $r>M\ge 1>0$ și $r^2<3$, deci $r\in F$ și $r>M$ (1,5 p). Prin urmare $\sup F=\sqrt{3}$ în $\mathbb{R}$. Concluzia în $\mathbb{Q}$: fie $M$ un majorant rațional oarecare al lui $F$. Cum $M$ este rațional și $\sqrt{3}$ nu este, avem $M\ne \sqrt{3}$; iar $M$ nu poate fi mai mic decât $\sqrt{3}$, fiindcă tocmai am arătat că orice număr mai mic decât $\sqrt{3}$ este depășit de un element al lui $F$. Rămâne $M>\sqrt{3}$. Prin densitatea lui $\mathbb{Q}$ în $\mathbb{R}$, între $\sqrt{3}$ și $M$ se află un alt număr rațional $M^{\prime }$, care este tot majorant al lui $F$ (fiind mai mare decât $\sqrt{3}$) și este strict mai mic decât $M$. Așadar niciun majorant rațional nu este cel mai mic, deci în $\mathbb{Q}$ mulțimea $F$ nu are margine superioară (1 p). (Exact aici se vede că proprietatea de completitudine nu este o evidență: ea este adevărată în $\mathbb{R}$ și falsă în $\mathbb{Q}$.)

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Notăm $a=\frac{5}{12}$ și $b=\frac{3}{7}$; avem $a<b$, fiindcă $5\cdot 7=35<36=3\cdot 12$ (0,5 p). Pasul 1 — alegerea lui $n$. Diferența este $$b-a=\frac{3}{7}-\frac{5}{12}=\frac{36-35}{84}=\frac{1}{84},$$ deci avem nevoie de un număr natural $n$ cu $\frac{1}{n}<\frac{1}{84}$; alegem $n=100$ (1,5 p). Pasul 2 — alegerea lui $k$. Luăm $k=\lfloor na\rfloor +1=\lfloor \frac{500}{12}\rfloor +1=41+1=42$, deci numărul căutat este $$r=\frac{k}{n}=\frac{42}{100}=\frac{21}{50}$$ (1,5 p). Verificare prin compararea fracțiilor: $\frac{5}{12}<\frac{21}{50}$, pentru că $5\cdot 50=250<252=21\cdot 12$; iar $\frac{21}{50}<\frac{3}{7}$, pentru că $21\cdot 7=147<150=3\cdot 50$ ✓ (1,5 p).

b) (3 p) Folosim procedeul cunoscut: numărul $$t=a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}=\frac{5}{12}+\frac{1}{84\sqrt{2}}=\frac{5}{12}+\frac{\sqrt{2}}{168}$$ se află strict între $a$ și $b$, fiindcă $0<\frac{1}{\sqrt{2}}<1$, deci $0<\frac{b-a}{\sqrt{2}}<b-a$ (1,5 p). Iraționalitatea: dacă $t$ ar fi rațional, atunci $\sqrt{2}=168\left(t-\frac{5}{12}\right)$ ar fi rațional, ca diferență și produs de numere raționale — fals (1 p). Control numeric: $t\approx 0,425085$, iar $\frac{5}{12}\approx 0,416667$ și $\frac{3}{7}\approx 0,428571$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Pentru $n=1,2,3$ obținem $\frac{9}{3}=3$, $\frac{13}{4}$, $\frac{17}{5}$.

b) (3 p) Scriem $4n+5=4(n+2)-3$, deci $$\frac{4n+5}{n+2}=4-\frac{3}{n+2}$$ (1 p). Din $n\ge 1$ rezultă $n+2\ge 3$, deci $0<\frac{3}{n+2}\le 1$ (1 p). Scăzând din $4$: $$4-1\le 4-\frac{3}{n+2}<4,\text{adica˘}3\le x<4$$ (1 p).

c) (3 p) Marginea inferioară: din punctul b), $3$ este minorant, iar $3\in G$ (se obține pentru $n=1$), deci $\inf G=\min G=3$, atins (1 p). Marginea superioară: tot din b), $4$ este majorant. Este cel mai mic: fie $\epsilon >0$; condiția $4-\frac{3}{n+2}>4-\epsilon$ înseamnă $\frac{3}{n+2}<\epsilon$, adică $n>\frac{3}{\epsilon }-2$, iar un asemenea număr natural există întotdeauna (1,5 p). Deci $\sup G=4$ și nu este atins, fiindcă $\frac{3}{n+2}>0$ pentru orice $n$ (0,5 p). Verificare pentru $\epsilon =0,01$: condiția dă $n>298$; pentru $n=299$ elementul este $4-\frac{3}{301}\approx 3,990033>3,99$ ✓