Test: adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și operații cu matrice

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a capitolului de matrice: obiectul și cele două operații care se fac element cu element. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: scrierea corectă a unei matrice — formatul $m\times n$, ordinea indicilor în $a_{ij}$ (primul indice este linia, al doilea coloana), apartenența la ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și construcția tabloului dintr-o formulă în $i$ și $j$. Al doilea: vocabularul tipurilor de matrice — pătratică, nulă $O_{m,n}$, unitate $I_n$, diagonală, scalară, triunghiulară, simetrică — împreună cu transpusa ${}^{t}A$, singura operație nouă de aici, și cu regula că, în afară de matricea nulă, toate celelalte nume cer $m=n$. Al treilea: egalitatea a două matrice, adică un semn egal care ascunde $m\cdot n$ ecuații între numere; ea este unealta prin care se determină parametrii. Al patrulea: adunarea, scăderea și înmulțirea cu un scalar, cu proprietățile lor, cu matricea opusă $-A$ și cu ecuațiile de forma $X+A=B$ și $\alpha X+A=B$, la care rezultatul se verifică întotdeauna prin înlocuire.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare matrice se scrie cu formatul precizat, iar fiecare ecuație rezolvată se consideră completă doar dacă soluția este verificată prin înlocuire în ecuația inițială. Se depunctează: efectuarea unei adunări între matrice de formate diferite (operația nu există, iar acesta este răspunsul complet), inversarea celor doi indici în $a_{ij}$, înmulțirea cu scalarul doar a unora dintre elemente, greșelile de semn la scădere, scoaterea factorului comun dintr-o singură linie și scrierea transpusei sub forma $A^T$ în loc de ${}^{t}A$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe egalitatea matricelor și pe ecuațiile cu o matrice necunoscută.
• Formule de reținut: o matrice de tipul $m\times n$ se scrie compact $A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ și are $m\cdot n$ elemente. Transpusa: ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{n,m}(\mathbb{C})$, cu elementul de pe poziția $(i,j)$ egal cu $a_{ji}$; întotdeauna ${}^t({}^{t}A)=A$, iar $A$ este simetrică dacă ${}^{t}A=A$. Egalitatea: $A=B$ înseamnă același format și $a_{ij}=b_{ij}$ pentru orice pereche de indici. Adunarea și scăderea, definite numai pentru matrice de același tip: $$(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij},(A-B{)}_{ij}=a_{ij}-b_{ij},A-B=A+(-B).$$ Adunarea este comutativă și asociativă, are elementul neutru $O_{m,n}$ și, pentru fiecare $A$, opusa $-A=(-a_{ij})$. Înmulțirea cu un scalar $\alpha \in \mathbb{C}$: $(\alpha A{)}_{ij}=\alpha a_{ij}$, cu proprietățile $$\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B;(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A;\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A;1\cdot A=A;0\cdot A=O_{m,n},$$ iar $\alpha A=O_{m,n}$ dacă și numai dacă $\alpha =0$ sau $A=O_{m,n}$. Scalarul trece prin transpusă: ${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A$, iar ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$. Ecuațiile: $X+A=B$ are soluția unică $X=B-A$, iar $\alpha X+A=B$, cu $\alpha \ne 0$, are soluția $X=\frac{1}{\alpha }(B-A)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Scrierea matricelor, tipuri, transpusă și egalitate

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) O matrice din ${\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$ are: A. $8$ elemente; B. $15$ elemente; C. $35$ de elemente; D. $53$ de elemente.

b) Dacă $A$ este de tipul $2\times 5$, atunci ${}^{t}A$ este de tipul: A. $2\times 5$; B. $5\times 2$; C. $5\times 5$; D. $2\times 2$.

c) Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 0\end{array}\right)$, suma $A+B$ este: A. $O_2$; B. $I_2$; C. $2A$; D. $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă următoarele cerințe (câte 1,5 puncte): a) Scrie matricea $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=3i-2j$. b) Precizează elementele $a_{13}$ și $a_{21}$ ale matricei $A$ și explică de ce scrierea $a_{32}$ nu desemnează niciun număr. c) Scrie matricea $B=(b_{ij})\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, unde $b_{ij}=(-1{)}^{i+j}(i+j)$. d) Arată că matricea $B$ este simetrică.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Matricea $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ se notează $O_3$." b) „Orice matrice scalară de ordin $3$ este matrice diagonală." c) „Există matrice de tipul $2\times 3$ care sunt triunghiulare superioare." d) „Dacă $A$ și $B$ sunt matrice de tipul $3\times 2$, atunci $A+{}^{t}B$ are sens."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină numerele reale $x$, $y$, $z$ pentru care $$\left(\begin{array}{ccc}x+y& 2z-1& 3\\ 4& x-y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 5& 3\\ 4& 1& 0\end{array}\right).$$ (3 p) b) Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& x+2& -3\\ 5& 4& y-1\\ -3& 2& 0\end{array}\right)$ verifică ${}^{t}A=A$. (3 p)

Partea a II-a – Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un scalar

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 6& -1\\ 3& -4& 5\end{array}\right)$. Calculează (câte 2 puncte): a) $A+B$; b) $A-B$; c) $2A+3B$; d) $3A-2B$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Calculează $(2-3i)C$, unde $C=\left(\begin{array}{cc}1+i& 2\\ -i& 3\end{array}\right)$, scriind fiecare element sub forma algebrică $a+bi$. (4 p) b) Scoate factorul comun din matricea $\left(\begin{array}{cc}6& -15\\ 21& 9\end{array}\right)$ și scrie rezultatul sub forma $\alpha M$, cu $M$ având elemente întregi cât mai mici. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Rezolvă ecuația $X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 0& 4& -6\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& -2\\ -3& 4& 7\end{array}\right)$. (3 p) b) Rezolvă ecuația $2X+A=3B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 5& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$. (4 p)

La ambele puncte, verifică soluția prin înlocuire în ecuația inițială.

Itemul 8 (6 puncte)

a) Determină numărul real $m$ pentru care matricea $mA+B$ este diagonală, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ 9& 2\end{array}\right)$. (3 p) b) Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $$2\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 3& y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 6& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$ (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Determină matricele $X,Y\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ care verifică simultan $$X+Y=A,2X-3Y=B,\text{unde }A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 1& 0\end{array}\right).$$ Verifică ambele relații pentru matricele găsite.

Partea a III-a – Demonstrații, modelare și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, are loc ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$. (4 p) b) Demonstrează că, dacă $\alpha \in \mathbb{C}$ și $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ verifică $\alpha A=O_{m,n}$, atunci $\alpha =0$ sau $A=O_{m,n}$. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Arată că suma a două matrice simetrice din ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este tot o matrice simetrică. (3 p) b) Arată, printr-un exemplu numeric, că afirmația „dacă $A+B$ este matrice diagonală, atunci $A$ și $B$ sunt matrice diagonale" este falsă. (2 p) c) Determină matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X-2{}^{t}A=A$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 5\end{array}\right)$. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Două ateliere fabrică trei tipuri de piese. Producția din martie, respectiv din aprilie, în bucăți, este dată de matricele $$M=\left(\begin{array}{ccc}120& 85& 60\\ 95& 140& 75\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{ccc}135& 70& 90\\ 80& 120& 65\end{array}\right),$$ liniile fiind atelierele, iar coloanele tipurile de piese. a) Calculează matricea producției totale pe cele două luni și verifică rezultatul comparând suma tuturor elementelor. (3 p) b) Calculează $A-M$ și precizează la ce tip de piesă a scăzut producția în ambele ateliere. (3 p) c) Din mai, ambele ateliere își măresc producția din aprilie cu $20\%$. Scrie matricea producției din mai ca produs dintre un scalar și $A$ și calculeaz-o. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 5\end{array}\right)$. a) Calculați $3A-2B$. (2 p) b) Verificați că ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$. (2 p) c) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X+2A=B$. (2 p) d) Determinați numărul real $m$ pentru care suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $mA+B$ este egală cu $10$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. O matrice de tipul $m\times n$ are $m\cdot n$ elemente, deci $3\cdot 5=15$. Varianta D vine din citirea greșită a formatului ca număr, iar C confundă produsul cu alipirea cifrelor. b) B. Transpunerea schimbă între ele numărul de linii și cel de coloane: o matrice $m\times n$ are transpusa de tipul $n\times m$. Formatul se păstrează doar la matricele pătratice. c) A. Elementele lui $B$ sunt opusele celor ale lui $A$, adică $B=-A$, deci $A+B=A+(-A)=O_2$. Varianta D ar cere ca pe poziția $(2,2)$ suma $0+0$ să dea $1$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) Completăm linie cu linie, cu $i$ fix și $j$ parcurgând coloanele. Pentru $i=1$: $1,-1,-3$; pentru $i=2$: $4,2,0$. Deci $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 4& 2& 0\end{array}\right).$$ (0,5 p organizarea pe linii, 1 p valorile.) b) $a_{13}=3\cdot 1-2\cdot 3=-3$ (linia $1$, coloana $3$) și $a_{21}=3\cdot 2-2\cdot 1=4$ (linia $2$, coloana $1$) (1 p). Scrierea $a_{32}$ cere linia a treia, iar matricea are doar două linii: condiția $1\le i\le 2$ nu este îndeplinită, deci simbolul nu desemnează niciun număr (0,5 p). c) Semnul este $+$ când $i+j$ este par și $-$ când $i+j$ este impar, iar valoarea absolută este $i+j$: $$B=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 4\\ -3& 4& -5\\ 4& -5& 6\end{array}\right).$$ d) Formula este simetrică în cei doi indici: $b_{ji}=(-1{)}^{j+i}(j+i)=(-1{)}^{i+j}(i+j)=b_{ij}$, pentru că atât suma $i+j$, cât și exponentul nu se schimbă la inversarea indicilor (1 p). Deci ${}^{t}B=B$, adică $B$ este simetrică; pe tablou se vede oglindirea în diagonala principală: $b_{12}=b_{21}=-3$, $b_{13}=b_{31}=4$, $b_{23}=b_{32}=-5$ (0,5 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Tabloul are $2$ linii și $3$ coloane, deci se notează $O_{2,3}$. Notația $O_3$ este rezervată matricei nule pătratice de ordin $3$; există câte o matrice nulă pentru fiecare format, iar $O_{2,3}$ și $O_3$ sunt obiecte diferite. b) A. O matrice scalară este, prin definiție, o matrice diagonală cu toate elementele diagonalei egale între ele; condiția „$a_{ij}=0$ pentru $i\ne j$" este deci îndeplinită. Reciproca este falsă: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ este diagonală, dar nu scalară. c) F. Denumirea de matrice triunghiulară se aplică numai matricelor pătratice: condiția „$a_{ij}=0$ pentru $i>j$" se raportează la diagonala principală, care nu există dacă $m\ne n$. Prima verificare, la orice denumire din această listă, este $m=n$. d) F. Dacă $B$ este de tipul $3\times 2$, atunci ${}^{t}B$ este de tipul $2\times 3$, iar $A$ rămâne $3\times 2$. Adunarea cere formate identice, deci operația nu există — acesta este răspunsul complet. (Ar avea sens, în schimb, $A+B$, sau ${}^{t}A+{}^{t}B$.)

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Formatele coincid, deci egalitatea de matrice se transformă în egalități pe fiecare poziție (0,5 p): $$x+y=7,2z-1=5,3=3,4=4,x-y=1,0=0.$$ Trei dintre ele sunt identități și nu aduc informație (0,5 p). Din $x+y=7$ și $x-y=1$, adunând, obținem $2x=8$, deci $x=4$ și $y=3$; din $2z-1=5$ rezultă $z=3$ (1,5 p). Verificare în matrice: $4+3=7$ ✓, $2\cdot 3-1=5$ ✓, $4-3=1$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Condiția ${}^{t}A=A$ înseamnă $a_{ij}=a_{ji}$ pentru orice pereche de indici, deci comparăm pozițiile simetrice față de diagonala principală (1 p): $$a_{12}=a_{21}:x+2=5;a_{13}=a_{31}:-3=-3\text{(verificata˘)};a_{23}=a_{32}:y-1=2.$$ Rezultă $x=3$ și $y=3$ (1,5 p). Verificare: matricea devine $\left(\begin{array}{ccc}1& 5& -3\\ 5& 4& 2\\ -3& 2& 0\end{array}\right)$, tablou care se oglindește în diagonala principală ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1,5 p calculul, 0,5 p scrierea corectă a rezultatului). Ambele matrice sunt din ${\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, deci toate operațiile există și rezultatele sunt tot de tipul $2\times 3$.

a) Se adună element cu element: $$A+B=\left(\begin{array}{ccc}3-2& -1+6& 4-1\\ 0+3& 5-4& -2+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 3& 1& 3\end{array}\right).$$ Control pe sume: suma elementelor lui $A$ este $9$, a lui $B$ este $7$, iar a rezultatului $16=9+7$ ✓ b) Atenție la pozițiile cu două semne minus, unde $-1-6=-7$ și $-2-5=-7$: $$A-B=\left(\begin{array}{ccc}5& -7& 5\\ -3& 9& -7\end{array}\right).$$ c) Se fac întâi cele două înmulțiri cu scalari, apoi adunarea: $2A=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& 8\\ 0& 10& -4\end{array}\right)$ și $3B=\left(\begin{array}{ccc}-6& 18& -3\\ 9& -12& 15\end{array}\right)$, deci $$2A+3B=\left(\begin{array}{ccc}0& 16& 5\\ 9& -2& 11\end{array}\right).$$ d) Analog, $3A=\left(\begin{array}{ccc}9& -3& 12\\ 0& 15& -6\end{array}\right)$ și $2B=\left(\begin{array}{ccc}-4& 12& -2\\ 6& -8& 10\end{array}\right)$, deci $$3A-2B=\left(\begin{array}{ccc}13& -15& 14\\ -6& 23& -16\end{array}\right).$$ Control pe un element: pe poziția $(2,3)$ avem $3\cdot (-2)-2\cdot 5=-6-10=-16$ ✓

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Scalarul se înmulțește cu fiecare element, iar produsele se aduc la forma algebrică, folosind $i^2=-1$ (0,5 p): $$(2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i^2=5-i;(2-3i)\cdot 2=4-6i;$$ $$(2-3i)(-i)=-2i+3i^2=-3-2i;(2-3i)\cdot 3=6-9i.$$ (câte 0,75 p pentru fiecare dintre cele patru produse). Prin urmare $$(2-3i)C=\left(\begin{array}{cc}5-i& 4-6i\\ -3-2i& 6-9i\end{array}\right)$$ (0,5 p). Dimensiunile nu s-au schimbat: rezultatul este tot din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$.

b) (3 p) Toate cele patru elemente se împart la $3$, iar $3$ este cel mai mare divizor comun al lor: $6=3\cdot 2$, $-15=3\cdot (-5)$, $21=3\cdot 7$, $9=3\cdot 3$ (1,5 p). Deci $$\left(\begin{array}{cc}6& -15\\ 21& 9\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 7& 3\end{array}\right)$$ (1 p). Factorul nu se mai poate mări, pentru că numerele $2$, $-5$, $7$, $3$ nu au un divizor comun mai mare decât $1$ (0,5 p). (Atenție: factorul se scoate din tot tabloul deodată, niciodată dintr-o singură linie.)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Adunăm $-A$ în ambii membri; folosind asociativitatea și proprietatea matricei opuse, în stânga rămâne $X$, deci $X=B-A$ (1 p): $$X=\left(\begin{array}{ccc}5-2& 1-(-3)& -2-1\\ -3-0& 4-4& 7-(-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -3\\ -3& 0& 13\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare prin înlocuire: $X+A=\left(\begin{array}{ccc}3+2& 4-3& -3+1\\ -3+0& 0+4& 13-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& -2\\ -3& 4& 7\end{array}\right)=B$ ✓ (0,5 p).

b) (4 p) Izolăm întâi termenul cu $X$: $2X=3B-A$ (1 p). Calculăm $3B=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 3& 6\end{array}\right)$, deci $$2X=\left(\begin{array}{cc}9-1& 0+4\\ 3-5& 6-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ -2& 6\end{array}\right)$$ (1,5 p). Înmulțim cu scalarul $\frac{1}{2}$: $$X=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare prin înlocuire: $2X+A=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ -2& 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 5& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 3& 6\end{array}\right)=3B$ ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Calculăm întâi matricea, păstrând $m$ ca literă (1 p): $$mA+B=\left(\begin{array}{cc}m& 2m\\ -3m& m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ 9& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m+4& 2m-6\\ -3m+9& m+2\end{array}\right).$$ O matrice pătratică este diagonală când toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule, deci se cer simultan $2m-6=0$ și $-3m+9=0$ (1 p). Prima dă $m=3$, a doua tot $m=3$, deci condițiile sunt compatibile și $m=3$ (0,5 p). Verificare: pentru $m=3$ obținem $\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$, matrice diagonală (dar nu scalară, fiindcă $7\ne 5$) ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Membrul stâng se calculează întâi, cu $x$ și $y$ ca litere (1 p): $$\left(\begin{array}{cc}2x& -2\\ 6& 2y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 6& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x-1& 0\\ 0& 2y-5\end{array}\right).$$ Egalitatea de matrice dă patru condiții, dintre care două sunt identități ($0=0$ pe pozițiile $(1,2)$ și $(2,1)$) (0,5 p). Din $2x-1=7$ rezultă $x=4$, iar din $2y-5=-1$ rezultă $y=2$ (1 p). Verificare: pentru aceste valori membrul stâng devine $\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

Din prima relație obținem $X=A-Y$ (0,5 p). Înlocuim în a doua și folosim distributivitatea față de adunarea matricelor: $$2(A-Y)-3Y=B⟺2A-2Y-3Y=B⟺5Y=2A-B$$ (1,5 p). Calculăm $2A=\left(\begin{array}{cc}8& 2\\ 6& 10\end{array}\right)$, deci $$5Y=\left(\begin{array}{cc}8-3& 2-7\\ 6-1& 10-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -5\\ 5& 10\end{array}\right)⟹Y=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}5& -5\\ 5& 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$$ (2 p). Revenind, $X=A-Y=\left(\begin{array}{cc}4-1& 1+1\\ 3-1& 5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ (1 p). Verificarea ambelor relații — obligatorie, pentru că soluția a ieșit dintr-una singură (1 p): $$X+Y=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 5\end{array}\right)=A✓;2X-3Y=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 1& 0\end{array}\right)=B✓.$$

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Formatele. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$. Suma $A+B$ există și este tot de tipul $m\times n$, deci ${}^t(A+B)$ este de tipul $n\times m$; la fel, ${}^{t}A$ și ${}^{t}B$ sunt de tipul $n\times m$, deci suma lor există și are același format (1 p). Rămâne de comparat elementul generic.

Elementele. Prin definiția transpusei, elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui ${}^t(A+B)$ este elementul de pe linia $j$ și coloana $i$ al lui $A+B$, adică $a_{ji}+b_{ji}$ (1,5 p). Pe de altă parte, elementul de pe poziția $(i,j)$ al matricei ${}^{t}A+{}^{t}B$ este suma elementelor de pe aceeași poziție din cei doi termeni, adică $a_{ji}+b_{ji}$ (1 p).

Cele două matrice au același format și elemente egale pe fiecare poziție, deci, prin criteriul de egalitate, sunt egale: ${}^t(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B$ (0,5 p). $■$

b) (4 p) Presupunem $\alpha A=O_{m,n}$ și analizăm două cazuri (0,5 p).

Cazul $\alpha =0$: concluzia „$\alpha =0$ sau $A=O_{m,n}$" este deja adevărată (0,5 p).

Cazul $\alpha \ne 0$: egalitatea de matrice $\alpha A=O_{m,n}$ înseamnă că fiecare element satisface $\alpha a_{ij}=0$, pentru orice $i$ și $j$ (1,5 p). Într-un produs de numere complexe egal cu zero, măcar un factor este nul; cum $\alpha \ne 0$, rezultă $a_{ij}=0$ pentru toți indicii, adică $A=O_{m,n}$ (1 p).

În ambele cazuri concluzia are loc, ceea ce trebuia demonstrat (0,5 p). $■$ (Reciproca este imediată: dacă $\alpha =0$, atunci $0\cdot A=O_{m,n}$; dacă $A=O_{m,n}$, atunci $\alpha O_{m,n}=O_{m,n}$.)

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Fie $A=(a_{ij})$ și $B=(b_{ij})$ două matrice simetrice de ordin $n$, adică $a_{ij}=a_{ji}$ și $b_{ij}=b_{ji}$ pentru orice pereche de indici (1 p). Elementul de pe poziția $(i,j)$ al sumei este $a_{ij}+b_{ij}$, iar cel de pe poziția simetrică $(j,i)$ este $a_{ji}+b_{ji}=a_{ij}+b_{ij}$ (1,5 p). Cele două coincid pentru orice $i$ și $j$, deci ${}^t(A+B)=A+B$, adică suma este simetrică (0,5 p). $■$

b) (2 p) Contraexemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$ (1 p). Suma lor este $$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right),$$ matrice diagonală (chiar scalară), deși niciunul dintre termeni nu este diagonal: ambii au elementul de pe poziția $(1,2)$ nenul (1 p). Explicația: elementele din afara diagonalei nu trebuie să fie nule fiecare, ci doar să se anuleze reciproc la adunare.

c) (3 p) Adunăm $2{}^{t}A$ în ambii membri: $X=A+2{}^{t}A$ (0,5 p). Cum ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 5\end{array}\right)$, avem $2{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& 10\end{array}\right)$ (1 p), deci $$X=\left(\begin{array}{cc}2+4& -1+6\\ 3-2& 5+10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 5\\ 1& 15\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare prin înlocuire: $X-2{}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}6-4& 5-6\\ 1+2& 15-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 5\end{array}\right)=A$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Cele două matrice au același tip, $2\times 3$, iar contractul de citire este identic (aceleași ateliere pe linii, aceleași tipuri de piese pe coloane), deci adunarea are sens și se face element cu element (0,5 p): $$M+A=\left(\begin{array}{ccc}255& 155& 150\\ 175& 260& 140\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare prin sume: producția totală din martie este $120+85+60+95+140+75=575$ de bucăți, cea din aprilie $135+70+90+80+120+65=560$, iar suma elementelor rezultatului este $255+155+150+175+260+140=1135=575+560$ ✓ (1 p).

b) (3 p) Diferența se ia în ordinea „luna nouă minus luna veche", altfel toate semnele s-ar interpreta pe dos (0,5 p): $$A-M=\left(\begin{array}{ccc}15& -15& 30\\ -15& -20& -10\end{array}\right)$$ (1,5 p). Valorile negative arată scăderi. Singura coloană cu ambele elemente negative este a doua ($-15$ și $-20$), deci producția a scăzut în ambele ateliere doar la piesa de tipul al doilea (1 p). (La tipul al treilea, atelierul întâi a crescut cu $30$ de bucăți, deci coloana nu se numără.)

c) (2 p) O creștere de $20\%$ înseamnă înmulțirea fiecărei valori cu $1,2$, adică înmulțirea întregii matrice cu scalarul $1,2$ — un singur factor care atinge toate căsuțele (1 p): $$1,2\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}162& 84& 108\\ 96& 144& 78\end{array}\right)$$ (1 p). Toate valorile au ieșit numere întregi de bucăți, ceea ce confirmă calculul.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $3A=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 9& 0\end{array}\right)$ și $2B=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ -4& 10\end{array}\right)$ (1 p), deci $$3A-2B=\left(\begin{array}{cc}4& -11\\ 13& -10\end{array}\right)$$ (1 p).

b) (2 p) Pe primul drum, $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& 5\end{array}\right)$, deci ${}^t(A+B)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& 5\end{array}\right)$ (1 p). Pe al doilea, ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 0\end{array}\right)$ și ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 5\end{array}\right)$, cu suma $${}^{t}A+{}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& 5\end{array}\right),$$ adică aceeași matrice, ceea ce trebuia verificat ✓ (1 p).

c) (2 p) Din $X+2A=B$ obținem $X=B-2A$ (0,5 p); cum $2A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 6& 0\end{array}\right)$, $$X=\left(\begin{array}{cc}1-4& 4+2\\ -2-6& 5-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ -8& 5\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare: $X+2A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 5\end{array}\right)=B$ ✓ (0,5 p).

d) (2 p) Calculăm matricea cu $m$ ca literă (0,5 p): $$mA+B=\left(\begin{array}{cc}2m& -m\\ 3m& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2m+1& -m+4\\ 3m-2& 5\end{array}\right).$$ Diagonala principală conține elementele $2m+1$ și $5$, deci condiția devine $2m+1+5=10$, adică $2m=4$ și $m=2$ (1 p). Verificare: pentru $m=2$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 5\end{array}\right)$, cu $5+5=10$ ✓ (0,5 p).