Test: operații cu polinoame

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Polinoame

Pentru părinți și profesori

Acest test deschide capitolul de polinoame și verifică exact ceea ce face din polinom un obiect nou, diferit de „expresia cu $x$ " din anii trecuți: un polinom este o listă finită de coeficienți, așezată pe puteri ale nedeterminatei $X$ , iar toate operațiile se fac pe această listă. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: forma algebrică și gradul — coeficientul dominant, termenul liber, apartenența la $Z [X]$ , $Q [X]$ , $R [X]$ sau $C [X]$ și, mai ales, excepția care se reține pe viață: polinomul nul nu are grad, iar „grad $0$ " înseamnă constantă nenulă. Al doilea: operațiile — adunarea și scăderea se fac pe coeficienți de același rang și pot coborî gradul, în timp ce înmulțirea îl ridică după regula fixă $grad (f g) = grad f + grad g$ , valabilă pentru orice două polinoame nenule din $C [X]$ . Al treilea: egalitatea a două polinoame, adică metoda identificării coeficienților — motorul care transformă o identitate polinomială într-un sistem de ecuații. Al patrulea: valoarea polinomului și rădăcinile — substituția $X = a$ , scurtăturile $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 1)$ și faptul că în $C$ rădăcinile nu mai lipsesc, cum se întâmpla în $R$ .

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un răspuns este complet doar dacă polinomul final este scris ordonat descrescător după puteri și dacă gradul cerut este justificat, nu doar afirmat. Se depunctează: confundarea polinomului nul cu polinoamele de grad $0$ , „uitarea" coeficienților nuli la scrierea listei și afirmația că gradul sumei este întotdeauna maximul gradelor.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe grad și pe metoda identificării coeficienților.
Formule de reținut: forma algebrică a unui polinom cu coeficienți complecși este $f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in C;$ $a_{0}$ este termenul liber, iar dacă $a_{n} \neq = 0$ , atunci $a_{n}$ este coeficientul dominant și $grad f = n$ . Polinomul nul nu are grad. Egalitatea: $f = g$ dacă și numai dacă au aceiași coeficienți pe fiecare rang (metoda identificării coeficienților). Operațiile: coeficientul de rang $k$ al sumei este $a_{k} + b_{k}$ , iar cel al produsului este $c_{k} = i + j = k \sum a_{i} b_{j} = a_{0} b_{k} + a_{1} b_{k - 1} + \dots + a_{k} b_{0} .$ Pentru $f, g \neq = 0$ avem $grad (f \cdot g) = grad f + grad g$ , în timp ce despre sumă se poate spune doar $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ . Valori: $f (0) = a_{0}$ (termenul liber), $f (1) = a_{n} + \dots + a_{1} + a_{0}$ (suma coeficienților), iar $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Forma algebrică, gradul și operațiile de bază

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Gradul polinomului $f = 4 X^{2} - 7 X^{5} + 2 X - 9$ este: A. $2$ ; B. $3$ ; C. $5$ ; D. $9$ .

b) Dintre expresiile de mai jos, nu este polinom: A. $X^{3} - 2 X$ ; B. $\frac{2}{X} + 1$ ; C. $(1 - i) X^{2}$ ; D. $7$ .

c) Coeficientul dominant al polinomului $g = (2 - i) X^{3} + 5 X^{2} - X$ este: A. $2 - i$ ; B. $5$ ; C. $- 1$ ; D. $0$ .

Itemul 2 (6 puncte)

Se consideră polinoamele $f = 2 X^{3} - X^{2} + 4 X - 5$ și $g = - 2 X^{3} + 3 X^{2} - 4 X + 1$ . Determină (câte 1,5 puncte): a) $f + g$ ; b) $f - g$ ; c) $grad (f \cdot g)$ , fără a efectua produsul; d) termenul liber al polinomului $f \cdot g$ .

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Polinomul nul are gradul $0$ ." b) „Dacă $f$ și $g$ sunt polinoame nenule din $C [X]$ , atunci $grad (f \cdot g) = grad f + grad g$ ." c) „Suma a două polinoame de gradul al treilea este întotdeauna un polinom de gradul al treilea." d) „Dacă $f (1) = 0$ , atunci suma coeficienților lui $f$ este $0$ ."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Pentru $f = X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ , calculează $f (2)$ și $f (i)$ . (3 p) b) Determină $a \in C$ astfel încât polinomul $g = X^{3} - 3 X^{2} + a X - 2$ să aibă rădăcina $x = 2$ . (3 p)

Partea a II-a – Înmulțire, identificarea coeficienților, valori și rădăcini

Itemul 5 (8 puncte)

Efectuează înmulțirile și scrie rezultatul ordonat descrescător după puteri (câte 2 puncte): a) $(X^{2} - 3 X + 2) (X + 4)$ ; b) $(2 X - 1) (X^{2} + X - 3)$ ; c) $((1 + i) X + 2) ((1 - i) X - 2)$ ; d) $(X - i) (X + i) (X^{2} + 1)$ .

Itemul 6 (7 puncte)

a) Determină numerele reale $a$ , $b$ , $c$ pentru care are loc identitatea $X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1 = (X - 1) (X^{2} + a X + b) + c .$ (4 p) b) Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care polinomul $f = (m - 2) X^{3} + (n + 1) X^{2} - 3 X + (m + n)$ este egal cu polinomul $g = 4 X^{2} - 3 X + 5$ . (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră polinoamele $f = 3 X^{2} - X + 2$ și $g = X^{3} + 2 X^{2} + X - 5$ . a) Determină gradul, coeficientul dominant și coeficientul lui $X^{3}$ din polinomul $f \cdot g$ , fără a efectua produsul în întregime. (4 p) b) Arată că nu există polinoame $f_{1}, g_{1} \in C [X]$ cu $grad f_{1} = 2$ , $grad g_{1} = 3$ și $f_{1} \cdot g_{1} = X^{4} + 1$ . (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Calculează suma coeficienților polinomului $f = (2 X - 3)^{4} (X^{2} + X - 1)^{3}$ , fără a-l dezvolta. (3 p) b) Determină termenul liber și suma coeficienților polinomului $g = (X^{3} - 2 X + 4)^{2} (X + 1)$ . (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Determină toate rădăcinile din $C$ ale polinomului $f = X^{4} - 16$ și scrie descompunerea lui în factori de gradul întâi. (4 p) b) Arată că polinomul $h = X^{4} + X^{2} + 1$ nu are nicio rădăcină reală. (2 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, dacă $f, g \in C [X]$ sunt polinoame nenule, atunci $f \cdot g \neq = 0$ și $grad (f \cdot g) = grad f + grad g .$ (5 p) b) Deduce că, dacă $f \cdot g = 0$ în $C [X]$ , atunci $f = 0$ sau $g = 0$ , și arată printr-un exemplu că afirmația „ $grad (f + g) = max (grad f, grad g)$ " este falsă. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 2$ . a) Determină numerele reale $a$ , $b$ , $c$ , $d$ pentru care $f = a (X - 1)^{3} + b (X - 1)^{2} + c (X - 1) + d$ . (5 p) b) Folosind rezultatul de la a), scrie $f$ ca produs de factori de gradul întâi și precizează rădăcinile lui. (3 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră polinomul $f = X^{2} + (a + bi) X + (3 - i)$ , unde $a, b \in R$ , despre care se știe că $f (i) = 0$ . a) Determină $a$ și $b$ . (5 p) b) Pentru valorile găsite, determină cealaltă rădăcină a polinomului $f$ . (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră polinomul $f = X^{3} + m X^{2} - X + n$ , cu $m, n \in R$ . a) Arătați că $f (1) = f (- 1)$ , oricare ar fi numerele reale $m$ și $n$ . (3 p) b) Determinați $m$ și $n$ știind că $f (1) = 0$ și $f (2) = 9$ . (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Gradul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul, iar termenul $- 7 X^{5}$ îl dă pe acesta. Ordonat descrescător, $f = - 7 X^{5} + 4 X^{2} + 2 X - 9$ ; valoarea $9$ este termenul liber, nu gradul. b) B. Într-un polinom, nedeterminata apare numai la puteri cu exponent număr natural. Expresia $\frac{2}{X} + 1$ conține $X^{- 1}$ , deci nu este polinom. Varianta A este polinom din $R [X]$ , varianta C din $C [X]$ , iar $7$ este polinom constant, de grad $0$ . c) A. Coeficientul dominant este coeficientul puterii de grad maxim, adică al lui $X^{3}$ ; el este $2 - i$ . Coeficienții pot fi numere complexe — programa cere explicit $C [X]$ .

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. a) Adunăm coeficienții de același rang: $f + g = (2 - 2) X^{3} + (- 1 + 3) X^{2} + (4 - 4) X + (- 5 + 1) = 2 X^{2} - 4.$ Observă coborârea gradului: din două polinoame de gradul al treilea a rezultat unul de gradul al doilea, pentru că termenii dominanți s-au anulat. b) Scădem coeficient cu coeficient: $f - g = (2 + 2) X^{3} + (- 1 - 3) X^{2} + (4 + 4) X + (- 5 - 1) = 4 X^{3} - 4 X^{2} + 8 X - 6.$ c) Ambele polinoame sunt nenule și de gradul $3$ , deci $grad (f \cdot g) = 3 + 3 = 6$ . (Aici nu apare nicio surpriză: coeficientul dominant al produsului este $2 \cdot (- 2) = - 4 \neq = 0$ .) d) Termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi: $(- 5) \cdot 1 = - 5$ . Echivalent, $(f \cdot g) (0) = f (0) \cdot g (0)$ .

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Polinomul nul nu are grad: definiția cere cel mai mare rang $k$ cu $a_{k} \neq = 0$ , iar la polinomul nul nu există niciun asemenea rang. Polinoamele de grad $0$ sunt constantele nenule ( $f = 5$ , $f = - i$ ). b) A. Dacă $a_{n} \neq = 0$ și $b_{m} \neq = 0$ sunt coeficienții dominanți, coeficientul lui $X^{n + m}$ din produs este $a_{n} b_{m}$ , iar în $C$ un produs de două numere nenule este nenul. Deci produsul are exact gradul $n + m$ . c) F. Gradul poate coborî. Contraexemplu: $(X^{3} + 1) + (- X^{3} + X) = X + 1$ , polinom de gradul $1$ . Corect este doar $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ . d) A. Prin definiția valorii, $f (1) = a_{n} \cdot 1^{n} + \dots + a_{1} \cdot 1 + a_{0} = a_{n} + \dots + a_{1} + a_{0}$ , adică exact suma coeficienților. Dacă $f (1) = 0$ , suma lor este $0$ .

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Înlocuim direct: $f (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 1 = 8 - 8 + 10 - 1 = 9$ (1,5 p). Pentru $f (i)$ folosim $i^{2} = - 1$ și $i^{3} = - i$ : $f (i) = i^{3} - 2 i^{2} + 5 i - 1 = - i + 2 + 5 i - 1 = 1 + 4 i$ (1,5 p).

b) (3 p) Condiția „ $2$ este rădăcină" înseamnă $g (2) = 0$ (1 p): $g (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 2 a - 2 = 2 a - 6 = 0 ⟹ a = 3$ (1,5 p). Verificare: pentru $a = 3$ , $g = X^{3} - 3 X^{2} + 3 X - 2$ și $g (2) = 8 - 12 + 6 - 2 = 0$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p desfacerea parantezelor, 1 p reducerea termenilor asemenea).

a) $(X^{2} - 3 X + 2) (X + 4) = X^{3} + 4 X^{2} - 3 X^{2} - 12 X + 2 X + 8$ , deci $(X^{2} - 3 X + 2) (X + 4) = X^{3} + X^{2} - 10 X + 8.$ b) $(2 X - 1) (X^{2} + X - 3) = 2 X^{3} + 2 X^{2} - 6 X - X^{2} - X + 3$ , deci $(2 X - 1) (X^{2} + X - 3) = 2 X^{3} + X^{2} - 7 X + 3.$ c) Coeficientul dominant este $(1 + i) (1 - i) = 1 - i^{2} = 2$ , iar coeficientul lui $X$ este $- 2 (1 + i) + 2 (1 - i) = - 4 i$ : $((1 + i) X + 2) ((1 - i) X - 2) = 2 X^{2} - 4 i X - 4.$ d) Grupăm convenabil: $(X - i) (X + i) = X^{2} - i^{2} = X^{2} + 1$ , deci $(X - i) (X + i) (X^{2} + 1) = (X^{2} + 1)^{2} = X^{4} + 2 X^{2} + 1.$

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Desfacem membrul drept (1 p): $(X - 1) (X^{2} + a X + b) + c = X^{3} + (a - 1) X^{2} + (b - a) X + (c - b) .$ Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă au aceiași coeficienți pe fiecare rang, deci identificăm (1 p): $a - 1 = - 2, b - a = 5, c - b = - 1.$ Din prima relație $a = - 1$ ; înlocuind în a doua, $b = 5 + a = 4$ ; din a treia, $c = - 1 + b = 3$ (1,5 p). Verificare: $(X - 1) (X^{2} - X + 4) + 3 = X^{3} - X^{2} + 4 X - X^{2} + X - 4 + 3 = X^{3} - 2 X^{2} + 5 X - 1$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Polinomul $g$ are gradul $2$ , deci coeficientul lui $X^{3}$ din $f$ trebuie să fie nul (1 p): $m - 2 = 0, n + 1 = 4, - 3 = - 3, m + n = 5.$ Din primele două relații, $m = 2$ și $n = 3$ (1,5 p); ultima este atunci automat îndeplinită, $2 + 3 = 5$ ✓ (0,5 p). (Dacă ultima relație nu s-ar verifica, sistemul ar fi incompatibil și nu ar exista soluție — de aceea se verifică toate rangurile, nu doar câteva.)

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Ambele polinoame sunt nenule, deci $grad (f \cdot g) = 2 + 3 = 5$ (1 p), iar coeficientul dominant este produsul coeficienților dominanți: $3 \cdot 1 = 3$ (1 p). Pentru coeficientul lui $X^{3}$ folosim formula $c_{k} = \sum_{i + j = k} a_{i} b_{j}$ , cu $a_{2} = 3$ , $a_{1} = - 1$ , $a_{0} = 2$ și $b_{3} = 1$ , $b_{2} = 2$ , $b_{1} = 1$ , $b_{0} = - 5$ (1 p): $c_{3} = a_{0} b_{3} + a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3$ (1 p).

b) (3 p) Dacă asemenea polinoame ar exista, ele ar fi nenule (au grad), deci, prin teorema gradului produsului, $grad (f_{1} \cdot g_{1}) = 2 + 3 = 5$ (2 p). Dar $grad (X^{4} + 1) = 4 \neq = 5$ , contradicție; prin urmare asemenea polinoame nu există (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Suma coeficienților unui polinom este valoarea lui în $1$ (1 p). Cum evaluarea respectă înmulțirea, $f (1) = (2 \cdot 1 - 3)^{4} \cdot (1 + 1 - 1)^{3}$ (1 p), adică $f (1) = (- 1)^{4} \cdot 1^{3} = 1$ (1 p).

b) (3 p) Termenul liber este $g (0) = (0 - 0 + 4)^{2} \cdot (0 + 1) = 16$ (1,5 p), iar suma coeficienților este $g (1) = (1 - 2 + 4)^{2} \cdot (1 + 1) = 9 \cdot 2 = 18$ (1,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (4 p) Scriem $X^{4} - 16 = (X^{2} - 4) (X^{2} + 4)$ (1 p). Primul factor dă $X^{2} = 4$ , adică $x = 2$ sau $x = - 2$ (1 p); al doilea dă $X^{2} = - 4$ , adică $x = 2 i$ sau $x = - 2 i$ , pentru că $(\pm 2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ (1 p). Prin urmare $f = (X - 2) (X + 2) (X - 2 i) (X + 2 i)$ (1 p). Verificare: $(X - 2) (X + 2) = X^{2} - 4$ și $(X - 2 i) (X + 2 i) = X^{2} + 4$ , iar produsul lor este $X^{4} - 16$ ✓

b) (2 p) Pentru orice $x$ real, $x^{2} \geq 0$ și $x^{4} \geq 0$ , deci $x^{4} + x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ (1,5 p). O sumă strict pozitivă nu se poate anula, deci $h$ nu are rădăcini reale (0,5 p). (În $C$ însă are patru rădăcini — le vei determina în lecțiile despre descompunerea în factori.)

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $f = a_{n} X^{n} + \dots + a_{0}$ cu $a_{n} \neq = 0$ și $g = b_{m} X^{m} + \dots + b_{0}$ cu $b_{m} \neq = 0$ , deci $grad f = n$ și $grad g = m$ (0,5 p).

Care este cel mai mare rang posibil? Coeficientul de rang $k$ al produsului este $c_{k} = \sum_{i + j = k} a_{i} b_{j}$ . Dacă $k > n + m$ , atunci în fiecare pereche $(i, j)$ cu $i + j = k$ avem fie $i > n$ , fie $j > m$ (altfel $i + j \leq n + m < k$ ), deci fiecare produs $a_{i} b_{j}$ este nul și $c_{k} = 0$ (2 p). Prin urmare produsul nu are termeni de rang mai mare decât $n + m$ .

Ce se întâmplă exact la rangul $n + m$ ? Singura pereche $(i, j)$ cu $i + j = n + m$ , $i \leq n$ și $j \leq m$ este $(n, m)$ ; toate celelalte contribuții sunt nule. Așadar $c_{n + m} = a_{n} b_{m}$ (1,5 p). Cum $a_{n} \neq = 0$ și $b_{m} \neq = 0$ , iar în $C$ produsul a două numere nenule este nenul, rezultă $c_{n + m} \neq = 0$ (0,5 p). Deci $f \cdot g$ are un coeficient nenul (nu este polinomul nul), iar cel mai mare rang cu coeficient nenul este $n + m$ , adică $grad (f \cdot g) = n + m$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Prin reducere la absurd: dacă am avea $f \neq = 0$ și $g \neq = 0$ , punctul a) ar da $f \cdot g \neq = 0$ , contrazicând ipoteza $f \cdot g = 0$ . Deci cel puțin unul dintre polinoame este nul (2 p). (Se spune că $C [X]$ nu are divizori ai lui zero.) Pentru sumă, afirmația este falsă: $f = X^{2} + X$ și $g = - X^{2} + 1$ au ambele gradul $2$ , dar $f + g = X + 1$ are gradul $1 \neq = 2$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (5 p) Notăm $t = X - 1$ , deci $X = t + 1$ (1 p), și înlocuim: $f = (t + 1)^{3} - 4 (t + 1)^{2} + 5 (t + 1) - 2.$ Dezvoltăm fiecare putere (1,5 p): $(t + 1)^{3} = t^{3} + 3 t^{2} + 3 t + 1, (t + 1)^{2} = t^{2} + 2 t + 1.$ Adunăm termenii de același rang (1,5 p): $f = t^{3} + (3 - 4) t^{2} + (3 - 8 + 5) t + (1 - 4 + 5 - 2) = t^{3} - t^{2} .$ Prin urmare $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = 0$ , $d = 0$ , adică $f = (X - 1)^{3} - (X - 1)^{2}$ (1 p).

b) (3 p) Dăm factor comun $(X - 1)^{2}$ (1 p): $f = (X - 1)^{2} [(X - 1) - 1] = (X - 1)^{2} (X - 2)$ (1 p). Rădăcinile lui $f$ sunt $x = 1$ (care apare de două ori în descompunere) și $x = 2$ (1 p). Verificare: $(X - 1)^{2} (X - 2) = (X^{2} - 2 X + 1) (X - 2) = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X - 2$ ✓

Itemul 12. (8 p)

a) (5 p) Calculăm $f (i)$ , folosind $i^{2} = - 1$ (1 p): $f (i) = i^{2} + (a + bi) i + 3 - i = - 1 + ai + b i^{2} + 3 - i .$ Grupăm partea reală și partea imaginară (1,5 p): $f (i) = (- 1 - b + 3) + (a - 1) i = (2 - b) + (a - 1) i .$ Un număr complex este nul dacă și numai dacă ambele părți sunt nule (1 p): $2 - b = 0 ș i a - 1 = 0 ⟹ a = 1, b = 2$ (1 p). Verificare: $f = X^{2} + (1 + 2 i) X + (3 - i)$ și $f (i) = - 1 + (1 + 2 i) i + 3 - i = - 1 + i - 2 + 3 - i = 0$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Pentru un polinom de gradul al doilea monic, produsul rădăcinilor este termenul liber (1 p): $i \cdot x_{2} = 3 - i ⟹ x_{2} = \frac{3 - i}{i} = \frac{( 3 - i ) ( - i )}{i \cdot ( - i )} = \frac{- 3 i + i ^{2}}{1} = - 1 - 3 i$ (1,5 p). Verificare prin sumă: $i + (- 1 - 3 i) = - 1 - 2 i = - (1 + 2 i)$ , exact opusul coeficientului lui $X$ ✓ (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Calculăm cele două valori (1 p): $f (1) = 1 + m - 1 + n = m + n, f (- 1) = - 1 + m + 1 + n = m + n$ (1,5 p). Cele două rezultate coincid, deci $f (1) = f (- 1)$ oricare ar fi $m, n \in R$ (0,5 p). (Explicația structurală: termenii de grad impar, $X^{3}$ și $- X$ , își schimbă semnul la înlocuirea lui $1$ cu $- 1$ , iar aici ei se anulează reciproc: $1 - 1 = 0$ și $- 1 + 1 = 0$ .)

b) (5 p) Din $f (1) = 0$ obținem, folosind punctul a), prima ecuație (1 p): $m + n = 0.$ Calculăm apoi $f (2) = 8 + 4 m - 2 + n = 4 m + n + 6$ , deci condiția $f (2) = 9$ dă (1,5 p) $4 m + n = 3.$ Scăzând prima ecuație din a doua, $3 m = 3$ , deci $m = 1$ și $n = - 1$ (1,5 p). Verificare: $f = X^{3} + X^{2} - X - 1$ , iar $f (1) = 1 + 1 - 1 - 1 = 0$ ✓ și $f (2) = 8 + 4 - 2 - 1 = 9$ ✓ (1 p).