Test: ordinul unui element și teorema lui Lagrange

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Grupuri

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică miezul teoretic al unității: mărimea numerică numită ordinul unui element și teorema care o leagă de numărul de elemente al grupului. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: definiția ordinului, $\mathrm{ord}(x)$ este cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $x^n=e$, și deosebirea lui de $\mathrm{card}G$, care este numărul de elemente al grupului — două mărimi diferite, cu notații diferite. Al doilea: calculul ordinului — prin puteri succesive, prin scurtătura divizorilor unui exponent care dă elementul neutru, sau cu formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$ în grupul aditiv al claselor de resturi. Al treilea: teorema lui Lagrange pentru grupuri finite — atenție, este cu totul altă teoremă decât cea a creșterilor finite, de la analiză, iar la examen se citează cu precizarea capitolului — împreună cu mecanismul demonstrației: clasele la stânga $xH$ au toate același cardinal, nu se suprapun și acoperă grupul. Al patrulea: Consecința 1 ($\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$), Consecința 2 ($x^{\mathrm{card}G}=e$) și Consecința 3 (un grup cu un număr prim de elemente este ciclic), folosite atât pentru a exclude cardinale și ordine imposibile, cât și pentru a reduce exponenți uriași. Al cincilea: subgrupul generat $⟨x⟩$, egalitatea $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$ și recunoașterea grupurilor ciclice, cu determinarea generatorilor.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu subgrupul generat răspunsul se scrie ca mulțime, cu acolade, nu ca număr.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice grup se scrie mai întâi $\mathrm{card}G$ și divizorii lui. La orice putere cu exponent mare se scrie explicit împărțirea cu rest. Se depunctează: confundarea lui $\mathrm{ord}(x)$ cu $\mathrm{card}G$, concluzia „din $x^k=e$ rezultă $\mathrm{ord}(x)=k$", folosirea formulei $\frac{n}{(a,n)}$ în grupul multiplicativ al claselor inversabile, citirea inversă a teoremei lui Lagrange (din faptul că un număr divide cardinalul nu rezultă existența unui subgrup cu atâtea elemente) și calculul ordinului unei permutări prin metode nepredate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe teorema exponenților și pe cele trei consecințe.
• Formule de reținut: ordinul elementului $x$ este cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $x^n=e$, notat $\mathrm{ord}(x)$; dacă un astfel de număr nu există, $\mathrm{ord}(x)=\infty$. Într-un grup finit orice element are ordin finit, iar $$x^k=e⟺\mathrm{ord}(x)\mid k,x^i=x^j⟺\mathrm{ord}(x)\mid (i-j),x^{-1}=x^{\mathrm{ord}(x)-1}.$$ În grupul aditiv al claselor de resturi, $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$, cu convenția $(0,n)=n$; aceeași formulă dă $\mathrm{ord}({\epsilon }_k)=\frac{n}{(k,n)}$ în $U_n$. Ordinul unei permutări se calculează prin puteri succesive, până la permutarea identică. Clasa la stânga: $xH=\{xh\mid h\in H\}$; toate clasele au $\mathrm{card}H$ elemente, sunt disjuncte două câte două și acoperă grupul. Teorema lui Lagrange (grupuri finite): dacă $H$ este subgrup al grupului finit $G$, atunci $\mathrm{card}H\mid \mathrm{card}G$, iar numărul claselor este $\frac{\mathrm{card}G}{\mathrm{card}H}$. Consecința 1: $\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$. Consecința 2: $x^{\mathrm{card}G}=e$. Consecința 3: orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic, iar orice element diferit de $e$ îl generează. Subgrupul generat: $⟨x⟩=\{x^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$, cu $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$; clasa $\hat{k}$ generează $({\mathbb{Z}}_n,+)$ dacă și numai dacă $(k,n)=1$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Ordinul unui element

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) În grupul $({\mathbb{Z}}_{20},+)$, ordinul clasei $\hat{8}$ este: A. $4$; B. $5$; C. $8$; D. $20$.

b) Un grup cu $15$ elemente poate avea un subgrup cu: A. $4$ elemente; B. $6$ elemente; C. $5$ elemente; D. $10$ elemente.

c) Numărul generatorilor grupului $({\mathbb{Z}}_{14},+)$ este: A. $2$; B. $6$; C. $7$; D. $13$.

Itemul 2 (6 puncte)

Rezolvă cerințele următoare, folosind formula ordinului unei clase de resturi (câte 2 puncte): a) determină $\mathrm{ord}\left(\widehat{10}\right)$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{24},+)$; b) determină $\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{21},+)$; c) determină toate elementele de ordinul $4$ ale grupului $({\mathbb{Z}}_{16},+)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră permutarea $\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 1& 2& 5& 4\end{array}\right)$ din grupul $(S_5,\circ )$. a) Calculează ${\sigma }^2$ și ${\sigma }^3$ și determină $\mathrm{ord}(\sigma )$. (4 p) b) Calculează ${\sigma }^{2027}$. (2 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă într-un grup $x^{20}=e$, atunci $\mathrm{ord}(x)=20$." b) „Dacă un număr $d$ divide $\mathrm{card}G$, atunci grupul finit $G$ are un subgrup cu $d$ elemente." c) „Într-un grup cu $11$ elemente, orice element diferit de elementul neutru are ordinul $11$." d) „Grupul $(S_3,\circ )$ este ciclic."

Partea a II-a – Teorema lui Lagrange și subgrupul generat

Itemul 5 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ și se consideră mulțimea $H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}\}$. a) Arată că $H$ este subgrup și determină $\mathrm{card}H$. (2 p) b) Determină toate clasele la stânga distincte $x+H$, cu $x\in {\mathbb{Z}}_{12}$. (4 p) c) Verifică pe acest exemplu teorema lui Lagrange pentru grupuri finite și precizează numărul claselor. (2 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se lucrează în grupul $({\mathbb{Z}}_{24},+)$. a) Determină $\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)$. (2 p) b) Determină subgrupul $⟨\hat{9}⟩$, scriindu-l ca mulțime, și verifică egalitatea $\mathrm{card}⟨\hat{9}⟩=\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)$. (3 p) c) Determină toți generatorii grupului $({\mathbb{Z}}_{24},+)$ și precizează câți sunt. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se lucrează în grupul $(U({\mathbb{Z}}_{11},\cdot ),\cdot )$ al claselor inversabile modulo $11$. a) Determină $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_{11},\cdot )$ și justifică, folosind Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, că ${\hat{a}}^{10}=\hat{1}$ pentru orice element al grupului. (2 p) b) Calculează ${\hat{6}}^{2027}$. (3 p) c) Determină $\mathrm{ord}\left(\hat{6}\right)$, testând numai divizorii lui $10$. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Alcătuiește profilul ordinelor pentru grupul $({\mathbb{Z}}_{10},+)$. (3 p) b) Alcătuiește profilul ordinelor pentru grupul $(U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot ),\cdot )$. (3 p)

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 9 (6 puncte)

Fie $G$ un grup cu $\mathrm{card}G=13$. a) Determină toate subgrupurile lui $G$, justificând cu teorema lui Lagrange pentru grupuri finite. (3 p) b) Arată că $G$ este ciclic și precizează câți generatori are. (3 p)

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $G$ un grup finit cu $\mathrm{card}G=20$, cu elementul neutru $e$, și fie $x\in G$. a) Ce valori poate lua $\mathrm{ord}(x)$? Justifică. (2 p) b) Arată că $x^{2027}=x^7$. (3 p) c) Arată că, dacă $x^6=e$ și $x\ne e$, atunci $\mathrm{ord}(x)=2$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se lucrează în grupul $({\mathbb{Z}}_{24},+)$ și se consideră mulțimea $H=\left\{x\in {\mathbb{Z}}_{24}\mid 6x=\hat{0}\right\}$. a) Arată că $H$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_{24},+)$. (3 p) b) Determină $H$, scriindu-l ca mulțime, și precizează $\mathrm{card}H$. (3 p) c) Verifică teorema lui Lagrange pentru $H$ și Consecința 1 pentru elementul $\hat{4}$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Arată că grupul $({\mathbb{Z}}_{15},+)$ este ciclic și determină numărul generatorilor lui. (3 p) b) Determină ordinul fiecărui element al grupului $(U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot ),\cdot )$ și arată că acest grup nu este ciclic. (5 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră grupul $({\mathbb{Z}}_{28},+)$. a) Determinați $\mathrm{ord}\left(\widehat{12}\right)$. (2 p) b) Determinați subgrupul $⟨\widehat{12}⟩$, scriindu-l ca mulțime. (3 p) c) Determinați toate elementele de ordinul $4$ ale grupului și verificați pentru ele Consecința 1 a teoremei lui Lagrange. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Cu formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{n}{(a,n)}$ și $(8,20)=4$ obținem $\mathrm{ord}\left(\hat{8}\right)=\frac{20}{4}=5$. Varianta A dă cel mai mare divizor comun, nu ordinul.

b) (2 p) C. Din teorema lui Lagrange pentru grupuri finite, cardinalul unui subgrup divide $15$, deci se află printre $1$, $3$, $5$, $15$. Singura valoare din listă care divide $15$ este $5$.

c) (2 p) B. Clasa $\hat{k}$ generează $({\mathbb{Z}}_{14},+)$ dacă și numai dacă $(k,14)=1$; numerele din $\{1,2,\dots ,13\}$ prime cu $14$ sunt $1,3,5,9,11,13$ — șase la număr.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte.

a) (2 p) $(10,24)=2$, deci $\mathrm{ord}\left(\widehat{10}\right)=\frac{24}{2}=12$. Verificare parțială: $12\cdot \widehat{10}=\widehat{120}=\hat{0}$, fiindcă $120=5\cdot 24$.

b) (2 p) $(9,21)=3$, deci $\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)=\frac{21}{3}=7$. Verificare: $7\cdot \hat{9}=\widehat{63}=\hat{0}$, fiindcă $63=3\cdot 21$.

c) (2 p) Cerem $\frac{16}{(a,16)}=4$, adică $(a,16)=4$. Valorile lui $a$ din $\{0,1,\dots ,15\}$ cu această proprietate sunt $4$ și $12$, deci elementele de ordinul $4$ sunt $\hat{4}$ și $\widehat{12}$.

Itemul 3. (6 p)

a) (4 p) Compunem cu regula „întâi cea din dreapta" (0,5 p): $${\sigma }^2(1)=\sigma (3)=2,{\sigma }^2(2)=\sigma (1)=3,{\sigma }^2(3)=\sigma (2)=1,{\sigma }^2(4)=\sigma (5)=4,{\sigma }^2(5)=\sigma (4)=5,$$ deci ${\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 1& 4& 5\end{array}\right)$ (1,25 p). Mai departe, $${\sigma }^3=\sigma \circ {\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 3& 5& 4\end{array}\right)\ne e$$ (1,25 p). Continuând, ${\sigma }^4=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 1& 2& 4& 5\end{array}\right)$, ${\sigma }^5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 1& 5& 4\end{array}\right)$ și ${\sigma }^6=e$; niciun exponent mai mic nu dă permutarea identică, deci $\mathrm{ord}(\sigma )=6$ (1 p).

b) (2 p) Împărțim exponentul la ordin: $2027=6\cdot 337+5$ (1 p), deci $${\sigma }^{2027}={\sigma }^5=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 1& 5& 4\end{array}\right)$$ (1 p).

Itemul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) (1,5 p) F. Din $x^{20}=e$ rezultă doar că $\mathrm{ord}(x)$ divide $20$, deci poate fi $1$, $2$, $4$, $5$, $10$ sau $20$. Contraexemplu: în $({\mathbb{Z}}_{20},+)$, clasa $\widehat{10}$ verifică $20\cdot \widehat{10}=\hat{0}$, dar are ordinul $2$.

b) (1,5 p) F. Teorema lui Lagrange pentru grupuri finite dă o condiție necesară, nu una suficientă: ea exclude cardinale, dar nu produce subgrupuri. Există grupuri cu $12$ elemente fără niciun subgrup cu $6$ elemente.

c) (1,5 p) A. Este Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: $11$ fiind prim, ordinul oricărui element divide $11$, deci este $1$ sau $11$; cum singurul element de ordinul $1$ este elementul neutru, restul au ordinul $11$.

d) (1,5 p) F. $\mathrm{card}{S}_3=6$, iar ordinele elementelor lui sunt $1$ (identitatea), $2$ (cele trei permutări care schimbă între ele două valori) și $3$ (celelalte două). Niciun element nu are ordinul $6$, deci niciunul nu generează tot grupul.

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $\hat{0}\in H$, deci $H\ne \varnothing$; stabilitatea: $\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}$, $\hat{3}+\hat{6}=\hat{9}$, $\hat{3}+\hat{9}=\widehat{12}=\hat{0}$, $\hat{6}+\hat{6}=\hat{0}$, $\hat{6}+\hat{9}=\widehat{15}=\hat{3}$, $\hat{9}+\hat{9}=\widehat{18}=\hat{6}$; opusele: $-\hat{3}=\hat{9}$, $-\hat{6}=\hat{6}$, $-\hat{9}=\hat{3}$, toate în $H$ (1,5 p). Deci $H$ este subgrup, cu $\mathrm{card}H=4$ (0,5 p).

b) (4 p) Calculăm clasele la stânga, în notație aditivă $x+H$ (1 p): $$\hat{0}+H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}\},\hat{1}+H=\{\hat{1},\hat{4},\hat{7},\widehat{10}\},\hat{2}+H=\{\hat{2},\hat{5},\hat{8},\widehat{11}\}$$ (2 p). Clasele lui $\hat{3},\hat{4},\dots ,\widehat{11}$ le repetă pe acestea trei: de pildă $\hat{3}+H=\{\hat{3},\hat{6},\hat{9},\hat{0}\}=\hat{0}+H$ (1 p).

c) (2 p) Sunt $k=3$ clase distincte, fiecare cu $4$ elemente, disjuncte două câte două și acoperind ${\mathbb{Z}}_{12}$, deci $12=3\cdot 4$ (1 p). Într-adevăr, $\mathrm{card}H=4$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{12}=12$, iar numărul claselor este $\frac{12}{4}=3$ (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) $(9,24)=3$, deci $\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)=\frac{24}{3}=8$.

b) (3 p) Adunăm succesiv $\hat{9}$ și reducem modulo $24$: $\hat{9}$, $\widehat{18}$, $\widehat{27}=\hat{3}$, $\widehat{12}$, $\widehat{21}$, $\hat{6}$, $\widehat{15}$, $\hat{0}$ (1,5 p). Prin urmare $$⟨\hat{9}⟩=\left\{\hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9},\widehat{12},\widehat{15},\widehat{18},\widehat{21}\right\}$$ (1 p), mulțime cu $8$ elemente, deci $\mathrm{card}⟨\hat{9}⟩=8=\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)$ ✓ (0,5 p).

c) (2 p) Clasa $\hat{k}$ este generator dacă și numai dacă $(k,24)=1$, adică $k$ nu se divide nici cu $2$, nici cu $3$ (0,5 p). Generatorii sunt $$\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},\widehat{19},\widehat{23},$$ în total opt (1,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Cum $11$ este prim, toate clasele nenule sunt inversabile, deci $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_{11},\cdot )=10$ (1 p). Consecința 2 a teoremei lui Lagrange spune că $x^{\mathrm{card}G}=e$ pentru orice element al unui grup finit; aplicată aici, ea dă ${\hat{a}}^{10}=\hat{1}$ pentru orice $\hat{a}\in U({\mathbb{Z}}_{11},\cdot )$ (1 p).

b) (3 p) Din a) putem reduce exponentul modulo $10$: $2027=10\cdot 202+7$ (1 p), deci ${\hat{6}}^{2027}={\hat{6}}^7$ (0,5 p). Calculăm pas cu pas, reducând modulo $11$: ${\hat{6}}^2=\widehat{36}=\hat{3}$, ${\hat{6}}^3=\widehat{18}=\hat{7}$, ${\hat{6}}^6=({\hat{6}}^3{)}^2=\widehat{49}=\hat{5}$, deci ${\hat{6}}^7=\hat{5}\cdot \hat{6}=\widehat{30}=\hat{8}$ (1,5 p).

c) (2 p) Din ${\hat{6}}^{10}=\hat{1}$ și din teorema exponenților rezultă că $\mathrm{ord}\left(\hat{6}\right)$ este divizor al lui $10$, deci se află printre $1$, $2$, $5$, $10$ (0,75 p). Testăm în ordine crescătoare: ${\hat{6}}^1=\hat{6}\ne \hat{1}$; ${\hat{6}}^2=\hat{3}\ne \hat{1}$; ${\hat{6}}^5={\hat{6}}^3\cdot {\hat{6}}^2=\hat{7}\cdot \hat{3}=\widehat{21}=\widehat{10}\ne \hat{1}$ (0,75 p). Rămâne $\mathrm{ord}\left(\hat{6}\right)=10$ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Cu formula $\mathrm{ord}(\hat{a})=\frac{10}{(a,10)}$: $\mathrm{ord}\left(\hat{0}\right)=1$; $\mathrm{ord}\left(\hat{5}\right)=2$; $\mathrm{ord}\left(\hat{2}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{4}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{6}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{8}\right)=5$; $\mathrm{ord}\left(\hat{1}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{3}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{7}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)=10$ (2 p). Profilul ordinelor este deci (1 p):

b) (3 p) $U({\mathbb{Z}}_{12},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\right\}$, cu $4$ elemente. Calculăm pătratele: ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$, ${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1}$ (2 p). Prin urmare $\mathrm{ord}\left(\hat{1}\right)=1$, iar celelalte trei elemente au ordinul $2$; profilul este (1 p):

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Din teorema lui Lagrange pentru grupuri finite, cardinalul oricărui subgrup divide $13$ (1 p); cum $13$ este prim, divizorii lui sunt $1$ și $13$ (0,75 p). Un subgrup cu un element este $\{e\}$, fiindcă orice subgrup conține elementul neutru; un subgrup cu treisprezece elemente este $G$ însuși (1 p). Deci $G$ are exact două subgrupuri, ambele improprii (0,25 p).

b) (3 p) Fie $x\in G$, $x\ne e$. Din Consecința 1, $\mathrm{ord}(x)$ divide $13$, deci este $1$ sau $13$; cum singurul element de ordinul $1$ este $e$, rămâne $\mathrm{ord}(x)=13$ (1,5 p). Atunci $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)=13=\mathrm{card}G$, iar $⟨x⟩\subseteq G$, deci $⟨x⟩=G$: grupul este ciclic (1 p). Cum orice element diferit de $e$ îl generează, $G$ are $12$ generatori (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) Din Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, $\mathrm{ord}(x)$ divide $\mathrm{card}G=20$ (1 p), deci $$\mathrm{ord}(x)\in \{1,2,4,5,10,20\},$$ adică exact divizorii lui $20$; valoarea $1$ apare numai pentru $x=e$ (1 p).

b) (3 p) Din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $x^{20}=x^{\mathrm{card}G}=e$ (1 p). Împărțim exponentul cu rest: $2027=20\cdot 101+7$ (1 p), deci $$x^{2027}={\left(x^{20}\right)}^{101}\cdot x^7=e^{101}\cdot x^7=x^7$$ (1 p). $■$

c) (3 p) Notăm $d=\mathrm{ord}(x)$. Din $x^6=e$ și din teorema exponenților rezultă $d\mid 6$ (1 p); din Consecința 1 rezultă $d\mid 20$ (0,75 p). Prin urmare $d$ este divizor comun al lui $6$ și $20$, iar $(6,20)=2$, deci $d\in \{1,2\}$ (0,75 p). Cum $x\ne e$, valoarea $1$ este exclusă, deci $\mathrm{ord}(x)=2$ (0,5 p). $■$

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Verificăm criteriul de subgrup în notație aditivă. $\hat{0}\in H$, pentru că $6\cdot \hat{0}=\hat{0}$, deci $H\ne \varnothing$ (1 p). Dacă $x,y\in H$, atunci $6(x+y)=6x+6y=\hat{0}+\hat{0}=\hat{0}$, deci $x+y\in H$ (1,25 p). Dacă $x\in H$, atunci $6(-x)=-(6x)=-\hat{0}=\hat{0}$, deci $-x\in H$ (0,75 p).

b) (3 p) Condiția $6\hat{a}=\hat{0}$ înseamnă $\widehat{6a}=\hat{0}$, adică $24\mid 6a$, adică $4\mid a$ (1,5 p). Clasele care convin sunt cele ale multiplilor lui $4$: $$H=\left\{\hat{0},\hat{4},\hat{8},\widehat{12},\widehat{16},\widehat{20}\right\},\mathrm{card}H=6$$ (1,5 p).

c) (2 p) Teorema lui Lagrange: $\mathrm{card}H=6$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{24}=24$, iar numărul claselor la stânga este $\frac{24}{6}=4$ (1 p). Consecința 1 pentru $\hat{4}$: $(4,24)=4$, deci $\mathrm{ord}\left(\hat{4}\right)=\frac{24}{4}=6$, iar $6\mid 24$ ✓ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Clasa $\hat{1}$ are $\mathrm{ord}\left(\hat{1}\right)=\frac{15}{(1,15)}=15=\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{15}$, deci $⟨\hat{1}⟩={\mathbb{Z}}_{15}$ și grupul este ciclic (1,5 p). Generatorii sunt clasele $\hat{k}$ cu $(k,15)=1$, adică cele cu $k$ nedivizibil nici cu $3$, nici cu $5$: $\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{7},\hat{8},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{14}$ — în total opt (1,5 p).

b) (5 p) Mulțimea este $U({\mathbb{Z}}_{16},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{15}\right\}$, cu $8$ elemente (0,5 p). Calculăm puterile, reducând modulo $16$ (3 p): $${\hat{3}}^2=\hat{9},{\hat{3}}^4=\widehat{81}=\hat{1};{\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{9},{\hat{5}}^4=\hat{1};{\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1};{\hat{9}}^2=\widehat{81}=\hat{1};$$ $${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{9},{\widehat{11}}^4=\hat{1};{\widehat{13}}^2=\widehat{169}=\hat{9},{\widehat{13}}^4=\hat{1};{\widehat{15}}^2=\widehat{225}=\hat{1}.$$ Prin urmare $\mathrm{ord}\left(\hat{1}\right)=1$; $\mathrm{ord}\left(\hat{7}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{9}\right)=\mathrm{ord}\left(\widehat{15}\right)=2$; $\mathrm{ord}\left(\hat{3}\right)=\mathrm{ord}\left(\hat{5}\right)=\mathrm{ord}\left(\widehat{11}\right)=\mathrm{ord}\left(\widehat{13}\right)=4$ (1 p). Niciun element nu are ordinul $8$, iar un generator ar trebui să aibă $\mathrm{card}⟨x⟩=8$, deci $\mathrm{ord}(x)=8$; prin urmare grupul nu este ciclic (0,5 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $(12,28)=4$, deci $\mathrm{ord}\left(\widehat{12}\right)=\frac{28}{4}=7$.

b) (3 p) Adunăm succesiv $\widehat{12}$ și reducem modulo $28$: $\widehat{12}$, $\widehat{24}$, $\widehat{36}=\hat{8}$, $\widehat{20}$, $\widehat{32}=\hat{4}$, $\widehat{16}$, $\widehat{28}=\hat{0}$ (1,5 p). Prin urmare $$⟨\widehat{12}⟩=\left\{\hat{0},\hat{4},\hat{8},\widehat{12},\widehat{16},\widehat{20},\widehat{24}\right\}$$ (1 p), mulțime cu $7$ elemente, în acord cu $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$ (0,5 p).

c) (3 p) Cerem $\frac{28}{(a,28)}=4$, adică $(a,28)=7$ (1 p). Valorile lui $a$ din $\{0,1,\dots ,27\}$ cu această proprietate sunt $7$ și $21$, deci elementele de ordinul $4$ sunt $\hat{7}$ și $\widehat{21}$ (1,25 p). Consecința 1 se verifică: $4$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{28}=28$ (0,5 p). Control: $4\cdot \hat{7}=\widehat{28}=\hat{0}$, iar $2\cdot \hat{7}=\widehat{14}\ne \hat{0}$ ✓ (0,25 p).