Test: panta și ecuațiile dreptei

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Drepte în planul cartezian

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a unității de geometrie analitică: de la punct la ecuație. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: reperul cartezian cu cele două formule de bază — distanța dintre două puncte, care vine din teorema lui Pitagora, și coordonatele mijlocului unui segment, care sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Împreună cu ele intră în evaluare și simetricul unui punct față de un punct dat. Al doilea: panta, definită așa cum cere programa de matematică-informatică — nu ca un raport oarecare, ci ca tangenta unghiului de înclinare $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$, măsurat în sens trigonometric de la semiaxa pozitivă $Ox$. Din această definiție se citesc semnul pantei, natura unghiului și, mai ales, faptul că dreapta verticală nu are pantă. Al treilea: ecuația dreptei prin punct și pantă, $y-y_0=m(x-x_0)$, cu demonstrația ei prin dublă incluziune și cu observația că verticala nu se obține din ea pentru nicio valoare a lui $m$. Al patrulea: ecuația explicită $y=mx+n$, citirea celor doi coeficienți, intersecțiile cu axele și aria triunghiului determinat de dreaptă împreună cu axele de coordonate.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare ecuație de dreaptă scrisă se consideră completă doar dacă este verificată prin substituția punctului dat în ecuația obținută. Se depunctează: formularea „panta este infinită" în locul formulării corecte „dreapta este verticală, deci nu are pantă"; confundarea pantei nule a orizontalei cu lipsa pantei verticalei; omiterea parantezelor la coordonate negative în formula punct-pantă; citirea pantei fără a-l izola pe $y$; omiterea condiției $m\ne 0$ acolo unde apare o împărțire prin pantă; și, la problemele cu fascicul, omiterea verificării separate a verticalei.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe definiția pantei ca $\mathrm{tg}\alpha$ și pe formula punct-pantă.
• Formule de reținut: distanța dintre $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, iar mijlocul segmentului $[AB]$ este $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; simetricul lui $A$ față de $P$ este $A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A)$. Panta este $m=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ este unghiul de înclinare; din coordonate, $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},x_A\ne x_B,$$ iar pentru $\alpha =90^{\circ }$ tangenta nu există, deci dreapta verticală nu are pantă. Pantele remarcabile: $\mathrm{tg}{0}^{\circ }=0$, $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$, iar unghiurile suplementare au pante opuse ($\mathrm{tg}120^{\circ }=-\sqrt{3}$, $\mathrm{tg}135^{\circ }=-1$, $\mathrm{tg}150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$). Ecuația dreptei prin punct, cu panta dată: $y-y_0=m(x-x_0)$; verticala prin $M_0(x_0,y_0)$ are ecuația $x=x_0$, iar orizontala are ecuația $y=y_0$. Ecuația explicită (sau redusă) a unei drepte neverticale este $y=mx+n$, cu $n=y_0-m{x}_0$ ordonata la origine; dreapta taie axa $Oy$ în $(0,n)$ și, dacă $m\ne 0$, taie axa $Ox$ în $\left(-\frac{n}{m},0\right)$. Aria triunghiului determinat de o astfel de dreaptă împreună cu axele de coordonate este $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \left|-\frac{n}{m}\right|\cdot |n|=\frac{n^2}{2|m|},m\ne 0,n\ne 0.$$ Două drepte scrise explicit coincid exact când au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine; cu aceeași pantă și ordonate diferite sunt paralele distincte.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Reperul cartezian și panta

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Panta dreptei al cărei unghi de înclinare este $\alpha =120^{\circ }$ este: A. $\sqrt{3}$; B. $-\sqrt{3}$; C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$; D. nu există.

b) Despre dreapta determinată de punctele $P(-6,2)$ și $Q(-6,9)$ se poate spune că: A. are panta $0$; B. nu are pantă; C. are panta $7$; D. are panta $-6$.

c) Ordonata la origine a dreptei care trece prin $M(-4,11)$ și are panta $-2$ este: A. $3$; B. $19$; C. $11$; D. $-3$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, lucrând cu valori exacte (câte 1,5 puncte): a) distanța dintre punctele $A(-2,9)$ și $B(14,-3)$; b) coordonatele mijlocului segmentului $[CD]$, unde $C(-11,4)$ și $D(5,-13)$; c) coordonatele simetricului punctului $E(6,-7)$ față de punctul $F(-1,2)$; d) distanța de la originea reperului la punctul $R(-15,8)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dreapta de ecuație $x=-4$ are panta $0$." b) „Dacă două drepte au aceeași pantă, atunci ele sunt confundate." c) „Unghiul de înclinare al unei drepte cu panta negativă este obtuz." d) „Dreapta care trece prin $A(-9,2)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =45^{\circ }$ trece și prin punctul $B(4,15)$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Calculează panta dreptei determinate de punctele $A(-8,5)$ și $B(4,1)$ și precizează natura unghiului ei de înclinare. (3 p) b) Determină unghiul de înclinare al dreptei determinate de punctele $C(-2,3)$ și $D\left(7,3+9\sqrt{3}\right)$. (3 p)

Partea a II-a – Ecuațiile dreptei

Itemul 5 (8 puncte)

Scrie ecuația dreptei descrise (câte 2 puncte): a) trece prin $A(-5,3)$ și are panta $m=-\frac{2}{5}$; b) trece prin $B(6,-4)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =150^{\circ }$; c) este verticala, respectiv orizontala, care trece prin $C(-9,7)$; d) trece prin $D(2,-6)$ și prin $E(-4,3)$ — folosește formula punct-pantă.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră dreapta $d:y=-\frac{3}{4}x+6$. a) Precizează panta și ordonata la origine ale dreptei $d$ și determină coordonatele punctelor în care ea taie axele de coordonate. (3 p) b) Calculează, pe două căi, aria triunghiului determinat de $d$ împreună cu axele de coordonate. (2 p) c) Determină ordonata punctului de pe $d$ care are abscisa $-4$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Determină numărul real $t$ pentru care punctul $P(t,2t-5)$ aparține dreptei de ecuație $y=4x-11$. (3 p) b) Determină numărul real $k$ pentru care dreapta determinată de $A(k,-2)$ și $B(6,10)$ are panta $\frac{3}{2}$, precizând condiția în care panta există. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră fasciculul dreptelor care trec prin punctul $M_0(5,-9)$. a) Determină dreapta din fascicul care trece și prin punctul $N(-1,9)$ și scrie-i ecuația sub formă explicită. (4 p) b) Explică de ce dreapta $x=5$ nu se obține pentru nicio valoare reală a lui $m$ și stabilește dacă ea trece prin $N$. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Scrie ecuația dreptei paralele cu $d:y=\frac{5}{3}x-2$ care trece prin punctul $A(-6,1)$. (3 p) b) Justifică, folosind unicitatea perechii $(m,n)$, faptul că cele două drepte sunt paralele distincte, nu confundate. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrație și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că dreapta $d$ care trece prin punctul $M_0(x_0,y_0)$ și are panta $m$ este exact mulțimea punctelor $P(x,y)$ care verifică relația $y-y_0=m(x-x_0)$. Arată ambele incluziuni și precizează unde se folosește faptul că printr-un punct trece o singură dreaptă de pantă dată. (5 p) b) Aplică formula demonstrată pentru $M_0(-7,2)$ și $m=\frac{3}{7}$, adu ecuația la forma explicită și verifică rezultatul. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră punctele $A(-3,-5)$, $B(9,1)$ și $C(3,13)$. a) Calculează pătratele lungimilor laturilor și arată că $A$, $B$, $C$ sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic isoscel. (4 p) b) Determină mijlocul $M$ al laturii $[AC]$ și scrie ecuația medianei $BM$ sub formă explicită. (3 p) c) Verifică egalitatea $BM=\frac{AC}{2}$. (1 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră dreapta $d:y=-\frac{5}{2}x+10$. a) Determină coordonatele punctelor în care $d$ taie axele de coordonate și calculează, pe două căi, aria triunghiului determinat de $d$ împreună cu axele. (4 p) b) Determină ordonata la origine $n$ a dreptei care are aceeași pantă ca $d$ și determină cu axele de coordonate un triunghi de arie $45$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,6)$ și $B(8,0)$. a) Determinați panta dreptei $AB$ și scrieți ecuația ei sub formă explicită. (3 p) b) Determinați coordonatele punctelor în care dreapta $AB$ taie axele de coordonate și calculați aria triunghiului determinat de $AB$ împreună cu axele. (3 p) c) Determinați numărul real $p$ pentru care punctul $C(p,p-5)$ aparține dreptei $AB$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Din definiția pantei, $m=\mathrm{tg}120^{\circ }$. Unghiul $120^{\circ }$ este suplementul lui $60^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$, deci $m=-\mathrm{tg}60^{\circ }=-\sqrt{3}$. Varianta A ignoră semnul, iar C este panta lui $150^{\circ }$.

b) B. Cele două puncte au aceeași abscisă, $-6$, deci dreapta $PQ$ este verticală: unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Formula pantei ar cere numitorul $-6-(-6)=0$. Formularea corectă este „nu are pantă", nu „panta este infinită"; varianta A confundă lipsa pantei cu panta nulă a unei orizontale.

c) A. Din $n=y_0-m{x}_0$ obținem $n=11-(-2)\cdot (-4)=11-8=3$. Verificare: dreapta $y=-2x+3$ dă, pentru $x=-4$, valoarea $8+3=11$ ✓. Varianta B provine din adunarea, în loc de scăderea, produsului $m{x}_0$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p scrierea formulei, 1 p calculul).

a) Lucrăm întâi cu pătratul distanței: $$A{B}^2=(14-(-2){)}^2+(-3-9{)}^2=16^2+(-12{)}^2=256+144=400,$$ deci $AB=20$. (Perechea de catete $(16,12)$ este $4\cdot (4,3)$, de unde $4\cdot 5=20$.)

b) Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $$x_M=\frac{-11+5}{2}=-3,y_M=\frac{4+(-13)}{2}=-\frac{9}{2}\Rightarrow M\left(-3,-\frac{9}{2}\right).$$ Verificare rapidă: $x_C+x_D=-6=2x_M$ ✓ și $y_C+y_D=-9=2y_M$ ✓.

c) Dublăm coordonatele centrului și scădem coordonatele punctului: $$x_{E^{\prime }}=2\cdot (-1)-6=-8,y_{E^{\prime }}=2\cdot 2-(-7)=11\Rightarrow E^{\prime }(-8,11).$$ Verificare: mijlocul lui $[E{E}^{\prime }]$ este $\left(\frac{6-8}{2},\frac{-7+11}{2}\right)=(-1,2)=F$ ✓.

d) Este cazul particular $A=O$ al formulei distanței: $O{R}^2=(-15{)}^2+8^2=225+64=289$, deci $OR=17$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Dreapta $x=-4$ este verticală: unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu este definită, deci dreapta nu are pantă. Panta $0$ o are dreapta orizontală $y=-4$. Cele două afirmații sunt complet diferite și se confundă cel mai des.

b) F. Aceeași pantă înseamnă aceeași direcție, dar nu și aceeași poziție. Dreptele $y=2x+1$ și $y=2x+5$ au ambele panta $2$ și sunt paralele distincte, pentru că ordonatele lor la origine diferă. Ele coincid exact când au și aceeași pantă, și aceeași ordonată la origine.

c) A. Panta este $\mathrm{tg}\alpha$, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$. Tangenta este negativă exact pe intervalul $(90^{\circ },180^{\circ })$, adică pentru unghiuri obtuze; pe $(0^{\circ },90^{\circ })$ ea este pozitivă, iar în $0^{\circ }$ este nulă. Geometric: dreapta coboară de la stânga la dreapta.

d) A. Din $\alpha =45^{\circ }$ rezultă $m=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci dreapta are ecuația $y-2=1\cdot (x-(-9))$, adică $y=x+11$. Pentru $x=4$ obținem $y=15$, exact ordonata lui $B$, deci $B$ aparține dreptei ✓.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Abscisele fiind diferite, panta există (0,5 p): $$m=\frac{1-5}{4-(-8)}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}$$ (1,5 p). Panta este negativă, deci $\mathrm{tg}\alpha <0$ și $\alpha \in (90^{\circ },180^{\circ })$: unghiul de înclinare este obtuz, iar dreapta coboară de la stânga la dreapta (1 p).

b) (3 p) Calculăm întâi panta (2 p): $$m=\frac{\left(3+9\sqrt{3}\right)-3}{7-(-2)}=\frac{9\sqrt{3}}{9}=\sqrt{3}.$$ Din $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$, rezultă $\alpha =60^{\circ }$ — singura soluție în interval, pentru că valoarea este pozitivă, deci unghiul este ascuțit (1 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p scrierea formulei cu datele înlocuite, 1 p forma finală și verificarea).

a) Formula punct-pantă, cu grijă la dublul minus: $$y-3=-\frac{2}{5}(x-(-5))=-\frac{2}{5}(x+5)⟹y-3=-\frac{2}{5}x-2⟹y=-\frac{2}{5}x+1.$$ Verificare: pentru $x=-5$ obținem $2+1=3$ ✓.

b) Panta se obține din unghi: $m=\mathrm{tg}150^{\circ }=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Atunci $$y+4=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-6)⟹y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}-4.$$ Verificare: pentru $x=6$ obținem $-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4=-4$ ✓.

c) Verticala este formată din punctele de aceeași abscisă cu $C$, deci are ecuația $x=-9$; ea nu are pantă și nu se poate scrie sub forma punct-pantă. Orizontala are panta $0$, deci formula funcționează: $y-7=0\cdot (x+9)$, adică $y=7$.

d) Calculăm întâi panta: $$m=\frac{3-(-6)}{-4-2}=\frac{9}{-6}=-\frac{3}{2},$$ apoi aplicăm formula cu punctul $D$: $y+6=-\frac{3}{2}(x-2)$, adică $y+6=-\frac{3}{2}x+3$, deci $y=-\frac{3}{2}x-3$. Verificare pe punctul nefolosit: pentru $x=-4$ obținem $6-3=3$ ✓, adică exact ordonata lui $E$.

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Comparând cu $y=mx+n$ citim $m=-\frac{3}{4}$ și $n=6$ (1 p). Cu axa $Oy$: pentru $x=0$ rezultă $y=6$, deci punctul $(0,6)$ — chiar ordonata la origine. Cu axa $Ox$: pentru $y=0$, $$-\frac{3}{4}x+6=0⟹\frac{3}{4}x=6⟹x=8⟹(8,0)$$ (2 p).

b) (2 p) Calea întâi — triunghiul are vârful în origine și catetele pe axe, de lungimi $8$ și $6$: $$\mathcal{S}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$ (1 p). Calea a doua — formula cu coeficienții: $$\mathcal{S}=\frac{n^2}{2|m|}=\frac{36}{2\cdot \frac{3}{4}}=\frac{36}{\frac{3}{2}}=24$$ (1 p). Cele două căi coincid ✓.

c) (2 p) Înlocuim $x=-4$ în ecuație (1 p): $y=-\frac{3}{4}\cdot (-4)+6=3+6=9$, deci punctul este $(-4,9)$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Punctul aparține dreptei exact când coordonatele lui verifică ecuația (1 p): $$2t-5=4t-11⟹6=2t⟹t=3$$ (1 p). Pentru $t=3$ obținem $P(3,1)$, iar $4\cdot 3-11=1$ ✓ (1 p).

b) (4 p) Panta există numai dacă abscisele diferă, deci punem condiția $k\ne 6$ (1 p). Scriem condiția din enunț (2 p): $$\frac{10-(-2)}{6-k}=\frac{3}{2}⟹\frac{12}{6-k}=\frac{3}{2}⟹3(6-k)=24⟹6-k=8⟹k=-2.$$ Valoarea $k=-2$ respectă condiția $k\ne 6$. Verificare: pentru $A(-2,-2)$ panta este $\frac{10+2}{6+2}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$ ✓ (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (4 p) Dreapta generică a fasciculului de vârf $M_0(5,-9)$ este $y+9=m(x-5)$ (1 p). Impunem ca $N(-1,9)$ să o verifice (2 p): $$9+9=m(-1-5)⟹18=-6m⟹m=-3.$$ Ecuația devine $y+9=-3(x-5)$, adică $y=-3x+15-9=-3x+6$ (1 p). (Se acceptă și ruta directă: $m=\frac{9-(-9)}{-1-5}=\frac{18}{-6}=-3$.) Verificare pe ambele puncte: $-3\cdot 5+6=-9$ ✓ și $-3\cdot (-1)+6=9$ ✓.

b) (2 p) Dreapta $x=5$ este verticală, deci nu are pantă: nu există niciun număr real $m$ pentru care formula $y-y_0=m(x-x_0)$ să o producă, pentru că unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu este definită (1 p). Ea nu trece prin $N$, fiindcă abscisa lui $N$ este $-1\ne 5$; prin urmare soluția de la punctul a) rămâne unica dreaptă cerută (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Paralelele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are ecuația $y=\frac{5}{3}x+n$ (1 p). Impunem ca $A(-6,1)$ să o verifice (1,5 p): $$1=\frac{5}{3}\cdot (-6)+n=-10+n⟹n=11⟹y=\frac{5}{3}x+11.$$ Verificare: pentru $x=-6$ obținem $-10+11=1$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Perechea $(m,n)$ este unic determinată de o dreaptă: dacă două ecuații explicite descriu aceeași dreaptă, atunci ele au simultan aceeași pantă și aceeași ordonată la origine (1,5 p). Aici pantele coincid, $m_1=m_2=\frac{5}{3}$, dar ordonatele la origine diferă, $-2\ne 11$; prin unicitate, dreptele nu pot fi confundate, deci sunt paralele distincte (1,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Enunț. Fie $M_0(x_0,y_0)$ un punct și $m\in \mathbb{R}$; fie $d$ dreapta care trece prin $M_0$ și are panta $m$. Arătăm că $d=\{P(x,y)\mid y-y_0=m(x-x_0)\}$, adică demonstrăm cele două incluziuni (1 p).

„Orice punct al dreptei verifică relația." Fie $P(x,y)\in d$. Dacă $P=M_0$, relația devine $0=0$, adevărată. Dacă $P\ne M_0$, atunci $x\ne x_0$: altfel dreapta $M_{0}P$ ar fi verticală, deci $d$ ar fi verticală și nu ar avea pantă, contrar ipotezei. Cum $M_0$ și $P$ sunt două puncte distincte de pe $d$, raportul diferențelor lor este chiar panta dreptei, adică $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m⟹y-y_0=m(x-x_0)$$ (2 p).

„Orice punct care verifică relația se află pe dreaptă." Fie $P(x,y)$ cu $y-y_0=m(x-x_0)$. Dacă $x=x_0$, relația dă $y-y_0=0$, deci $P=M_0\in d$. Dacă $x\ne x_0$, putem împărți la $x-x_0$ și obținem că dreapta $M_{0}P$ are panta $m$. Aici se folosește unicitatea: prin punctul $M_0$ trece o singură dreaptă de pantă $m$, anume $d$, deci $M_{0}P=d$ și $P\in d$ (1,5 p).

Cele două incluziuni dau egalitatea de mulțimi, deci relația este într-adevăr o ecuație a dreptei $d$ (0,5 p). $■$

b) (3 p) Aplicăm formula cu $x_0=-7$, $y_0=2$ și $m=\frac{3}{7}$ (1 p): $$y-2=\frac{3}{7}(x-(-7))=\frac{3}{7}(x+7)⟹y-2=\frac{3}{7}x+3⟹y=\frac{3}{7}x+5$$ (1,5 p). Verificare: pentru $x=-7$ obținem $-3+5=2$ ✓ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Calculăm pătratele lungimilor laturilor (2 p): $$A{B}^2=(9-(-3){)}^2+(1-(-5){)}^2=144+36=180,B{C}^2=(3-9{)}^2+(13-1{)}^2=36+144=180,$$ $$A{C}^2=(3-(-3){)}^2+(13-(-5){)}^2=36+324=360.$$ Din $A{B}^2=B{C}^2$ rezultă $AB=BC=6\sqrt{5}$, deci triunghiul este isoscel (1 p). Din $A{B}^2+B{C}^2=180+180=360=A{C}^2$ rezultă, prin reciproca teoremei lui Pitagora, că unghiul din $B$ este drept (1 p). (Punctele chiar formează un triunghi: dacă ar fi fost situate pe aceeași dreaptă, cel mai lung segment ar fi fost suma celorlalte două, adică $AC=AB+BC$, de unde $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2+2\cdot AB\cdot BC>A{B}^2+B{C}^2$ — în contradicție cu egalitatea găsită.)

b) (3 p) Mijlocul laturii $[AC]$ (1 p): $$M\left(\frac{-3+3}{2},\frac{-5+13}{2}\right)=M(0,4).$$ Panta medianei $BM$ este $m=\frac{4-1}{0-9}=\frac{3}{-9}=-\frac{1}{3}$, iar ecuația, scrisă din $M$, este $y-4=-\frac{1}{3}(x-0)$, adică $$y=-\frac{1}{3}x+4$$ (1,5 p). Verificare pe punctul nefolosit: pentru $x=9$ obținem $-3+4=1$ ✓, exact ordonata lui $B$ (0,5 p).

c) (1 p) $B{M}^2=(0-9{)}^2+(4-1{)}^2=81+9=90$, deci $BM=3\sqrt{10}$; cum $AC=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$, avem într-adevăr $BM=\frac{AC}{2}$ ✓. (Era de așteptat: mediana dusă din vârful unghiului drept are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză.)

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Cu axa $Oy$: pentru $x=0$ rezultă $y=10$, deci punctul $(0,10)$ (1 p). Cu axa $Ox$: din $-\frac{5}{2}x+10=0$ rezultă $x=4$, deci punctul $(4,0)$ (1 p). Calea întâi: catetele triunghiului dreptunghic cu vârful în origine măsoară $4$ și $10$, deci $\mathcal{S}=\frac{4\cdot 10}{2}=20$ (1 p). Calea a doua: $$\mathcal{S}=\frac{n^2}{2|m|}=\frac{100}{2\cdot \frac{5}{2}}=\frac{100}{5}=20$$ ✓ (1 p).

b) (4 p) Dreapta căutată are aceeași pantă, deci $m=-\frac{5}{2}$, iar ordonata la origine $n$ este necunoscută (1 p). Condiția asupra ariei devine (2 p): $$\frac{n^2}{2\cdot \frac{5}{2}}=45⟹\frac{n^2}{5}=45⟹n^2=225⟹n=15\text{ sau }n=-15.$$ Ambele valori sunt acceptabile: ele dau două drepte simetrice față de origine (1 p). Verificare pentru $n=15$: tăietura cu $Ox$ este $x=6$, iar aria este $\frac{6\cdot 15}{2}=45$ ✓; pentru $n=-15$: tăietura este $x=-6$, catetele măsoară $6$ și $15$, deci aria este tot $45$ ✓.

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Abscisele fiind diferite, panta există (1 p): $$m=\frac{0-6}{8-(-4)}=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2}.$$ Cu formula punct-pantă, scrisă din $B(8,0)$: $y-0=-\frac{1}{2}(x-8)$, deci $$y=-\frac{1}{2}x+4$$ (1,5 p). Verificare pe $A$: $-\frac{1}{2}\cdot (-4)+4=2+4=6$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Cu axa $Oy$: pentru $x=0$ rezultă $y=4$, deci punctul $(0,4)$ — chiar ordonata la origine. Cu axa $Ox$: din $-\frac{1}{2}x+4=0$ rezultă $x=8$, deci punctul $(8,0)$, adică chiar $B$ (1 p). Triunghiul determinat de $AB$ împreună cu axele este dreptunghic în origine, cu catetele $8$ și $4$, deci $$\mathcal{S}=\frac{8\cdot 4}{2}=16$$ (1 p). Control cu formula: $\frac{n^2}{2|m|}=\frac{16}{2\cdot \frac{1}{2}}=16$ ✓ (1 p).

c) (2 p) Punctul aparține dreptei exact când coordonatele lui verifică ecuația (1 p): $$p-5=-\frac{1}{2}p+4⟹\frac{3}{2}p=9⟹p=6$$ (0,5 p). Așadar $C(6,1)$; verificare: $-\frac{1}{2}\cdot 6+4=-3+4=1$ ✓ (0,5 p).