Test: permutări, inversiuni și semnul unei permutări

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Permutări, determinanți și matrice inversabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unealta cu care se va construi, peste două lecții, definiția determinantului de ordin $n$. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: noțiunea de permutare de grad $n$, adică o funcție bijectivă $\sigma :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$, scrisă în notația cu două linii. Atenție la o omonimie care derutează: în clasa a X-a, la combinatorică, „permutare" însemna o așezare a elementelor, iar numărul lor era $P_n=n!$; aici este vorba despre același obiect privit ca funcție, tocmai pentru că funcțiile se pot compune. Puntea dintre cele două descrieri este egalitatea $\mathrm{card}{S}_n=n!$. Al doilea: compunerea, cu ordinea ei fixă — în $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi $\tau$, apoi $\sigma$ — și consecința ei, necomutativitatea, care face ca ecuațiile $\sigma \circ x=\tau$ și $x\circ \sigma =\tau$ să aibă, în general, soluții diferite. Al treilea: inversa unei permutări, obținută prin schimbarea celor două linii urmată de reordonarea coloanelor. Al patrulea: inversiunile și semnul, adică numărarea disciplinată a perechilor de poziții aflate în ordine greșită și trecerea de la numărul lor la signatură.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare compunere se consideră completă doar dacă rezultatul este verificat, adică dacă linia a doua a tabloului obținut conține fiecare număr de la $1$ la $n$ exact o dată. Se depunctează: compunerea în ordine inversă („întâi cea din stânga"), scrierea unei permutări fără linia argumentelor, inversa obținută prin simpla schimbare a liniilor, fără reordonarea coloanelor, și numărarea inversiunilor pe valori în loc de perechi de poziții.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe ordinea compunerii și pe metoda de numărare a inversiunilor.
• Formule de reținut: o permutare de grad $n$ este o funcție bijectivă $\sigma :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$, iar mulțimea lor, $S_n$, are $\mathrm{card}{S}_n=n!$ elemente. Compunerea se face după regula $$(\sigma \circ \tau )(k)=\sigma (\tau (k)),k\in \{1,2,\dots ,n\},$$ adică întâi permutarea din dreapta, apoi cea din stânga; ea este asociativă, are elementul neutru $e$ (permutarea identică) și inversă, dar nu este comutativă. Din $\sigma \circ x=\tau$ rezultă $x={\sigma }^{-1}\circ \tau$, iar din $x\circ \sigma =\tau$ rezultă $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$. O inversiune a lui $\sigma$ este o pereche de poziții $(i,j)$ cu $i<j$ și $\sigma (i)>\sigma (j)$; numărul lor se notează $m(\sigma )$ și satisface $0\le m(\sigma )\le \frac{n(n-1)}{2}$, minimul fiind atins de $e$, iar maximul de permutarea cu linia a doua $n,n-1,\dots ,1$. Semnul (signatura) este $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{m(\sigma )}$, cu $\epsilon (\sigma )=+1$ pentru permutări pare și $\epsilon (\sigma )=-1$ pentru cele impare; se folosesc regulile $\epsilon (\sigma \circ \tau )=\epsilon (\sigma )\cdot \epsilon (\tau )$ și $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma )$, iar schimbarea între ele a două valori ale unei permutări îi schimbă semnul.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Permutări: recunoaștere, compunere, inversă

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul elementelor mulțimii $S_5$ este: A. $25$; B. $120$; C. $10$; D. $5$.

b) Pentru $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$, valoarea $\sigma (2)$ este: A. $2$; B. $3$; C. $4$; D. $1$.

c) Numărul maxim de inversiuni ale unei permutări de grad $5$ este: A. $5$; B. $10$; C. $20$; D. $120$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește care dintre tablourile de mai jos reprezintă permutări de grad $4$ și justifică de fiecare dată răspunsul (câte 2 puncte): a) $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 1& 3\end{array}\right)$; b) $B=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 1& 3& 2\end{array}\right)$; c) $C=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 5& 1\end{array}\right)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră permutările $a=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 3& 1\end{array}\right)$ și $b=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 1& 2\end{array}\right)$ din $S_4$. a) Calculează $a\circ b$. (3 p) b) Calculează $b\circ a$ și compară rezultatul cu cel de la punctul a). Ce concluzie tragi? (3 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Pentru permutările $a$ și $b$ de la itemul precedent: a) determină $a^{-1}$ și verifică rezultatul prin compunere; (3 p) b) determină $b^{-1}$ și verifică rezultatul prin compunere. (3 p)

Partea a II-a – Inversiuni, semn și proprietățile lui

Itemul 5 (8 puncte)

Determină numărul de inversiuni $m(\sigma )$ și semnul $\epsilon (\sigma )$ pentru permutările date prin linia a doua (câte 2 puncte): a) $3,2,4,1$ (grad $4$); b) $1,3,5,2,4$ (grad $5$); c) $5,1,2,3,4$ (grad $5$); d) $6,5,4,3,2,1$ (grad $6$).

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră permutarea $\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 1& 5& 2& 3\end{array}\right)$. a) Scrie lista completă a inversiunilor lui $\sigma$, calculează $m(\sigma )$ și $\epsilon (\sigma )$ și verifică încadrarea în marginea $\frac{n(n-1)}{2}$. (4 p) b) Determină ${\sigma }^{-1}$, calculează $m({\sigma }^{-1})$ și verifică pe acest exemplu egalitatea $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma )$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră permutările de grad $4$ date prin liniile a doua $u:3,1,4,2$ și $v:2,3,1,4$. a) Calculează $\epsilon (u)$ și $\epsilon (v)$ și deduce $\epsilon (u\circ v)$ fără a calcula compunerea. (4 p) b) Calculează $u\circ v$ și verifică rezultatul de la punctul a) numărând direct inversiunile. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $\epsilon (\sigma )=-1$, atunci $\epsilon ({\sigma }^{-1})=+1$." b) „Există permutări de grad $4$ cu exact $7$ inversiuni." c) „Compunerea a două permutări impare este o permutare pară." d) „Dacă $\sigma \circ \tau =e$, atunci $\tau ={\sigma }^{-1}$."

Itemul 9 (6 puncte)

a) Scrie toate permutările impare din $S_3$, precizând pentru fiecare numărul de inversiuni. (3 p) b) Determină toate permutările de grad $4$ care au exact o inversiune. Câte sunt? (3 p)

Partea a III-a – Sinteză și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Se consideră permutările $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 1& 2& 4\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 1& 3\end{array}\right)$ din $S_4$. a) Determină ${\sigma }^{-1}$. (2 p) b) Rezolvă în $S_4$ ecuația $\sigma \circ x=\tau$ și verifică soluția. (3 p) c) Rezolvă în $S_4$ ecuația $x\circ \sigma =\tau$, verifică soluția și explică de ce cele două rezultate diferă. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră permutarea $w=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\end{array}\right)$. a) Calculează $w\circ w$ și $w\circ w\circ w$. (4 p) b) Arată că $w\circ w\circ w\circ w\circ w=e$. Calculează apoi $\epsilon (w)$ și $\epsilon (w\circ w)$ și verifică regula semnului unei compuneri. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Arată că, dacă o permutare $\sigma \in S_n$ are $m(\sigma )=\frac{n(n-1)}{2}$, atunci linia a doua a lui $\sigma$ este $n,n-1,\dots ,2,1$. (4 p) b) Pentru $n\in \{3,4,5,6\}$, precizează paritatea permutării de la punctul a) și explică de ce răspunsul depinde de $n$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră permutările $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 3& 1& 2\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 2& 3\end{array}\right)$ din $S_4$. a) Calculați $m(\sigma )$, $m(\tau )$ și precizați paritatea fiecăreia. (2 p) b) Determinați $\epsilon (\sigma \circ \tau )$ folosind regula semnului, apoi calculați $\sigma \circ \tau$ și verificați rezultatul numărând inversiunile. (3 p) c) Rezolvați în $S_4$ ecuația $\tau \circ x=\sigma$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. Numărul permutărilor de grad $n$ este $n!$, deci $\mathrm{card}{S}_5=5!=120$. Varianta A confundă $n!$ cu $n^2$. b) C. Se caută $2$ pe linia de sus și se coboară: sub el se află $4$, deci $\sigma (2)=4$. Varianta A răspunde ca și cum permutarea ar lăsa elementul pe loc. c) B. Numărul maxim de inversiuni este numărul tuturor perechilor de poziții, adică $\frac{5\cdot 4}{2}=10$; el se atinge la permutarea cu linia a doua $5,4,3,2,1$.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p răspunsul, 1,5 p justificarea). a) Da, $A\in S_4$. Linia a doua este $2,4,1,3$ și conține fiecare dintre numerele $1,2,3,4$ exact o dată, deci funcția este bijectivă. b) Nu. Valoarea $3$ apare de două ori (sub $1$ și sub $3$), iar valoarea $4$ nu apare deloc: funcția nu este injectivă, deci nu este permutare. c) Nu. Apare valoarea $5$, care nu aparține mulțimii $\{1,2,3,4\}$, deci funcția nici măcar nu ia valori în mulțimea cerută.

Itemul 3. (6 p)

a) (3 p) Aplicăm întâi $b$, apoi $a$ (0,5 p): $$(a\circ b)(1)=a(b(1))=a(4)=1,(a\circ b)(2)=a(3)=3,(a\circ b)(3)=a(1)=2,(a\circ b)(4)=a(2)=4,$$ deci $a\circ b=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 2& 4\end{array}\right)$ (2 p). Verificare: linia a doua conține fiecare număr de la $1$ la $4$ exact o dată ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Aplicăm întâi $a$, apoi $b$: $$(b\circ a)(1)=b(a(1))=b(2)=3,(b\circ a)(2)=b(4)=2,(b\circ a)(3)=b(3)=1,(b\circ a)(4)=b(1)=4,$$ deci $b\circ a=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 2& 1& 4\end{array}\right)$ (2 p). Cele două rezultate sunt diferite, deci compunerea permutărilor nu este comutativă: ordinea în care se aplică cele două transformări schimbă rezultatul (1 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Din $a(1)=2$, $a(2)=4$, $a(3)=3$, $a(4)=1$ citim invers: $a^{-1}(2)=1$, $a^{-1}(4)=2$, $a^{-1}(3)=3$, $a^{-1}(1)=4$ (1 p). Reordonând coloanele după linia de sus, $$a^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 3& 2\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare: $(a\circ a^{-1})(1)=a(4)=1$, $(a\circ a^{-1})(2)=a(1)=2$, $(a\circ a^{-1})(3)=a(3)=3$, $(a\circ a^{-1})(4)=a(2)=4$, deci $a\circ a^{-1}=e$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Din $b(1)=4$, $b(2)=3$, $b(3)=1$, $b(4)=2$ obținem $b^{-1}(4)=1$, $b^{-1}(3)=2$, $b^{-1}(1)=3$, $b^{-1}(2)=4$ (1 p), adică $$b^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$$ (1,5 p). Verificare: $(b\circ b^{-1})(1)=b(3)=1$, $(b\circ b^{-1})(2)=b(4)=2$, $(b\circ b^{-1})(3)=b(2)=3$, $(b\circ b^{-1})(4)=b(1)=4$, deci $b\circ b^{-1}=e$ ✓ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1,5 p numărul de inversiuni, 0,5 p semnul). Se numără, pentru fiecare valoare de pe linia a doua, câte valori mai mici stau la dreapta ei.

a) $3$ îi are la dreapta pe $2$ și $1$; $2$ îl are pe $1$; $4$ îl are pe $1$. Deci $m(\sigma )=2+1+1=4$, iar inversiunile sunt perechile de poziții $(1,2)$, $(1,4)$, $(2,4)$, $(3,4)$. Cum $4$ este par, $\epsilon (\sigma )=+1$: permutare pară. b) $1$ nu aduce nimic; $3$ îl are pe $2$; $5$ îi are pe $2$ și $4$; $2$ nu aduce nimic. Deci $m(\sigma )=3$, cu inversiunile $(2,4)$, $(3,4)$, $(3,5)$, și $\epsilon (\sigma )=-1$: impară. c) $5$ îi are la dreapta pe $1,2,3,4$, iar restul valorilor sunt în ordine crescătoare. Deci $m(\sigma )=4$, cu inversiunile $(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(1,5)$, și $\epsilon (\sigma )=+1$: pară. d) Valorile scad de la stânga la dreapta, deci orice pereche de poziții este inversiune: $$m(\sigma )=\frac{6\cdot 5}{2}=15,\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{15}=-1,$$ adică permutare impară.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Parcurgem linia a doua $4,1,5,2,3$ (0,5 p): la dreapta lui $4$ stau $1$, $2$ și $3$, toate mai mici — perechile $(1,2)$, $(1,4)$, $(1,5)$; la dreapta lui $1$ nimic mai mic; la dreapta lui $5$ stau $2$ și $3$ — perechile $(3,4)$, $(3,5)$; la dreapta lui $2$ nimic mai mic (2 p). Lista completă a inversiunilor este deci $$(1,2),(1,4),(1,5),(3,4),(3,5),$$ de unde $m(\sigma )=5$ și $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^5=-1$: permutare impară (1 p). Control: $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ și $5\le 10$, deci valoarea este plauzibilă (0,5 p).

b) (3 p) Din $\sigma (1)=4$, $\sigma (2)=1$, $\sigma (3)=5$, $\sigma (4)=2$, $\sigma (5)=3$ citim invers: ${\sigma }^{-1}(4)=1$, ${\sigma }^{-1}(1)=2$, ${\sigma }^{-1}(5)=3$, ${\sigma }^{-1}(2)=4$, ${\sigma }^{-1}(3)=5$, adică $${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 5& 1& 3\end{array}\right)$$ (1,5 p). Numărăm inversiunile lui ${\sigma }^{-1}$: $2$ îl are pe $1$; $4$ îi are pe $1$ și $3$; $5$ îi are pe $1$ și $3$. Deci $m({\sigma }^{-1})=1+2+2=5$ (1 p), de unde $\epsilon ({\sigma }^{-1})=-1=\epsilon (\sigma )$ ✓ — inversa are același semn, nu semnul opus (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Pentru $u$ (linia a doua $3,1,4,2$): $3$ îi are la dreapta pe $1$ și $2$, iar $4$ îl are pe $2$, deci $m(u)=3$ și $\epsilon (u)=-1$ (1,5 p). Pentru $v$ (linia a doua $2,3,1,4$): $2$ îl are pe $1$, iar $3$ îl are pe $1$, deci $m(v)=2$ și $\epsilon (v)=+1$ (1,5 p). Aplicăm regula semnului unei compuneri: $$\epsilon (u\circ v)=\epsilon (u)\cdot \epsilon (v)=(-1)\cdot (+1)=-1,$$ deci compunerea este impară (1 p).

b) (3 p) Aplicăm întâi $v$, apoi $u$: $$(u\circ v)(1)=u(2)=1,(u\circ v)(2)=u(3)=4,(u\circ v)(3)=u(1)=3,(u\circ v)(4)=u(4)=2,$$ deci $u\circ v=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 4& 3& 2\end{array}\right)$ (1,5 p). Numărăm: $4$ îi are la dreapta pe $3$ și $2$, iar $3$ îl are pe $2$, deci $m(u\circ v)=3$ și $\epsilon (u\circ v)=-1$ (1 p) — exact valoarea prezisă la punctul a) ✓ (0,5 p).

Itemul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Regula corectă este $\epsilon ({\sigma }^{-1})=\epsilon (\sigma )$: inversa are același semn. Motivul: perechile inversate ale lui ${\sigma }^{-1}$ sunt exact perechile inversate ale lui $\sigma$, citite invers, deci numărul lor nu se schimbă. Contraexemplu: pentru $\sigma$ cu linia a doua $2,3,1$ avem $m(\sigma )=2$, iar ${\sigma }^{-1}$ are linia a doua $3,1,2$, tot cu $m=2$. b) F. Numărul de inversiuni al unei permutări de grad $4$ nu poate depăși $\frac{4\cdot 3}{2}=6$, deci valoarea $7$ este imposibilă. c) A. Dacă $\epsilon (\sigma )=-1$ și $\epsilon (\tau )=-1$, atunci $\epsilon (\sigma \circ \tau )=(-1)(-1)=+1$, adică permutare pară. d) A. Compunem ambii membri la stânga cu ${\sigma }^{-1}$: ${\sigma }^{-1}\circ (\sigma \circ \tau )={\sigma }^{-1}\circ e$, adică $({\sigma }^{-1}\circ \sigma )\circ \tau ={\sigma }^{-1}$, deci $e\circ \tau ={\sigma }^{-1}$ și $\tau ={\sigma }^{-1}$. S-au folosit asociativitatea și proprietatea elementului neutru.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) O permutare este impară când $m$ este impar. Parcurgând cele șase permutări din $S_3$, obținem trei impare (1 p): $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)(m=1),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)(m=1),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)(m=3)$$ (2 p).

b) (3 p) O singură inversiune înseamnă exact o pereche de poziții în ordine greșită, iar restul valorilor în ordine crescătoare; asta se poate întâmpla numai schimbând între ele două valori vecine (1 p). Sunt trei posibilități, după perechea de poziții vecine aleasă (1,5 p): $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 3& 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 2& 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 4& 3\end{array}\right).$$ Deci sunt trei astfel de permutări (0,5 p).

Itemul 10. (8 p)

a) (2 p) Din $\sigma (1)=3$, $\sigma (2)=1$, $\sigma (3)=2$, $\sigma (4)=4$ citim invers și reordonăm coloanele: $${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right).$$ Control: $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(1)=\sigma (2)=1$, $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(2)=\sigma (3)=2$, $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(3)=\sigma (1)=3$, $(\sigma \circ {\sigma }^{-1})(4)=\sigma (4)=4$ ✓

b) (3 p) Compunem ambii membri la stânga cu ${\sigma }^{-1}$, pentru că necunoscuta stă la dreapta: $x={\sigma }^{-1}\circ \tau$ (1 p). Calculăm: $$x(1)={\sigma }^{-1}(\tau (1))={\sigma }^{-1}(2)=3,x(2)={\sigma }^{-1}(4)=4,x(3)={\sigma }^{-1}(1)=2,x(4)={\sigma }^{-1}(3)=1,$$ deci $x=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 2& 1\end{array}\right)$ (1,5 p). Verificare: $(\sigma \circ x)(1)=\sigma (3)=2$, $(\sigma \circ x)(2)=\sigma (4)=4$, $(\sigma \circ x)(3)=\sigma (2)=1$, $(\sigma \circ x)(4)=\sigma (1)=3$ — adică exact $\tau$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Aici necunoscuta stă la stânga, deci compunem la dreapta cu ${\sigma }^{-1}$: $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$ (1 p). Calculăm: $$x(1)=\tau ({\sigma }^{-1}(1))=\tau (2)=4,x(2)=\tau (3)=1,x(3)=\tau (1)=2,x(4)=\tau (4)=3,$$ deci $x=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right)$ (1 p). Verificare: $(x\circ \sigma )(1)=x(3)=2$, $(x\circ \sigma )(2)=x(1)=4$, $(x\circ \sigma )(3)=x(2)=1$, $(x\circ \sigma )(4)=x(4)=3$ — adică $\tau$ ✓ (0,5 p). Cele două soluții sunt diferite pentru că compunerea nu este comutativă: contează de care parte se compune, iar ${\sigma }^{-1}\circ \tau \ne \tau \circ {\sigma }^{-1}$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Permutarea $w$ „împinge cu un pas": $1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 1$ (0,5 p). Compunând-o cu ea însăși: $$(w\circ w)(1)=w(2)=3,(w\circ w)(2)=w(3)=4,(w\circ w)(3)=w(4)=5,(w\circ w)(4)=w(5)=1,(w\circ w)(5)=w(1)=2,$$ deci $w\circ w=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 1& 2\end{array}\right)$ (2 p). Încă o compunere cu $w$ împinge cu trei pași: $$w\circ w\circ w=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 1& 2& 3\end{array}\right)$$ (1,5 p).

b) (4 p) Compunând a patra oară obținem tabloul cu linia a doua $5,1,2,3,4$, iar a cincea compunere împinge fiecare element cu încă un pas, adică îl aduce înapoi în punctul de plecare: fiecare $k$ a făcut un tur complet, deci rezultatul este $e$ (1,5 p). Semnele: pentru $w$ (linia a doua $2,3,4,5,1$), fiecare dintre valorile $2,3,4,5$ îl are pe $1$ la dreapta, deci $m(w)=4$ și $\epsilon (w)=+1$ (1 p). Pentru $w\circ w$ (linia a doua $3,4,5,1,2$), fiecare dintre $3,4,5$ îi are la dreapta pe $1$ și $2$, deci $m(w\circ w)=6$ și $\epsilon (w\circ w)=+1$ (1 p). Verificarea regulii: $\epsilon (w\circ w)=\epsilon (w)\cdot \epsilon (w)=(+1)(+1)=+1$ ✓ (0,5 p).

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Într-o permutare de grad $n$ există exact $\frac{n(n-1)}{2}$ perechi de poziții $(i,j)$ cu $i<j$, iar fiecare este ori inversiune, ori nu (1 p). Ipoteza $m(\sigma )=\frac{n(n-1)}{2}$ spune deci că toate perechile sunt inversiuni (1 p), adică $\sigma (i)>\sigma (j)$ ori de câte ori $i<j$. Prin urmare valorile de pe linia a doua sunt strict descrescătoare (1 p). Singurul șir strict descrescător format din numerele $1,2,\dots ,n$, fiecare o dată, este $n,n-1,\dots ,2,1$, ceea ce trebuia demonstrat (1 p). $■$

b) (4 p) Semnul depinde numai de paritatea numărului $\frac{n(n-1)}{2}$ (0,5 p):

(2,5 p) — câte $0,5$ p pentru fiecare dintre cele patru valori ale lui $m(\sigma )$, plus $0,5$ p pentru rândul parităților. Nu există deci o regulă de tipul „permutarea răsturnată este mereu pară": răspunsul se schimbă odată cu $n$, pentru că numărul $\frac{n(n-1)}{2}$ este când par, când impar (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Pentru $\sigma$ (linia a doua $4,3,1,2$): $4$ îi are la dreapta pe $3$, $1$ și $2$, iar $3$ îi are pe $1$ și $2$, deci $m(\sigma )=3+2=5$ și $\epsilon (\sigma )=-1$, adică $\sigma$ este impară (1 p). Pentru $\tau$ (linia a doua $1,4,2,3$): $4$ îi are la dreapta pe $2$ și $3$, restul nu aduc nimic, deci $m(\tau )=2$ și $\epsilon (\tau )=+1$, adică $\tau$ este pară (1 p).

b) (3 p) Prin regula semnului, $\epsilon (\sigma \circ \tau )=\epsilon (\sigma )\cdot \epsilon (\tau )=(-1)(+1)=-1$ (1 p). Calculăm compunerea, aplicând întâi $\tau$: $$(\sigma \circ \tau )(1)=\sigma (1)=4,(\sigma \circ \tau )(2)=\sigma (4)=2,(\sigma \circ \tau )(3)=\sigma (2)=3,(\sigma \circ \tau )(4)=\sigma (3)=1,$$ deci $\sigma \circ \tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right)$ (1,5 p). Numărăm inversiunile: $4$ îi are la dreapta pe $2$, $3$ și $1$; $2$ îl are pe $1$; $3$ îl are pe $1$. Deci $m(\sigma \circ \tau )=3+1+1=5$ și $\epsilon (\sigma \circ \tau )=-1$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Necunoscuta stă la dreapta, deci compunem la stânga cu ${\tau }^{-1}$: $x={\tau }^{-1}\circ \sigma$ (0,5 p). Din $\tau (1)=1$, $\tau (2)=4$, $\tau (3)=2$, $\tau (4)=3$ obținem $${\tau }^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$ (1 p). Atunci $x(1)={\tau }^{-1}(\sigma (1))={\tau }^{-1}(4)=2$, $x(2)={\tau }^{-1}(3)=4$, $x(3)={\tau }^{-1}(1)=1$, $x(4)={\tau }^{-1}(2)=3$, adică $$x=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 1& 3\end{array}\right)$$ (1 p). Verificare: $(\tau \circ x)(1)=\tau (2)=4$, $(\tau \circ x)(2)=\tau (4)=3$, $(\tau \circ x)(3)=\tau (1)=1$, $(\tau \circ x)(4)=\tau (3)=2$ — adică exact $\sigma$ ✓ (0,5 p).