Test: poziția relativă a două drepte și unghiul dintre ele

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Drepte în planul cartezian

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică prima jumătate a unității de geometrie analitică: tot ce se poate spune despre două drepte, privite împreună. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: traducerea poziției relative în numărul de soluții ale unui sistem — soluție unică înseamnă drepte concurente, sistem incompatibil înseamnă paralele distincte, sistem nedeterminat înseamnă drepte confundate — împreună cu criteriul de calcul, determinantul sistemului. Al doilea: cele două criterii de paralelism și de perpendicularitate, cel cu pante și cel cu coeficienți, și obligația de a ști care dintre ele funcționează într-o situație dată. Al treilea: cazul dreptelor verticale, care nu au pantă și pe care criteriul cu pante nu le acoperă; el revine în aproape fiecare parte a testului, pentru că acolo se pierd cele mai multe puncte. Al patrulea: unghiul a două drepte, cu formula tangentei, cu verificarea prealabilă a numitorului și cu citirea corectă a rezultatului.

Testul se dă după lecția despre unghiul a două drepte și nu cere nimic din lecțiile care urmează: nicio distanță de la un punct la o dreaptă, nicio arie de triunghi, nicio lungime de înălțime. Unde apare cuvântul „înălțime", se cere ecuația ei, nu lungimea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 70 de minute; orientativ, $15$ minute pentru Partea I ($24$ de puncte), $30$ pentru Partea a II-a ($34$ de puncte) și $25$ pentru Partea a III-a ($32$ de puncte). Dacă ora de curs are $50$ de minute, proba se poate da în două reprize — Părțile I și a II-a ($58$ de puncte) într-o oră, Partea a III-a ($32$ de puncte) în ora următoare —, iar oficiul se acordă o singură dată, la punctajul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare dreaptă se aduce la forma generală înainte de orice calcul cu coeficienți, iar orice punct de intersecție găsit se verifică în ambele ecuații. Se depunctează: oprirea discuției la $\Delta =0$ cu concluzia „paralele" (fără a separa cazul dreptelor confundate); citirea coeficienților $a$ și $b$ dintr-o ecuație scrisă sub forma explicită; folosirea pantelor acolo unde una dintre drepte este verticală; scrierea „panta este infinită"; aplicarea formulei unghiului fără verificarea numitorului $1+m_1{m}_2$; omiterea modulului din această formulă.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe cele două criterii scrise prin coeficienți și pe tratarea dreptelor verticale.
• Formule de reținut: pentru dreptele $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ și $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$, determinantul sistemului este $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1,$$ iar ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ se obțin din el înlocuind coloana întâi, respectiv a doua, cu coloana termenilor liberi $-c_1$, $-c_2$. (Precizare de notație, valabilă în tot testul: aici $\Delta$ este determinantul sistemului, cel de ordinul al doilea de la regula lui Cramer, nu determinantul de ordinul al treilea cu care se verifică coliniaritatea a trei puncte, notat tot $\Delta$ în alte lecții ale unității. Se recunoaște ușor: acesta pornește de la două ecuații, celălalt de la trei puncte.) Cele trei cazuri: $\Delta \ne 0$ — concurente, cu punctul comun $x=\frac{{\Delta }_1}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_2}{\Delta }$; $\Delta =0$ și cel puțin unul dintre ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ nenul — paralele distincte; $\Delta ={\Delta }_1={\Delta }_2=0$ — confundate. În limbajul rangurilor: $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$, respectiv $\mathrm{rang}A=1<\mathrm{rang}\overline{A}=2$, respectiv $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=1$. Cele două criterii:

Panta este $m=\mathrm{tg}\alpha$, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $Ox$; din coeficienți, $m=-\frac{a}{b}$ pentru $b\ne 0$. Dreapta verticală $x=k$ nu are pantă (nu se spune „panta este infinită"), este paralelă doar cu alte verticale și perpendiculară pe orice orizontală. Unghiul a două drepte este, prin convenție, cel ascuțit sau drept, $\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }]$, iar $$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|,1+m_1{m}_2\ne 0;$$ anularea numitorului înseamnă $\theta =90^{\circ }$. Față de o verticală, o dreaptă de pantă $m\ne 0$ face unghiul dat de $\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Poziția relativă a două drepte

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dreptele $x+2y-4=0$ și $2x+4y+3=0$ sunt: A. concurente; B. paralele distincte; C. confundate; D. perpendiculare.

b) O dreaptă perpendiculară pe o dreaptă de pantă $-\frac{2}{7}$ are panta: A. $\frac{2}{7}$; B. $-\frac{7}{2}$; C. $\frac{7}{2}$; D. $-\frac{2}{7}$.

c) Unghiul dintre dreptele $y=4x-1$ și $x+4y+2=0$ are măsura: A. $0^{\circ }$; B. $45^{\circ }$; C. $60^{\circ }$; D. $90^{\circ }$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește poziția relativă a următoarelor perechi de drepte, calculând $\Delta$ și, dacă el este nul, pe ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$. Acolo unde dreptele sunt concurente, determină și punctul lor comun (câte 1,5 puncte): a) $2x+5y-16=0$ și $4x-3y-6=0$; b) $4x-6y+7=0$ și $-2x+3y+1=0$; c) $3x-5y+2=0$ și $-9x+15y-6=0$; d) $x=-4$ și $x-2y+10=0$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă determinantul sistemului format din ecuațiile a două drepte este nul, atunci dreptele nu au niciun punct comun." b) „Două drepte perpendiculare au întotdeauna produsul pantelor egal cu $-1$." c) „Formula $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|$ se poate aplica oricăror două drepte concurente." d) „Dacă rangul matricei sistemului este $1$, iar rangul matricei extinse este $2$, atunci dreptele sunt paralele distincte."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Determină punctul comun al dreptelor $y=5x-8$ și $y=-2x+6$ și verifică rezultatul în ambele ecuații. (3 p) b) Stabilește poziția relativă a dreptelor $x=-5$ și $y=4$, apoi a dreptelor $x=-5$ și $x=2$. Explică, în ambele situații, de ce criteriul cu pante nu se poate folosi. (3 p)

Partea a II-a – Paralelism și perpendicularitate

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră punctul $A(4,-3)$ și dreapta $d:5x+12y-26=0$. Scrie ecuația generală a dreptei care trece prin $A$ și este (câte 2 puncte): a) paralelă cu $d$; b) perpendiculară pe $d$; c) paralelă cu dreapta $x=7$; d) perpendiculară pe dreapta $x=7$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră punctele $M(-3,1)$ și $N(5,7)$. a) Scrie ecuația generală a mediatoarei segmentului $MN$. (4 p) b) Verifică rezultatul arătând că punctele $P(4,0)$ și $Q(-2,8)$ aparțin dreptei găsite și sunt egal depărtate de $M$ și de $N$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră dreptele $d_1:mx+5y-3=0$ și $d_2:20x+my+1=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Determină valorile lui $m$ pentru care $d_1$ și $d_2$ sunt paralele și arată că, pentru fiecare dintre ele, dreptele sunt paralele distincte. (4 p) b) Determină $m$ pentru care $d_1\perp d_2$ și precizează ce fel de drepte se obțin pentru valoarea găsită. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră punctele $A(-4,0)$, $B(0,-2)$, $C(3,4)$ și $D(-1,6)$. a) Arată că patrulaterul $ABCD$ este paralelogram. (3 p) b) Arată că $ABCD$ este dreptunghi, folosind ambele criterii de perpendicularitate. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(10,0)$ și $C(4,4)$. a) Scrie ecuația înălțimii din $A$. (2 p) b) Scrie ecuația înălțimii din $B$. (2 p) c) Determină coordonatele ortocentrului și verifică rezultatul cu înălțimea din $C$. (2 p)

Partea a III-a – Unghiul a două drepte, demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că două drepte neverticale, de pante $m_1$ și $m_2$, sunt perpendiculare dacă și numai dacă $m_1{m}_2=-1$. (5 p) b) Arată că triunghiul cu vârfurile $P(-2,3)$, $Q(4,1)$ și $R(6,7)$ este dreptunghic și precizează în ce vârf. Confirmă rezultatul prin reciproca teoremei lui Pitagora. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Calculează tangenta unghiului dintre următoarele perechi de drepte și, acolo unde valoarea este remarcabilă, scrie măsura unghiului în grade (câte 2 puncte): a) $x+y-8=0$ și $x-3y+3=0$; b) $4x-3y+11=0$ și $3x+4y-8=0$; c) $x=-3$ și $5x-12y+7=0$; d) $y=2$ și $2x+2y-9=0$.

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră dreptele $d_1:2x+my-6=0$ și $d_2:mx+8y-m-8=0$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\Delta$ și determină valorile lui $m$ pentru care dreptele nu sunt concurente. (3 p) b) Pentru fiecare valoare găsită la punctul a), precizează poziția exactă a dreptelor, justificând prin ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$ sau prin proporționalitatea ecuațiilor. (3 p) c) Pentru $m=0$, determină punctul comun al celor două drepte. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(4,3)$ și $C(3,8)$. a) Scrieți ecuațiile generale ale dreptelor $AB$ și $BC$. (3 p) b) Calculați tangenta unghiului $B$ al triunghiului $ABC$. (3 p) c) Scrieți ecuația înălțimii din $A$ a triunghiului $ABC$ și verificați perpendicularitatea prin criteriul cu coeficienți. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Determinantul sistemului este $\Delta =1\cdot 4-2\cdot 2=0$, deci dreptele nu sunt concurente. Discuția continuă: cu ecuațiile scrise $x+2y=4$ și $2x+4y=-3$, $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ -3& 4\end{array}\right|=16+6=22\ne 0,$$ deci dreptele sunt paralele distincte. Varianta C este capcana: oprirea la $\Delta =0$ nu decide între cazurile II și III.

b) C. Panta perpendicularei este opusul inversului: $-\frac{1}{-2/7}=\frac{7}{2}$. Varianta A este inversul semnului (greșeala „pante opuse"), iar B este inversul cu semn schimbat de două ori.

c) D. Pantele sunt $m_1=4$ și $m_2=-\frac{1}{4}$, iar $1+m_1{m}_2=1-1=0$: numitorul formulei se anulează, ceea ce înseamnă $m_1{m}_2=-1$, adică drepte perpendiculare, deci $\theta =90^{\circ }$. Control prin coeficienți, pe formele generale $4x-y-1=0$ și $x+4y+2=0$: $4\cdot 1+(-1)\cdot 4=0$ ✓

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p pentru $\Delta$, 0,5 p pentru continuarea corectă a discuției, 0,5 p pentru concluzie sau pentru punctul comun verificat).

a) Sistemul este $2x+5y=16$, $4x-3y=6$, cu $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& -3\end{array}\right|=-6-20=-26\ne 0,$$ deci dreptele sunt concurente. Apoi ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}16& 5\\ 6& -3\end{array}\right|=-48-30=-78$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}2& 16\\ 4& 6\end{array}\right|=12-64=-52$, deci $x=\frac{-78}{-26}=3$ și $y=\frac{-52}{-26}=2$. Punctul comun este $P(3,2)$; verificare: $6+10-16=0$ ✓ și $12-6-6=0$ ✓

b) Sistemul este $4x-6y=-7$, $-2x+3y=-1$, cu $\Delta =4\cdot 3-(-2)(-6)=12-12=0$ și $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-7& -6\\ -1& 3\end{array}\right|=-21-6=-27\ne 0,$$ deci dreptele sunt paralele distincte. Control prin pante: ambele au $m=\frac{2}{3}$, iar termenii liberi nu sunt proporționali cu ceilalți coeficienți. Aceeași concluzie, citită în ranguri: liniile matricei sistemului sunt proporționale și ea nu este nulă, deci $\mathrm{rang}A=1$; în matricea extinsă, minorul format din coloanele întâi și a treia este $\left|\begin{array}{cc}4& -7\\ -2& -1\end{array}\right|=-4-14=-18\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$. Rangurile fiind diferite, sistemul este incompatibil (teorema Kronecker-Capelli), adică dreptele nu au niciun punct comun.

c) A doua ecuație este prima înmulțită cu $-3$, deci $\Delta =3\cdot 15-(-9)(-5)=45-45=0$, ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}-2& -5\\ 6& 15\end{array}\right|=-30+30=0$ și ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -9& 6\end{array}\right|=18-18=0$: dreptele sunt confundate, adică una și aceeași dreaptă scrisă în două feluri.

d) Scriem prima dreaptă sub forma generală: $1\cdot x+0\cdot y+4=0$. Atunci $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -2\end{array}\right|=-2\ne 0,$$ deci dreptele sunt concurente — o verticală taie orice dreaptă neverticală. Înlocuind $x=-4$ în a doua ecuație obținem $-4-2y+10=0$, deci $y=3$: punctul comun este $P(-4,3)$; verificare: $-4-6+10=0$ ✓

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Anularea determinantului exclude doar concurența; dreptele pot fi paralele distincte, dar pot fi și confundate, caz în care au o infinitate de puncte comune. Contraexemplu: $3x-5y+2=0$ și $-9x+15y-6=0$ (perechea de la itemul 2c) au $\Delta =0$ și toate punctele comune.

b) F. Afirmația presupune, tacit, că amândouă dreptele au pantă. Verticala $x=6$ și orizontala $y=-1$ sunt perpendiculare, dar prima nu are pantă, deci produsul nici nu se poate scrie. Criteriul general dă răspunsul corect: pe formele generale $x-6=0$ și $y+1=0$, $a_1{a}_2+b_1{b}_2=1\cdot 0+0\cdot 1=0$ ✓

c) F. Formula cere două condiții: ambele drepte să aibă pantă (deci niciuna verticală) și numitorul $1+m_1{m}_2$ să fie nenul (deci dreptele să nu fie perpendiculare). Ambele situații apar la drepte concurente — de pildă perechea de la itemul 1c, care este concurentă și perpendiculară.

d) A. Este citirea în limbajul rangurilor a cazului al doilea: $\mathrm{rang}A=1$ arată că liniile matricei sistemului sunt proporționale, deci dreptele au aceeași direcție, iar $\mathrm{rang}\overline{A}=2$ arată, prin teorema Kronecker-Capelli, că sistemul este incompatibil, deci dreptele nu au niciun punct comun: sunt paralele distincte.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Egalăm cele două expresii ale lui $y$: $5x-8=-2x+6$, deci $7x=14$ și $x=2$ (1,5 p); atunci $y=5\cdot 2-8=2$ (0,5 p). Punctul comun este $P(2,2)$. Verificare în ambele ecuații: $5\cdot 2-8=2$ ✓ și $-2\cdot 2+6=2$ ✓ (0,5 p). Control prin determinant: pe formele generale $5x-y-8=0$ și $2x+y-6=0$, $\Delta =5\cdot 1-2\cdot (-1)=7\ne 0$, deci dreptele sunt într-adevăr concurente (0,5 p).

b) (3 p) Scrise sub forma generală, dreptele sunt $x+5=0$, $y-4=0$ și $x-2=0$ (0,5 p). Prima pereche: $\Delta =1\cdot 1-0\cdot 0=1\ne 0$, deci sunt concurente, în punctul $(-5,4)$; în plus $a_1{a}_2+b_1{b}_2=1\cdot 0+0\cdot 1=0$, deci sunt și perpendiculare (1 p). A doua pereche: $\Delta =1\cdot 0-1\cdot 0=0$, iar ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}1& -5\\ 1& 2\end{array}\right|=7\ne 0$, deci sunt paralele distincte — două verticale de abscise diferite (1 p). Explicația cerută: dreapta $x=-5$ este verticală, iar unghiul ei cu semiaxa pozitivă $Ox$ este de $90^{\circ }$; cum $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există, panta ei nu este definită. Orice criteriu care începe cu „fie $m_1$ și $m_2$ pantele" exclude tacit acest caz; criteriul cu coeficienți nu are această slăbiciune (0,5 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p pentru condiția scrisă, 1 p pentru calcul, 0,5 p pentru verificarea că $A$ aparține dreptei găsite).

Se observă întâi că $A\notin d$: $5\cdot 4+12\cdot (-3)-26=20-36-26=-42\ne 0$.

a) Orice paralelă la $d$ are aceiași coeficienți ai lui $x$ și ai lui $y$, deci ecuația ei este $5x+12y+k=0$. Condiția de trecere prin $A$ dă $20-36+k=0$, adică $k=16$: $$5x+12y+16=0.$$ Verificare: $20-36+16=0$ ✓, iar $a_1{b}_2-a_2{b}_1=5\cdot 12-5\cdot 12=0$ ✓ (dreptele sunt distincte, pentru că $16\ne -26$).

b) Orice perpendiculară pe $d$ are ecuația $12x-5y+k=0$ (coeficienții se interschimbă, iar unuia i se schimbă semnul), pentru că atunci $5\cdot 12+12\cdot (-5)=0$. Condiția de trecere prin $A$ dă $48+15+k=0$, adică $k=-63$: $$12x-5y-63=0.$$ Verificare: $48+15-63=0$ ✓ Control prin pante: $m_d=-\frac{5}{12}$ și $m=\frac{12}{5}$, cu produsul $-1$ ✓

c) Dreapta $x=7$ este verticală, iar paralelele la ea sunt tot verticale. Cea care trece prin $A(4,-3)$ este $$x=4,\text{adica˘}x-4=0.$$ Aici nu se poate lucra cu pante — verticalele nu au pantă —, dar criteriul cu coeficienți confirmă: $1\cdot 0-1\cdot 0=0$ ✓

d) Perpendiculara pe o verticală este o orizontală; cea care trece prin $A$ este $$y=-3,\text{adica˘}y+3=0.$$ Verificare prin coeficienți: $0\cdot 1+1\cdot 0=0$ ✓

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului (0,5 p). Mijlocul lui $MN$ este $$T\left(\frac{-3+5}{2},\frac{1+7}{2}\right)=T(1,4)$$ (1 p), iar panta lui $MN$ este $m_{MN}=\frac{7-1}{5-(-3)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ (1 p). Mediatoarea are panta $-\frac{4}{3}$ (opusul inversului) și trece prin $T$ (0,5 p): $$y-4=-\frac{4}{3}(x-1)⟺3y-12=-4x+4⟺4x+3y-16=0$$ (1 p). Control prin coeficienți: dreapta $MN$ are ecuația $3x-4y+13=0$, iar $4\cdot 3+3\cdot (-4)=0$ ✓

b) (3 p) Punctul $P(4,0)$ aparține mediatoarei: $16+0-16=0$ ✓ (0,5 p), iar $$P{M}^2=(4+3{)}^2+(0-1{)}^2=49+1=50,P{N}^2=(4-5{)}^2+(0-7{)}^2=1+49=50,$$ deci $PM=PN=5\sqrt{2}$ (1,25 p). Punctul $Q(-2,8)$ aparține și el: $-8+24-16=0$ ✓, iar $Q{M}^2=1+49=50$ și $Q{N}^2=49+1=50$, deci $QM=QN$ (1,25 p). Ambele puncte sunt egal depărtate de capetele segmentului, ceea ce confirmă că dreapta găsită este mediatoarea.

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Condiția de paralelism prin coeficienți este $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$ (0,5 p): $$m\cdot m-20\cdot 5=0⟺m^2=100⟺m\in \{-10,10\}$$ (1,5 p). Pentru $m=10$, dreptele devin $10x+5y-3=0$ și $20x+10y+1=0$. Înmulțind prima cu $2$ obținem $20x+10y-6=0$, care are același membru stâng ca a doua, dar alt termen liber ($-6\ne 1$), deci dreptele sunt paralele distincte (1 p). Pentru $m=-10$, dreptele devin $-10x+5y-3=0$ și $20x-10y+1=0$. Înmulțind prima cu $-2$ obținem $20x-10y+6=0$, iar $6\ne 1$: tot paralele distincte (1 p).

b) (3 p) Condiția de perpendicularitate prin coeficienți este $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$ (0,5 p): $$m\cdot 20+5\cdot m=0⟺25m=0⟺m=0$$ (1,5 p). Pentru $m=0$ dreptele devin $5y-3=0$, adică orizontala $y=\frac{3}{5}$, și $20x+1=0$, adică verticala $x=-\frac{1}{20}$ (0,75 p). Ele sunt într-adevăr perpendiculare, deși produsul pantelor nu se poate scrie: verticala nu are pantă. Este exact situația în care criteriul cu coeficienți este singurul disponibil (0,25 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Calculăm pantele laturilor (1 p): $$m_{AB}=\frac{-2-0}{0-(-4)}=-\frac{1}{2},m_{DC}=\frac{4-6}{3-(-1)}=-\frac{1}{2},m_{AD}=\frac{6-0}{-1-(-4)}=2,m_{BC}=\frac{4-(-2)}{3-0}=2.$$ Cum $m_{AB}=m_{DC}$, laturile $AB$ și $DC$ sunt paralele; cum $m_{AD}=m_{BC}$, laturile $AD$ și $BC$ sunt paralele. Mai mult, deplasările de la un capăt la celălalt coincid — de la $A$ la $B$ se merge cu $4$ la dreapta și $2$ în jos, exact ca de la $D$ la $C$ —, deci vârfurile sunt luate în ordinea de pe contur, iar patrulaterul nu este „încrucișat"; fără această precizare, patru puncte cu laturi opuse paralele nu determină încă un paralelogram (1,5 p). Ambele perechi de laturi opuse fiind paralele, patrulaterul $ABCD$ este paralelogram (0,5 p).

b) (3 p) Criteriul cu pante: $m_{AB}\cdot m_{AD}=-\frac{1}{2}\cdot 2=-1$, deci $AB\perp AD$ (1 p). Criteriul cu coeficienți: dreapta $AB$ are ecuația $x+2y+4=0$ (verificare: $-4+0+4=0$ pentru $A$ și $0-4+4=0$ pentru $B$), iar dreapta $AD$ are ecuația $2x-y+8=0$ (verificare: $-8-0+8=0$ și $-2-6+8=0$); atunci $a_1{a}_2+b_1{b}_2=1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$ ✓ (1,5 p). Fiind paralelogram cu două laturi vecine perpendiculare, $ABCD$ este dreptunghi (0,5 p). Control suplimentar: diagonalele unui dreptunghi sunt egale, iar $A{C}^2=7^2+4^2=65$ și $B{D}^2=(-1{)}^2+8^2=65$ ✓

Itemul 9. (6 p)

a) (2 p) Înălțimea din $A$ este perpendiculara din $A$ pe dreapta $BC$. Panta lui $BC$ este $m_{BC}=\frac{4-0}{4-10}=-\frac{2}{3}$ (0,75 p), deci înălțimea are panta $\frac{3}{2}$ și trece prin origine (0,75 p): $$y=\frac{3}{2}x⟺3x-2y=0$$ (0,5 p). Control prin coeficienți: $BC:2x+3y-20=0$ (verificare: $20+0-20=0$ și $8+12-20=0$), iar $3\cdot 2+(-2)\cdot 3=0$ ✓

b) (2 p) Panta lui $AC$ este $m_{AC}=\frac{4-0}{4-0}=1$ (0,75 p), deci înălțimea din $B$ are panta $-1$ și trece prin $B(10,0)$ (0,75 p): $$y-0=-(x-10)⟺x+y-10=0$$ (0,5 p).

c) (2 p) Ortocentrul este punctul comun al celor două înălțimi. Din sistemul $3x-2y=0$, $x+y=10$ obținem $y=10-x$, deci $3x-20+2x=0$, adică $x=4$ și $y=6$: $H(4,6)$ (1 p). Verificare cu a treia înălțime: latura $AB$ este pe axa $Ox$, deci este orizontală, iar înălțimea din $C$ este verticala $x=4$ — panta ei nu există, așa că ecuația se scrie direct, fără formula cu pante. Într-adevăr, $H$ are abscisa $4$, deci aparține acestei verticale (1 p). Cele trei înălțimi sunt concurente în $H(4,6)$.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Reducerea la drepte prin origine. Perpendicularitatea a două drepte nu se schimbă dacă le translatăm, iar prin translație panta se păstrează. Putem deci presupune că amândouă trec prin origine: $d_1:y=m_{1}x$ și $d_2:y=m_{2}x$ (1 p).

Alegerea a două puncte. Luăm $A(1,m_1)\in d_1$ și $B(1,m_2)\in d_2$, amândouă distincte de $O$ (abscisa lor este $1\ne 0$). Cu formula distanței dintre două puncte (1 p): $$O{A}^2=1+m_1^2,O{B}^2=1+m_2^2,A{B}^2=(1-1{)}^2+(m_2-m_1{)}^2=(m_2-m_1{)}^2.$$

Echivalența. Unghiul din $O$ al triunghiului $OAB$ este drept dacă și numai dacă $O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2$ — implicația directă este teorema lui Pitagora, iar cea inversă este reciproca ei, deci echivalența se obține dintr-un singur șir de calcule (1,5 p): $$2+m_1^2+m_2^2=m_1^2-2m_1{m}_2+m_2^2⟺2=-2m_1{m}_2⟺m_1{m}_2=-1$$ (1,5 p). $■$ (Observație de reținut: relația spune două lucruri deodată — pantele au semne contrare, iar produsul modulelor lor este $1$, deci cu cât una dintre drepte este mai abruptă, cu atât cealaltă este mai lină.)

b) (3 p) Calculăm pantele laturilor (1 p): $$m_{PQ}=\frac{1-3}{4-(-2)}=-\frac{1}{3},m_{QR}=\frac{7-1}{6-4}=3,m_{PR}=\frac{7-3}{6-(-2)}=\frac{1}{2}.$$ Cum $m_{PQ}\cdot m_{QR}=-\frac{1}{3}\cdot 3=-1$, laturile $PQ$ și $QR$ sunt perpendiculare, deci triunghiul este dreptunghic în $Q$ (1 p). (Celelalte două produse, $-\frac{1}{6}$ și $\frac{3}{2}$, nu dau $-1$.) Confirmare prin reciproca teoremei lui Pitagora (1 p): $$P{Q}^2=6^2+(-2{)}^2=40,Q{R}^2=2^2+6^2=40,P{R}^2=8^2+4^2=80,$$ iar $40+40=80$ ✓ Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $PR$.

Itemul 11. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p pantele, 0,5 p verificarea numitorului, 1 p rezultatul).

a) Din $x+y-8=0$ obținem $y=-x+8$, deci $m_1=-1$; din $x-3y+3=0$ obținem $y=\frac{x+3}{3}$, deci $m_2=\frac{1}{3}$. Numitorul este $1+(-1)\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\ne 0$, deci formula se aplică: $$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{\frac{1}{3}+1}{\frac{2}{3}}\right|=\left|\frac{4/3}{2/3}\right|=2.$$ Valoarea nu este remarcabilă, deci răspunsul se scrie $\theta =\mathrm{arctg}2$.

b) Pantele sunt $m_1=\frac{4}{3}$ și $m_2=-\frac{3}{4}$, iar $1+m_1{m}_2=1-1=0$: numitorul se anulează, deci formula nu se aplică. Anularea lui este însă chiar răspunsul — ea înseamnă $m_1{m}_2=-1$, adică drepte perpendiculare: $$\theta =90^{\circ }.$$ Control prin coeficienți: $4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$ ✓

c) Dreapta $x=-3$ este verticală și nu are pantă, deci formula generală nu se poate nici scrie. Se folosește relația pentru verticale: cu $m=\frac{5}{12}$, panta celei de-a doua drepte, $$\mathrm{tg}\theta =\frac{1}{|m|}=\frac{1}{5/12}=\frac{12}{5}.$$ Valoarea nu este remarcabilă, deci $\theta =\mathrm{arctg}\frac{12}{5}$. (De reținut răsturnarea: față de o verticală, o dreaptă lină face un unghi mare.)

d) Dreapta $y=2$ este orizontală, deci $m_1=0$; din $2x+2y-9=0$ obținem $m_2=-1$. Numitorul este $1+0=1\ne 0$, deci $$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{-1-0}{1}\right|=1,$$ adică $\theta =45^{\circ }$ — valoare remarcabilă, scrisă în grade.

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Determinantul sistemului format din cele două ecuații este (1 p) $$\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& m\\ m& 8\end{array}\right|=16-m^2$$ (1 p). Dreptele nu sunt concurente exact când $\Delta =0$, adică $m^2=16$, deci $$m\in \{-4,4\}$$ (1 p). Pentru orice altă valoare a lui $m$, dreptele sunt concurente.

b) (3 p) Pentru $m=4$, dreptele devin $2x+4y-6=0$ și $4x+8y-12=0$; a doua este prima înmulțită cu $2$, deci toți cei trei determinanți se anulează și dreptele sunt confundate (1,5 p). (Ambele se reduc la $x+2y-3=0$.) Pentru $m=-4$, dreptele devin $2x-4y-6=0$ și $-4x+8y-4=0$, adică $x-2y-3=0$ și $x-2y+1=0$: aceiași coeficienți ai lui $x$ și $y$, termeni liberi diferiți, deci paralele distincte (1,5 p). Cu determinanți: $\Delta =0$, iar cu ecuațiile scrise $2x-4y=6$, $-4x+8y=4$ obținem ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cc}6& -4\\ 4& 8\end{array}\right|=48+16=64\ne 0$ ✓

c) (2 p) Pentru $m=0$ dreptele devin $2x-6=0$, adică verticala $x=3$, și $8y-8=0$, adică orizontala $y=1$ (1 p). O verticală și o orizontală se taie întotdeauna, deci punctul comun este $P(3,1)$ (1 p). Control cu formulele generale: pentru $m\notin \{-4,4\}$ se obține $x=\frac{m+12}{m+4}$ și $y=\frac{4}{m+4}$; pentru $m=0$ acestea dau $x=\frac{12}{4}=3$ și $y=\frac{4}{4}=1$ ✓

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Panta lui $AB$ este $m_{AB}=\frac{3-1}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (0,5 p), deci $$y-1=\frac{1}{3}(x+2)⟺3y-3=x+2⟺AB:x-3y+5=0$$ (1 p); verificare: $-2-3+5=0$ pentru $A$ ✓ și $4-9+5=0$ pentru $B$ ✓ Panta lui $BC$ este $m_{BC}=\frac{8-3}{3-4}=-5$ (0,5 p), deci $$y-3=-5(x-4)⟺BC:5x+y-23=0$$ (1 p); verificare: $20+3-23=0$ ✓ și $15+8-23=0$ ✓

b) (3 p) Unghiul $B$ este unghiul dintre dreptele $BA$ și $BC$, cu pantele $\frac{1}{3}$ și $-5$ (0,5 p). Verificăm întâi numitorul: $$1+m_{AB}\cdot m_{BC}=1+\frac{1}{3}\cdot (-5)=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}\ne 0,$$ deci dreptele nu sunt perpendiculare și formula se poate aplica (1 p): $$\mathrm{tg}B=\left|\frac{-5-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}}\right|=\left|\frac{-16/3}{-2/3}\right|=8$$ (1,5 p). Răspunsul cerut este chiar tangenta, un număr exact; măsura unghiului s-ar scrie $\mathrm{arctg}8$.

c) (2 p) Înălțimea din $A$ este perpendiculara din $A$ pe $BC$, deci are panta $-\frac{1}{-5}=\frac{1}{5}$ (0,5 p) și trece prin $A(-2,1)$: $$y-1=\frac{1}{5}(x+2)⟺5y-5=x+2⟺x-5y+7=0$$ (1 p); verificare: $-2-5+7=0$ ✓ Criteriul cu coeficienți: înălțimea are coeficienții $1$ și $-5$, dreapta $BC$ are coeficienții $5$ și $1$, iar $$a_1{a}_2+b_1{b}_2=1\cdot 5+(-5)\cdot 1=0✓$$ (0,5 p). (Observație de barem: cele trei puncte formează într-adevăr un triunghi — pantele $m_{AB}=\frac{1}{3}$ și $m_{AC}=\frac{8-1}{3+2}=\frac{7}{5}$ sunt diferite, deci $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare.)