Test: primitive și integrala nedefinită

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă prima parte a unității — lecțiile despre noțiunea de primitivă, integrala nedefinită și tabelul primitivelor funcțiilor uzuale — și verifică cinci lucruri. Primul: definiția primitivei, cu cele trei cuvinte care nu pot lipsi din ea — derivabilă, pentru orice $x\in I$ și intervalul $I$ — și verificarea prin derivare, singurul control complet al capitolului. Al doilea: integrala nedefinită ca mulțime de funcții, cu citirea corectă a scrierii $F(x)+\mathcal{C}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe intervalul de lucru. Al treilea: liniaritatea, cu ipoteza $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și cu locul exact în care ea se rupe pentru $\alpha =0$, plus rețeta de calcul în trei etape — prelucrare algebrică, liniaritate, tabel. Al patrulea: tabelul canonic al primitivelor, cu toate cele șaisprezece rânduri și, mai ales, cu intervalul fiecăruia; perechile care se confundă ($\frac{1}{x^2+a^2}$ față de $\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$ față de $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$) sunt așezate intenționat alături. Al cincilea: primitiva care îndeplinește o condiție de tipul $F(x_0)=y_0$ și citirea monotoniei primitivelor din semnul funcției.

Testul cere un tip anume de redactare, pe care baremele examenului îl punctează literal: intervalul scris întâi → formula din tabel → rezultatul cu $+\mathcal{C}$ → verificarea prin derivare. Un rezultat corect scris fără interval sau fără constantă nu primește punctajul întreg.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare primitivă se cere și intervalul, nu doar formula.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare rezolvare începe cu intervalul pe care se lucrează și se încheie, dacă mai e timp, cu derivarea rezultatului pe ciornă. Se depunctează, în ordinea în care apar aceste greșeli într-o rezolvare: primitiva căutată în afara unui interval (afirmația „două primitive diferă printr-o constantă" e adevărată pe un interval și falsă pe o reuniune de intervale); $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$, adică rezultatul scris ca funcție, nu ca mulțime; modulul la logaritm, pus sau scos fără motiv; rândul greșit din tabel, cu factorul $\frac{1}{a}$ adăugat la arcsinus sau uitat la arctangentă. Sunt patru dintre „cele opt capcane ale unității Primitive", strânse la sfârșitul unității.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor, cu accent pe cele trei etape de calcul și pe coloana intervalelor din tabel.
• Formule de reținut: Definiția: $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Teorema constantei: două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă (Consecința 1 a teoremei lui Lagrange); pe o reuniune de intervale afirmația este falsă. Integrala nedefinită: $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$, iar $F(x)+\mathcal{C}$ înseamnă $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$. Cele două relații: $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathcal{C}$ și ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$. Liniaritatea: $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$ și $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx$, pentru $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Cele trei etape de calcul: Etapa 1 — prelucrarea algebrică; Etapa 2 — liniaritatea; Etapa 3 — tabelul, cu un singur $\mathcal{C}$ la final. Tabelul canonic, cu $a>0$: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$ (rândul 1); $\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$, $r\ne -1$ (rândul 2); $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+\mathcal{C}$ (rândul 3); $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C}$ (rândul 4); $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$ (rândul 5); $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$ (rândul 6); $\int \cos xdx=\sin x+\mathcal{C}$ (rândul 7); $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$ (rândul 8); $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\mathrm{ctg}x+\mathcal{C}$ (rândul 9); $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+\mathcal{C}$ pe $(0,+\infty )$ (rândul 10); $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\mathcal{C}$ pe orice interval $I\subseteq \mathbb{R}\setminus \{\pm a\}$ (rândul 11); $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$ (rândul 12); $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$, fără modul (rândul 13); $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\mathcal{C}$ pe $(-\infty ,-a)$ sau pe $(a,+\infty )$ (rândul 14); $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+\mathcal{C}$ pe $(-a,a)$, fără factorul $\frac{1}{a}$ (rândul 15); $\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$ și $\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+\mathcal{C}$, pe intervale fără poli (rândul 16). Derivatele adăugate tabelului: $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ și $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ pe $(-1,1)$; $(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ și $(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$ pe $\mathbb{R}$. Primitiva cu condiție: se scrie forma generală $F=F_0+c$, se impune $F(x_0)=y_0$ și se rezolvă ecuația de gradul întâi în $c$. Monotonia primitivelor: semnul lui $f$ este tabelul de semn al derivatei oricărei primitive a lui $f$. $\mathcal{H}(I)$ = mulțimea funcțiilor care admit primitive pe intervalul $I$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția, notația și primele rânduri ale tabelului

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$. Funcția $F:I\to \mathbb{R}$ este primitivă a lui $f$ pe $I$ dacă: A. $F$ este continuă pe $I$ și $F^{\prime }=f$; B. $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$; C. $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$ măcar într-un punct $x_0\in I$; D. $f$ este derivabilă pe $I$ și $f^{\prime }=F$.

b) Simbolul $\int f(x)dx$ desemnează: A. o funcție; B. un număr real; C. mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe intervalul de lucru; D. derivata funcției $f$.

c) Egalitatea $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx$ este adevărată: A. pentru orice număr real $\alpha$; B. numai pentru $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$; C. numai pentru $\alpha >0$; D. pentru niciun $\alpha$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „O funcție care admite primitive pe un interval admite acolo o infinitate de primitive." b) „Formula $\int x^{r}dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+\mathcal{C}$ este valabilă pentru orice număr real $r$." c) „O primitivă a funcției $f(x)=\frac{1}{\sqrt{49-x^2}}$ este $\frac{1}{7}\arcsin \frac{x}{7}$." d) „Egalitatea $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+\mathcal{C}$ este valabilă pe orice interval inclus în domeniul funcției."

Itemul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție, precizează rândul din tabel pe care îl folosești, scrie mulțimea primitivelor și intervalul pe care lucrezi (câte 2 puncte): a) $f(x)=\frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$; b) $f(x)=7^x$; c) $f(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{2}{x^2+36}+\frac{5}{\sqrt{16-x^2}}$.

a) Determină cel mai mare interval care îl conține pe $0$ și pe care $f$ este definită și continuă; deduce că $f$ admite primitive pe el. (2 p) b) Calculează $\int f(x)dx$ pe acest interval. (3 p) c) Determină primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=1$. (2 p)

Partea a II-a – Cele trei etape de calcul și rândurile 11–16

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, precizând la fiecare prelucrarea algebrică de la Etapa 1: a) $\int \frac{{\left(x^2+5\right)}^2}{x}dx$, pe $(0,+\infty )$; (3 p) b) $\int \left(5^x-2\sin x\right)dx$, pe $\mathbb{R}$; (2 p) c) $\int {\mathrm{ctg}}^{2}xdx$, pe $(0,\pi )$. (3 p)

Itemul 6 (8 puncte)

Determină primitivele, precizând rândul din tabel, valoarea parametrului $a$ și intervalul (câte 2 puncte): a) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-16}}dx$, pe $(4,+\infty )$; b) $\int \frac{1}{x^2-25}dx$; c) $\int \frac{1}{\sqrt{36-x^2}}dx$; d) $\int \mathrm{ctg}xdx$, pe $(0,\pi )$.

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcțiile $F,f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+3}\right)$ și $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$.

a) Arată că $x+\sqrt{x^2+3}>0$ pentru orice număr real $x$, tratând separat cazurile $x\ge 0$ și $x<0$. (2 p) b) Arată, prin derivare, că $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) c) Explică de ce rândul 13 al tabelului se scrie fără modul, în timp ce rândul 14 se scrie cu modul. (2 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2+11}{x^2+3}$.

a) Arată că $f(x)=3+\frac{2}{x^2+3}$ pentru orice număr real $x$. (2 p) b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) c) Determină primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=2$. (2 p)

Partea a III-a – Liniaritatea demonstrată, o familie cu parametru și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Fie $I$ un interval și $f,g:I\to \mathbb{R}$ două funcții care admit primitive pe $I$.

a) Enunță și demonstrează omogenitatea integralei nedefinite, $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx$ pentru $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$, arătând exact unde intervine ipoteza $\alpha \ne 0$. (4 p) b) Arată că pentru $\alpha =0$ egalitatea de mai sus este falsă, comparând cele două mulțimi. (3 p) c) Notăm cu $\mathcal{H}(I)$ mulțimea funcțiilor care admit primitive pe $I$. Arată că $\mathcal{H}(I)$ este parte stabilă în raport cu adunarea funcțiilor, că funcția nulă este element neutru și că orice element al lui $\mathcal{H}(I)$ este simetrizabil. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Se consideră, pentru $a>0$, funcția $f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=\frac{1}{x^2+a^2}$.

a) Determină mulțimea primitivelor funcției $f_a$ pe $\mathbb{R}$. (3 p) b) Determină $a$ pentru care primitiva $F_a$ a lui $f_a$ cu proprietatea $F_a(0)=0$ verifică $F_a(a)=\frac{\pi }{20}$. (4 p) c) Arată că, pentru orice $a>0$, funcția $F_a$ de la subpunctul b) este impară. (3 p)

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema 2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^2+203}{x^2+49}$.

a) Arătați că $f(x)=4+\frac{7}{x^2+49}$ pentru orice număr real $x$. (5 p) b) Determinați mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (5 p) c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ cu proprietatea $F(0)=3$, arătați că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și că $F(x)<4x+3+\frac{\pi }{2}$ pentru orice număr real $x$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Definiția cere derivabilitatea pe tot intervalul și egalitatea $F^{\prime }(x)=f(x)$ în fiecare punct al lui $I$. Varianta A nu ajunge (o funcție continuă poate să nu aibă derivată), varianta C cere egalitatea într-un singur punct, iar varianta D inversează rolurile celor două funcții.

b) C. În stânga stă o mulțime, nu o funcție: mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe intervalul de lucru. Scrierea $F(x)+\mathcal{C}$ este prescurtarea pentru $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$, iar egalitatea dintre cei doi membri este o egalitate de mulțimi.

c) B. Pentru $\alpha \ne 0$ produsul $\alpha c$ parcurge toate numerele reale când $c$ le parcurge, deci cele două mulțimi coincid. Pentru $\alpha =0$ membrul stâng este $\mathcal{C}$, adică o mulțime infinită, iar membrul drept conține o singură funcție, cea identic nulă.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Dacă $F$ este o primitivă, atunci și $F+c$ este, pentru orice constantă reală $c$, pentru că derivata unei constante este nulă. Prin urmare, o funcție care admite măcar o primitivă admite o infinitate.

b) F. Pentru $r=-1$ numitorul $r+1$ se anulează, deci formula nici nu se poate scrie; acest caz este chiar rândul 3 al tabelului, cu $\ln |x|$. În plus, pentru $r$ neîntreg formula are sens numai pe $(0,+\infty )$.

c) F. La rândul 15 nu apare factorul $\frac{1}{a}$ în față: derivând $\frac{1}{7}\arcsin \frac{x}{7}$ obținem $\frac{1}{7}\cdot \frac{1}{\sqrt{49-x^2}}$, adică o șeptime din funcția cerută. Răspunsul corect este $\arcsin \frac{x}{7}+\mathcal{C}$, pe intervalul $(-7,7)$; confuzia vine de la rândul 12, unde factorul chiar există.

d) F. Pe un interval de numere negative $\ln x$ nu are sens, deși funcția $\frac{1}{x}$ este definită și continuă acolo. Forma corectă, valabilă pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului, este $\ln |x|+\mathcal{C}$, adică $\ln (-x)+\mathcal{C}$ pe ramura negativă.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Scriem funcția ca putere: $\frac{1}{x\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{4}{3}}$, deci suntem pe rândul 2, cu $r=-\frac{4}{3}$ și $r+1=-\frac{1}{3}$: $$\int \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}dx=\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}}+\mathcal{C}=-\frac{3}{\sqrt[3]{x}}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$ Verificare prin derivare: ${\left(-3x^{-\frac{1}{3}}\right)}^{\prime }=-3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}}=x^{-\frac{4}{3}}$.

b) Rândul 4, cu $a=7$: $\int 7^{x}dx=\frac{7^x}{\ln 7}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$. Se împarte la $\ln 7$, nu se înmulțește — la derivare se înmulțește, iar controlul prin derivare separă instantaneu cele două formule.

c) Rândul 8: $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{tg}x+\mathcal{C}$, pe orice interval $I\subseteq \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$, de exemplu pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Scrierea rezultatului „pe $\mathbb{R}$" este greșită: acolo funcția de integrat nici nu este definită.

Itemul 4. (7 p)

a) (2 p) Primul termen are numitorul $x^2+36\ge 36>0$, deci este definit pe tot $\mathbb{R}$; al doilea cere $16-x^2>0$, adică $x\in (-4,4)$ (1 p). Intervalul cerut este intersecția celor două condiții, adică $(-4,4)$; pe el $f$ este continuă, fiind sumă de funcții continue, deci admite primitive, prin teorema de existență (1 p).

b) (3 p) Prin liniaritate, cu rândul 12 pentru primul termen ($a=6$) și cu rândul 15 pentru al doilea ($a=4$) (1 p): $$\int \frac{2}{x^2+36}dx=2\cdot \frac{1}{6}\mathrm{arctg}\frac{x}{6}=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{6},\int \frac{5}{\sqrt{16-x^2}}dx=5\arcsin \frac{x}{4}$$ (1 p), prin urmare $$\int f(x)dx=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{6}+5\arcsin \frac{x}{4}+\mathcal{C},x\in (-4,4)$$ (1 p). Observă asimetria dintre cei doi termeni: la rândul 12 factorul $\frac{1}{a}$ apare, la rândul 15 nu.

c) (2 p) Orice primitivă are forma $F(x)=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{6}+5\arcsin \frac{x}{4}+c$ (1 p). Cum $\mathrm{arctg}0=0$ și $\arcsin 0=0$, avem $F(0)=c$, deci $c=1$ și $$F(x)=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{6}+5\arcsin \frac{x}{4}+1,x\in (-4,4)$$ (1 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (3 p) Etapa 1: dezvoltăm pătratul și împărțim termen cu termen, $$\frac{{\left(x^2+5\right)}^2}{x}=\frac{x^4+10x^2+25}{x}=x^3+10x+\frac{25}{x}$$ (1 p). Etapele 2 și 3: cu liniaritatea și cu rândurile 1 și 3 (1 p), $$\int \frac{{\left(x^2+5\right)}^2}{x}dx=\frac{x^4}{4}+5x^2+25\ln |x|+\mathcal{C},x\in (0,+\infty )$$ (1 p). Modulul se păstrează în scriere, deși pe intervalul dat $\ln |x|=\ln x$.

b) (2 p) Primul termen este rândul 4 cu $a=5$, al doilea este rândul 6 (1 p): $$\int \left(5^x-2\sin x\right)dx=\frac{5^x}{\ln 5}+2\cos x+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p). Atenție la semne: minusul din enunț și minusul din primitiva sinusului se înmulțesc și dau plus.

c) (3 p) Etapa 1: funcția ${\mathrm{ctg}}^{2}x$ nu apare în tabel, dar identitatea $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\mathrm{ctg}}^{2}x$ o transformă într-o diferență de termeni cunoscuți, $${\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1$$ (1,5 p). Etapele 2 și 3: cu rândul 9 și cu rândul 1 pentru constanta $1$, $$\int {\mathrm{ctg}}^{2}xdx=-\mathrm{ctg}x-x+\mathcal{C},x\in (0,\pi )$$ (1,5 p). Pe intervalul dat sinusul nu se anulează, deci rândul 9 se poate folosi.

Itemul 6. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Rândul 14, cu $a=4$: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-16}}dx=\ln \left|x+\sqrt{x^2-16}\right|+\mathcal{C}$, pe $(4,+\infty )$. Modulul face parte din formulă, chiar dacă pe acest interval expresia dinăuntru este pozitivă; el devine indispensabil pe cealaltă ramură a domeniului, $(-\infty ,-4)$.

b) Rândul 11, cu $a=5$: $\int \frac{1}{x^2-25}dx=\frac{1}{10}\ln \left|\frac{x-5}{x+5}\right|+\mathcal{C}$. Domeniul funcției de integrat este reuniunea a trei intervale, $(-\infty ,-5)$, $(-5,5)$ și $(5,+\infty )$, iar formula se aplică pe fiecare dintre ele separat, cu constanta lui.

c) Rândul 15, cu $a=6$: $\int \frac{1}{\sqrt{36-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{6}+\mathcal{C}$, pe intervalul $(-6,6)$. Intervalul este obligatoriu deschis, pentru că la capete radicalul de la numitor se anulează. Fără factor în față — deosebirea de rândul 12.

d) Rândul 16: $\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+\mathcal{C}$, pe $(0,\pi )$. Verificare prin derivare: $(\ln |\sin x|{)}^{\prime }=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}x$.

Itemul 7. (7 p)

a) (2 p) Dacă $x\ge 0$, atunci $x+\sqrt{x^2+3}\ge \sqrt{3}>0$, suma fiind de termeni nenegativi, dintre care al doilea strict pozitiv (1 p). Dacă $x<0$, atunci $\sqrt{x^2+3}>\sqrt{x^2}=|x|=-x$, deci $x+\sqrt{x^2+3}>0$ (1 p).

b) (3 p) Din subpunctul a), argumentul logaritmului este strict pozitiv, deci $F$ este bine definită și derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca funcție compusă (0,5 p). Derivăm cu regula funcțiilor compuse: $$F^{\prime }(x)=\frac{{\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)}^{\prime }}{x+\sqrt{x^2+3}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x+\sqrt{x^2+3}}$$ (1,5 p). Aducem numărătorul la același numitor și simplificăm cu factorul comun $x+\sqrt{x^2+3}$, strict pozitiv: $$F^{\prime }(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{x^2+3}\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+3}}=f(x)$$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ (1 p).

c) (2 p) La rândul 13 argumentul logaritmului, $x+\sqrt{x^2+a^2}$, este strict pozitiv pentru orice număr real $x$ — exact ce s-a arătat la subpunctul a) —, deci modulul nu are ce să corecteze și nu se scrie (1 p). La rândul 14 funcția se studiază și pe $(-\infty ,-a)$, unde expresia $x+\sqrt{x^2-a^2}$ este negativă (de pildă, pentru $a=4$ și $x=-5$ ea valorează $-5+3=-2$), deci modulul devine obligatoriu (1 p).

Itemul 8. (7 p)

a) (2 p) Scriem numărătorul folosind numitorul: $3x^2+11=3\left(x^2+3\right)+2$ (1 p). Împărțind termen cu termen și observând că $x^2+3\ge 3>0$ pentru orice $x$ real, obținem $$f(x)=\frac{3\left(x^2+3\right)+2}{x^2+3}=3+\frac{2}{x^2+3}$$ (1 p).

b) (3 p) Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive. Prin liniaritate, cu rândul 1 pentru constanta $3$ și cu rândul 12 pentru al doilea termen (1 p); aici $a^2=3$, deci $a=\sqrt{3}$ — formula nu cere ca $a^2$ să fie pătrat perfect (1 p): $$\int f(x)dx=3x+\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}+\mathcal{C}=3x+\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}\frac{x\sqrt{3}}{3}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p).

c) (2 p) Orice primitivă are forma $F(x)=3x+\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{3}}+c$, iar $F(0)=0+0+c=c$ (1 p). Condiția $F(0)=2$ dă $c=2$, deci $$F(x)=3x+\frac{2\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}\frac{x\sqrt{3}}{3}+2,x\in \mathbb{R}$$ (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (4 p) Enunț. Dacă $f$ admite primitive pe intervalul $I$ și $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$, atunci $\alpha f$ admite primitive pe $I$ și $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx$ (1 p). Demonstrație. Fie $F$ o primitivă a lui $f$ pe $I$. Funcția $\alpha F$ este derivabilă pe $I$ și $(\alpha F{)}^{\prime }=\alpha F^{\prime }=\alpha f$, deci $\alpha f$ admite primitive, iar membrul stâng este mulțimea $\alpha F+\mathcal{C}$ (1,5 p). Membrul drept este mulțimea funcțiilor de forma $\alpha (F+c)=\alpha F+\alpha c$, cu $c\in \mathbb{R}$ (0,5 p). Aici intervine ipoteza: numai pentru $\alpha \ne 0$ produsul $\alpha c$ parcurge toate numerele reale când $c$ le parcurge, deci cele două mulțimi coincid (1 p).

b) (3 p) Pentru $\alpha =0$, membrul stâng este $\int 0dx=\mathcal{C}$, adică mulțimea tuturor funcțiilor constante pe $I$, care este infinită (1,5 p). Membrul drept este $0\cdot \int f(x)dx$, adică mulțimea formată dintr-o singură funcție, cea identic nulă (1 p). O mulțime infinită nu poate fi egală cu una cu un singur element, deci egalitatea este falsă (0,5 p).

c) (3 p) Parte stabilă: dacă $f$ are primitiva $F$ și $g$ are primitiva $G$ pe $I$, atunci $F+G$ este derivabilă și $(F+G{)}^{\prime }=f+g$, deci $f+g\in \mathcal{H}(I)$ (1 p). Element neutru: funcția nulă aparține lui $\mathcal{H}(I)$, primitivele ei fiind funcțiile constante, iar $f+0=f$ pentru orice $f$ (1 p). Simetrizabil: dacă $f$ are primitiva $F$, atunci $-f$ are primitiva $-F$, deci $-f\in \mathcal{H}(I)$ și $f+(-f)=0$ (1 p).

Itemul 10. (10 p)

a) (3 p) Funcția $f_a$ este continuă pe $\mathbb{R}$, numitorul fiind cel puțin $a^2>0$, deci admite primitive (1 p). Este rândul 12 al tabelului (1 p): $$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p).

b) (4 p) Primitivele au forma $F_a(x)=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+c$, iar $F_a(0)=c$, deci condiția $F_a(0)=0$ dă $c=0$ și $F_a(x)=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}$ (1,5 p). Calculăm valoarea cerută: cum $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, $$F_a(a)=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{a}{a}=\frac{1}{a}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4a}$$ (1,5 p). Din $\frac{\pi }{4a}=\frac{\pi }{20}$ obținem $4a=20$, deci $\mathbf{a}=5$, valoare care respectă condiția $a>0$ (1 p).

c) (3 p) Funcția $\mathrm{arctg}$ este impară: din $\mathrm{tg}$ impară pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ rezultă $\mathrm{arctg}(-t)=-\mathrm{arctg}t$ pentru orice $t$ real (1,5 p). Prin urmare, pentru orice $a>0$ și orice $x$ real, $$F_a(-x)=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{-x}{a}=-\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}=-F_a(x)$$ (1 p), deci $F_a$ este impară; graficul ei este simetric față de origine (0,5 p).

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Numitorul verifică $x^2+49\ge 49>0$ pentru orice $x$ real, deci funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$ (1 p). Scriem numărătorul folosind numitorul: $4\left(x^2+49\right)=4x^2+196$, iar $203-196=7$, deci $4x^2+203=4\left(x^2+49\right)+7$ (2 p). Împărțind termen cu termen, $$f(x)=\frac{4\left(x^2+49\right)+7}{x^2+49}=4+\frac{7}{x^2+49},x\in \mathbb{R}$$ (2 p).

b) (5 p) Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul, deci admite primitive (1 p). Aplicăm liniaritatea pe forma de la subpunctul a) și folosim rândul 1 pentru constanta $4$ și rândul 12 cu $a=7$ (1,5 p): $$\int \frac{7}{x^2+49}dx=7\cdot \frac{1}{7}\mathrm{arctg}\frac{x}{7}=\mathrm{arctg}\frac{x}{7}$$ (1,5 p), factorul $7$ din numărător simplificându-se exact cu factorul $\frac{1}{7}$ al formulei. Prin urmare $$\int f(x)dx=4x+\mathrm{arctg}\frac{x}{7}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}$$ (1 p).

c) (5 p) Orice primitivă are forma $F(x)=4x+\mathrm{arctg}\frac{x}{7}+c$; din $\mathrm{arctg}0=0$ rezultă $F(0)=c$, iar condiția $F(0)=3$ dă $c=3$ (1,5 p), deci $$F(x)=4x+\mathrm{arctg}\frac{x}{7}+3,x\in \mathbb{R}$$ (0,5 p). Monotonia. Avem $F^{\prime }=f$, iar $f(x)=4+\frac{7}{x^2+49}>0$ pentru orice $x$ real, ambii termeni fiind strict pozitivi (1 p); cum $\mathbb{R}$ este interval, $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). Inegalitatea. Codomeniul funcției arctangentă este $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci $\mathrm{arctg}\frac{x}{7}<\frac{\pi }{2}$ pentru orice $x$ real (1 p). Adunând $4x+3$ în ambii membri obținem $$F(x)=4x+\mathrm{arctg}\frac{x}{7}+3<4x+3+\frac{\pi }{2}$$ (0,5 p). (Geometric: graficul lui $F$ rămâne pentru totdeauna sub dreapta $y=4x+3+\frac{\pi }{2}$ și deasupra dreptei $y=4x+3-\frac{\pi }{2}$, apropiindu-se de ele la cele două capete.)