Test: primitivele funcțiilor raționale

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Primitive

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă singurul algoritm complet din unitate — cel care calculează primitivele oricărei funcții raționale cu numitor de grad cel mult $4$ — și verifică cinci lucruri. Primul: rețeta fracțiilor simple, cu Etapa 1 (împărțirea), Etapa 2 (factorizarea), Etapa 3 (descompunerea) și Etapa 4 (integrarea termen cu termen), parcurse în ordine. Al doilea: forma corectă a descompunerii, cu controlul care nu costă nimic — numărul coeficienților necunoscuți este egal cu gradul numitorului. Al treilea: determinarea coeficienților, prin valori particulare la rădăcini reale distincte și prin metoda mixtă (valori particulare plus identificare) la rădăcini multiple și la trinoame fără rădăcini reale. Al patrulea: regula modulului, urmărită în barem la fiecare logaritm. Al cincilea: capcanele — fracțiile simple aplicate fără împărțire, un singur termen la o rădăcină dublă, numărător constant peste un trinom, logaritm în locul puterii negative și coeficientul lui $x$ ignorat la numitorii de forma $ax+b$.

Testul cere o redactare pe care baremele examenului o punctează literal: forma descompunerii scrisă cu litere, coeficienții determinați cu metoda anunțată, verificarea prin aducerea la același numitor și rezultatul scris cu $+\mathcal{C}$ și cu intervalul. Un rezultat corect obținut fără forma scrisă a descompunerii pierde punctele de metodă.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la fiecare descompunere se cere forma cu litere, nu doar rezultatul.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare exercițiu se încheie cu intervalul pe care e valabil răspunsul. Se depunctează: descompunerea începută fără compararea gradelor, un singur termen pentru o rădăcină dublă, numărător constant peste un trinom cu discriminant negativ, modulul uitat la un factor de gradul întâi sau pus la un trinom strict pozitiv, logaritmul scris în locul puterii negative la exponent cel puțin $2$ și factorul $\frac{1}{a}$ pierdut la $\int \frac{A}{ax+b}dx$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea celor două lecții despre funcțiile raționale, cu accent pe catalogul formelor și pe numărarea coeficienților.
• Formule de reținut: Fracțiile simple sunt $\frac{A}{x-a}$ (tipul I), $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ cu $k\ge 2$ (tipul II) și $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$ cu $p^2-4q<0$ (tipul III). Rețeta fracțiilor simple: Etapa 1 — dacă $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q$, faci întâi împărțirea; Etapa 2 — factorizezi numitorul; Etapa 3 — scrii forma cu litere și afli coeficienții; Etapa 4 — integrezi termen cu termen. Catalogul formelor: un factor $x-a$ aduce $\frac{A}{x-a}$; un factor $(x-a{)}^k$ aduce $k$ termeni, cu numitorii $x-a$, $(x-a{)}^2$, …, $(x-a{)}^k$ și numărători constanți; un factor $x^2+px+q$ cu $p^2-4q<0$ aduce un singur termen, dar cu numărător $Bx+C$. Controlul dinainte: numărul total de coeficienți necunoscuți este egal cu gradul numitorului. Criteriul de alegere: valori particulare la rădăcini reale distincte; metoda mixtă — valori particulare la rădăcinile reale, apoi identificarea coeficientului puterii maxime și a termenului liber — la rădăcini multiple și la trinoame; nu sunt metode rivale, ci etape ale aceleiași metode. Primitivele fracțiilor simple: $\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+\mathcal{C}$; $\int \frac{A}{(x-a{)}^k}dx=-\frac{A}{(k-1)(x-a{)}^{k-1}}+\mathcal{C}$ pentru $k\ge 2$; $\int \frac{A}{ax+b}dx=\frac{A}{a}\ln |ax+b|+\mathcal{C}$. Regula modulului: $\ln |x-a|$ la un factor de gradul întâi, dar $\ln \left(x^2+px+q\right)$ fără modul la un trinom cu $p^2-4q<0$, pentru că el este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$. Ruperea fracției de tipul III: $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}=\frac{B}{2}\cdot \frac{2x+p}{x^2+px+q}+\frac{C-\frac{Bp}{2}}{x^2+px+q}$ — prima bucată dă logaritm, a doua arctangentă, după forma canonică. Verificarea finală: aduci fracțiile simple la același numitor și compari numărătorul cu cel de plecare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Forma descompunerii și cele patru etape

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Forma descompunerii în fracții simple a funcției $\frac{2x+1}{(x-3{)}^2(x+2)}$ este: A. $\frac{A}{(x-3{)}^2}+\frac{B}{x+2}$; B. $\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3{)}^2}+\frac{C}{x+2}$; C. $\frac{Ax+B}{(x-3{)}^2}+\frac{C}{x+2}$; D. $\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$.

b) Numărul coeficienților necunoscuți din descompunerea unei funcții raționale al cărei numitor are gradul $4$ este: A. $2$; B. $3$; C. $4$; D. depinde de gradul numărătorului.

c) Forma descompunerii funcției $\frac{7}{(x-5)\left(x^2+2\right)}$ este: A. $\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x^2+2}$; B. $\frac{A}{x-5}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$; C. $\frac{Ax+B}{x-5}+\frac{C}{x^2+2}$; D. $\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x-\sqrt{2}}+\frac{C}{x+\sqrt{2}}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Descompunerea în fracții simple se poate aplica direct funcției $\frac{x^3}{x^2+2x-8}$." b) „Pe intervalul $(2,+\infty )$ are loc $\int \frac{dx}{(x-2{)}^2}=\ln |x-2|+\mathcal{C}$." c) „În scrierea $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+7}dx=\ln \left|x^2+3x+7\right|+\mathcal{C}$ modulul este de prisos." d) „Un factor $x^2+px+q$ cu $p^2-4q<0$ aduce în descompunere un singur termen, cu numărător constant."

Itemul 3 (6 puncte)

Descompune în fracții simple prin valori particulare și calculează (câte 2 puncte): a) $\int \frac{dx}{(x-1)(x+4)}$, $x\in (1,+\infty )$; b) $\int \frac{3x-9}{x^2-7x+10}dx$, $x\in (5,+\infty )$; c) $\int \frac{dx}{x^2+6x+8}$, $x\in (-2,+\infty )$.

Itemul 4 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3x}{x^2+x-6}$.

a) Compară gradele, efectuează Etapa 1 a rețetei fracțiilor simple și arată că $f(x)=1+\frac{2}{x-2}$. (3 p) b) Determină $\int f(x)dx$ pe $(2,+\infty )$. (2 p) c) Explică de ce scrierea directă $f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}$, fără Etapa 1, conduce la un sistem fără soluție. (2 p)

Partea a II-a – Rădăcini multiple și factori de gradul al doilea

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, scriind de fiecare dată forma descompunerii (câte 2 puncte): a) $\int \frac{dx}{x^2-4x-5}$, $x\in (5,+\infty )$; b) $\int \frac{x-8}{x^2-2x-8}dx$, $x\in (4,+\infty )$; c) $\int \frac{dx}{x^3-9x}$, $x\in (3,+\infty )$; d) $\int \frac{dx}{4x^2-9}$, $x\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

Itemul 6 (8 puncte)

a) Calculează $\int \frac{dx}{(x-1)(x+3{)}^2}$, $x\in (1,+\infty )$, folosind metoda mixtă. (4 p) b) Calculează $\int \frac{dx}{x^2(x-2)}$, $x\in (2,+\infty )$. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{10}{(x+3)\left(x^2+1\right)}$.

a) Arată că $f(x)=\frac{1}{x+3}-\frac{x-3}{x^2+1}$, pentru orice $x>-3$. (4 p) b) Determină $\int f(x)dx$ pe $(-3,+\infty )$ și precizează la care dintre cei doi logaritmi se scrie modulul. (3 p)

Itemul 8 (7 puncte)

a) Arată că $\frac{1}{x^4-16}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x^2+4}\right)$, pentru orice $x$ cu $x^4\ne 16$. (3 p) b) Calculează $\int \frac{dx}{x^4-16}$ pe $(2,+\infty )$ și precizează care dintre cele trei tipuri de fracții simple apar în descompunerea completă a integrandului. (4 p)

Partea a III-a – Sinteză, capcane și item de tip examen

Itemul 9 (10 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x+4}{x(x+2{)}^2}$.

a) Arată că $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+2{)}^2}$, pentru orice $x>0$. (3 p) b) Determină mulțimea primitivelor lui $f$ pe $(0,+\infty )$. (4 p) c) Determină primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(2)=-\ln 2$. (3 p)

Itemul 10 (10 puncte)

Calculează, precizând de fiecare dată ce capcană se ascunde în enunț (câte 2,5 puncte): a) $\int \frac{5x+1}{(x+2{)}^2}dx$, $x\in (-2,+\infty )$; b) $\int \frac{2x+9}{x^2+6x+18}dx$, $x\in \mathbb{R}$; c) $\int \frac{4x+2}{x^2+x+5}dx$, $x\in \mathbb{R}$; d) $\int \frac{dx}{x^2-8x+16}$, $x\in (4,+\infty )$.

Itemul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1 — Subiectul al III-lea, problema a doua.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+x+18}{x\left(x^2+9\right)}$.

a) Arătați că $f(x)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2+9}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (5 p) b) Determinați mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0,+\infty )$. (5 p) c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(3)=2\ln 3$ și calculați $F\left(3\sqrt{3}\right)$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Factorul $(x-3{)}^2$ aduce doi termeni, cu numitorii $x-3$ și $(x-3{)}^2$, iar factorul $x+2$ încă unul; în total trei coeficienți, adică exact gradul numitorului. Varianta A pierde termenul $\frac{A}{x-3}$, iar C pune un numărător de gradul întâi peste o putere a unui factor de gradul întâi, ceea ce nu se face niciodată.

b) C. Numărul coeficienților necunoscuți este egal cu gradul numitorului, oricare ar fi numărătorul — un factor de gradul întâi la puterea $k$ aduce $k$ coeficienți, iar un factor de gradul al doilea aduce doi. Este controlul care se face înainte de orice calcul și prinde din start o formă greșită.

c) B. Trinomul $x^2+2$ are $\Delta =-8<0$, deci nu se descompune peste numerele reale și rămâne întreg; peste el se pune un numărător de gradul întâi, $Bx+C$, ca numărul de coeficienți să fie tot trei. Varianta D folosește rădăcini care nu există în $\mathbb{R}$, iar A ar da un sistem, în general, incompatibil.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Gradul numărătorului este $3$, al numitorului $2$, deci nu este strict mai mic: se face întâi împărțirea (Etapa 1). O sumă de fracții simple tinde la zero la infinit, pe când $\frac{x^3}{x^2+2x-8}$ tinde la infinit, deci nicio descompunere nu o poate reproduce fără partea polinomială.

b) F. Exponentul este $2$, deci fracția se integrează cu formula puterii, nu cu rândul logaritmului: $\int (x-2{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-2}+\mathcal{C}$. Logaritmul apare numai la exponentul $1$.

c) A. Trinomul are $\Delta =9-28=-19<0$ și coeficientul dominant $1>0$, deci este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$; modulul nu schimbă nimic, iar scrierea corectă este $\ln \left(x^2+3x+7\right)+\mathcal{C}$. Modulul lăsat acolo nu falsifică valoarea, dar arată că nu s-a calculat discriminantul.

d) F. Termenul este într-adevăr unul singur, dar numărătorul este de gradul întâi, $Bx+C$: un factor de gradul al doilea „merită" doi coeficienți. Cu numărător constant, sistemul obținut este, în general, incompatibil.

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Din $1=A(x+4)+B(x-1)$: pentru $x=1$ obținem $1=5A$, deci $A=\frac{1}{5}$; pentru $x=-4$ obținem $1=-5B$, deci $B=-\frac{1}{5}$. Pe $(1,+\infty )$ ambele paranteze sunt strict pozitive, deci modulele se scot: $$\int \frac{dx}{(x-1)(x+4)}=\frac{1}{5}\ln (x-1)-\frac{1}{5}\ln (x+4)+\mathcal{C}=\frac{1}{5}\ln \frac{x-1}{x+4}+\mathcal{C}.$$

b) $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$. Din $3x-9=A(x-5)+B(x-2)$: pentru $x=2$ obținem $-3=-3A$, deci $A=1$; pentru $x=5$ obținem $6=3B$, deci $B=2$. Control prin identificare: $A+B=3$ ✓ (coeficientul lui $x$) și $-5A-2B=-9$ ✓ (termenul liber). Prin urmare $$\int \frac{3x-9}{x^2-7x+10}dx=\ln (x-2)+2\ln (x-5)+\mathcal{C},x\in (5,+\infty ).$$

c) $x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$. Din $1=A(x+4)+B(x+2)$: pentru $x=-2$ obținem $1=2A$, deci $A=\frac{1}{2}$; pentru $x=-4$ obținem $1=-2B$, deci $B=-\frac{1}{2}$. Așadar $$\int \frac{dx}{x^2+6x+8}=\frac{1}{2}\ln \frac{x+2}{x+4}+\mathcal{C},x\in (-2,+\infty ).$$

Itemul 4. (7 p)

a) (3 p) Gradele numărătorului și numitorului sunt amândouă $2$, deci nu este îndeplinită condiția $\mathrm{grad}P<\mathrm{grad}Q$ și Etapa 1 lucrează (1 p). Împărțim: $x^2+3x=\left(x^2+x-6\right)\cdot 1+(2x+6)$, deci $$f(x)=1+\frac{2x+6}{x^2+x-6}$$ (1 p). Factorizăm numitorul, $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$, iar numărătorul rămas este $2x+6=2(x+3)$; simplificând cu $x+3$, nenul pe intervalul dat, obținem $f(x)=1+\frac{2}{x-2}$ (1 p).

b) (2 p) Prima bucată este o funcție constantă, a doua este de tipul I (1 p); pe $(2,+\infty )$ avem $x-2>0$, deci modulul se scoate: $$\int f(x)dx=x+2\ln (x-2)+\mathcal{C},x\in (2,+\infty )$$ (1 p).

c) (2 p) Aducând membrul drept la același numitor, numărătorul obținut este $A(x+3)+B(x-2)$, adică un polinom de gradul întâi, în timp ce numărătorul lui $f$ este de gradul al doilea; identificarea coeficientului lui $x^2$ ar cere $0=1$, deci sistemul nu are soluție. Explicația de fond: o sumă de fracții simple tinde la zero la infinit, iar $f(x)\to 1$, deci partea polinomială lipsește.

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$, deci forma este $\frac{A}{x-5}+\frac{B}{x+1}$. Din $1=A(x+1)+B(x-5)$: pentru $x=5$, $1=6A$, deci $A=\frac{1}{6}$; pentru $x=-1$, $1=-6B$, deci $B=-\frac{1}{6}$. Pe $(5,+\infty )$: $$\int \frac{dx}{x^2-4x-5}=\frac{1}{6}\ln \frac{x-5}{x+1}+\mathcal{C}.$$

b) $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$. Din $x-8=A(x+2)+B(x-4)$: pentru $x=4$, $-4=6A$, deci $A=-\frac{2}{3}$; pentru $x=-2$, $-10=-6B$, deci $B=\frac{5}{3}$. Control: $A+B=1$ ✓. Pe $(4,+\infty )$: $$\int \frac{x-8}{x^2-2x-8}dx=-\frac{2}{3}\ln (x-4)+\frac{5}{3}\ln (x+2)+\mathcal{C}.$$

c) $x^3-9x=x(x-3)(x+3)$, deci trei fracții simple. Din $1=A(x-3)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-3)$: pentru $x=0$, $-9A=1$, deci $A=-\frac{1}{9}$; pentru $x=3$, $18B=1$, deci $B=\frac{1}{18}$; pentru $x=-3$, $18C=1$, deci $C=\frac{1}{18}$. Pe $(3,+\infty )$: $$\int \frac{dx}{x^3-9x}=-\frac{1}{9}\ln x+\frac{1}{18}\ln (x-3)+\frac{1}{18}\ln (x+3)+\mathcal{C}.$$

d) $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$. Din $1=A(2x+3)+B(2x-3)$: pentru $x=\frac{3}{2}$, $6A=1$, deci $A=\frac{1}{6}$; pentru $x=-\frac{3}{2}$, $-6B=1$, deci $B=-\frac{1}{6}$. Fiecare bucată primește în plus factorul $\frac{1}{2}$, de la substituția $u=2x\pm 3$: $$\int \frac{dx}{4x^2-9}=\frac{1}{12}\ln (2x-3)-\frac{1}{12}\ln (2x+3)+\mathcal{C}=\frac{1}{12}\ln \frac{2x-3}{2x+3}+\mathcal{C},x\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right).$$

Itemul 6. (8 p)

a) (4 p) Numitorul are gradul $3$, deci trei coeficienți: $\frac{1}{(x-1)(x+3{)}^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3{)}^2}$, cu identitatea $1=A(x+3{)}^2+B(x-1)(x+3)+C(x-1)$ (1 p). Prima mișcare a metodei mixte — rădăcinile reale: pentru $x=1$, $16A=1$, deci $A=\frac{1}{16}$; pentru $x=-3$, $-4C=1$, deci $C=-\frac{1}{4}$ (1 p). A doua mișcare — identificarea coeficientului lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=-\frac{1}{16}$ (1 p). Integrăm termen cu termen, ținând seama că al treilea termen dă o putere negativă, nu un logaritm (1 p): $$\int \frac{dx}{(x-1)(x+3{)}^2}=\frac{1}{16}\ln \frac{x-1}{x+3}+\frac{1}{4(x+3)}+\mathcal{C},x\in (1,+\infty ).$$

b) (4 p) Rădăcina $0$ este dublă, deci forma este $\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-2}$, cu $1=Ax(x-2)+B(x-2)+C{x}^2$ (1 p). Pentru $x=0$: $-2B=1$, deci $B=-\frac{1}{2}$; pentru $x=2$: $4C=1$, deci $C=\frac{1}{4}$ (1 p). Coeficientul lui $x^2$ dă $A+C=0$, deci $A=-\frac{1}{4}$ (1 p). Prin urmare (1 p) $$\int \frac{dx}{x^2(x-2)}=-\frac{1}{4}\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}\ln (x-2)+\mathcal{C}=\frac{1}{4}\ln \frac{x-2}{x}+\frac{1}{2x}+\mathcal{C},x\in (2,+\infty ).$$

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Trinomul $x^2+1$ are $\Delta =-4<0$, deci rămâne întreg și primește numărător de gradul întâi: $\frac{10}{(x+3)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$, cu $10=A\left(x^2+1\right)+(Bx+C)(x+3)$ (1 p). Pentru $x=-3$: $10=10A$, deci $A=1$ (1 p). Coeficientul lui $x^2$ dă $A+B=0$, deci $B=-1$, iar termenul liber dă $A+3C=10$, deci $C=3$ (1,5 p). Așadar numărătorul celei de-a doua fracții este $-x+3=-(x-3)$, adică exact scrierea cerută (0,5 p).

b) (3 p) Prima fracție dă un logaritm cu modul, dar pe $(-3,+\infty )$ avem $x+3>0$, deci el se scoate (1 p). A doua se rupe în două bucăți: $\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)$ — fără modul, pentru că $x^2+1>0$ — și $\int \frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x$ (1,5 p). Prin urmare (0,5 p) $$\int f(x)dx=\ln (x+3)-\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)+3\mathrm{arctg}x+\mathcal{C},x\in (-3,+\infty ).$$ Modulul s-ar scrie numai la logaritmul venit din factorul de gradul întâi $x+3$; la cel venit din trinom el este inutil.

Itemul 8. (7 p)

a) (3 p) Aducem membrul drept la același numitor (1,5 p): $$\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x^2+4}=\frac{\left(x^2+4\right)-\left(x^2-4\right)}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)}=\frac{8}{x^4-16}.$$ Împărțind la $8$ obținem exact egalitatea cerută (1,5 p); gruparea în raport cu $x^2$ este legitimă pentru că numitorul se scrie numai cu $x^2$.

b) (4 p) Prima bucată este rândul $11$ al tabelului canonic, cu $a=2$, iar a doua este rândul $12$, tot cu $a=2$ (1,5 p): $$\int \frac{dx}{x^2-4}=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\mathcal{C},\int \frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}.$$ Prin urmare, pe $(2,+\infty )$, unde raportul $\frac{x-2}{x+2}$ este strict pozitiv (1,5 p), $$\int \frac{dx}{x^4-16}=\frac{1}{32}\ln \frac{x-2}{x+2}-\frac{1}{16}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}.$$ Descompunerea completă a integrandului, $x^4-16=(x-2)(x+2)\left(x^2+4\right)$, conține tipul I de două ori, prin factorii $x-2$ și $x+2$, și tipul III o dată, prin trinomul $x^2+4$; tipul II nu apare, pentru că nicio rădăcină nu este multiplă (1 p).

Itemul 9. (10 p)

a) (3 p) Numitorul are gradul $3$, deci trei coeficienți: $\frac{3x+4}{x(x+2{)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2{)}^2}$, cu $3x+4=A(x+2{)}^2+Bx(x+2)+Cx$ (1 p). Pentru $x=0$: $4=4A$, deci $A=1$; pentru $x=-2$: $-2=-2C$, deci $C=1$ (1 p). Coeficientul lui $x^2$ dă $A+B=0$, deci $B=-1$, ceea ce este exact scrierea cerută (1 p).

b) (4 p) Integrăm termen cu termen: primii doi termeni dau logaritmi, al treilea o putere negativă (2 p). Pe $(0,+\infty )$ avem $x>0$ și $x+2>0$, deci modulele se scot (1 p): $$\int f(x)dx=\ln x-\ln (x+2)-\frac{1}{x+2}+\mathcal{C}=\ln \frac{x}{x+2}-\frac{1}{x+2}+\mathcal{C}$$ (1 p).

c) (3 p) Scriem $F(x)=\ln \frac{x}{x+2}-\frac{1}{x+2}+c$ (0,5 p). În $x=2$ obținem $F(2)=\ln \frac{2}{4}-\frac{1}{4}+c=-\ln 2-\frac{1}{4}+c$ (1,5 p), iar condiția $F(2)=-\ln 2$ dă $c=\frac{1}{4}$ (0,5 p), deci (0,5 p) $$F(x)=\ln \frac{x}{x+2}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{4},x\in (0,+\infty ).$$

Itemul 10. (10 p) — câte 2,5 puncte.

a) Capcana: numitorul este o singură putere, deci descompunerea iese dintr-o rescriere, fără sistem. Scriem numărătorul „în jurul rădăcinii": $5x+1=5(x+2)-9$, deci $\frac{5x+1}{(x+2{)}^2}=\frac{5}{x+2}-\frac{9}{(x+2{)}^2}$, iar al doilea termen dă o putere negativă: $$\int \frac{5x+1}{(x+2{)}^2}dx=5\ln (x+2)+\frac{9}{x+2}+\mathcal{C},x\in (-2,+\infty ).$$

b) Capcana: trinomul are $\Delta =36-72=-36<0$, deci nu se descompune; se aplică ruperea de tipul III. Derivata numitorului este $2x+6$, iar $2x+9=(2x+6)+3$, iar forma canonică este $x^2+6x+18=(x+3{)}^2+9$: $$\int \frac{2x+9}{x^2+6x+18}dx=\ln \left(x^2+6x+18\right)+3\cdot \frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x+3}{3}+\mathcal{C}=\ln \left(x^2+6x+18\right)+\mathrm{arctg}\frac{x+3}{3}+\mathcal{C}.$$

c) Capcana: numărătorul este chiar un multiplu al derivatei numitorului, $4x+2=2(2x+1)$, deci nu e nevoie de nicio descompunere. Cum $\Delta =1-20=-19<0$ și coeficientul dominant e pozitiv, trinomul e strict pozitiv și modulul cade: $$\int \frac{4x+2}{x^2+x+5}dx=2\ln \left(x^2+x+5\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

d) Capcana: discriminantul este $64-64=0$, deci trinomul este pătratul perfect $(x-4{)}^2$, iar rezultatul nu este un logaritm: $$\int \frac{dx}{x^2-8x+16}=\int (x-4{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-4}+\mathcal{C},x\in (4,+\infty ).$$

Itemul 11. (15 p)

a) (5 p) Numitorul are gradul $3$ și se scrie ca produs între factorul $x$ și trinomul $x^2+9$, care are $\Delta =-36<0$, deci rămâne întreg; forma descompunerii este $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+9}$, cu trei coeficienți (1 p). Identitatea este $$2x^2+x+18=A\left(x^2+9\right)+(Bx+C)x.$$ Pentru $x=0$ obținem $18=9A$, deci $A=2$ (1,5 p). Coeficientul lui $x^2$ dă $A+B=2$, deci $B=0$, iar coeficientul lui $x$ dă $C=1$ (1,5 p). Prin urmare $f(x)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2+9}$ (0,5 p). Verificare, prin aducere la același numitor: $\frac{2\left(x^2+9\right)+x}{x\left(x^2+9\right)}=\frac{2x^2+x+18}{x\left(x^2+9\right)}$ ✓ (0,5 p).

b) (5 p) Primul termen dă un logaritm, iar pe $(0,+\infty )$ modulul se scoate, pentru că $x>0$ (2 p). Al doilea este rândul $12$ al tabelului canonic, cu $a=3$ (2 p): $$\int \frac{dx}{x^2+9}=\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C}.$$ Prin urmare (1 p) $$\int f(x)dx=2\ln x+\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

c) (5 p) Scriem $F(x)=2\ln x+\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}+c$ (0,5 p). În $x=3$: $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, deci $F(3)=2\ln 3+\frac{\pi }{12}+c$ (1,5 p); condiția $F(3)=2\ln 3$ dă $c=-\frac{\pi }{12}$ (1 p), adică $$F(x)=2\ln x+\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}-\frac{\pi }{12},x\in (0,+\infty ).$$ Pentru valoarea cerută: $\ln \left(3\sqrt{3}\right)=\ln 3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\ln 3$ și $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ (1,5 p), deci (0,5 p) $$F\left(3\sqrt{3}\right)=3\ln 3+\frac{\pi }{9}-\frac{\pi }{12}=3\ln 3+\frac{\pi }{36}.$$