Test: probabilități condiționate și evenimente independente

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Probabilități

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică noțiunea care schimbă perspectiva asupra întregului capitol: informația modifică probabilitatea. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția probabilității condiționate, $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, cu condiția $P(A)>0$, și cele două căi de calcul — restrângerea spațiului la $A$ și numărarea în el, respectiv aplicarea formulei când enunțul dă direct probabilități. Al doilea: regula înmulțirii $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$, instrumentul standard pentru extragerile succesive fără revenire, unde a doua probabilitate se calculează în urna deja modificată. Al treilea: verificarea independenței prin calcul, nu „după cum sună enunțul" — două evenimente sunt independente dacă și numai dacă $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$; testul include un caz în care independența apare surprinzător, pe același zar. Al patrulea, și cel mai important pedagogic: independent nu înseamnă disjunct. Cele două noțiuni sunt nu doar diferite, ci practic opuse — două evenimente disjuncte, ambele cu probabilitate nenulă, sunt întotdeauna dependente, iar două evenimente independente cu probabilități nenule se suprapun obligatoriu. Un item întreg este dedicat acestei distincții.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Un răspuns la un item de independență este complet doar dacă apar toate cele trei numere — $P(A)$, $P(B)$ și $P(A\cap B)$ — și comparația explicită dintre $P(A\cap B)$ și produsul $P(A)\cdot P(B)$. La probabilitățile condiționate trebuie să se vadă care este noul spațiu sau care este numitorul formulei. Fracțiile se dau simplificate.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe distincția dintre evenimente independente și evenimente disjuncte.
• Formule de reținut: probabilitatea condiționată — pentru $P(A)>0$, $$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\text{iar ıˆn modelul clasic}P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}.$$ Regula înmulțirii: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$. Independență: evenimentele $A$ și $B$ sunt independente dacă $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B),$$ ceea ce, pentru $P(A)>0$, este echivalent cu $P(B\mid A)=P(B)$. Atenție: în general $P(B\mid A)\ne P(A\mid B)$ — cele două fracții au același numărător, dar numitori diferiți. Disjunct $\ne$ independent: dacă $A\cap B=\varnothing$, iar $P(A)>0$ și $P(B)>0$, atunci $A$ și $B$ sunt dependente, pentru că $P(A\cap B)=0\ne P(A)\cdot P(B)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția probabilității condiționate și calculul direct

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $P(A)=\frac{1}{2}$ și $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$, atunci $P(B\mid A)$ este: A. $\frac{1}{12}$; B. $\frac{1}{3}$; C. $3$; D. $\frac{2}{3}$.

b) Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente dacă: A. $A\cap B=\varnothing$; B. $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$; C. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$; D. $P(A)=P(B)$.

c) Dacă $A$ și $B$ sunt independente, $P(A)=\frac{1}{3}$ și $P(B)=\frac{1}{4}$, atunci $P(A\cap B)$ este: A. $\frac{7}{12}$; B. $\frac{1}{7}$; C. $\frac{1}{12}$; D. $\frac{1}{2}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Se aruncă un zar echilibrat. Se consideră evenimentele $A$ = „numărul obținut este par", $B$ = „numărul obținut este mai mare decât $4$" și $C$ = „numărul obținut este prim". Calculează, prin restrângerea spațiului (câte 1,5 puncte): a) $P(B\mid A)$; b) $P(A\mid B)$; c) $P(C\mid A)$; d) $P(A\mid C)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Două evenimente disjuncte, ambele cu probabilitate nenulă, sunt independente." b) „Dacă $A$ și $B$ sunt independente și $P(A)>0$, atunci $P(B\mid A)=P(B)$." c) „Pentru orice două evenimente, $P(B\mid A)=P(A\mid B)$." d) „Dacă $A$ și $B$ sunt independente și au probabilități nenule, atunci $A\cap B\ne \varnothing$."

Itemul 4 (6 puncte)

Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. a) Calculează probabilitatea ca suma feţelor să fie $8$, știind că primul zar a arătat $5$. Rezolvă în ambele moduri: prin restrângerea spațiului și prin formulă. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca suma feţelor să fie cel puțin $10$, știind că primul zar a arătat $6$. (3 p)

Partea a II-a – Regula înmulțirii și verificarea independenței

Itemul 5 (8 puncte)

Cei $200$ de elevi ai claselor a X-a dintr-un liceu sunt repartizați astfel:

Se alege un elev la întâmplare. Fie $F$ = „elevul ales este fată" și $S$ = „elevul ales practică sport". a) Calculează $P(F)$ și $P(S)$. (2 p) b) Calculează $P(S\mid F)$ și $P(F\mid S)$. (3 p) c) Stabilește, prin calcul, dacă evenimentele $F$ și $S$ sunt independente. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

O urnă conține $5$ bile albe și $3$ bile negre. Se extrag două bile, una după alta, fără revenire. a) Calculează probabilitatea ca prima bilă să fie albă. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca ambele bile să fie albe, folosind regula înmulțirii. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca a doua bilă să fie albă, știind că prima a fost neagră. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se aruncă simultan două zaruri echilibrate. Fie $A$ = „primul zar arată un număr par" și $B$ = „suma feţelor este $7$". a) Calculează $P(A)$ și $P(B)$. (3 p) b) Calculează $P(A\cap B)$. (2 p) c) Stabilește dacă $A$ și $B$ sunt independente. (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Într-un club sunt $40$ de membri: $25$ joacă șah, $15$ joacă tenis, iar $10$ practică ambele jocuri. Se alege un membru la întâmplare. a) Calculează probabilitatea ca membrul ales să joace tenis, știind că joacă șah. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca membrul ales să joace șah, știind că joacă tenis, și explică de ce cele două rezultate diferă. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) La aruncarea unui zar, fie $A$ = „numărul obținut este par" și $B$ = „se obține faţa $1$". Arată că $A$ și $B$ sunt disjuncte și verifică, prin calcul, că nu sunt independente. (3 p) b) La aruncarea a două monede, fie $A$ = „prima monedă arată stemă" și $B$ = „a doua monedă arată stemă". Arată că $A$ și $B$ sunt independente și că nu sunt disjuncte. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip Bacalaureat

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Într-un model clasic cu rezultate egal posibile și $P(A)>0$, demonstrează că $$P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)},$$ apoi deduce regula înmulțirii $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$. (4 p) b) Demonstrează că, dacă $P(A)>0$, evenimentele $A$ și $B$ sunt independente dacă și numai dacă $P(B\mid A)=P(B)$. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

O urnă conține $4$ bile roșii și $6$ bile albastre. Se extrag trei bile, una după alta, fără revenire. a) Calculează probabilitatea ca toate trei să fie roșii. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca toate trei să fie albastre. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca cel puțin una să fie roșie. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Doi elevi rezolvă, independent unul de celălalt, aceeași problemă. Probabilitatea ca primul să o rezolve este $\frac{3}{4}$, iar probabilitatea ca al doilea să o rezolve este $\frac{2}{3}$. a) Calculează probabilitatea ca amândoi să rezolve problema. (2 p) b) Calculează probabilitatea ca cel puțin unul să o rezolve. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca exact unul dintre ei să o rezolve. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,12\}$. Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$. Fie $A$ = „numărul ales este par" și $B$ = „numărul ales este divizibil cu $3$". a) Calculați $P(A)$ și $P(B)$. (2 p) b) Calculați $P(A\cap B)$ și stabiliți dacă evenimentele $A$ și $B$ sunt independente. (3 p) c) Calculați $P(B\mid A)$ și explicați legătura dintre rezultat și concluzia de la punctul b). (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{1}=\frac{1}{3}$. Varianta C ar rezulta din împărțirea inversă și este imposibilă, o probabilitate neputând depăși $1$.

b) B. Aceasta este chiar definiția independenței. Varianta A definește evenimentele disjuncte — noțiune diferită, tratată la itemul 9; varianta C este proprietatea reuniunii pentru evenimente disjuncte.

c) C. Fiind independente, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p noul spațiu, 1 p rezultatul).

Avem $A=\{2,4,6\}$, $B=\{5,6\}$ și $C=\{2,3,5\}$.

a) Știind că s-a produs $A$, spațiul se restrânge la $\{2,4,6\}$, iar $A\cap B=\{6\}$: $$P(B\mid A)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}=\frac{1}{3}.$$

b) Acum spațiul se restrânge la $B=\{5,6\}$, iar $A\cap B=\{6\}$: $P(A\mid B)=\frac{1}{2}$. (Compară cu punctul a): același numărător, numitori diferiți — de aceea $P(B\mid A)\ne P(A\mid B)$.)

c) $A\cap C=\{2\}$, deci $P(C\mid A)=\frac{1}{3}$.

d) Același numărător, dar $\mathrm{card}(C)=3$: $P(A\mid C)=\frac{1}{3}$. Aici cele două valori coincid, pentru că $\mathrm{card}(A)=\mathrm{card}(C)$ — coincidența nu este o regulă.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Dimpotrivă: sunt întotdeauna dependente. Din $A\cap B=\varnothing$ rezultă $P(A\cap B)=0$, în timp ce $P(A)\cdot P(B)>0$, deci egalitatea din definiție nu are cum să fie îndeplinită. Intuitiv: dacă $A$ s-a produs, atunci $B$ sigur nu s-a produs — informația schimbă totul, ceea ce e opusul independenței.

b) A. Din definiție, $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(A)}=P(B)$.

c) F. Cele două fracții au același numărător, $P(A\cap B)$, dar numitori diferiți, $P(A)$ și $P(B)$; ele coincid doar dacă $P(A)=P(B)$. Contraexemplu: itemul 2, punctele a) și b), unde $\frac{1}{3}\ne \frac{1}{2}$.

d) A. Dacă ar fi $A\cap B=\varnothing$, atunci $P(A\cap B)=0$, dar independența ar cere $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)>0$ — contradicție. Așadar două evenimente independente cu probabilități nenule se suprapun obligatoriu.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Prin restrângerea spațiului: dacă primul zar a arătat $5$, rămân șase rezultate posibile, $(5,1),\dots ,(5,6)$, dintre care unul singur dă suma $8$, anume $(5,3)$ (1,5 p): $$P=\frac{1}{6}.$$ Prin formulă: $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ pentru $A$ = „primul zar arată $5$", iar $A\cap B=\{(5,3)\}$ are probabilitatea $\frac{1}{36}$ (1 p), deci $$P(B\mid A)=\frac{1/36}{6/36}=\frac{1}{6}✓$$ (0,5 p).

b) (3 p) Spațiul restrâns este $(6,1),\dots ,(6,6)$, cu șase rezultate (1 p). Suma este cel puțin $10$ pentru $(6,4)$, $(6,5)$, $(6,6)$ — trei cazuri (1,5 p), deci $$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$ (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $P(F)=\frac{120}{200}=\frac{3}{5}$ (1 p); $P(S)=\frac{90}{200}=\frac{9}{20}$ (1 p).

b) (3 p) Condiționarea înseamnă că ne mutăm pe o linie, respectiv pe o coloană a tabelului (1 p): $$P(S\mid F)=\frac{54}{120}=\frac{9}{20},P(F\mid S)=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$$ (2 p).

c) (3 p) $P(F\cap S)=\frac{54}{200}=\frac{27}{100}$ (1 p), iar $$P(F)\cdot P(S)=\frac{3}{5}\cdot \frac{9}{20}=\frac{27}{100}$$ (1 p). Cele două numere sunt egale, deci evenimentele sunt independente (1 p). Se vede și din punctul b): $P(S\mid F)=P(S)$ și $P(F\mid S)=P(F)$ — a ști că elevul este fată nu schimbă cu nimic șansa ca el să practice sport.

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) În urnă sunt $5+3=8$ bile, dintre care $5$ albe, deci $P=\frac{5}{8}$.

b) (3 p) Fie $A$ = „prima bilă este albă" și $B$ = „a doua bilă este albă". După extragerea unei bile albe, în urnă rămân $7$ bile, dintre care $4$ albe, deci $P(B\mid A)=\frac{4}{7}$ (1,5 p). Prin regula înmulțirii: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$$ (1,5 p).

c) (2 p) Dacă prima bilă a fost neagră, în urnă rămân $7$ bile, dintre care toate cele $5$ albe (1 p), deci $$P=\frac{5}{7}$$ (1 p). (Compară: $\frac{4}{7}<\frac{5}{8}<\frac{5}{7}$ — informația despre prima extragere chiar schimbă probabilitatea, deci evenimentele sunt dependente.)

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) $\mathrm{card}(\Omega )=36$ (0,5 p). Primul zar arată un număr par în $3\cdot 6=18$ cazuri, deci $P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$ (1,25 p). Suma $7$ apare în șase cazuri, deci $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ (1,25 p).

b) (2 p) Perechile cu primul număr par și suma $7$ sunt $(2,5)$, $(4,3)$, $(6,1)$ — trei cazuri (1,5 p), deci $$P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$ (0,5 p).

c) (2 p) $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}=P(A\cap B)$ (1 p), deci evenimentele sunt independente (1 p). Rezultatul poate surprinde, pentru că cele două evenimente se referă la aceleași zaruri; independența nu se citește din enunț, ci se verifică prin calcul.

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Spațiul se restrânge la cei $25$ de jucători de șah, dintre care $10$ joacă și tenis (1,5 p): $$P(\text{tenis}\mid \text{șah})=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$$ (1,5 p).

b) (3 p) Acum spațiul se restrânge la cei $15$ jucători de tenis (1 p): $$P(\text{șah}\mid \text{tenis})=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$ (1 p). Cele două rezultate diferă pentru că numărătorul este același — cei $10$ membri care practică ambele jocuri —, dar el se raportează la grupuri de mărimi diferite: $25$, respectiv $15$ (1 p). Cei $10$ reprezintă o parte mai mare din grupul mic al jucătorilor de tenis decât din grupul mare al șahiștilor.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) $A=\{2,4,6\}$ și $B=\{1\}$, deci $A\cap B=\varnothing$: evenimentele sunt disjuncte (1 p). Atunci $P(A\cap B)=0$, în timp ce $$P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\ne 0$$ (1,5 p), deci evenimentele nu sunt independente — sunt dependente (0,5 p).

b) (3 p) $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$, $A=\{SS,SB\}$, $B=\{SS,BS\}$, deci $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ (1 p). Intersecția este $A\cap B=\{SS\}$, deci $P(A\cap B)=\frac{1}{4}$ (1 p). Cum $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=P(A\cap B),$$ evenimentele sunt independente; în același timp $A\cap B=\{SS\}\ne \varnothing$, deci nu sunt disjuncte (1 p). Punctele a) și b) arată împreună că cele două noțiuni sunt complet diferite.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Fie $n=\mathrm{card}(\Omega )$, cu rezultate egal posibile, și $P(A)>0$, adică $\mathrm{card}(A)>0$. Din definiție (1 p): $$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{n}}{\frac{\mathrm{card}(A)}{n}}=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(A)}$$ (1,5 p). Cele două fracții au fost amplificate cu același $n$, care se simplifică. Interpretarea este imediată: a condiționa înseamnă a schimba numitorul — cazurile posibile nu mai sunt toate cele din $\Omega$, ci doar cele din $A$ (0,5 p). Înmulțind egalitatea de definiție cu $P(A)$, obținem regula înmulțirii (1 p): $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$

b) (4 p) Presupunem $P(A)>0$.

„$\Rightarrow$" (2 p). Dacă $A$ și $B$ sunt independente, atunci $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ și deci $$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(A)}=P(B).$$

„$\Leftarrow$" (2 p). Reciproc, dacă $P(B\mid A)=P(B)$, atunci din regula înmulțirii $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(A)\cdot P(B),$$ adică exact condiția de independență. $■$

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) În urnă sunt $10$ bile. La fiecare extragere se recalculează probabilitatea în urna rămasă (1 p): $$P=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}$$ (2 p).

b) (3 p) Analog, cu bilele albastre (1 p): $$P=\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{120}{720}=\frac{1}{6}$$ (2 p).

c) (2 p) Contrarul evenimentului „cel puțin una roșie" este „niciuna roșie", adică „toate trei albastre", calculat la punctul b) (1 p): $$P=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$ (1 p).

Itemul 12. (8 p)

Fie $A$ = „primul elev rezolvă problema" și $B$ = „al doilea elev rezolvă problema", cu $P(A)=\frac{3}{4}$, $P(B)=\frac{2}{3}$, evenimente independente.

a) (2 p) $P(A\cap B)=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

b) (3 p) Prin evenimentul contrar: „niciunul nu rezolvă" înseamnă $\overline{A}\cap \overline{B}$, iar contrarele unor evenimente independente rămân independente (1 p): $$P(\overline{A}\cap \overline{B})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$$ (1 p), deci $$P(\text{cel puțin unul})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$$ (1 p). (Se acceptă și rezolvarea prin formula reuniunii: $P(A\cup B)=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{9+8-6}{12}=\frac{11}{12}$ ✓)

c) (3 p) „Exact unul" se descompune în două situații disjuncte — primul da și al doilea nu, respectiv primul nu și al doilea da (1 p): $$P=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$$ (2 p). (Control: $\frac{1}{2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{12}=\frac{6+5+1}{12}=1$ ✓ — cele trei situații „amândoi", „exact unul", „niciunul" epuizează toate posibilitățile.)

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $\mathrm{card}(\Omega )=12$. Numerele pare din $M$ sunt $2,4,6,8,10,12$ — șase, deci $P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ (1 p). Multiplii lui $3$ sunt $3,6,9,12$ — patru, deci $P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ (1 p).

b) (3 p) Un număr este par și divizibil cu $3$ dacă și numai dacă este divizibil cu $6$; în $M$ acestea sunt $6$ și $12$ (1 p), deci $$P(A\cap B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$ (1 p). Cum $P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}=P(A\cap B)$, evenimentele sunt independente (1 p).

c) (3 p) Restrângem spațiul la cele șase numere pare; dintre ele, două sunt divizibile cu $3$ (1,5 p): $$P(B\mid A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ (1 p). Rezultatul este exact $P(B)$, ceea ce confirmă independența: informația că numărul ales este par nu schimbă cu nimic șansa ca el să fie divizibil cu $3$ (0,5 p).