Test: probabilități în situații practice

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Probabilități

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie partea de trunchi comun a unității și verifică ceea ce rămâne util unui adult mult după examen: capacitatea de a citi corect o cifră de probabilitate. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: compararea a două șanse — prin numitor comun, prin zecimale sau prin procente —, cu atenție la capcana de a compara numărătorii când numitorii diferă. Al doilea: judecarea unui joc, a unei polițe de asigurare sau a unui plan de control al calității, prin metoda „la un număr mare de repetări": înmulțești probabilitatea cu numărul de repetări, afli câte evenimente apar și compari cele două coloane de bani. Al treilea: distincția dintre creșterea relativă și cea absolută, adică între „riscul crește cu $50\%$" și „o persoană în plus la o sută" — cea mai frecventă sursă de manipulare statistică din presă. Al patrulea: trei situații în care intuiția înșală sistematic — cavalerul de Méré, paradoxul zilelor de naștere și problema celor trei uși —, toate rezolvate aici prin numărare exactă, pe cazuri mici, fără aproximări. Instrumentul de lucru rămâne cel din lecțiile anterioare: numărarea cazurilor favorabile și posibile, cu trecerea la evenimentul contrar ori de câte ori apare formularea „cel puțin unul".

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii de interpretare se cere și o frază de explicație, nu doar cifra.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La itemii cu bani, calculul trebuie organizat pe două coloane — cât se încasează și cât se plătește —, iar concluzia trebuie formulată în cuvinte. La itemii de interpretare, un rezultat numeric corect fără explicație primește cel mult jumătate din punctajul subpunctului.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe metoda „la un număr mare de repetări" și pe trecerea la evenimentul contrar.
• Formule de reținut: definiția clasică $P(A)=\frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega )}$ și evenimentul contrar $P(\overline{A})=1-P(A)$, cu perechea „cel puțin unul" $\leftrightarrow$ „niciunul". Judecarea unui joc: la $N$ partide, organizatorul încasează $N\cdot \text{taxa}$ și plătește aproximativ $N\cdot P(\text{caˆștig})\cdot \text{premiul}$; jocul este corect când cele două sume sunt egale, adică atunci când $$\text{premiul}=\frac{\text{taxa}}{P(\text{caˆștig})}.$$ Prima de echilibru a unei asigurări $=P(\text{dauna˘})\cdot \text{despa˘gubirea}$. Creșterea relativă $=\frac{p_2}{p_1}-1$; creșterea absolută $=p_2-p_1$, exprimată în puncte procentuale. Extrageri simultane: $\mathrm{card}(\Omega )=C_n^k$. Trei precizări care se folosesc greșit foarte des: probabilitate mică nu înseamnă imposibil; probabilitate mare nu înseamnă sigur; rezultatul unei singure încercări nu confirmă și nu infirmă un calcul.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Șanse la jocuri și extrageri; compararea probabilităților

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dintre cele $500$ de lozuri ale unei emisiuni, $20$ sunt câștigătoare. Probabilitatea de a câștiga cu un singur loz este: A. $\frac{1}{20}$; B. $\frac{1}{25}$; C. $\frac{1}{50}$; D. $\frac{1}{100}$.

b) Un joc costă $5$ lei și oferă un premiu de $25$ de lei cu probabilitatea $\frac{1}{6}$. Pe termen lung: A. jucătorul iese în câștig; B. organizatorul iese în câștig; C. jocul este corect; D. nu se poate spune nimic.

c) Care dintre următoarele afirmații este corectă? A. o probabilitate mică înseamnă că evenimentul este imposibil; B. o probabilitate mare înseamnă că evenimentul este sigur; C. doar probabilitatea $0$ înseamnă eveniment imposibil; D. un eveniment cu probabilitatea $\frac{1}{100}$ se produce sigur o dată la $100$ de încercări.

Itemul 2 (6 puncte)

O roată a norocului este împărțită în $12$ sectoare egale, numerotate de la $1$ la $12$. Se învârte roata o dată. Calculează probabilitatea ca sectorul indicat să poarte (câte 1,5 puncte): a) un număr par; b) un număr divizibil cu $3$; c) un număr mai mare decât $9$; d) un număr prim.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Un eveniment cu probabilitatea $\frac{19}{20}$ se produce cu certitudine." b) „Dacă la aruncarea unei monede au apărut zece steme la rând, atunci la a unsprezecea aruncare banul are șanse mai mari să apară." c) „Un titlu de presă care anunță «riscul crește cu $50\%$» spune tot ce trebuie știut despre pericol, chiar dacă nu precizează riscul inițial." d) „Două probabilități scrise ca fracții se pot compara aducându-le la același numitor."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Compară probabilitățile $\frac{3}{8}$ și $\frac{5}{13}$ și precizează care este mai mare. (3 p) b) La aruncarea a două zaruri echilibrate, ce este mai probabil: să obții suma $7$ sau suma $6$? Justifică prin numărarea cazurilor. (3 p)

Partea a II-a – Jocuri, asigurări, control de calitate și citirea procentelor

Itemul 5 (8 puncte)

Un joc de bâlci funcționează astfel: plătești $4$ lei, arunci un zar echilibrat și primești $12$ lei dacă obții faţa $6$; altfel nu primești nimic. a) Calculează probabilitatea de a câștiga la o partidă. (2 p) b) Analizează $600$ de partide: cât încasează organizatorul, câte câștiguri apar aproximativ, cât plătește și cât îi rămâne? (3 p) c) Cât ar trebui să fie premiul pentru ca jocul să fie corect (nici jucătorul, nici organizatorul să nu iasă în câștig pe termen lung)? (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Un lot de $12$ piese conține $2$ piese defecte. Controlorul extrage simultan $3$ piese și respinge întregul lot dacă găsește măcar una defectă. a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$ și probabilitatea ca nicio piesă extrasă să nu fie defectă. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca lotul să fie respins. (2 p) c) Calculează probabilitatea ca exact una dintre cele trei piese să fie defectă. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

O companie asigură $5000$ de biciclete împotriva furtului. Probabilitatea ca o bicicletă să fie furată într-un an este $\frac{1}{100}$, iar despăgubirea plătită într-un asemenea caz este de $3000$ de lei. a) Calculează numărul mediu de daune într-un an și suma totală plătită ca despăgubiri. (3 p) b) Calculează prima de echilibru, adică suma minimă pe care trebuie s-o încaseze compania de la fiecare client. (2 p) c) Dacă prima cerută este de $40$ de lei, ce diferență rămâne companiei într-un an? (2 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Un studiu arată că riscul unei afecțiuni este de $\frac{4}{1000}$ la persoanele care nu au un anumit obicei și de $\frac{6}{1000}$ la cele care îl au. a) Calculează creșterea relativă a riscului și exprim-o în procente. (3 p) b) Calculează creșterea absolută și exprim-o ca număr de persoane la o mie. Explică de ce titlul „riscul crește cu $50\%$" poate induce în eroare. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

La o loterie se extrag simultan $5$ numere dintre $40$. Un bilet conține $5$ numere alese de jucător. a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$ și probabilitatea ca biletul să conțină toate cele $5$ numere extrase. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca biletul să conțină exact $4$ dintre numerele extrase. (3 p)

Partea a III-a – Situații în care intuiția înșală

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ în patru aruncări ale unui zar echilibrat (pariul cavalerului de Méré). (4 p) b) Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ în două aruncări și arată că rezultatul nu este $2\cdot \frac{1}{6}$. Explică de ce probabilitățile nu se adună la repetarea unei probe. (4 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Într-un grup de $4$ persoane se notează luna în care s-a născut fiecare; presupunem cele $12$ luni egal posibile (varianta „de buzunar" a paradoxului zilelor de naștere). a) Calculează $\mathrm{card}(\Omega )$. (3 p) b) Calculează probabilitatea ca toate cele patru persoane să se fi născut în luni diferite. (3 p) c) Calculează probabilitatea ca cel puțin două persoane să se fi născut în aceeași lună. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

La un concurs sunt trei uși. În spatele uneia se află un premiu, în spatele celorlalte două nu se află nimic. Alegi ușa $1$. Prezentatorul, care știe unde este premiul, deschide întotdeauna una dintre celelalte două uși, aleasă astfel încât în spatele ei să nu fie nimic, apoi te întreabă dacă rămâi la ușa ta sau treci la cealaltă ușă rămasă închisă. a) Alcătuiește tabelul celor trei poziții egal posibile ale premiului și calculează probabilitatea de a câștiga cu strategia „rămân". (4 p) b) Calculează probabilitatea de a câștiga cu strategia „schimb". (2 p) c) Explică de ce răspunsul spontan „acum sunt două uși, deci $50\%$ - $50\%$" este greșit. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Într-o urnă sunt $10$ bile, dintre care $4$ albe și $6$ negre. Se extrag simultan două bile. a) Calculați probabilitatea ca ambele bile extrase să fie albe. (3 p) b) Calculați probabilitatea ca cel puțin una dintre bilele extrase să fie albă. (3 p) c) Comparați cele două probabilități și explicați în cuvinte diferența dintre ele. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $P=\frac{20}{500}=\frac{1}{25}$. Varianta A ar corespunde la $20$ lozuri câștigătoare din $400$.

b) B. La $600$ de partide, organizatorul încasează $600\cdot 5=3000$ de lei și plătește aproximativ $100\cdot 25=2500$ de lei, deci îi rămân $500$ de lei. Altfel spus, premiul „corect" ar fi fost $\frac{5}{1/6}=30$ de lei, iar $25<30$.

c) C. Doar evenimentul imposibil are probabilitatea $0$. Varianta A confundă „puțin probabil" cu „imposibil", varianta B „foarte probabil" cu „sigur", iar varianta D confundă tendința pe multe repetări cu o garanție pe un număr fixat de încercări.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte. Aici $\mathrm{card}(\Omega )=12$.

a) Numerele pare sunt $2,4,6,8,10,12$ — șase: $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

b) Multiplii lui $3$ sunt $3,6,9,12$ — patru: $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

c) Numerele $10,11,12$ — trei: $P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

d) Numerele prime sunt $2,3,5,7,11$ — cinci: $P=\frac{5}{12}$. (Atenție: $1$ nu este prim, iar $9=3^2$ nu este prim.)

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. $\frac{19}{20}=0,95$ înseamnă că evenimentul lipsește, în medie, o dată la douăzeci de repetări. Certitudinea corespunde probabilității $1$.

b) F. Moneda „nu are memorie": aruncările sunt independente, iar probabilitatea rămâne $\frac{1}{2}$ la fiecare aruncare, indiferent de trecut. Aceasta este eroarea jucătorului.

c) F. Cifra din titlu este o creștere relativă și nu spune nimic fără riscul inițial. O creștere de $50\%$ de la $\frac{2}{100}$ la $\frac{3}{100}$ înseamnă o persoană în plus la o sută, iar una de la $\frac{2}{100000}$ la $\frac{3}{100000}$ înseamnă practic nimic.

d) A. Este metoda cea mai sigură pentru un răspuns exact; alternativele sunt zecimalele și procentele. Ce nu se face niciodată: compararea numărătorilor când numitorii diferă.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Aducem la numitorul comun $8\cdot 13=104$ (1 p): $$\frac{3}{8}=\frac{39}{104},\frac{5}{13}=\frac{40}{104}$$ (1,5 p). Cum $39<40$, rezultă $\frac{3}{8}<\frac{5}{13}$ (0,5 p). (Verificare cu zecimale: $0,375<0,3846\dots$)

b) (3 p) $\mathrm{card}(\Omega )=36$ (0,5 p). Suma $7$ se obține în șase moduri: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ (1 p). Suma $6$ se obține în cinci moduri: $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ (1 p). Prin urmare $$P(\text{suma }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}>\frac{5}{36}=P(\text{suma }6),$$ deci suma $7$ este mai probabilă (0,5 p). (Explicația: perechea $(3,3)$ se realizează într-un singur mod, în timp ce perechile cu numere diferite se realizează în câte două moduri.)

Itemul 5. (8 p)

a) (2 p) $P(\text{caˆștig})=P(\text{fat¸a }6)=\frac{1}{6}$.

b) (3 p) Organizăm calculul pe două coloane, la $600$ de partide (1 p):

(1,5 p) Organizatorul păstrează, în medie, jumătate din banii încasați — adică $2$ lei din fiecare taxă de $4$ lei (0,5 p).

c) (3 p) Jocul este corect când cele două coloane se echilibrează (1 p): la $600$ de partide se încasează $2400$ de lei și apar aproximativ $100$ de câștiguri, deci premiul $x$ trebuie să satisfacă $100x=2400$ (1 p), de unde $$x=24\text{ lei}$$ (1 p). (Echivalent, direct din formulă: premiul corect $=\frac{\text{taxa}}{P(\text{caˆștig})}=\frac{4}{1/6}=24$.)

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Extragerea fiind simultană, un rezultat este o submulțime cu trei piese din cele $12$ (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=220$$ (1 p). Cazurile favorabile sunt submulțimile formate doar din piese bune, care sunt $12-2=10$: $$C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$$ (1 p), deci $P(\text{nicio piesa˘ defecta˘})=\frac{120}{220}=\frac{6}{11}$ (0,5 p).

b) (2 p) „Lotul este respins" este contrarul evenimentului de la punctul a) (1 p): $$P=1-\frac{6}{11}=\frac{5}{11}$$ (1 p). (Cu un control pe trei piese, aproape jumătate dintre loturile cu două defecte scapă nedescoperite — de aceea, în practică, se verifică mai multe piese.)

c) (2 p) Alegem o piesă defectă din $2$ și două piese bune din $10$; prin regula produsului, $C_2^1\cdot C_{10}^2=2\cdot 45=90$ cazuri favorabile (1,5 p), deci $$P=\frac{90}{220}=\frac{9}{22}$$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Numărul mediu de daune într-un an (1,5 p): $$5000\cdot \frac{1}{100}=50\text{ daune}.$$ Suma plătită (1,5 p): $$50\cdot 3000=150000\text{ lei}.$$

b) (2 p) Prima de echilibru se obține împărțind suma plătită la numărul de clienți (1 p): $$\frac{150000}{5000}=30\text{ lei}$$ (1 p). (Echivalent: prima de echilibru $=P(\text{dauna˘})\cdot \text{despa˘gubirea}=\frac{1}{100}\cdot 3000=30$.)

c) (2 p) Compania încasează $5000\cdot 40=200000$ de lei (1 p), deci îi rămâne $$200000-150000=50000\text{ lei}$$ (1 p), sumă din care acoperă cheltuielile de funcționare, anii mai răi decât media și profitul.

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Creșterea relativă compară cele două riscuri prin raport (1,5 p): $$\frac{6/1000}{4/1000}-1=\frac{6}{4}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}=50\%$$ (1,5 p).

b) (3 p) Creșterea absolută este diferența (1 p): $$\frac{6}{1000}-\frac{4}{1000}=\frac{2}{1000}=\frac{1}{500},$$ adică două persoane în plus la o mie, ori $0,2$ puncte procentuale (1 p). Titlul induce în eroare pentru că folosește cifra mare (creșterea relativă) fără să dea riscul inițial, care este foarte mic; cititorul își imaginează un pericol de zece ori mai serios decât cel real. Întrebarea corectă la orice statistică de acest fel este: „cu cât a crescut, față de cât?" (1 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Un rezultat este o submulțime cu $5$ numere din $40$ (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=C_{40}^5=\frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=658008$$ (2 p). Există un singur caz favorabil — chiar combinația jucată (0,25 p) —, deci $$P=\frac{1}{658008}$$ (0,25 p).

b) (3 p) Biletul conține exact $4$ numere extrase dacă alegem $4$ dintre cele $5$ numere extrase și $1$ dintre celelalte $40-5=35$ (1,5 p): $$C_5^4\cdot C_{35}^1=5\cdot 35=175$$ (1 p), deci $P=\frac{175}{658008}$ (0,5 p), adică de $175$ de ori mai mare decât șansa premiului mare — și tot foarte mică.

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Cele patru aruncări sunt etape independente, deci, prin regula produsului (1 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=6^4=1296.$$ Trecem la evenimentul contrar, „niciun $6$", pentru care fiecare aruncare are $5$ variante (1 p): $$\mathrm{card}(\overline{A})=5^4=625$$ (1 p). Prin urmare $$P(\text{cel puțin un }6)=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0,518$$ (1 p). Cum $\frac{671}{1296}>\frac{1}{2}$, pariul este ușor avantajos pentru cel care îl acceptă.

b) (4 p) Pentru două aruncări, $\mathrm{card}(\Omega )=36$, iar cazurile fără niciun $6$ sunt $5\cdot 5=25$ (1,5 p): $$P(\text{cel puțin un }6)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$$ (1 p). Or, $2\cdot \frac{1}{6}=\frac{12}{36}\ne \frac{11}{36}$ (0,5 p). Explicația: adunarea probabilităților ar fi corectă numai pentru evenimente disjuncte, iar „primul zar dă $6$" și „al doilea zar dă $6$" nu sunt disjuncte — se pot produce amândouă. Suma $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ numără de două ori cazul $(6,6)$; scăzându-l o dată, $\frac{12}{36}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}$ ✓ Probabilitățile probelor repetate se combină prin înmulțire (pe evenimentul contrar), nu prin adunare (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Fiecare dintre cele patru persoane poate avea oricare dintre cele $12$ luni, iar alegerile sunt independente, deci prin regula produsului (1,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=12^4=20736$$ (1,5 p).

b) (3 p) Dacă lunile trebuie să fie diferite, prima persoană are $12$ variante, a doua $11$, a treia $10$, a patra $9$ (1,5 p): $$\mathrm{card}(A)=12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=11880$$ (1 p), deci $$P(\text{toate diferite})=\frac{11880}{20736}=\frac{55}{96}\approx 0,573$$ (0,5 p).

c) (2 p) Este evenimentul contrar celui de la punctul b) (1 p): $$P=1-\frac{55}{96}=\frac{41}{96}\approx 0,427$$ (1 p). Deci, chiar și cu doar patru persoane și douăsprezece luni, șansa unei coincidențe este de aproape $43\%$ — mult peste ce sugerează intuiția. Mecanismul este același care produce surpriza din paradoxul zilelor de naștere: întrebarea se referă la orice pereche de persoane, iar patru persoane formează deja $C_4^2=6$ perechi.

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Premiul se poate afla, cu probabilități egale, în spatele oricăreia dintre cele trei uși; alegerea inițială fiind ușa $1$ (1 p):

(2 p) Strategia „rămân" câștigă într-un singur caz din trei (0,5 p): $$P(\text{caˆștig daca˘ ra˘maˆn})=\frac{1}{3}$$ (0,5 p).

b) (2 p) Strategia „schimb" câștigă în două cazuri din trei (1 p): $$P(\text{caˆștig daca˘ schimb})=\frac{2}{3}$$ (1 p). Schimbarea dublează șansele.

c) (2 p) Pentru că prezentatorul știe unde este premiul și deschide întotdeauna o ușă goală: gestul lui nu aduce nicio informație despre ușa aleasă inițial, care păstrează probabilitatea $\frac{1}{3}$ (1 p). Celelalte două uși păstrează împreună probabilitatea $\frac{2}{3}$, care se concentrează acum asupra singurei rămase închise. Raționamentul „două uși, deci jumătate-jumătate" ar fi corect numai dacă ușa deschisă ar fi fost aleasă la întâmplare, fără să se știe ce e în spatele ei — condițiile problemei contează la fel de mult ca numerele (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Extragerea fiind simultană (0,5 p): $$\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{1\cdot 2}=45$$ (1 p). Cazurile favorabile: $C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6$ (1 p), deci $$P(\text{ambele albe})=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$$ (0,5 p).

b) (3 p) Prin evenimentul contrar: „niciuna albă" înseamnă ambele negre, adică $C_6^2=15$ cazuri (1,5 p). Prin urmare $$P(\text{cel puțin una alba˘})=1-\frac{15}{45}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$$ (1,5 p).

c) (2 p) $\frac{2}{15}<\frac{2}{3}$; mai precis, a doua probabilitate este de cinci ori mai mare (1 p). Explicația: „ambele albe" este o cerință mult mai strictă — trebuie ca fiecare dintre cele două bile să fie albă —, în timp ce „cel puțin una albă" este îndeplinită și când doar una este albă. Primul eveniment este inclus în al doilea, deci, prin monotonie, probabilitatea lui este mai mică (1 p).