Test: probleme de numărare de tip Bacalaureat M1

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Metode de numărare

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea pentru elevii de la matematică-informatică și se adresează exact nivelului cerut la proba M1: nu simpla aplicare a formulelor, ci transformarea unei cerințe despre un termen într-o ecuație. Instrumentul central este scrierea exponentului lui $x$ din termenul general ca funcție de gradul I în $k$: după ce binomul este rescris cu exponenți (radicalii devin puteri fracționare, numitorii devin puteri negative), orice cerință — „termenul liber", „termenul care îl conține pe $x^m$", „termenul din mijloc" — devine o ecuație de gradul I în $k$, a cărei soluție trebuie să fie un număr natural cuprins între $0$ și $n$. Când nu este, răspunsul corect nu este „nu se poate", ci afirmația explicită că dezvoltarea nu are termenul cerut — iar testul verifică asta de trei ori, în trei contexte diferite. Sunt evaluate, în plus: determinarea lui $n$ din condiții de tipul „suma coeficienților binomiali este $2^{10}$" sau „$C_n^1+C_n^2=28$"; identitățile binomiale fundamentale, cu demonstrația lor prin particularizare; și problemele de numărare cu restricții — echipe cu „cel puțin", drumuri minime într-o rețea, submulțimi cu proprietăți date — unde se cere alegerea metodei, nu doar calculul.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii marcați se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. La orice problemă cu termeni ai unei dezvoltări se cere întâi rescrierea binomului cu exponenți și scrierea termenului general, apoi ecuația în $k$; sărirea peste acest pas se depunctează chiar dacă rezultatul final este corect. La ecuațiile cu combinări se scriu condițiile asupra lui $n$ înainte de rezolvare, iar soluțiile care nu sunt numere naturale acceptabile se resping explicit.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe scrierea exponentului ca funcție de $k$ și pe verificarea faptului că soluția ecuației este un număr natural din intervalul $[0,n]$.
• Formule de reținut: termenul general: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, $k=0,1,\dots ,n$ — rangul este $k+1$. Pentru un binom de forma ${\left(x^p+c{x}^q\right)}^n$, termenul general se rescrie $$T_{k+1}=C_n^k{c}^k{x}^{p(n-k)+qk},\text{deci}E(k)=p(n-k)+qk,$$ o funcție de gradul I în $k$. Termenul liber: se rezolvă $E(k)=0$; dacă soluția nu este număr natural sau depășește $n$, dezvoltarea nu are termen liber, iar acest lucru se scrie explicit. Termenul din mijloc: dacă $n$ este par, există unul singur, de rang $\frac{n}{2}+1$; dacă $n$ este impar, sunt doi, de ranguri $\frac{n+1}{2}$ și $\frac{n+3}{2}$. Rescrieri utile: $\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$, $\frac{1}{x^m}=x^{-m}$. Combinări: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $C_n^k=C_n^{n-k}$, $A_n^k=k!\cdot C_n^k$. Identități: $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ și $C_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0$ pentru $n\ge 1$; de aici, suma coeficienților de rang par este egală cu cea de rang impar, fiecare valorând $2^{n-1}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Calcul cu combinări și structura dezvoltării

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Numărul termenilor dezvoltării ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{10}$, $x\ne 0$, este: A. $10$; B. $11$; C. $12$; D. $20$.

b) Dacă suma coeficienților binomiali ai dezvoltării $(a+b{)}^n$ este $1024$, atunci $n$ este: A. $8$; B. $9$; C. $10$; D. $11$.

c) Rangul termenului din mijloc al dezvoltării $(a+b{)}^{12}$ este: A. $6$; B. $7$; C. $12$; D. $13$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, alegând de fiecare dată drumul cel mai scurt (câte 1,5 puncte):

a) $C_{10}^3$;

b) $A_8^3$;

c) $\frac{A_9^4}{C_9^4}$;

d) $C_{15}^{13}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte):

a) „Dezvoltarea ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ are termen liber pentru orice $n$ natural nenul."

b) „Din $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ rezultă că termenul al cincilea corespunde lui $k=4$."

c) „Numărul submulțimilor cu cel puțin două elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $2^n-n$."

d) „Din $C_n^1+C_n^2=36$ rezultă $n=8$."

Itemul 4 (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor naturale, scriind mai întâi condițiile de existență:

a) $C_n^2=66$; (3 p)

b) $A_n^2-C_n^2=15$. (3 p)

Partea a II-a – Termeni cu proprietăți date

Itemul 5 (8 puncte)

Se consideră dezvoltarea ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^9$, unde $x\ne 0$. Determină (câte 2 puncte):

a) termenul general $T_{k+1}$, scris ca putere a lui $x$;

b) rangul termenului liber;

c) termenul liber;

d) coeficientul lui $x^3$.

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră dezvoltarea ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^{10}$, unde $x>0$.

a) Scrie exponentul lui $x$ din termenul $T_{k+1}$ ca funcție de gradul I în $k$. (2 p)

b) Determină termenul liber al dezvoltării. (3 p)

c) Arată că dezvoltarea nu conține niciun termen în $x^2$. (2 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră dezvoltarea ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^6$, unde $x\ne 0$.

a) Determină termenul din mijloc al dezvoltării. (4 p)

b) Determină coeficientul lui $x^2$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Într-un grup sunt $7$ băieți și $5$ fete. Se formează o echipă de $5$ persoane.

a) Câte echipe conțin exact $3$ băieți? (3 p)

b) Câte echipe conțin cel puțin $4$ băieți? (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Într-o rețea rectangulară de străzi se merge din punctul $A$ în punctul $B$ doar spre est sau spre nord, parcurgând în total $4$ segmente spre est și $3$ segmente spre nord.

a) Câte drumuri minime există de la $A$ la $B$? (3 p)

b) Câte dintre ele trec prin punctul $C$, situat la $2$ segmente spre est și $1$ segment spre nord față de $A$? (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip Bacalaureat M1

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Deduce din formula binomului lui Newton expresia termenului general $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ și explică de ce rangul termenului este $k+1$, nu $k$. (3 p)

b) Se consideră dezvoltarea ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}\right)}^{10}$, cu $x>0$. Determină suma coeficienților binomiali ai dezvoltării și scrie exponentul lui $x$ din $T_{k+1}$ ca funcție de $k$. (3 p)

c) Arată că această dezvoltare nu are termen liber. (2 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Fie $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$.

a) Demonstrează, prin particularizări ale formulei binomului lui Newton, identitățile $$C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n\text{și}{C}_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0.$$ (4 p)

b) Deduce că suma coeficienților binomiali de rang par este egală cu cea a coeficienților de rang impar și că fiecare dintre ele este $2^{n-1}$. (2 p)

c) Determină $n$, știind că $C_n^0+C_n^1+C_n^2=79$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,\dots ,10\}$.

a) Câte submulțimi cu $4$ elemente are $M$? (2 p)

b) Câte dintre acestea conțin exact două numere pare? (3 p)

c) Câte dintre acestea conțin cel puțin un număr mai mare decât $8$? (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră dezvoltarea ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^n$, unde $x>0$ și $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, cu proprietatea că $C_n^1+C_n^2=28$.

a) Arătați că $n=7$. (3 p)

b) Determinați termenul dezvoltării care îl conține pe $x^2$. (3 p)

c) Arătați că dezvoltarea nu are termen liber. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni, indiferent ce sunt $a$ și $b$; pentru $n=10$ sunt $11$ termeni. (Puterile lui $x$ care apar sunt $x^{10},x^8,\dots ,x^{-10}$ — tot $11$ valori, din doi în doi.)

b) C. Suma coeficienților binomiali este $2^n$, iar $1024=2^{10}$, deci $n=10$.

c) B. Dezvoltarea are $13$ termeni, un număr impar, deci există un singur termen din mijloc, de rang $\frac{12}{2}+1=7$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte.

a) $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}=\frac{720}{6}=120$.

b) $A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336$ — trei factori descrescători.

c) $\frac{A_9^4}{C_9^4}=4!=24$, folosind direct relația $A_n^k=k!\cdot C_n^k$; nu este nevoie de niciun calcul numeric. (Verificare: $A_9^4=3024$, $C_9^4=126$, iar $3024:126=24$ ✓.)

d) $C_{15}^{13}=C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$, prin combinări complementare.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Termenul general este $T_{k+1}=C_n^k{x}^{n-k}{x}^{-k}=C_n^k{x}^{n-2k}$, deci termenul liber cere $n-2k=0$, adică $k=\frac{n}{2}$. Aceasta este soluție acceptabilă doar când $n$ este par. De exemplu, ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^5$ nu are termen liber.

b) A. Rangul termenului este $k+1$, pentru că numărătoarea lui $k$ începe de la $0$: termenul de rang $1$ are $k=0$, deci cel de rang $5$ are $k=4$.

c) F. Din totalul de $2^n$ submulțimi se scad cele cu zero elemente (una singură, mulțimea vidă) și cele cu exact un element ($n$ la număr), deci răspunsul corect este $2^n-n-1$. (Verificare pentru $n=6$: $64-6-1=57$, iar enumerarea confirmă.)

d) A. $C_n^1+C_n^2=n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$; ecuația $\frac{n(n+1)}{2}=36$ dă $n(n+1)=72$, adică $n=8$. Verificare: $8+28=36$ ✓.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Condiții: $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$ (0,5 p). Din $\frac{n(n-1)}{2}=66$ rezultă $n^2-n-132=0$, cu $\Delta =1+528=529$ și $\sqrt{\Delta }=23$ (1,5 p), deci $$n=\frac{1\pm 23}{2}⟹n_1=12,n_2=-11.$$ Se respinge $n_2$; soluția este $n=12$ (1 p). (Verificare: $C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2}=66$ ✓.)

b) (3 p) Condiții: $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$ (0,5 p). Folosim $A_n^2=n(n-1)$ și $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ (1 p): $$n(n-1)-\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}=15⟹n(n-1)=30$$ (1 p), adică $n^2-n-30=0$, cu soluțiile $n_1=6$ și $n_2=-5$ (respinsă). Deci $n=6$ (0,5 p). (Verificare: $A_6^2=30$, $C_6^2=15$, iar $30-15=15$ ✓. Observație utilă: $A_n^2-C_n^2=C_n^2$, pentru că $A_n^2=2!\cdot C_n^2$.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Cu $a=x^2$ și $b=x^{-1}$, termenul general este $$T_{k+1}=C_9^k{\left(x^2\right)}^{9-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_9^k{x}^{18-2k-k}=C_9^k{x}^{18-3k},k=0,1,\dots ,9.$$ (Exponentul $E(k)=18-3k$ este o funcție de gradul I în $k$ — de aici încolo, orice cerință devine o ecuație.)

b) Termenul liber cere $E(k)=0$, adică $18-3k=0$, deci $k=6$ — număr natural cuprins între $0$ și $9$, deci acceptabil. Rangul termenului este $k+1=7$.

c) Termenul liber este $$T_7=C_9^6=C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84.$$

d) Condiția $18-3k=3$ dă $k=5$, deci coeficientul lui $x^3$ este $$C_9^5=C_9^4=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{24}=126.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Rescriem binomul cu exponenți: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ și $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}$ (1 p). Termenul general devine $$T_{k+1}=C_{10}^k{\left(x^{1/2}\right)}^{10-k}{\left(x^{-1/3}\right)}^k=C_{10}^k{x}^{\frac{10-k}{2}-\frac{k}{3}},$$ deci (1 p) $$E(k)=\frac{10-k}{2}-\frac{k}{3}=5-\frac{k}{2}-\frac{k}{3}=5-\frac{5k}{6}.$$

b) (3 p) Termenul liber cere $E(k)=0$, adică $5-\frac{5k}{6}=0$, deci $k=6$ (1,5 p), valoare naturală cuprinsă între $0$ și $10$ — deci acceptabilă (0,5 p). Termenul liber este $$T_7=C_{10}^6=C_{10}^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{24}=210$$ (1 p).

c) (2 p) Un termen în $x^2$ ar cere $5-\frac{5k}{6}=2$, adică $\frac{5k}{6}=3$, deci $k=\frac{18}{5}$ (1 p). Cum $\frac{18}{5}$ nu este număr natural, iar $k$ trebuie să fie natural, dezvoltarea nu conține niciun termen în $x^2$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Aici $n=6$ este par, deci există un singur termen din mijloc, de rang $\frac{6}{2}+1=4$, corespunzând lui $k=3$ (1,5 p). Termenul general este $$T_{k+1}=C_6^k{x}^{6-k}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^k=C_6^k(-2{)}^k{x}^{6-2k}$$ (1 p). Pentru $k=3$ (1,5 p): $$T_4=C_6^3(-2{)}^3{x}^0=20\cdot (-8)=-160.$$ (Termenul din mijloc este, în acest caz, chiar termenul liber — exponentul $6-2k$ se anulează tot pentru $k=3$.)

b) (3 p) Condiția $6-2k=2$ dă $k=2$ (1,5 p), deci coeficientul lui $x^2$ este $$C_6^2(-2{)}^2=15\cdot 4=60$$ (1,5 p). (Semnul este plus, pentru că $k=2$ este par.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Alegerile din cele două categorii sunt independente: $3$ băieți din $7$ și $2$ fete din $5$ (1 p): $$C_7^3\cdot C_5^2=35\cdot 10=350\text{echipe}$$ (2 p).

b) (3 p) „Cel puțin $4$ băieți" înseamnă exact $4$ sau exact $5$ băieți — două cazuri disjuncte, care se adună (1 p):

• $4$ băieți și $1$ fată: $C_7^4\cdot C_5^1=35\cdot 5=175$ echipe (1 p);
• $5$ băieți și nicio fată: $C_7^5\cdot C_5^0=21\cdot 1=21$ echipe (0,5 p).

În total $175+21=196$ echipe (0,5 p). (Aici complementul nu ajută: „cel mult $3$ băieți" ar cere patru cazuri în loc de două.)

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Un drum minim este un șir de $7$ pași, dintre care $4$ sunt „est" și $3$ sunt „nord". Drumul este complet determinat de alegerea pozițiilor celor $3$ pași „nord" printre cei $7$, iar ordinea acestor poziții nu contează (1,5 p): $$C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35\text{drumuri}$$ (1,5 p). (Echivalent, $C_7^4=35$ — alegem pozițiile pașilor „est"; complementaritatea dă același rezultat.)

b) (3 p) Drumul se rupe în două bucăți independente, iar numerele lor se înmulțesc (1 p):

• de la $A$ la $C$: $2$ pași est și $1$ pas nord, deci $C_3^1=3$ drumuri (1 p);
• de la $C$ la $B$: mai rămân $4-2=2$ pași est și $3-1=2$ pași nord, deci $C_4^2=6$ drumuri (0,5 p).

În total $3\cdot 6=18$ drumuri (0,5 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Formula binomului lui Newton se scrie condensat (1 p): $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k.$$ Fiecare valoare a lui $k$ produce exact un termen al dezvoltării, deci termenul corespunzător lui $k$ este $T=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ (1 p). Cum $k$ pornește de la $0$, iar rangurile se numără de la $1$, termenul corespunzător lui $k$ ocupă poziția $k+1$; de aceea se notează $T_{k+1}$, iar dezvoltarea are $n+1$ termeni (1 p).

b) (3 p) Suma coeficienților binomiali este $2^{10}=1024$ (1 p). Rescriem binomul: $x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ și $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ (1 p), deci $$T_{k+1}=C_{10}^k{\left(x^{3/2}\right)}^{10-k}{\left(x^{-2}\right)}^k=C_{10}^k{x}^{\frac{3(10-k)}{2}-2k},E(k)=15-\frac{7k}{2}$$ (1 p).

c) (2 p) Termenul liber ar cere $E(k)=0$, adică $15=\frac{7k}{2}$, deci $k=\frac{30}{7}$ (1 p). Cum $30$ nu se divide cu $7$, valoarea nu este număr natural, iar $k$ trebuie să fie natural; prin urmare dezvoltarea nu are termen liber (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Formula binomului este o identitate: rămâne adevărată pentru orice valori ale lui $a$ și $b$, deci orice particularizare produce o relație validă între coeficienții binomiali (0,5 p).

Prima identitate, pentru $a=b=1$ (1,5 p): $$2^n=(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\cdot 1^{n-k}\cdot 1^k=C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n.$$

A doua identitate, pentru $a=1$ și $b=-1$ (1,5 p): $$0=(1-1{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\cdot 1^{n-k}(-1{)}^k=C_n^0-C_n^1+C_n^2-\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n,$$ egalitatea cu $0$ fiind valabilă pentru $n\ge 1$ (0,5 p).

b) (2 p) Notăm $S_{\text{par}}$ suma coeficienților de rang par ($C_n^0+C_n^2+\dots$) și $S_{\text{impar}}$ pe cea a coeficienților de rang impar. A doua identitate spune că $S_{\text{par}}-S_{\text{impar}}=0$, deci cele două sunt egale (1 p). Prima spune că $S_{\text{par}}+S_{\text{impar}}=2^n$; înlocuind, $2S_{\text{par}}=2^n$, deci $$S_{\text{par}}=S_{\text{impar}}=2^{n-1}$$ (1 p).

c) (2 p) Ecuația devine $1+n+\frac{n(n-1)}{2}=79$, adică $n^2+n-156=0$, cu $\Delta =1+624=625$ și $\sqrt{\Delta }=25$ (1 p). Rezultă $n=\frac{-1\pm 25}{2}$, deci $n_1=12$ și $n_2=-13$ (respinsă). Așadar $n=12$ (1 p). (Verificare: $1+12+66=79$ ✓.)

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) O submulțime cu $4$ elemente este o alegere neordonată (0,5 p): $$C_{10}^4=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4!}=\frac{5040}{24}=210\text{submulțimi}$$ (1,5 p).

b) (3 p) În $M$ sunt $5$ numere pare ($2,4,6,8,10$) și $5$ impare (0,5 p). „Exact două numere pare" înseamnă $2$ alegeri dintre cele pare și $2$ dintre cele impare, independent (1 p): $$C_5^2\cdot C_5^2=10\cdot 10=100\text{submulțimi}$$ (1,5 p).

c) (3 p) Numărăm prin complement (1 p). Contrariul lui „conține cel puțin un număr mai mare decât $8$" este „toate elementele sunt cel mult $8$", adică submulțimea este inclusă în $\{1,2,\dots ,8\}$; astfel de submulțimi cu $4$ elemente sunt $C_8^4=70$ (1 p). Prin urmare $$210-70=140\text{submulțimi}$$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Scriem combinările prin formule (1 p): $$C_n^1+C_n^2=n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{2n+n^2-n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.$$ Ecuația $\frac{n(n+1)}{2}=28$ devine $n^2+n-56=0$, cu $\Delta =1+224=225$ și $\sqrt{\Delta }=15$ (1 p), deci $n=\frac{-1\pm 15}{2}$, adică $n_1=7$ și $n_2=-8$, valoare respinsă (nu este număr natural). Rămâne $n=7$, care respectă condiția $n\ge 2$ (1 p). (Verificare: $C_7^1+C_7^2=7+21=28$ ✓.)

b) (3 p) Rescriem binomul cu exponenți: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ și $\frac{1}{x}=x^{-1}$ (0,5 p). Termenul general este (1 p) $$T_{k+1}=C_7^k{\left(x^{1/2}\right)}^{7-k}{\left(x^{-1}\right)}^k=C_7^k{x}^{\frac{7-k}{2}-k},E(k)=\frac{7}{2}-\frac{3k}{2}.$$ Condiția $E(k)=2$ dă $\frac{7-3k}{2}=2$, adică $7-3k=4$, deci $k=1$ — număr natural cuprins între $0$ și $7$ (1 p). Termenul căutat este cel de rang $2$ (0,5 p): $$T_2=C_7^1{x}^2=7x^2.$$

c) (2 p) Termenul liber ar cere $E(k)=0$, adică $7-3k=0$, deci $k=\frac{7}{3}$ (1 p). Valoarea nu este număr natural, deci dezvoltarea nu are termen liber (1 p). (Se vede și direct: exponenții care apar sunt $\frac{7}{2},2,\frac{1}{2},-1,-\frac{5}{2},-4,-\frac{11}{2},-7$ — niciunul nu este $0$.)