Test: proprietatea valorilor intermediare și semnul unei funcții continue

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Limite de funcții și continuitate

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică tot ce se poate spune despre o funcție continuă pe un interval — adică partea din capitol care produce rezultate, nu doar verificări. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: continuitatea pe o mulțime și mecanismul care o produce — funcțiile uzuale sunt continue pe domeniul lor maxim, iar operațiile algebrice, compunerea și trecerea la inversă păstrează continuitatea; de aici, întrebarea „unde este continuă?" se reduce la întrebarea „unde este definită?". Al doilea: proprietatea valorilor intermediare și cazul ei particular, consecința de semn, folosite pentru a demonstra că o funcție ia o valoare dată sau că o ecuație are soluție, fără a calcula nimic. Al treilea: semnul unei funcții continue, cu metoda în patru pași și cu tabelul de semn scris în formatul fix al capitolului. Al patrulea: existența și separarea soluțiilor unei ecuații — câte sunt, în ce intervale se află și cum se obține unicitatea, prin monotonia funcțiilor elementare.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice aplicare a proprietății valorilor intermediare se consideră completă doar dacă apar trei elemente, în această ordine: justificarea continuității, valorile calculate la capete și concluzia formulată cu „există cel puțin un $c$". Se depunctează: omiterea justificării continuității; formularea „exact o soluție" acolo unde s-a demonstrat doar existența; aplicarea rezultatelor pe o reuniune de intervale, nu pe un interval; scrierea lui $0$ în tabelul de semn acolo unde funcția nu este definită; alternarea mecanică a semnelor, în locul calculului unui punct de test pe fiecare interval.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe tabelul de semn și pe redactarea aplicațiilor.
• Formule de reținut: proprietatea valorilor intermediare (numită și proprietatea lui Darboux; se admite fără demonstrație) — dacă $f:I\to \mathbb{R}$ este continuă pe intervalul $I$, dacă $a,b\in I$ cu $a<b$ și dacă $\lambda$ este cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, atunci există cel puțin un $c\in (a,b)$ cu $f(c)=\lambda$. Consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (cunoscută și ca teorema lui Bolzano): dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$, atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$. Imaginea unui interval printr-o funcție continuă este tot un interval; dacă în plus $f$ este strict crescătoare pe $[a,b]$, atunci $f([a,b])=[f(a),f(b)]$, iar dacă este strict descrescătoare, $f([a,b])=[f(b),f(a)]$. Semnul: o funcție continuă pe un interval, care nu se anulează acolo, păstrează semn constant pe el; de aici metoda în patru pași — domeniul, continuitatea, zerourile, câte un punct de test pe fiecare interval. Unicitatea unei soluții nu vine din consecința de semn, ci din stricta monotonie: o funcție strict monotonă este injectivă, deci ia valoarea $0$ cel mult o dată.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Continuitatea pe o mulțime, operații, compunere și inversă

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Domeniul de continuitate al funcției $f(x)=\frac{x+2}{x^2-25}$ este: A. $\mathbb{R}$; B. $\mathbb{R}\setminus \{5\}$; C. $\mathbb{R}\setminus \{-5,5\}$; D. $(-5,5)$.

b) Funcția $f(x)=\sqrt{x-3}$ este continuă pe: A. $\mathbb{R}$; B. $[3,+\infty )$; C. $(3,+\infty )$; D. $(-\infty ,3]$.

c) Imaginea funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$, este: A. $[0,2]$; B. $[-1,5]$; C. $[1,5]$; D. $\mathbb{R}$.

Itemul 2 (6 puncte)

Determină domeniul de continuitate al fiecărei funcții, scriind mai întâi condițiile de existență (câte 1,5 puncte): a) $f(x)=\frac{2x-1}{x^2-x-6}$; b) $f(x)=\ln (5-2x)$; c) $f(x)=\sqrt{16-x^2}$, precizând ce fel de continuitate se cere în capetele domeniului; d) $f(x)=\frac{e^x}{\ln x}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Funcția $f(x)=\ln x$ este discontinuă în $x=0$." b) „Dacă $f$ și $g$ sunt continue pe $\mathbb{R}$, atunci funcția $f\cdot g$ este continuă pe $\mathbb{R}$." c) „Dacă $f$ este continuă pe $(0,1)$ și continuă pe $(1,2)$, atunci $f$ este continuă pe $(0,2)$." d) „Dacă $f$ este continuă și bijectivă pe un interval, atunci inversa ei este continuă."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Arată că funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt{x^2+7}$, este continuă pe $\mathbb{R}$, precizând cele două funcții care se compun și de ce compunerea are sens. (3 p) b) Arată că inversa funcției $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=5^x$, este continuă, numind teorema folosită și precizând ce statut are ea în programă. (3 p)

Partea a II-a – Valori intermediare, imagine și semn

Itemul 5 (8 puncte)

a) Arată că ecuația $x^3+4x-6=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$. (4 p) b) Arată că funcția $g:[0,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+\sqrt{x}$, ia valoarea $7$. (4 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Determină imaginea fiecărei funcții: a) $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$; (3 p) b) $f:[-3,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x$. (4 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-5x^2+3x+9$, despre care se știe că $f(-1)=0$. a) Arată că $f(x)=(x+1)(x-3{)}^2$ și determină zerourile funcției. (3 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al funcției $f$ și explică ce se întâmplă cu semnul la trecerea prin $3$. (4 p)

Itemul 8 (6 puncte)

Se consideră funcția $f(x)=\frac{x^2-4}{x+3}$. a) Determină domeniul și zerourile funcției, apoi alcătuiește tabelul de semn. (4 p) b) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația $\frac{x^2-4}{x+3}\ge 0$. (2 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\cos x+\sqrt{3}$. a) Determină zerourile funcției pe intervalul dat. (3 p) b) Alcătuiește tabelul de semn al funcției, având grijă la ce se scrie în capetele închise ale domeniului. (3 p)

Partea a III-a – Semn constant, separarea și existența soluțiilor

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează teorema: dacă $f$ este continuă pe intervalul $I$ și $f(x)\ne 0$ pentru orice $x\in I$, atunci $f$ păstrează semn constant pe $I$. (5 p) b) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o funcție continuă, care nu se anulează în niciun punct, și pentru care $f(-3)<0$. Arată că $f(10)<0$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră ecuația $x^3-4x+1=0$. a) Calculează valorile funcției $f(x)=x^3-4x+1$ în punctele $-3$, $-2$, $0$, $1$ și $2$, apoi alcătuiește tabelul de valori de probă, cu semnele corespunzătoare. (4 p) b) Arată că ecuația are exact trei soluții reale și precizează câte un interval pentru fiecare. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră ecuația $3^x+x=5$. a) Arată că ecuația are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$. (3 p) b) Arată că soluția este unică, fără a folosi derivate. (3 p) c) Aplică o înjumătățire a intervalului $(1,2)$, indică intervalul rămas și precizează de câte ori s-ar reduce lungimea lui după $k$ pași. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+3x-2$. a) Calculați $f(0)$ și $f(1)$. (2 p) b) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$. (3 p) c) Arătați că această soluție este singura soluție reală a ecuației. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Condiția de existență este $x^2-25\ne 0$, adică $x\notin \{-5,5\}$. Funcția este cât de două funcții polinomiale, cu numitorul nenul pe acest domeniu, deci este continuă pe tot domeniul ei: domeniul de continuitate coincide cu domeniul de definiție. b) B. Condiția $x-3\ge 0$ dă $D=[3,+\infty )$. În capătul închis $3$ se cere continuitatea laterală dinspre interior, adică cea la dreapta, iar ea se verifică: $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\sqrt{x-3}=0=f(3)$. Varianta C exclude inutil un punct în care funcția este continuă. c) B. Funcția afină este continuă și strict crescătoare (coeficientul $3>0$), deci imaginea este intervalul determinat de valorile din capete: $[f(0),f(2)]=[-1,5]$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p condițiile, 1 p domeniul și concluzia). a) $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, deci condiția este $x\ne -2$ și $x\ne 3$: $$D=\mathbb{R}\setminus \{-2,3\}=(-\infty ,-2)\cup (-2,3)\cup (3,+\infty ).$$ Funcția este cât de funcții polinomiale cu numitorul nenul pe $D$, deci este continuă pe tot $D$. b) Condiția este $5-2x>0$, adică $x<\frac{5}{2}$, deci $D=\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right)$; funcția este compunerea dintre funcția afină $5-2x$ și logaritm, deci este continuă pe $D$. c) Condiția este $16-x^2\ge 0$, adică $D=[-4,4]$; funcția este compunerea dintre funcția polinomială $16-x^2$ (cu valori în $[0,+\infty )$ pe $D$) și radical, deci este continuă pe $D$. În capetele $-4$ și $4$ se cere continuitatea laterală dinspre interiorul domeniului — la dreapta în $-4$, la stânga în $4$ —, iar în ambele valoarea funcției este $0$. d) Condițiile sunt $x>0$ (argumentul logaritmului) și $\ln x\ne 0$, adică $x\ne 1$, deci $D=(0,1)\cup (1,+\infty )$; funcția este continuă pe tot $D$, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Punctul $0$ nu aparține domeniului funcției logaritmice, iar continuitatea se discută numai în punctele domeniului. Formularea corectă: $\ln$ este continuă pe tot domeniul ei, $(0,+\infty )$. b) A. Produsul a două funcții continue într-un punct este continuu în acel punct; afirmația se obține din operațiile cu limite, ambele limite fiind finite, deci produsul lor are sens fără nedeterminare. c) F. Cele două ipoteze nu spun nimic despre punctul $1$. Contraexemplu: $f(x)=0$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=1$ pentru $x>1$ este continuă pe fiecare dintre cele două intervale, dar are un salt în $1$, deci nu este continuă pe $(0,2)$. d) A. Este teorema despre continuitatea inversei unei funcții bijective și continue definite pe un interval; programa cere ca ea să fie admisă fără demonstrație. Ipoteza că domeniul este interval este esențială.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Scriem $h=g\circ u$, unde $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=x^2+7$, este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$, iar $g(t)=\sqrt{t}$ este continuă pe $[0,+\infty )$ (1,5 p). Compunerea are sens și pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $u(x)=x^2+7\ge 7>0$ pentru orice $x$ real, deci toate valorile lui $u$ se află în domeniul lui $g$ (1 p). Prin teorema de continuitate a funcției compuse, $h$ este continuă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p).

b) (3 p) Funcția $f(x)=5^x$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și bijectivă de la intervalul $\mathbb{R}$ la $(0,+\infty )$ (1,5 p). Prin teorema de continuitate a inversei unei funcții bijective și continue definite pe un interval, inversa ei, $f^{-1}(x)={\log }_{5}x$, este continuă pe $(0,+\infty )$ (1 p). Teorema se admite fără demonstrație, conform programei (0,5 p).

Itemul 5. (8 p)

a) (4 p) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+4x-6$, funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$, în particular pe $[1,2]$ (1 p). Calculăm valorile la capete (1,5 p): $$f(1)=1+4-6=-1<0,f(2)=8+8-6=10>0.$$ Cum $f(1)\cdot f(2)=-10<0$ (0,5 p), prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare există cel puțin un $c\in (1,2)$ cu $f(c)=0$, adică ecuația are cel puțin o soluție în $(1,2)$ (1 p).

b) (4 p) Funcția $g(x)=x^2+\sqrt{x}$ este sumă dintre o funcție polinomială, continuă pe $\mathbb{R}$, și funcția radical, continuă pe $[0,+\infty )$, deci este continuă pe $[0,4]$ — în capătul $0$ fiind vorba de continuitatea laterală dinspre interior (1 p). Avem $g(0)=0+0=0$ și $g(4)=16+2=18$ (1,5 p). Cum $0<7<18$, valoarea $\lambda =7$ este cuprinsă între $g(0)$ și $g(4)$ (0,5 p), deci, prin proprietatea valorilor intermediare, există cel puțin un $c\in (0,4)$ cu $g(c)=7$ (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (3 p) Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este continuă pe $[1,3]$, ca raport de funcții polinomiale cu numitorul nenul acolo (1 p), și este strict descrescătoare pe acest interval (1 p). Prin urmare imaginea este intervalul determinat de valorile din capete, în ordinea dată de sensul de variație (1 p): $$\mathrm{Im}f=\left[f(3),f(1)\right]=\left[\frac{1}{3},1\right].$$

b) (4 p) Funcția $f(x)=x^2+2x$ este polinomială, deci continuă pe $[-3,1]$, dar nu este monotonă acolo: vârful parabolei se află în $x_V=\frac{-2}{2}=-1$, cu $f(-1)=1-2=-1$ (1 p). Împărțim intervalul în porțiuni de monotonie (1,5 p):

• pe $[-3,-1]$ funcția este strict descrescătoare, cu $f(-3)=9-6=3$, deci imaginea este $[f(-1),f(-3)]=[-1,3]$;
• pe $[-1,1]$ funcția este strict crescătoare, cu $f(1)=1+2=3$, deci imaginea este $[f(-1),f(1)]=[-1,3]$.

Reunind, $\mathrm{Im}f=[-1,3]$ (1,5 p). Observă că răspunsul nu este intervalul determinat de valorile din capetele domeniului, care ar fi mulțimea cu un singur element $\{3\}$: funcția nefiind monotonă, capetele nu dau automat capetele imaginii.

Observație de barem, valabilă la tot itemul: imaginea nu se confundă cu codomeniul. Codomeniul este mulțimea în care s-a declarat că funcția își ia valorile — aici $\mathbb{R}$, la ambele subpuncte —, iar imaginea este mulțimea valorilor efectiv atinse. Faptul că imaginea iese de fiecare dată un interval nu e o coincidență: este teorema care spune că imaginea unui interval printr-o funcție continuă este tot un interval. Monotonia adaugă la ea informația despre capete, iar cele două împreună dau egalitatea de mulțimi, nu doar o incluziune.

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Cum $f(-1)=0$, expresia se divide prin $x+1$; efectuând împărțirea obținem (1,5 p) $$f(x)=(x+1)\left(x^2-6x+9\right)=(x+1)(x-3{)}^2.$$ Verificare prin desfacerea parantezelor: $(x+1)\left(x^2-6x+9\right)=x^3-6x^2+9x+x^2-6x+9=x^3-5x^2+3x+9$ ✓ (0,5 p). Zerourile sunt $-1$ (simplu) și $3$ (dublu) (1 p).

b) (4 p) Funcția este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; zerourile taie domeniul în trei intervale, iar în fiecare calculăm un punct de test (1,5 p): $$f(-2)=-8-20-6+9=-25<0,f(0)=9>0,f(4)=64-80+12+9=5>0.$$

(1,5 p pentru tabelul corect scris.)

Citirea tabelului: $f(x)<0$ pe $(-\infty ,-1)$ și $f(x)>0$ pe $(-1,3)\cup (3,+\infty )$, cu $f(-1)=f(3)=0$.

La trecerea prin $3$ semnul nu se schimbă, pentru că factorul $(x-3{)}^2$ este pozitiv de ambele părți: graficul atinge axa fără să o traverseze (1 p). Este motivul pentru care semnele se calculează, nu se alternează.

Itemul 8. (6 p)

a) (4 p) Domeniul: condiția $x+3\ne 0$ dă $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$; funcția este continuă pe tot $D$, ca raport de funcții polinomiale cu numitorul nenul (1 p). Zerourile: se caută la numărător, $x^2-4=0$, deci $x\in \{-2,2\}$ — ambele în domeniu (1 p). Testarea: punctele $-3$, $-2$ și $2$ taie domeniul în patru intervale (1 p): $$f(-4)=\frac{12}{-1}=-12<0,f\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{9}{2}>0,f(0)=-\frac{4}{3}<0,f(3)=\frac{5}{6}>0.$$

(1 p pentru tabel.) În dreptul lui $-3$ se scrie bara, nu $0$: acolo funcția nu este definită, deci nu se anulează.

Citirea tabelului: $f(x)<0$ pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(-2,2)$; $f(x)>0$ pe $(-3,-2)$ și pe $(2,+\infty )$; zerourile sunt $-2$ și $2$. Semnul se schimbă și la trecerea peste $-3$, deși acolo funcția nu se anulează — teorema de constanță a semnului se aplică pe fiecare interval al domeniului, nu pe reuniunea lor.

b) (2 p) Citim din tabel intervalele cu semnul $+$, adăugând zerourile, pentru că inegalitatea nu este strictă, și excluzând punctul $-3$, care nu aparține domeniului: $$S=(-3,-2]\cup [2,+\infty ).$$ Observație: inecuația nu se rezolvă înmulțind cu $x+3$ — semnul acestui număr nu este cunoscut, iar înmulțirea cu o cantitate negativă schimbă sensul inegalității. Procedura corectă este cea de mai sus: se aduce totul într-un singur membru, se obține o singură fracție și se face tabelul ei de semn.

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Funcția este continuă pe $[0,2\pi ]$, ca sumă dintre o funcție trigonometrică și o constantă (1 p). Ecuația $f(x)=0$ devine $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (1 p), iar în intervalul $[0,2\pi ]$ singurele soluții sunt (1 p) $$x=\frac{5\pi }{6},x=\frac{7\pi }{6}.$$

b) (3 p) Punctele de test (1,5 p): $f(0)=2+\sqrt{3}>0$; $f(\pi )=-2+\sqrt{3}<0$, pentru că $\sqrt{3}<2$; $f(2\pi )=2+\sqrt{3}>0$.

(1,5 p pentru tabelul corect scris.) Capetele $0$ și $2\pi$ sunt închise și aparțin domeniului, deci în dreptul lor se scrie semnul valorii funcției, nu se lasă coloana goală (coloana rămâne goală numai la $\pm \infty$, unde nu există nicio valoare de scris).

Citirea tabelului: $f(x)>0$ pe $\left[0,\frac{5\pi }{6}\right)$ și pe $\left(\frac{7\pi }{6},2\pi \right]$, iar $f(x)<0$ pe $\left(\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right)$.

Itemul 10. (8 p)

a) (5 p) Demonstrație prin reducere la absurd. Presupunem că $f$ nu păstrează semn constant pe $I$, adică ia atât valori strict pozitive, cât și valori strict negative: există $a,b\in I$ cu $f(a)<0<f(b)$ (1 p). Putem presupune $a<b$; cazul $b<a$ se tratează identic.

Cum $I$ este interval, avem $[a,b]\subseteq I$, deci $f$ este continuă pe $[a,b]$ (1,5 p). În plus, $f(a)\cdot f(b)<0$, valorile având semne contrare (0,5 p).

Prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, există $c\in (a,b)\subseteq I$ cu $f(c)=0$ (1,5 p). Aceasta contrazice ipoteza că $f$ nu se anulează pe $I$. Prin urmare presupunerea este falsă, iar $f$ păstrează semn constant pe $I$ (0,5 p).

Observație: ipoteza „$I$ este interval" este cea care permite pasul $[a,b]\subseteq I$; pe o reuniune de intervale afirmația este falsă, cum arată funcția $\frac{1}{x}$, care nu se anulează nicăieri, dar este negativă la stânga originii și pozitivă la dreapta ei.

b) (3 p) Funcția $f$ este continuă pe intervalul $\mathbb{R}$ și nu se anulează în niciun punct, deci, prin teorema demonstrată la punctul a), păstrează semn constant pe tot $\mathbb{R}$ (2 p). Cum într-un punct anume valoarea este negativă, $f(-3)<0$, semnul constant este cel negativ, deci $f(x)<0$ pentru orice $x$ real; în particular $f(10)<0$ (1 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Funcția $f(x)=x^3-4x+1$ este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$ (0,5 p). Calculăm (2 p): $$f(-3)=-27+12+1=-14,f(-2)=-8+8+1=1,f(0)=1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=8-8+1=1.$$

(1,5 p pentru tabelul de valori de probă, cu cele trei rânduri.) Punctele nu sunt zerouri ale funcției, ci valori de probă alese, tocmai pentru a prinde schimbările de semn. De aceea tabelul are altă structură decât tabelul de semn de la itemii 7–9: aici nu există coloane-interval, ci câte o coloană pentru fiecare valoare încercată, iar pe rândul de jos se scrie semnul valorii, nu semnul pe un interval. Punctele se aleg cât mai simplu — de regulă întregi mici, luați consecutiv până se prind toate schimbările.

b) (4 p) Sunt trei schimbări de semn — între $-3$ și $-2$, între $0$ și $1$, între $1$ și $2$ — deci, prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, ecuația are cel puțin o soluție în fiecare dintre intervalele $(-3,-2)$, $(0,1)$ și $(1,2)$: cel puțin trei soluții reale (2,5 p).

Fiind o ecuație polinomială de gradul al treilea, ea are cel mult trei soluții reale (1 p). Prin urmare are exact trei soluții, câte una în fiecare interval indicat (0,5 p).

Itemul 12. (8 p)

a) (3 p) Aducem ecuația la forma $f(x)=0$, cu $f(x)=3^x+x-5$, funcție continuă pe $\mathbb{R}$, ca sumă dintre o funcție exponențială și una polinomială (1 p). Avem (1 p) $$f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=9+2-5=6>0.$$ Cum $f(1)\cdot f(2)=-6<0$, prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare ecuația are cel puțin o soluție în $(1,2)$ (1 p).

b) (3 p) Funcția $x\mapsto 3^x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, baza fiind supraunitară, iar funcția $x\mapsto x$ este strict crescătoare (1,5 p). Suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare, iar scăderea constantei $5$ nu schimbă monotonia, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (1 p). O funcție strict monotonă este injectivă, deci ia valoarea $0$ cel mult o dată; împreună cu punctul a), ecuația are exact o soluție reală (0,5 p).

c) (2 p) Mijlocul intervalului $(1,2)$ este $m=\frac{1+2}{2}=1,5$, iar $$f(1,5)=3^{\frac{3}{2}}+1,5-5=3\sqrt{3}-3,5.$$ Comparăm fără calculator, ridicând la pătrat ambele numere pozitive: ${\left(3\sqrt{3}\right)}^2=27$ și $3,5^2=12,25$, iar $27>12,25$, deci $3\sqrt{3}>3,5$ și prin urmare $f(1,5)>0$ (1 p).

Cum $f(1)<0$ și $f(1,5)>0$, semnele contrare se păstrează pe prima jumătate, deci soluția se află în $(1;1,5)$ (1 p). La fiecare pas lungimea intervalului se înjumătățește, deci după $k$ pași ea este $\frac{2-1}{2^k}$, adică de $2^k$ ori mai mică — precizia crește geometric.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) $f(0)=0+0-2=-2$ (1 p) și $f(1)=1+3-2=2$ (1 p).

b) (3 p) Funcția este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$, în particular pe $[0,1]$ (1 p). Cum $f(0)\cdot f(1)=-4<0$ (1 p), prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare există cel puțin un $c\in (0,1)$ cu $f(c)=0$ (1 p).

c) (3 p) Funcția $x\mapsto x^5$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, fiind o putere impară, iar $x\mapsto 3x$ este strict crescătoare (1,5 p). Suma lor, din care se scade constanta $2$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (1 p). O funcție strict crescătoare este injectivă, deci ia valoarea $0$ cel mult o dată; împreună cu punctul b), ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală, iar aceasta se află în $(0,1)$ (0,5 p).

Observație de barem: la punctul b) concluzia corectă este „cel puțin o soluție"; formularea „exact o soluție" se poate scrie abia după argumentul de monotonie de la punctul c). Cele două cerințe sunt punctate separat tocmai pentru că se demonstrează cu mijloace diferite.