Test: proprietățile determinanților și dezvoltarea după o linie

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Permutări, determinanți și matrice inversabile

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică trecerea de la definiția determinantului la metodele de calcul cu care se lucrează efectiv. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: cele opt proprietăți, demonstrate în lecțiile de proprietăți și folosite apoi peste tot — determinantul transpusei, linia nulă, factorul comun, liniaritatea pe o linie, schimbarea a două linii, liniile egale, liniile proporționale și transformarea care nu schimbă nimic. Reflexul care se cere format este acela de a privi matricea înainte de a calcula: o linie nulă, două linii proporționale sau o linie care este combinație liniară a celorlalte dau răspunsul fără nicio înmulțire. Al doilea: dezvoltarea după o linie sau o coloană, cu minorul ${\Delta }_{ij}$, complementul algebric ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$ și strategia alegerii liniei cu cele mai multe zerouri. Al treilea: determinanții de ordinul al patrulea, calculați prin transformări elementare care fabrică zerouri pe o coloană, până când dezvoltarea are un singur termen; aici se verifică și înțelegerea faptului că regula lui Sarrus nu se extinde la ordinul $4$. Al patrulea: determinantul unui produs și consecințele lui, în special deosebirea dintre exponentul dat de ordinul matricei și cel dat de puterea la care este ridicată.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Fiecare transformare elementară se scrie explicit, cu notația ei; formularea „se fac calculele" nu se acceptă. Se depunctează: uitarea semnului minus după $L_i\leftrightarrow L_j$, scoaterea unui factor comun fără împărțirea liniei la el, scrierea lui $\det (\alpha A)=\alpha \det A$ în locul formulei corecte, folosirea vreunei formule pentru $\det (A+B)$ și aplicarea regulii lui Sarrus la ordinul $4$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe proprietăți și pe dezvoltarea după o linie.
• Formule de reținut: $\det ({}^{t}A)=\det A$ (Proprietatea 1 din lecția 18) — de aici, orice proprietate a liniilor este și o proprietate a coloanelor; o linie nulă anulează determinantul (Proprietatea 2 din lecția 18); un factor comun al unei linii se scoate în fața determinantului (Proprietatea 3 din lecția 18), iar o linie scrisă ca sumă rupe determinantul în doi determinanți, celelalte linii rămânând identice (Proprietatea 4 din lecția 18); schimbarea a două linii îi schimbă semnul (Proprietatea 5 din lecția 19); două linii egale (Proprietatea 6 din lecția 19) sau proporționale (Proprietatea 7 din lecția 19) îl anulează, la fel ca o linie care este combinație liniară a celorlalte; transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$, nu schimbă valoarea determinantului (Proprietatea 8 din lecția 19). Operațiile se notează $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ (cu $\alpha \ne 0$), $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (cu $i\ne j$), iar pe coloane $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$, $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$. Minorul ${\Delta }_{ij}$ se obține tăind linia $i$ și coloana $j$, iar complementul algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$; dezvoltarea după linia $i$ este $$\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij},$$ iar cea după coloana $j$ este $\det A={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$. Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală. Pentru produs și pentru scalari: $$\det (AB)=\det A\cdot \det B,\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k,\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A,$$ unde $n$ este ordinul matricei; în particular $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$ și $\det (A\cdot {}^{t}A)=(\det A{)}^2$. Pentru sumă nu există nicio formulă.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Proprietăți: recunoaștere și aplicare directă

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ și $\det A=4$, atunci $\det (2A)$ este: A. $8$; B. $12$; C. $32$; D. $64$.

b) Complementul algebric ${\delta }_{23}$ se obține din minorul ${\Delta }_{23}$ înmulțindu-l cu: A. $+1$; B. $-1$; C. $2$; D. $3$.

c) Dacă $A,B\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$, $\det A=2$ și $\det B=-3$, atunci $\det (AB)$ este: A. $-1$; B. $-6$; C. $6$; D. $-5$.

Itemul 2 (6 puncte)

Arată, fără a efectua vreun calcul, că fiecare dintre determinanții următori este nul, precizând de fiecare dată proprietatea folosită (câte 1,5 puncte): a) $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 4& 1& 0& 2\\ 0& 5& 0& 1\\ 2& 2& 0& 4\end{array}\right|$; b) $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 6& -3& 12\\ 1& 5& 0\end{array}\right|$; c) $\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 3& 1& -1& 2\\ 2& 2& 2& 2\\ 4& 1& 1& 3\end{array}\right|$; d) $\left|\begin{array}{ccc}3& 5& 3\\ 1& 2& 1\\ 4& 0& 4\end{array}\right|$.

Itemul 3 (6 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{ccc}4& 8& 12\\ 3& 1& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|$. a) Scoate factorul comun al primei linii și scrie egalitatea obținută. (2 p) b) Calculează $D$. (4 p)

Itemul 4 (6 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 5\\ 1& 2& -2\end{array}\right)$. a) Calculează minorii ${\Delta }_{12}$, ${\Delta }_{23}$ și ${\Delta }_{31}$. (3 p) b) Calculează complemenții algebrici ${\delta }_{12}$, ${\delta }_{23}$ și ${\delta }_{31}$. (3 p)

Partea a II-a – Dezvoltarea după o linie și determinanți de ordinul al patrulea

Itemul 5 (7 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 1& 5& 4\\ -1& 0& 6\end{array}\right|$. a) Calculează $D$ dezvoltând după coloana cea mai convenabilă și justifică alegerea. (4 p) b) Verifică rezultatul prin regula lui Sarrus. (3 p)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 3\\ 0& 0& 4& 0\\ 1& 3& 2& -2\\ 5& -1& 0& 1\end{array}\right|$. a) Justifică alegerea liniei a doua pentru dezvoltare și scrie explicit minorul folosit. (2 p) b) Calculează minorul, apoi valoarea lui $D$. (5 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră determinantul $D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 2\\ 2& 3& 1& 0\\ 3& 1& 2& 1\\ 1& 0& 3& 4\end{array}\right|$. a) Luând ca pivot elementul din colțul din stânga sus, scrie transformările care fac zerouri pe prima coloană — fiecare cu notația ei — și tabloul obținut. (3 p) b) Coboară ordinul și calculează valoarea lui $D$. (4 p)

Itemul 8 (7 puncte)

Se consideră $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=-2$ și $\det B=5$. Calculează: a) $\det (AB)$; (2 p) b) $\det \left(A^3\right)$; (2 p) c) $\det (3B)$; (2 p) d) $\det (A\cdot {}^{t}A)$. (1 p)

Itemul 9 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ are loc $\det (A+B)=\det A+\det B$." b) „Dacă $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$, atunci $\det (-A)=\det A$." c) „Transformarea $L_2\leftarrow L_2+3L_1$ nu schimbă valoarea determinantului." d) „Regula lui Sarrus se poate aplica și la ordinul $4$, dacă matricea are multe zerouri."

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează Proprietatea 8 din lecția 19: dacă $i\ne j$, transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu schimbă valoarea determinantului. Precizează ce proprietăți anterioare folosești. (5 p) b) Arată, pe determinantul $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 4& -1\\ 3& 0& 2\end{array}\right|$, ce se întâmplă dacă se ignoră condiția $i\ne j$ și se scrie $L_2\leftarrow L_2+3L_2$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 6& 10\\ 1& 4& 10& m\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A(0)$. (3 p) b) Calculează $\det A(m)$ și determină valoarea lui $m$ pentru care determinantul este nul. (5 p)

Itemul 12 (8 puncte)

a) Arată că nu există nicio matrice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea $A^2=-4I_3$. (4 p) b) Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ cu $AB=O_n$. Arată că cel puțin unul dintre determinanții $\det A$ și $\det B$ este nul, apoi dă un exemplu de matrice nenule $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $AB=O_2$. (4 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$, dezvoltând după prima linie. (2 p) b) Calculați $\det \left(A^2\right)$ și $\det (2A)$. (3 p) c) Calculați $\det (-A)$ și $\det (A\cdot {}^{t}A)$, precizând de fiecare dată formula folosită. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) C. Înmulțirea cu $2$ afectează toate cele trei linii, deci factorul se scoate de trei ori: $\det (2A)=2^3\det A=8\cdot 4=32$. Varianta A este greșeala clasică $\det (\alpha A)=\alpha \det A$. b) B. Semnul poziției este $(-1{)}^{2+3}=(-1{)}^5=-1$, deci ${\delta }_{23}=-{\Delta }_{23}$. Suma $i+j$ fiind impară, minorul și complementul algebric sunt numere opuse. c) B. $\det (AB)=\det A\cdot \det B=2\cdot (-3)=-6$. Formula este valabilă la orice ordin, fără nicio condiție.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p observația, 1 p proprietatea invocată corect). a) Coloana a treia este nulă. Prin Proprietatea 2 din lecția 18, combinată cu $\det ({}^{t}A)=\det A$ (Proprietatea 1), determinantul este $0$: fiecare dintre cei $24$ de termeni conține un element din acea coloană, adică un factor nul. b) Linia a doua este prima linie înmulțită cu $3$: $(6,-3,12)=3\cdot (2,-1,4)$. Prin Proprietatea 7 din lecția 19 (linii proporționale), determinantul este $0$. c) Linia a patra este suma primelor două: $(1,0,2,1)+(3,1,-1,2)=(4,1,1,3)$. Aplicând $L_4\leftarrow L_4-L_1-L_2$, transformări care nu schimbă determinantul (Proprietatea 8 din lecția 19), obținem o linie nulă, deci determinantul este $0$. d) Prima coloană este identică cu a treia. Prin Proprietatea 6 din lecția 19, enunțată pentru linii și transferată la coloane prin Proprietatea 1 din lecția 18, determinantul este $0$.

Itemul 3. (6 p)

a) (2 p) Toate elementele primei linii sunt multipli de $4$, deci, prin Proprietatea 3 din lecția 18, $$\left|\begin{array}{ccc}4& 8& 12\\ 3& 1& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|=4\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|.$$ Atenție: după ce factorul este scris în față, elementele liniei trebuie împărțite la el.

b) (4 p) Calculăm determinantul rămas cu regula lui Sarrus (0,5 p). Se adună: $1\cdot 1\cdot 7=7$; $2\cdot 2\cdot 5=20$; $3\cdot 3\cdot 0=0$; suma este $27$ (1,5 p). Se scad: $3\cdot 1\cdot 5=15$; $1\cdot 2\cdot 0=0$; $2\cdot 3\cdot 7=42$; suma este $57$ (1,5 p). Deci determinantul rămas este $27-57=-30$ și $$D=4\cdot (-30)=-120$$ (0,5 p).

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct. Minorul se obține tăind linia și coloana elementului: $${\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& -2\end{array}\right|=0-5=-5,{\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|=4+1=5,{\Delta }_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& 5\end{array}\right|=-5-12=-17.$$

b) (3 p) — câte 1 punct. Se înmulțește minorul cu semnul poziției: $${\delta }_{12}=(-1{)}^{1+2}{\Delta }_{12}=-(-5)=5,{\delta }_{23}=(-1{)}^{2+3}{\Delta }_{23}=-5,{\delta }_{31}=(-1{)}^{3+1}{\Delta }_{31}=-17.$$ Se observă că ${\delta }_{31}={\Delta }_{31}$, pentru că $3+1$ este par, în timp ce la celelalte două sumele fiind impare, minorul și complementul sunt opuse.

Itemul 5. (7 p)

a) (4 p) Coloana a doua are două zerouri, deci dezvoltarea după ea are un singur termen nenul — cel al elementului $a_{22}=5$ (1 p). Minorul se obține tăind linia $2$ și coloana $2$: $${\Delta }_{22}=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 6\end{array}\right|=18-2=16$$ (1,5 p), iar semnul poziției este $(-1{)}^{2+2}=+1$, deci ${\delta }_{22}=16$ (0,5 p). Prin urmare $$D=5\cdot 16=80$$ (1 p).

b) (3 p) Prin regula lui Sarrus. Se adună: $3\cdot 5\cdot 6=90$; $1\cdot 0\cdot (-2)=0$; $(-1)\cdot 0\cdot 4=0$; suma este $90$ (1 p). Se scad: $(-2)\cdot 5\cdot (-1)=10$; $3\cdot 0\cdot 4=0$; $1\cdot 0\cdot 6=0$; suma este $10$ (1 p). Deci $D=90-10=80$ ✓ (1 p).

Itemul 6. (7 p)

a) (2 p) Linia a doua are trei zerouri, deci dezvoltarea după ea are un singur termen nenul, cel al elementului $a_{23}=4$: $D=a_{23}{\delta }_{23}=4{\delta }_{23}$. Orice altă linie sau coloană ar cere calculul a cel puțin trei minori de ordinul al treilea (1 p). Tăiem linia $2$ și coloana $3$ și obținem minorul (1 p) $${\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 3& -2\\ 5& -1& 1\end{array}\right|.$$

b) (5 p) Îl calculăm cu regula lui Sarrus — permisă aici, pentru că minorul are ordinul $3$ (0,5 p). Se adună: $2\cdot 3\cdot 1=6$; $1\cdot (-1)\cdot 3=-3$; $5\cdot 1\cdot (-2)=-10$; suma este $-7$ (1,5 p). Se scad: $5\cdot 3\cdot 3=45$; $2\cdot (-1)\cdot (-2)=4$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; suma este $50$ (1,5 p). Deci ${\Delta }_{23}=-7-50=-57$ (0,5 p). Semnul poziției este $(-1{)}^{2+3}=-1$, deci ${\delta }_{23}=57$ (0,5 p) și $$D=4\cdot 57=228$$ (0,5 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (3 p) Pivotul este $a_{11}=1$. Facem zerouri pe prima coloană cu trei transformări care, având $i\ne j$, nu schimbă valoarea determinantului (Proprietatea 8 din lecția 19) (1 p): $$L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-3L_1,L_4\leftarrow L_4-L_1.$$ Liniile devin $(0,-1,3,-4)$, $(0,-5,5,-5)$ și $(0,-2,4,2)$, deci tabloul obținut este (2 p) $$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 2\\ 0& -1& 3& -4\\ 0& -5& 5& -5\\ 0& -2& 4& 2\end{array}\right|.$$

b) (4 p) Prima coloană are un singur element nenul, deci dezvoltarea după ea are un singur termen, cu semnul poziției $(1,1)$, care este $+$ (1,5 p): $$D=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}-1& 3& -4\\ -5& 5& -5\\ -2& 4& 2\end{array}\right|.$$ Din linia a doua a minorului scoatem factorul comun $-5$ (1 p): $$\left|\begin{array}{ccc}-1& 3& -4\\ -5& 5& -5\\ -2& 4& 2\end{array}\right|=-5\left|\begin{array}{ccc}-1& 3& -4\\ 1& -1& 1\\ -2& 4& 2\end{array}\right|.$$ Ultimul determinant, cu regula lui Sarrus: se adună $(-1)(-1)\cdot 2=2$, $1\cdot 4\cdot (-4)=-16$ și $(-2)\cdot 3\cdot 1=-6$, cu suma $-20$; se scad $(-2)(-1)(-4)=-8$, $(-1)\cdot 4\cdot 1=-4$ și $1\cdot 3\cdot 2=6$, cu suma $-6$; deci valoarea lui este $-20-(-6)=-14$ (1 p). Prin urmare $$D=-5\cdot (-14)=70$$ (0,5 p).

Itemul 8. (7 p) — ordinul matricelor este $n=3$, iar acest număr apare ca exponent ori de câte ori se înmulțește o matrice cu un scalar. a) (2 p) $\det (AB)=\det A\cdot \det B=(-2)\cdot 5=-10$. b) (2 p) $\det \left(A^3\right)=(\det A{)}^3=(-2{)}^3=-8$. c) (2 p) $\det (3B)=3^3\det B=27\cdot 5=135$. Exponentul este ordinul matricei, nu numărul $3$ din enunț — cele două coincid aici doar din întâmplare. d) (1 p) $\det (A\cdot {}^{t}A)=\det A\cdot \det ({}^{t}A)=(-2)\cdot (-2)=4$, folosind $\det ({}^{t}A)=\det A$. Rezultatul este pătratul lui $\det A$, deci pozitiv sau nul întotdeauna.

Itemul 9. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Nu există nicio formulă pentru determinantul unei sume. Contraexemplul standard: pentru $A=B=I_2$ avem $\det A+\det B=2$, dar $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, cu $\det (A+B)=4$. Descompunerea se face doar pe o singură linie, celelalte rămânând identice. b) A. $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$, iar la ordinul $4$ avem $(-1{)}^4=1$, deci $\det (-A)=\det A$. (La ordin impar concluzia ar fi opusă.) c) A. Este exact transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i=2$, $j=1$ și $\alpha =3$, deci cu $i\ne j$: prin Proprietatea 8 din lecția 19, valoarea determinantului se păstrează. d) F. Regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $3$, indiferent câte zerouri are matricea: la ordinul $4$ ar produce $8$ termeni în locul celor $24$ ceruți de definiție. Zerourile scurtează calculul, dar prin dezvoltare după o linie sau prin transformări elementare, nu prin extinderea unei reguli care nu se extinde.

Itemul 10. (8 p)

a) (5 p) Fie $A$ matricea inițială și $A^{\prime }$ matricea obținută prin $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$. Linia $i$ a lui $A^{\prime }$ este scrisă ca sumă de două linii: linia $i$ a lui $A$ și linia $j$ a lui $A$ înmulțită cu $\alpha$; toate celelalte linii sunt neschimbate (1,5 p). Aplicăm liniaritatea pe linia $i$ (Proprietatea 4 din lecția 18): determinantul lui $A^{\prime }$ se rupe în suma a doi determinanți (1,5 p). Primul are pe linia $i$ chiar linia $i$ a lui $A$, iar restul liniilor identice, deci este exact $\det A$ (0,5 p). Al doilea are pe linia $i$ exact $\alpha$ înmulțit cu linia $j$, iar pe linia $j$ (care există și este neschimbată, tocmai pentru că $i\ne j$) linia $j$ însăși: cele două linii sunt proporționale, deci acest determinant este $0$, prin Proprietatea 7 din lecția 19 (1 p). Prin urmare $$\det A^{\prime }=\det A+0=\det A.■$$ (0,5 p)

b) (3 p) Condiția $i\ne j$ este esențială, pentru că demonstrația se sprijină pe existența unei alte linii, proporțională cu cea adăugată. Scris cu $i=j$, „$L_2\leftarrow L_2+3L_2$" înseamnă de fapt $L_2\leftarrow 4L_2$, adică înmulțirea liniei cu $4$ (1,5 p). Pe determinantul dat, valoarea inițială este $$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 4& -1\\ 3& 0& 2\end{array}\right|=16+0-3-(36+0+2)=13-38=-25,$$ iar după operație linia a doua devine $(4,16,-4)$, iar determinantul devine $4\cdot (-25)=-100$ (1 p) — deci s-a schimbat, spre deosebire de cazul $i\ne j$ (0,5 p).

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) Pivotul $a_{11}=1$ este gata făcut; aplicăm $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$, transformări care nu schimbă valoarea (1 p). Pentru $m=0$ liniile devin $(0,1,2,3)$, $(0,2,5,9)$ și $(0,3,9,-1)$, iar dezvoltarea după prima coloană dă $$\det A(0)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 9\\ 3& 9& -1\end{array}\right|=(-5+54+54)-(45+81-4)=103-122=-19$$ (2 p).

b) (5 p) Lucrăm direct cu $m$ oarecare, cu aceleași trei transformări (1 p); liniile devin $(0,1,2,3)$, $(0,2,5,9)$ și $(0,3,9,m-1)$, deci $$\det A(m)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 9\\ 3& 9& m-1\end{array}\right|$$ (1,5 p). Cu regula lui Sarrus, se adună $1\cdot 5\cdot (m-1)=5m-5$, $2\cdot 9\cdot 3=54$ și $3\cdot 2\cdot 9=54$, cu suma $5m+103$; se scad $3\cdot 5\cdot 3=45$, $1\cdot 9\cdot 9=81$ și $2\cdot 2\cdot (m-1)=4m-4$, cu suma $4m+122$ (1,5 p). Prin urmare $$\det A(m)=5m+103-4m-122=m-19$$ (0,5 p), iar determinantul se anulează exact pentru $m=19$ (0,5 p). Control: pentru $m=0$ formula dă $-19$, exact valoarea de la punctul a) ✓

Itemul 12. (8 p)

a) (4 p) Presupunem că ar exista o astfel de matrice și aplicăm determinantul în ambii membri (1 p): $$\det \left(A^2\right)=\det (-4I_3)⟹(\det A{)}^2=(-4{)}^3\det I_3=-64$$ (2 p), unde am folosit $\det (A^k)=(\det A{)}^k$ în membrul stâng și $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ cu $n=3$ în membrul drept. Cum $A$ are elemente reale, $\det A$ este un număr real, iar pătratul unui număr real nu poate fi negativ — contradicție (0,5 p). Prin urmare o astfel de matrice nu există (0,5 p). $■$

b) (4 p) Aplicăm determinantul în egalitatea $AB=O_n$: $\det (AB)=\det (O_n)=0$ (1 p), iar prin formula produsului $\det A\cdot \det B=0$ (1 p). Un produs de numere este nul doar dacă unul dintre factori este nul, deci $\det A=0$ sau $\det B=0$ (0,5 p). Un exemplu de matrice nenule cu produsul nul (1,5 p): $$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),AB=\left(\begin{array}{cc}1-1& 1-1\\ 1-1& 1-1\end{array}\right)=O_2.$$ Aici $\det A=0$ și $\det B=0$, în acord cu concluzia de mai sus; exemplul arată totodată că din $AB=O_n$ nu rezultă $A=O_n$ sau $B=O_n$.

Itemul 13. (8 p)

a) (2 p) Dezvoltăm după prima linie, cu minorii ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right|=1$, ${\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right|=-6$ și ${\Delta }_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=-2$ (1 p). Semnele poziției dau ${\delta }_{11}=1$, ${\delta }_{12}=6$, ${\delta }_{13}=-2$, deci $$\det A=1\cdot 1+2\cdot 6+0\cdot (-2)=13$$ (1 p).

b) (3 p) $\det \left(A^2\right)=(\det A{)}^2=13^2=169$ (1,5 p). Ordinul matricei fiind $3$, avem $\det (2A)=2^3\det A=8\cdot 13=104$ (1,5 p) — nu $2\cdot 13$: scalarul se scoate din fiecare dintre cele trei linii.

c) (3 p) Folosind $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ cu $\alpha =-1$ și $n=3$: $$\det (-A)=(-1{)}^3\det A=-13$$ (1,5 p). Folosind formula produsului și $\det ({}^{t}A)=\det A$: $$\det (A\cdot {}^{t}A)=\det A\cdot \det ({}^{t}A)=13\cdot 13=169$$ (1,5 p).