Test: proprietățile legilor de compoziție

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Legi de compoziție

Pentru părinți și profesori

Acest test acoperă miezul unității: legile date prin formule, cele patru proprietăți fundamentale și primele două structuri algebrice ale anului. Sunt evaluate cinci lucruri. Primul: forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, cu criteriul de recunoaștere, din care se citesc apoi aproape toate celelalte răspunsuri. Al doilea: asociativitatea — demonstrată cu litere, niciodată pe numere alese convenabil, și infirmată cu un singur triplet complet calculat. Al treilea: comutativitatea, cu criteriul simetriei formulei și cu citirea ei ca simetrie a tablei față de diagonala principală. Al patrulea: elementul neutru (determinat din ecuația $x\ast e=x$, cu cele două verificări obligatorii — să nu depindă de $x$ și să aparțină mulțimii) și elementele simetrizabile, cu formula simetricului și cu numirea explicită a elementului exclus. Al cincilea: încadrarea unei structuri în ierarhia semigrup – monoid și mulțimea $U(M)$ a elementelor simetrizabile. Testul cere și proprietățile pe mulțimi care nu sunt de numere: mulțimea părților unei mulțimi cu diferența simetrică și o familie de matrice de ordinul al doilea.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu justificare se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Se depunctează: demonstrațiile de asociativitate făcute pe exemple numerice; contraexemplele fără ambele calcule scrise; elementul neutru determinat fără verificarea apartenenței la mulțime; simetricul scris fără precizarea valorilor pentru care formula are sens; notarea simetricului cu $x^{-1}$ la o lege oarecare, în locul notației corecte $x^{\prime }$; folosirea regulii $(x\ast y{)}^{\prime }=x^{\prime }\ast y^{\prime }$ în locul celei corecte, $(x\ast y{)}^{\prime }=y^{\prime }\ast x^{\prime }$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe forma factorizată și pe rețeta în trei pași a elementului neutru.
• Formule de reținut: legea $x\ast y=xy+bx+by+d$ se scrie sub forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ exact atunci când $a=-b$ și $d=b^2-b$; în acest caz legea este asociativă, este comutativă, are elementul neutru $$e=a+1,\text{iar simetricul lui }x\text{ este }{x}^{\prime }=a+\frac{1}{x-a},x\ne a.$$ Compunerea repetată dă $\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{x\ast x\ast \cdots \ast x}}=(x-a{)}^n+a$, iar $x_1\ast x_2\ast \cdots \ast x_n=(x_1-a)(x_2-a)\cdots (x_n-a)+a$. Un semigrup este o mulțime nevidă cu o lege asociativă; un monoid este un semigrup cu element neutru; mulțimea elementelor simetrizabile ale monoidului $(M,\ast )$ se notează $U(M,\ast )$, conține întotdeauna pe $e$ și este parte stabilă. Într-un monoid, simetricul este unic, $(x^{\prime }{)}^{\prime }=x$ și $(x\ast y{)}^{\prime }=y^{\prime }\ast x^{\prime }$, cu ordinea inversată.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Recunoașterea proprietăților

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Forma factorizată a legii $x\ast y=xy+7x+7y+42$ este: A. $(x+7)(y+7)+7$; B. $(x+7)(y+7)-7$; C. $(x-7)(y-7)+7$; D. $(x+7)(y+7)$.

b) Elementul neutru al legii $x\ast y=x+y-9$, definită pe $\mathbb{R}$, este: A. $-9$; B. $0$; C. $9$; D. $18$.

c) Într-un monoid $(M,\ast )$, dacă $x$ și $y$ sunt simetrizabile, atunci simetricul lui $x\ast y$ este: A. $x^{\prime }\ast y^{\prime }$; B. $y^{\prime }\ast x^{\prime }$; C. $x\ast y$; D. $e$.

Itemul 2 (6 puncte)

Adu la forma $(x-a)(y-a)+a$ fiecare dintre legile de mai jos, dacă acest lucru este posibil; când nu este, arată care condiție nu se verifică (câte 2 puncte): a) $x\ast y=xy-10x-10y+110$; b) $x\ast y=xy+7x+7y+42$; c) $x\ast y=xy+2x+2y+5$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare lege este comutativă pe $\mathbb{R}$ și justifică (câte 2 puncte): a) $x\ast y=xy+7x+7y+42$; b) $x\ast y=3x-2y$; c) $x\ast y=xy(x+y)$.

Itemul 4 (6 puncte)

Determină elementul neutru al fiecărei legi, dacă există (câte 2 puncte): a) $x\ast y=x+y+9$, pe $\mathbb{R}$; b) $x\ast y=5xy$, pe $\mathbb{Q}$, apoi pe $\mathbb{Z}$; c) $x\ast y=xy+7x+7y+42$, pe $\mathbb{R}$.

Itemul 5 (6 puncte)

Pe mulțimea $M=\{u,a,b,c\}$ se consideră legea de compoziție dată de tabla:

Răspunde, precizând de fiecare dată unde ai citit răspunsul (câte 2 puncte): a) Este legea $\ast$ comutativă? b) Care este elementul neutru? c) Care sunt elementele simetrizabile și care este simetricul fiecăruia?

Partea a II-a – Demonstrații și structuri

Itemul 6 (8 puncte)

a) Demonstrează că legea $x\ast y=xy+7x+7y+42$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă, folosind forma factorizată. (5 p) b) Arată, cu un contraexemplu complet, că legea $x\ast y=3x-2y$, definită pe $\mathbb{R}$, nu este asociativă. (3 p)

Itemul 7 (8 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy+7x+7y+42$. a) Determină mulțimea elementelor simetrizabile și formula simetricului lui $x$. (5 p) b) Calculează simetricul lui $-5$ și verifică rezultatul. (3 p)

Itemul 8 (8 puncte)

Fie $M=\{1,2,3,4,5,6\}$, iar $A=\{2,3,6\}$ și $B=\{1,3,4\}$ două submulțimi ale lui $M$. Pe mulțimea părților lui $M$ se consideră diferența simetrică $△$. a) Calculează $A△B$ și numărul elementelor mulțimii $\mathcal{P}(M)$. (2 p) b) Arată că $(\mathcal{P}(M),△)$ este monoid comutativ și precizează elementul neutru. (3 p) c) Determină $U(\mathcal{P}(M),△)$ și rezolvă ecuația $X△A=B$. (3 p)

Itemul 9 (8 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se consideră aceeași lege $x\ast y=xy+7x+7y+42$. a) Demonstrează prin inducție că, notând cu $x^{\ast n}$ compunerea lui $x$ cu el însuși de $n$ ori, are loc $x^{\ast n}=(x+7{)}^n-7$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (4 p) b) Calculează $(-5{)}^{\ast 3}$. (2 p) c) Calculează $(-6)\ast (-5)\ast (-8)\ast (-7)$. (2 p)

Partea a III-a – Sinteză și item de tip examen

Itemul 10 (9 puncte)

Fie $M(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x\\ x& x\end{array}\right)$, cu $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, și mulțimea $$G=\left\{M(x)|x\in {\mathbb{R}}^{\ast }\right\}.$$ a) Arată că $M(x)\cdot M(y)=M(2xy)$ și că $G$ este parte stabilă a lui ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ în raport cu înmulțirea matricelor. (3 p) b) Arată că $(G,\cdot )$ este monoid comutativ și determină elementul neutru. (3 p) c) Determină $U(G,\cdot )$ și simetricul matricei $M(x)$, apoi calculează $(M(1){)}^3$. (3 p)

Itemul 11 (9 puncte)

Pentru fiecare structură de mai jos, precizează dacă este semigrup, monoid sau niciuna dintre ele, cu justificare (câte 3 puncte): a) $({\mathbb{N}}^{\ast },\cdot )$; b) $(\mathbb{Z},\ast )$, unde $x\ast y=3x-2y$; c) $(3\mathbb{Z},\cdot )$, unde $3\mathbb{Z}=\{3k\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Itemul 12 (10 puncte)

(Item de tip Bacalaureat M1, Subiectul al II-lea.) Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-10x-10y+110$. a) Arătați că $x\ast y=(x-10)(y-10)+10$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ și deduceți că legea $\ast$ este asociativă și comutativă. (3 p) b) Determinați elementul neutru al legii $\ast$ și arătați că intervalul $(10,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$, care conține elementul neutru. (3 p) c) Determinați mulțimea elementelor simetrizabile din $\mathbb{R}$ și simetricul unui element $x$, apoi calculați $9\ast 10\ast 11\ast 12$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p)

a) B. (2 p) Coeficientul lui $x$ este $b=7$, deci $a=-b=-7$, iar $(x+7)(y+7)-7=xy+7x+7y+49-7=xy+7x+7y+42$.

b) C. (2 p) Din $x+e-9=x$ rezultă $e=9$; verificare: $9\ast x=9+x-9=x$.

c) B. (2 p) Regula corectă este $(x\ast y{)}^{\prime }=y^{\prime }\ast x^{\prime }$, cu ordinea inversată; varianta A este adevărată numai când $x$ și $y$ comută.

Itemul 2. (6 p) — câte 2 puncte.

a) $b=-10$, deci $a=10$; criteriul cere $d=b^2-b=100+10=110$, iar constanta este chiar $110$ ✓ (1 p). Prin urmare $x\ast y=(x-10)(y-10)+10$ (1 p).

b) $b=7$, deci $a=-7$; criteriul cere $d=49-7=42$, iar constanta este $42$ ✓ (1 p). Prin urmare $x\ast y=(x+7)(y+7)-7$ (1 p).

c) $b=2$, deci $a=-2$; criteriul cere $d=4-2=2$, dar constanta legii este $5\ne 2$, deci condiția $d=b^2-b$ nu este îndeplinită și legea nu are forma cerută (1,5 p). Se poate scrie doar $x\ast y=(x+2)(y+2)+1$ (0,5 p).

Itemul 3. (6 p) — câte 2 puncte (0,5 p verdictul, 1,5 p justificarea).

a) Da (0,5 p). Formula este simetrică în $x$ și $y$, pentru că $xy=yx$ și $7x+7y=7y+7x$; deci $x\ast y=y\ast x$ pentru orice numere reale (1,5 p).

b) Nu (0,5 p). Contraexemplu: $1\ast 0=3\cdot 1-2\cdot 0=3$, iar $0\ast 1=3\cdot 0-2\cdot 1=-2$; cum $3\ne -2$, legea nu este comutativă (1,5 p).

c) Da (0,5 p). Schimbând literele obținem $y\ast x=yx(y+x)=xy(x+y)=x\ast y$, folosind comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale (1,5 p).

Itemul 4. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Din $x+e+9=x$ rezultă $e=-9$, soluție care nu depinde de $x$ și este număr real (1,5 p). Verificare: $(-9)\ast x=-9+x+9=x$ ✓ (0,5 p).

b) Din $5xe=x$ pentru orice $x$ obținem $x(5e-1)=0$, deci $e=\frac{1}{5}$ (1 p). Pe $\mathbb{Q}$: $\frac{1}{5}$ este număr rațional, deci elementul neutru există și este $e=\frac{1}{5}$ (0,5 p). Pe $\mathbb{Z}$: singurul candidat, $\frac{1}{5}$, nu este număr întreg, deci legea nu are element neutru (0,5 p).

c) Cu forma factorizată $x\ast y=(x+7)(y+7)-7$, ecuația $x\ast e=x$ devine $(x+7)(e+7)=x+7$, de unde, pentru $x\ne -7$, $e+7=1$, adică $e=-6$ (1,5 p). Cazul $x=-7$ se verifică separat: $(-7)\ast (-6)=0\cdot 1-7=-7$ ✓. Legea fiind comutativă, și $(-6)\ast x=x$ (0,5 p).

Itemul 5. (6 p) — câte 2 puncte.

a) Da, legea este comutativă (0,5 p): perechile de căsuțe oglindite față de diagonala principală coincid — $a\ast b=c=b\ast a$, $a\ast c=b=c\ast a$, $b\ast c=b=c\ast b$ (1,5 p).

b) Elementul neutru este $e=u$ (0,5 p): linia lui $u$ este $u,a,b,c$, adică antetul de sus, iar coloana lui $u$ este $u,a,b,c$, adică antetul din stânga (1,5 p).

c) Căutăm $u$ în interiorul tablei: apare pe linia lui $u$ (coloana lui $u$) și pe linia lui $a$ (coloana lui $a$); pe liniile lui $b$ și $c$ nu apare (1 p). Prin urmare elementele simetrizabile sunt $u$ și $a$, cu $u^{\prime }=u$ și $a^{\prime }=a$, iar $b$ și $c$ nu sunt simetrizabile (1 p).

Itemul 6. (8 p)

a) (5 p) Scriem legea factorizat: $x\ast y=(x+7)(y+7)-7$, deci $x\ast y+7=(x+7)(y+7)$ (1 p). Calculăm membrul stâng al asociativității: $$(x\ast y)\ast z+7=((x\ast y)+7)(z+7)=(x+7)(y+7)(z+7)$$ (1,5 p). Calculăm membrul drept: $$x\ast (y\ast z)+7=(x+7)((y\ast z)+7)=(x+7)(y+7)(z+7)$$ (1,5 p). Cele două expresii coincid pentru orice $x,y,z\in \mathbb{R}$, deci $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)=(x+7)(y+7)(z+7)-7$ și legea este asociativă (1 p).

b) (3 p) Alegem tripletul $x=1$, $y=0$, $z=0$ (0,5 p). Atunci $1\ast 0=3$, deci $(1\ast 0)\ast 0=3\ast 0=9$ (1 p); pe de altă parte $0\ast 0=0$, deci $1\ast (0\ast 0)=1\ast 0=3$ (1 p). Cum $9\ne 3$, legea nu este asociativă (0,5 p).

Itemul 7. (8 p)

a) (5 p) Elementul neutru al legii este $e=-6$ (itemul 4c) (0,5 p). Ecuația simetricului, $x\ast x^{\prime }=e$, devine $$(x+7)(x^{\prime }+7)-7=-6⟺(x+7)(x^{\prime }+7)=1$$ (1,5 p). Pentru $x=-7$ egalitatea devine $0=1$, imposibil, deci $-7$ nu este simetrizabil (1 p). Pentru $x\ne -7$ obținem $$x^{\prime }=\frac{1}{x+7}-7$$ (1,5 p), număr real, deci mulțimea elementelor simetrizabile este $U(\mathbb{R},\ast )=\mathbb{R}\setminus \{-7\}$ (0,5 p).

b) (3 p) Pentru $x=-5$ avem $x+7=2$, deci $x^{\prime }=\frac{1}{2}-7=-\frac{13}{2}$ (2 p). Verificare: $(-5)\ast \left(-\frac{13}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-7=1-7=-6=e$ ✓ (1 p)

Itemul 8. (8 p)

a) (2 p) Elementul $3$ aparține ambelor mulțimi, deci nu intră; rămân $2$, $6$ (numai în $A$) și $1$, $4$ (numai în $B$), adică $A△B=\{1,2,4,6\}$ (1 p). Cum $M$ are $6$ elemente, $\mathrm{card}\mathcal{P}(M)=2^6=64$ (1 p).

b) (3 p) Diferența simetrică este lege de compoziție pe $\mathcal{P}(M)$, pentru că $X△Y\subseteq X\cup Y\subseteq M$ (0,5 p). Ea este asociativă: trecând la funcții caracteristice, $△$ devine adunare modulo $2$, care este asociativă (1 p). Este comutativă, pentru că un element aparține lui $X△Y$ exact când aparține uneia singure dintre cele două mulțimi, iar condiția nu deosebește între ele (0,5 p). Elementul neutru este $\varnothing$, deoarece $X△\varnothing =X$ pentru orice $X$ (1 p).

c) (3 p) Pentru orice $X\in \mathcal{P}(M)$ avem $X△X=\varnothing$, deci fiecare element este simetrizabil și este propriul său simetric; prin urmare $U(\mathcal{P}(M),△)=\mathcal{P}(M)$ (1,5 p). Compunând ambii membri ai ecuației cu $A$ obținem $(X△A)△A=B△A$, adică $X△(A△A)=B△A$, deci $X=A△B=\{1,2,4,6\}$ (1 p). Verificare: $\{1,2,4,6\}△\{2,3,6\}=\{1,3,4\}=B$ ✓ (0,5 p)

Itemul 9. (8 p)

a) (4 p) Folosim forma factorizată $x\ast y=(x+7)(y+7)-7$. Pentru $n=1$ egalitatea devine $x=(x+7{)}^1-7$, adevărată (1 p). Presupunem $x^{\ast n}=(x+7{)}^n-7$ și compunem încă o dată cu $x$ (0,5 p): $$x^{\ast (n+1)}=x^{\ast n}\ast x=(x^{\ast n}+7)(x+7)-7=(x+7{)}^n(x+7)-7=(x+7{)}^{n+1}-7$$ (2 p). Conform principiului inducției matematice, formula este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p).

b) (2 p) $(-5{)}^{\ast 3}=(-5+7{)}^3-7=2^3-7=1$ (1,5 p). Verificare pas cu pas: $(-5)\ast (-5)=4-7=-3$, apoi $(-3)\ast (-5)=4\cdot 2-7=1$ ✓ (0,5 p)

c) (2 p) Legea fiind asociativă, compunerea se scrie fără paranteze și se calculează cu formula produsului (0,5 p): $$(-6)\ast (-5)\ast (-8)\ast (-7)=(1)\cdot (2)\cdot (-1)\cdot (0)-7=-7.$$ Factorul nul, adus de elementul $-7$, face produsul zero (1,5 p).

Itemul 10. (9 p)

a) (3 p) Înmulțim două matrice din $G$, cu parametri diferiți: $$M(x)\cdot M(y)=\left(\begin{array}{cc}x& x\\ x& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}y& y\\ y& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xy+xy& xy+xy\\ xy+xy& xy+xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2xy& 2xy\\ 2xy& 2xy\end{array}\right)=M(2xy)$$ (2 p). Cum $x,y\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, rezultă $2xy\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, deci $M(2xy)\in G$ și $G$ este parte stabilă (1 p).

b) (3 p) Asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor, care este asociativă pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$; nu se reverifică (1 p). Comutativitatea rezultă din punctul a): $M(x)M(y)=M(2xy)=M(2yx)=M(y)M(x)$ (0,5 p). Elementul neutru: din $M(x)\cdot M(t)=M(x)$ obținem $2xt=x$ pentru orice $x\ne 0$, deci $t=\frac{1}{2}$ și $$E=M\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\in G$$ (1,5 p). Prin urmare $(G,\cdot )$ este monoid comutativ.

c) (3 p) Din $M(x)\cdot M(x^{\prime })=M\left(\frac{1}{2}\right)$ obținem $2x{x}^{\prime }=\frac{1}{2}$, deci $x^{\prime }=\frac{1}{4x}$, număr real nenul pentru orice $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ (1,5 p). Prin urmare simetricul lui $M(x)$ este $M\left(\frac{1}{4x}\right)$, iar $U(G,\cdot )=G$: toate elementele sunt simetrizabile (0,5 p). În sfârșit, $(M(1){)}^2=M(2)$ și $(M(1){)}^3=M(2)\cdot M(1)=M(4)$ (1 p).

Itemul 11. (9 p) — câte 3 puncte (1 p încadrarea, 2 p justificarea).

a) Monoid (chiar monoid comutativ) (1 p). Produsul a două numere naturale nenule este natural nenul, deci ${\mathbb{N}}^{\ast }$ este parte stabilă; înmulțirea numerelor este asociativă și comutativă, iar $1\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ satisface $1\cdot x=x\cdot 1=x$ pentru orice $x$, deci $e=1$ (2 p).

b) Niciuna — nu este nici măcar semigrup (1 p). Legea este bine definită pe $\mathbb{Z}$ (expresia $3x-2y$ este un număr întreg pentru orice $x,y$ întregi), dar nu este asociativă: $(1\ast 0)\ast 0=3\ast 0=9$, în timp ce $1\ast (0\ast 0)=1\ast 0=3$, iar $9\ne 3$ (2 p).

c) Semigrup care nu este monoid (1 p). Produsul $(3m)(3n)=3(3mn)$ este multiplu de $3$, deci $3\mathbb{Z}$ este parte stabilă, iar înmulțirea este asociativă: avem semigrup (1 p). Dacă ar exista un element neutru $t\in 3\mathbb{Z}$, din $t\cdot 3=3$ ar rezulta $t=1$, care nu este multiplu de $3$; deci nu există element neutru (1 p).

Itemul 12. (10 p)

a) (3 p) Desfacem paranteza din membrul drept (0,5 p): $$(x-10)(y-10)+10=xy-10x-10y+100+10=xy-10x-10y+110=x\ast y.$$ (1 p) Din $x\ast y-10=(x-10)(y-10)$ rezultă că ambii membri ai asociativității sunt egali cu $(x-10)(y-10)(z-10)+10$, deci legea este asociativă (1 p); iar produsul $(x-10)(y-10)$ nu se schimbă la inversarea factorilor, deci legea este comutativă (0,5 p).

b) (3 p) Din $x\ast e=x$ obținem $(x-10)(e-10)=x-10$, de unde, pentru $x\ne 10$, $e-10=1$, adică $e=11$; cazul $x=10$ se verifică: $10\ast 11=0\cdot 1+10=10$ ✓ (1,5 p). Fie acum $x,y>10$; atunci $x-10>0$ și $y-10>0$, deci $(x-10)(y-10)>0$ și $x\ast y>10$, adică intervalul este parte stabilă (1 p). Cum $11>10$, elementul neutru aparține intervalului (0,5 p).

c) (4 p) Ecuația simetricului este $(x-10)(x^{\prime }-10)+10=11$, adică $(x-10)(x^{\prime }-10)=1$ (1 p). Pentru $x=10$ ea devine $0=1$, imposibil, deci $10$ nu este simetrizabil; pentru $x\ne 10$ obținem $$x^{\prime }=10+\frac{1}{x-10},$$ deci $U(\mathbb{R},\ast )=\mathbb{R}\setminus \{10\}$ (1,5 p). Pentru compunerea cerută folosim asociativitatea și formula produsului (0,5 p): $$9\ast 10\ast 11\ast 12=(9-10)(10-10)(11-10)(12-10)+10=(-1)\cdot 0\cdot 1\cdot 2+10=10.$$ (1 p) Verificare pas cu pas: $9\ast 10=10$, apoi $10\ast 11=10$, apoi $10\ast 12=10$ ✓