Test: puterea unei matrice — inducție și binomul lui Newton

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice și operații cu matrice

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primele două dintre cele patru metode elementare de ridicare la putere a unei matrice, în ordinea în care le predă manualul: inducția matematică și binomul lui Newton. Calculul direct nu este o metodă, ci procedeul de bază din care pornesc amândouă — de aceea prima parte a testului îl verifică separat. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția puterii ($A^1=A$, $A^{k+1}=A^k\cdot A$, cu convenția $A^0=I_n$) și faptul că numai matricele pătratice se pot ridica la putere; împreună cu regulile care se păstrează de la numere ($A^m{A}^n=A^{m+n}$) și cu cele care se pierd din cauza necomutativității. Al doilea: recunoașterea familiilor speciale — matrice diagonale, idempotente, nilpotente, involutive și cele cu $A^2=\alpha A$ — la care puterile se citesc imediat, fără nicio metodă. Al treilea: inducția matematică, adică lanțul „calculez primele puteri → scriu formula ca presupunere → verific baza → fac pasul inductiv", cu obligația de a arăta unde se folosește ipoteza. Al patrulea: binomul lui Newton, cu ipoteza lui obligatorie ($AB=BA$), cu descompunerea $A=\alpha I_p+N$ și cu trunchierea sumei atunci când $N$ este nilpotentă.

Testul se dă după lecția a zecea a unității. Metoda șirurilor recurente și matricea de rotație nu se cer aici — ele vin la lecțiile 11 și 12 — și nici determinanții, care se studiază abia din lecția 15.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Orice formulă pentru $A^n$ se consideră completă doar dacă este demonstrată și apoi verificată pe $n=1$ și $n=2$, prin comparație cu $A$ și cu $A^2$ calculate direct. Se depunctează: prezentarea unei formule ghicite din primele puteri ca și cum ar fi demonstrată, lipsa verificării bazei, nemarcarea rândului în care se folosește ipoteza de inducție, aplicarea binomului fără a arăta că cele două matrice comută, pierderea puterilor lui $\alpha$ din ${\alpha }^{n-k}$ și oprirea prea devreme la puterile lui $N$.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe redactarea completă a inducției și pe descompunerea $A=\alpha I_p+N$.
• Formule de reținut: definiția puterii — pentru $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $A^1=A$, $A^{k+1}=A^k\cdot A$ și $A^0=I_n$; scrierea $A^2$ nu are sens pentru o matrice dreptunghiulară. Reguli: $A^m\cdot A^n=A^{m+n}$ și $(A^m{)}^n=A^{mn}$ rămân valabile; în schimb $$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2,(AB{)}^n=A^n{B}^n\text{ doar daca˘ }AB=BA.$$ Familii speciale: matricea diagonală se ridică la putere element cu element pe diagonală; $A^2=A$ (idempotentă) dă $A^n=A$; $A^2=\alpha A$ dă $A^n={\alpha }^{n-1}A$; $A^q=O_n$ (nilpotentă de indice $q$) dă $A^n=O_n$ pentru orice $n\ge q$; $A^2=I_n$ (involutivă) dă $A^n=I_n$ pentru $n$ par și $A^n=A$ pentru $n$ impar. Inducția: se verifică $P(1)$, apoi se arată că $P(k)\Rightarrow P(k+1)$, folosind $A^{k+1}=A^k\cdot A$ și înlocuind $A^k$ cu formula presupusă. Binomul lui Newton pentru matrice: dacă $AB=BA$, atunci $$(A+B{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{A}^{n-k}{B}^k;$$ cum $\alpha I_p$ comută cu orice matrice, descompunerea $A=\alpha I_p+N$ cu $N=A-\alpha I_p$ este mereu permisă, iar dacă $N^q=O_p$ suma se trunchiază: $$A^n=\sum _{k=0}^{q-1}{C}_n^k{\alpha }^{n-k}{N}^k={\alpha }^n{I}_p+n{\alpha }^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}{\alpha }^{n-2}{N}^2+\dots$$

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Calcul direct, reguli și familii speciale

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru $D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$, matricea $D^4$ este: A. $\left(\begin{array}{cc}12& 0\\ 0& -8\end{array}\right)$; B. $\left(\begin{array}{cc}81& 0\\ 0& 16\end{array}\right)$; C. $\left(\begin{array}{cc}81& 0\\ 0& -16\end{array}\right)$; D. $\left(\begin{array}{cc}81& 0\\ 0& -8\end{array}\right)$.

b) Dacă $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ verifică $A^2=5A$, atunci $A^3$ este: A. $5A$; B. $10A$; C. $25A$; D. $125A$.

c) Egalitatea $(AB{)}^2=A^2{B}^2$, cu $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, este: A. adevărată pentru orice $A$ și $B$; B. adevărată exact atunci când $AB=BA$; C. adevărată numai dacă $A=B$; D. falsă întotdeauna.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, folosind numai definiția puterii (câte 1,5 puncte): a) $A^2$ și $A^3$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& 1\end{array}\right)$; b) $D^5$, pentru $D=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$; c) $N^2$ și $N^6$, pentru $N=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$, precizând ce familie de matrice recunoști; d) $A^2$, apoi $A^{2026}$ și $A^{2027}$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$, puterea $A^2$ se obține înmulțind matricea $A$ cu ea însăși." b) „Dacă $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ și $A^2=I_2$, atunci $A=I_2$ sau $A=-I_2$." c) „Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ are loc egalitatea $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$." d) „Dacă $N\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ verifică $N^3=O_3$, atunci $N^{10}=O_3$."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ -2& 2\end{array}\right)$. Arată că $A^2=5A$ și calculează $A^4$, folosind această relație (nu prin înmulțiri repetate). (3 p) b) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculează $(A+B{)}^2$ și $A^2+2AB+B^2$, compară rezultatele și scrie formula corectă pentru $(A+B{)}^2$. (3 p)

Partea a II-a – Ridicarea la putere prin inducție matematică

Itemul 5 (8 puncte)

Pentru fiecare matrice, calculează primele puteri, scrie formula lui $A^n$ ca presupunere și demonstreaz-o prin inducție (câte 2 puncte): a) $A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$; b) $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$; c) $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right)$; d) $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$. (Indicație: pe poziția $(2,1)$ apar valorile $3$, $9$, $21$.)

Itemul 6 (7 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$. a) (Redactare completă cerută.) Demonstrează prin inducție că $A^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 5^n-1\\ 0& 1\end{array}\right)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (4 p) b) Calculează $I_2+A+A^2+A^3$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$. a) Calculează $A^2$, formulează o presupunere pentru $A^n$ și demonstreaz-o prin inducție. (4 p) b) Determină $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care elementul de pe linia a treia, coloana a doua a matricei $A^n$ este egal cu $45$ și scrie, pentru acest $n$, elementul din colțul din stânga-sus. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Demonstrează prin inducție că, dacă $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ verifică $A^2=\alpha A$ pentru un număr $\alpha$, atunci $A^n={\alpha }^{n-1}A$, oricare ar fi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Aplică rezultatul pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right)$ și calculează $A^4$. (3 p) b) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$. Arată că $A^2=I_2$ și determină $A^{2026}$ și $A^{2027}$. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$. Arată prin calcul că $(AB{)}^2\ne A^2{B}^2$ și explică, în două rânduri, de unde vine diferența. (3 p) b) Dă un exemplu de două matrice $P,Q\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, ambele diferite de $O_2$ și de $I_2$, care comută, și verifică pe ele egalitatea $(PQ{)}^2=P^2{Q}^2$. (3 p)

Partea a III-a – Binomul lui Newton, demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

Determină $A^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, folosind binomul lui Newton; scrie de fiecare dată descompunerea $A=\alpha I_p+N$ și puterile lui $N$ până la matricea nulă (câte 2 puncte): a) $A=\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 0& 1\end{array}\right)$; b) $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$; c) $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 4& -1\end{array}\right)$; d) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Itemul 11 (8 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $N=A-I_3$. a) Calculează $N^2$ și $N^3$ și precizează indicele de nilpotență al lui $N$. (3 p) b) Determină $A^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, cu binomul lui Newton, justificând de ce se poate aplica. (3 p) c) Calculează $A^5$. (2 p)

Itemul 12 (8 puncte)

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $M=A-I_2$. a) Arată că $M^2=6M$ și demonstrează prin inducție că $M^k=6^{k-1}M$, pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (2 p) b) Folosind binomul lui Newton pentru $A=I_2+M$, demonstrează că $$A^n=\left(\begin{array}{cc}\frac{7^n+1}{2}& \frac{7^n-1}{2}\\ \frac{7^n-1}{2}& \frac{7^n+1}{2}\end{array}\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$ (4 p) c) Verifică formula pentru $n=2$ și arată că suma celor patru elemente ale matricei $A^n$ este $2\cdot 7^n$. (2 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$. a) Demonstrați că $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 6n\\ 0& 1\end{array}\right)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (3 p) b) Determinați $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care suma elementelor matricei $A^n$ este egală cu $50$. (2 p) c) Calculați $S=A+A^2+\cdots +A^n$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. La o matrice diagonală se ridică la putere fiecare element de pe diagonală: $3^4=81$ și $(-2{)}^4=16$, exponentul fiind par. Varianta C păstrează greșit semnul minus, iar A înmulțește cu $4$ în loc să ridice la puterea a patra. b) C. Din $A^2=5A$ obținem $A^3=A^2\cdot A=5A\cdot A=5A^2=5\cdot 5A=25A$. Fiecare înmulțire cu $A$ adaugă un factor $5$, nu îl ridică la pătrat. c) B. Desfăcând, $(AB{)}^2=ABAB$, iar $A^2{B}^2=AABB$; trecerea de la una la alta cere schimbarea între ele a lui $B$ și $A$ din mijloc, adică exact $AB=BA$.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (1 p calculul, 0,5 p concluzia sau justificarea). a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5+5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 10& 1\end{array}\right)$ și $A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 10+5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 15& 1\end{array}\right)$; colțul din stânga-jos crește din $5$ în $5$. b) $D^5=\left(\begin{array}{cc}(-2{)}^5& 0\\ 0& 3^5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-32& 0\\ 0& 243\end{array}\right)$; exponentul fiind impar, semnul minus se păstrează. c) $N^2=\left(\begin{array}{cc}4-4& -8+8\\ 2-2& -4+4\end{array}\right)=O_2$, deci $N$ este nilpotentă, de indice $2$ (nu de indice $1$, pentru că $N\ne O_2$). Atunci $N^6=N^2\cdot N^4=O_2$. d) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$, deci $A$ este involutivă. Cum $2026$ este par, $A^{2026}=(A^2{)}^{1013}=I_2$, iar $A^{2027}=A^{2026}\cdot A=A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Produsul $A\cdot A$ cere ca numărul de coloane al primului factor să fie egal cu numărul de linii al celui de-al doilea, adică $3=2$ — fals. Pentru o matrice dreptunghiulară, scrierea $A^2$ nu are sens; nu e „egală cu altceva", pur și simplu nu se poate scrie. b) F. Contraexemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$ are $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3-3& 1\end{array}\right)=I_2$, dar $A$ nu este nici $I_2$, nici $-I_2$. „Scoaterea rădăcinii" nu funcționează la matrice. c) F. Dezvoltarea corectă este $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, iar cei doi termeni din mijloc se strâng în $2AB$ numai dacă $AB=BA$. Un contraexemplu se vede la itemul 4 b). d) A. Din $N^3=O_3$ rezultă $N^{10}=N^3\cdot N^7=O_3\cdot N^7=O_3$: orice putere de exponent cel puțin $3$ îl conține pe $N^3$ ca factor.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Calculăm pătratul (1 p): $$A^2=\left(\begin{array}{cc}9+6& -9-6\\ -6-4& 6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15& -15\\ -10& 10\end{array}\right)=5A.$$ Din relația obținută, fiecare înmulțire cu $A$ adaugă un factor $5$ (1 p): $$A^3=A^2\cdot A=5A\cdot A=5A^2=25A,A^4=A^3\cdot A=25A^2=125A.$$ Prin urmare $A^4=125A=\left(\begin{array}{cc}375& -375\\ -250& 250\end{array}\right)$ (1 p).

b) (3 p) Avem $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}4+2& 4+4\\ 2+2& 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 4& 6\end{array}\right)$ (1 p). Pe de altă parte $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$, $AB=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$, deci $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 4& 4\end{array}\right)$ (1 p). Cele două matrice diferă, pentru că $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\ne AB$. Formula corectă este $$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2,$$ iar aici ea dă $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 4& 6\end{array}\right)$ ✓ (1 p).

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p primele puteri și formula scrisă ca presupunere, 0,5 p verificarea bazei, 1 p pasul inductiv).

a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 10\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 15\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci presupunem $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 5n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Pentru $n=1$ formula dă chiar $A$ ✓. Pasul: din ipoteza de inducție, $$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 5k\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 5k+5\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 5(k+1)\\ 0& 1\end{array}\right).$$

b) $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 27\end{array}\right)$, deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)$, adevărată pentru $n=1$. Pasul: $A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}{2}^k\cdot 2& 0\\ 0& 3^k\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{k+1}& 0\\ 0& 3^{k+1}\end{array}\right)$.

c) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -8& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -12& 1\end{array}\right)$, deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4n& 1\end{array}\right)$, adevărată pentru $n=1$. Pasul: pe poziția $(2,1)$ a produsului $A^k\cdot A$ apare $-4k-4=-4(k+1)$.

d) $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 9& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 21& 1\end{array}\right)$: pe diagonală citim $2^n$ și $1$, iar valorile $3,9,21$ sunt fiecare cu $3$ mai mici decât $6,12,24$, adică $3\cdot 2^n-3$. Presupunem $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 3(2^n-1)& 1\end{array}\right),\text{adeva˘rata˘ pentru }n=1.$$ Pasul: din ipoteza de inducție, elementul de pe poziția $(2,1)$ al produsului $A^k\cdot A$ este $$3(2^k-1)\cdot 2+1\cdot 3=3\cdot 2^{k+1}-6+3=3(2^{k+1}-1),$$ adică exact valoarea formulei pentru $k+1$, celelalte elemente rămânând $2^{k+1}$, $0$ și $1$.

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Baza. Pentru $n=1$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}5& 5-1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)=A$ ✓ (1 p). Pasul inductiv. Presupunem $P(k)$ adevărată, adică $A^k=\left(\begin{array}{cc}{5}^k& 5^k-1\\ 0& 1\end{array}\right)$ (1 p). Atunci $$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}{5}^k& 5^k-1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{5}^k\cdot 5& 4\cdot 5^k+5^k-1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{5}^{k+1}& 5^{k+1}-1\\ 0& 1\end{array}\right),$$ pentru că $4\cdot 5^k+5^k=5\cdot 5^k=5^{k+1}$ (1,5 p). Deci $P(k)\Rightarrow P(k+1)$ și, conform principiului inducției matematice, formula este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p).

b) (3 p) Cu $I_2=A^0$, suma se calculează element cu element (0,5 p): pe diagonala principală, $1+5+25+125=156$ (1 p) și $1+1+1+1=4$; deasupra, $0+4+24+124=152$ (1 p). Prin urmare $$I_2+A+A^2+A^3=\left(\begin{array}{cc}156& 152\\ 0& 4\end{array}\right)$$ (0,5 p). (Control: $A^2=\left(\begin{array}{cc}25& 24\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}125& 124\\ 0& 1\end{array}\right)$, în acord cu formula de la a).)

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) Înmulțind, $A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 6& 1\end{array}\right)$ (1 p). Singurele elemente care se mișcă sunt cel din colțul din stânga-sus, unde apar puterile lui $2$, și cel de pe poziția $(3,2)$, care crește din $3$ în $3$. Presupunem $$A^n=\left(\begin{array}{ccc}{2}^n& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 3n& 1\end{array}\right),$$ formulă adevărată pentru $n=1$ (1 p). Pasul inductiv: din ipoteză, linia a treia a lui $A^k$ este $(0,3k,1)$, iar înmulțind-o cu coloanele lui $A$ obținem $(0,3k\cdot 1+1\cdot 3,1)=(0,3(k+1),1)$; prima linie devine $(2^k\cdot 2,0,0)$, iar a doua rămâne neschimbată (1,5 p). Deci formula se transmite de la $k$ la $k+1$ și este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (0,5 p).

b) (3 p) Elementul cerut este $3n$ (1 p); din $3n=45$ rezultă $n=15$ (1 p). Pentru acest exponent, colțul din stânga-sus este $2^{15}=32768$ (1 p).

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Baza: pentru $n=1$, ${\alpha }^{0}A=A$ ✓ (0,5 p). Pasul: presupunem $A^k={\alpha }^{k-1}A$; atunci $$A^{k+1}=A^k\cdot A={\alpha }^{k-1}A\cdot A={\alpha }^{k-1}{A}^2={\alpha }^{k-1}\cdot \alpha A={\alpha }^{k}A,$$ adică formula scrisă pentru $k+1$ (1,5 p). Aplicație: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1+6& 3+18\\ 2+12& 6+36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 21\\ 14& 42\end{array}\right)=7A$, deci $\alpha =7$ și $$A^4=7^{3}A=343A=\left(\begin{array}{cc}343& 1029\\ 686& 2058\end{array}\right)$$ (1 p).

b) (3 p) $A^2=\left(\begin{array}{cc}4-3& -6+6\\ 2-2& -3+4\end{array}\right)=I_2$ (1,5 p). Cum $2026$ este par, $A^{2026}=(A^2{)}^{1013}=I_2$ (1 p), iar $A^{2027}=A^{2026}\cdot A=A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Avem $AB=\left(\begin{array}{cc}1+4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, deci $$(AB{)}^2=\left(\begin{array}{cc}25+4& 10+2\\ 10+2& 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}29& 12\\ 12& 5\end{array}\right)$$ (1 p). Pe de altă parte, $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$, deci $A^2{B}^2=\left(\begin{array}{cc}17& 4\\ 4& 1\end{array}\right)$ (1 p). Cele două matrice sunt diferite. Explicația: $(AB{)}^2=ABAB$, iar $A^2{B}^2=AABB$; trecerea de la una la alta ar cere $BA=AB$, dar aici $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)\ne AB$ (1 p).

b) (3 p) De exemplu $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ (1 p). Ele comută: $PQ=QP=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ (1 p). Atunci $(PQ{)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar $P^2{Q}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci egalitatea se verifică (1 p). (Se acceptă orice pereche corectă: două matrice diagonale, două de forma $I_2+N$ cu același $N$, sau $Q=\alpha P$.)

Itemul 10. (8 p) — câte 2 puncte (0,5 p descompunerea, 0,5 p puterile lui $N$, 1 p formula finală).

a) $\alpha =1$, $N=A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ 0& 0\end{array}\right)$, $N^2=O_2$. Suma se oprește la $k=1$: $$A^n=C_n^0{I}_2+C_n^{1}N=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1& 7n\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Control: pentru $n=2$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}1& 14\\ 0& 1\end{array}\right)$, exact $A^2$ ✓ b) $\alpha =3$ (valoarea de pe diagonală), $N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$, $N^2=O_2$: $$A^n=C_n^0{3}^n{I}_2+C_n^1{3}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 2n{3}^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right).$$ Control: $n=2$ dă $\left(\begin{array}{cc}9& 12\\ 0& 9\end{array}\right)$, iar $A^2$ calculat direct este același ✓ Atenția se dă exponentului $n-1$, venit din ${\alpha }^{n-k}$ cu $k=1$. c) $\alpha =-1$, $N=A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 4& 0\end{array}\right)$, $N^2=O_2$: $$A^n=(-1{)}^n{I}_2+n(-1{)}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}(-1{)}^n& 0\\ 4n(-1{)}^{n-1}& (-1{)}^n\end{array}\right).$$ Control: $n=2$ dă $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -8& 1\end{array}\right)$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4-4& 1\end{array}\right)$ ✓ d) $\alpha =1$, $N=A-I_3$ are un singur element nenul, $2$, pe poziția $(1,3)$, iar $N^2=O_3$. Deci $$A^n=I_3+nN=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2n\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Itemul 11. (8 p)

a) (3 p) $N=A-I_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ (0,5 p), iar $$N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 4\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=O_3$$ (2 p). Cum $N^2\ne O_3$ și $N^3=O_3$, indicele de nilpotență este $3$ (0,5 p).

b) (3 p) Matricele $I_3$ și $N$ comută (una dintre ele este matricea unitate), deci binomul se poate aplica (0,5 p); puterile lui $N$ de exponent cel puțin $3$ fiind nule, rămân trei termeni (0,5 p): $$A^n=C_n^0{I}_3+C_n^{1}N+C_n^2{N}^2=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2.$$ Adunând element cu element, pe poziția $(1,3)$ se strâng $n\cdot 1$ și $\frac{n(n-1)}{2}\cdot 4=2n(n-1)$, adică $n+2n^2-2n=2n^2-n$ (1,5 p). Prin urmare $$A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 2n& 2n^2-n\\ 0& 1& 2n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$ (0,5 p). (Control pentru $n=2$: colțul dă $8-2=6$, iar $A^2$ calculat direct are acolo $1\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1=6$ ✓)

c) (2 p) Pentru $n=5$: $2n=10$ și $2\cdot 25-5=45$, deci $$A^5=\left(\begin{array}{ccc}1& 10& 45\\ 0& 1& 10\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Itemul 12. (8 p)

a) (2 p) $M=A-I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right)$, iar $M^2=\left(\begin{array}{cc}9+9& 9+9\\ 9+9& 9+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}18& 18\\ 18& 18\end{array}\right)=6M$ (1 p). Prin inducție: pentru $k=1$, $6^{0}M=M$ ✓; presupunând $M^k=6^{k-1}M$, obținem $M^{k+1}=M^k\cdot M=6^{k-1}{M}^2=6^{k-1}\cdot 6M=6^{k}M$ (1 p).

b) (4 p) Cum $I_2$ comută cu $M$, binomul lui Newton dă (0,5 p) $$A^n=(I_2+M{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{M}^k=I_2+\sum _{k=1}^n{C}_n^k{6}^{k-1}M.$$ Scoatem factorul comun și amplificăm cu $6$, ca să apară puterile lui $6$ complete (1 p): $$\sum _{k=1}^n{C}_n^k{6}^{k-1}=\frac{1}{6}\sum _{k=1}^n{C}_n^k{6}^k=\frac{7^n-1}{6},$$ unde am folosit $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{6}^k=(1+6{)}^n=7^n$ și am scăzut termenul $k=0$, egal cu $1$ (1,5 p). Prin urmare $$A^n=I_2+\frac{7^n-1}{6}M=I_2+\frac{7^n-1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{7^n+1}{2}& \frac{7^n-1}{2}\\ \frac{7^n-1}{2}& \frac{7^n+1}{2}\end{array}\right),$$ pentru că $\frac{M}{6}=\left(\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& 1/2\end{array}\right)$ și $1+\frac{7^n-1}{2}=\frac{7^n+1}{2}$ (1 p).

c) (2 p) Pentru $n=2$ formula dă $\frac{49+1}{2}=25$ și $\frac{49-1}{2}=24$, adică $\left(\begin{array}{cc}25& 24\\ 24& 25\end{array}\right)$; calculul direct dă $A^2=\left(\begin{array}{cc}16+9& 12+12\\ 12+12& 9+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}25& 24\\ 24& 25\end{array}\right)$ ✓ (1 p). Suma celor patru elemente este $$2\cdot \frac{7^n+1}{2}+2\cdot \frac{7^n-1}{2}=(7^n+1)+(7^n-1)=2\cdot 7^n$$ (1 p).

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Cu binomul lui Newton: scriem $A=I_2+N$, cu $N=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $N^2=O_2$ (1 p); matricele $I_2$ și $N$ comută, deci $$A^n=C_n^0{I}_2+C_n^{1}N=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1& 6n\\ 0& 1\end{array}\right)$$ (1,5 p), iar pentru $n=1$ se obține chiar $A$ ✓ (0,5 p). (Se acceptă integral și demonstrația prin inducție: baza pentru $n=1$, apoi $A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 6k+6\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 6(k+1)\\ 0& 1\end{array}\right)$.)

b) (2 p) Suma elementelor matricei $A^n$ este $1+6n+0+1=6n+2$ (1 p). Din $6n+2=50$ rezultă $n=8$ (0,5 p). Verificare: $A^8=\left(\begin{array}{cc}1& 48\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu suma elementelor $1+48+0+1=50$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) Adunăm cele $n$ matrice element cu element (0,5 p): pe diagonala principală se strâng $n$ de $1$, deci $n$ (0,5 p); deasupra, $6+12+\cdots +6n=6(1+2+\cdots +n)=6\cdot \frac{n(n+1)}{2}=3n(n+1)$ (1,5 p). Prin urmare $$S=\left(\begin{array}{cc}n& 3n(n+1)\\ 0& n\end{array}\right)$$ (0,5 p). Control pentru $n=3$: $A+A^2+A^3=\left(\begin{array}{cc}3& 6+12+18\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 36\\ 0& 3\end{array}\right)$, iar formula dă $3\cdot 3\cdot 4=36$ ✓