Test: puteri cu exponent real

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Puteri, funcția exponențială și funcția logaritmică

Pentru părinți și profesori

Acest test deschide unitatea și verifică fundația pe care se sprijină tot ce urmează: exponențiala, logaritmul, ecuațiile și inecuațiile. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: definiția puterii cu exponent rațional, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, împreună cu motivul pentru care baza trebuie să fie strict pozitivă — nu e un capriciu, ci singura cale de a evita contradicții de tipul „$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, deci $(-8{)}^{1/3}$ ar fi și $-2$, și $2$". Al doilea: cele cinci reguli de calcul, care se păstrează neschimbate de la exponenți întregi la exponenți raționali și apoi la exponenți reali, cu observația capitală că pentru sume nu există nicio regulă. Al treilea: exponentul irațional, definit prin încadrare între exponenți raționali; aici se cere înțelegerea faptului că ordinea puterilor copiază ordinea exponenților pentru $a>1$ și o răstoarnă pentru $0<a<1$. Al patrulea: funcția putere $f(x)=x^{\alpha }$, cu tabelul de domenii maxime și cu proprietățile ei de monotonie, injectivitate și inversabilitate pe $(0,+\infty )$.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele se dau în formă exactă (fracție, radical sau putere), niciodată aproximativ, cu excepția itemilor care cer explicit o încadrare. La orice putere scrisă se verifică întâi dacă baza este strict pozitivă, iar la orice domeniu de definiție se scriu explicit condițiile puse bazei.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe condiția „bază strict pozitivă" și pe tabelul domeniilor funcției putere.
• Formule de reținut: definiția, pentru $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m,\text{ıˆn particular }{a}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}.$$ Cele cinci reguli, valabile pentru $a,b>0$ și orice exponenți reali $x,y$: $$a^x{a}^y=a^{x+y},\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},{\left(a^x\right)}^y=a^{xy},(ab{)}^x=a^x{b}^x,{\left(\frac{a}{b}\right)}^x=\frac{a^x}{b^x}.$$ Rezultatul este întotdeauna strict pozitiv: $a^x>0$. Nu există regulă pentru $(a+b{)}^x$. Monotonia în exponent: pentru $a>1$, $x<y\Rightarrow a^x<a^y$; pentru $0<a<1$, $x<y\Rightarrow a^x>a^y$; pentru $a=1$, $1^x=1$. Injectivitatea: dacă $a>0$ și $a\ne 1$, atunci $a^x=a^y\iff x=y$. Domeniul maxim al funcției putere $f(x)=x^{\alpha }$:

Pe $(0,+\infty )$, funcția putere este strict crescătoare pentru $\alpha >0$, strict descrescătoare pentru $\alpha <0$, iar pentru $\alpha \ne 0$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(y)=y^{\frac{1}{\alpha }}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".

Itemi

Partea I – Definiția puterii și calcule directe

Itemul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea numărului $8^{\frac{2}{3}}$ este: A. $\frac{16}{3}$; B. $4$; C. $6$; D. $16$.

b) Valoarea numărului ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{3}{4}}$ este: A. $\frac{8}{27}$; B. $-\frac{8}{27}$; C. $\frac{27}{8}$; D. $\frac{4}{9}$.

c) Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=x^{-\frac{2}{3}}$ este: A. $\mathbb{R}$; B. ${\mathbb{R}}^{\ast }$; C. $[0,+\infty )$; D. $(0,+\infty )$.

Itemul 2 (6 puncte)

Calculează, dând rezultatul în formă exactă (câte 1,5 puncte): a) $32^{0,4}$; b) ${\left(\frac{1}{125}\right)}^{-\frac{2}{3}}$; c) $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$; d) $\frac{5^{\sqrt{3}}\cdot 5^{2-\sqrt{3}}}{25}$.

Itemul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Din $\sqrt[3]{-8}=-2$ rezultă că $(-8{)}^{\frac{1}{3}}=-2$." b) „Pentru orice $a>0$ și orice $x\in \mathbb{R}$ avem $a^x>0$." c) „Pentru orice $a,b>0$ are loc $(a+b{)}^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}$." d) „Funcțiile $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ și $g(x)=\sqrt[3]{x}$ sunt egale."

Itemul 4 (6 puncte)

a) Ordonează crescător numerele $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[4]{3}$ și $\sqrt{2}$, aducându-le la același ordin. (3 p) b) Compară numerele ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{3}}$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,7}$, justificând regula folosită. (3 p)

Partea a II-a – Exponenți iraționali, exponenți reali, funcția putere

Itemul 5 (8 puncte)

Calculează, folosind regulile puterilor cu exponent real (câte 2 puncte): a) ${\left(2^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}$; b) $\frac{7^{\sqrt{2}+1}}{7^{\sqrt{2}-1}}$; c) ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2-\sqrt{2}}$; d) $\frac{6^{\pi }}{2^{\pi }\cdot 3^{\pi }}$.

Itemul 6 (7 puncte)

a) Se știe că $1,7<\sqrt{3}<1,8$. Încadrează numărul $2^{\sqrt{3}}$ între două puteri cu exponent rațional și arată, prin ridicări la putere cu exponent natural, că $3<2^{\sqrt{3}}<4$. (4 p) b) Justifică regula: pentru $0<a<1$, din $x<y$ rezultă $a^x>a^y$. Aplic-o pentru a compara $(0,3{)}^{\pi }$ cu $(0,3{)}^3$. (3 p)

Itemul 7 (7 puncte)

a) Determină domeniul maxim de definiție al fiecărei funcții (câte 1 punct): $f(x)=(x-3{)}^{\frac{2}{5}}$; $g(x)=(2x-1{)}^{-\frac{3}{4}}$; $h(x)=x^{-4}$; $k(x)=x^5$. (4 p) b) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $u(x)={\left(x^2-4\right)}^{\frac{1}{2}}$. (3 p)

Itemul 8 (6 puncte)

a) Compară numerele $3^{0,7}$ și $4^{0,7}$, apoi numerele $3^{-0,7}$ și $4^{-0,7}$, precizând de fiecare dată regula folosită. (3 p) b) Rezolvă în $(0,+\infty )$ ecuația $x^{\frac{3}{2}}=8$ și verifică soluția. (3 p)

Itemul 9 (6 puncte)

a) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $5^{x^2-1}=5^{3x-3}$. (3 p) b) Arată că funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{\frac{5}{3}}$, este bijectivă și determină inversa ei. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Itemul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Fie $a>0$, iar $m,p\in \mathbb{Z}$ și $n,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$. Demonstrează că $$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[q]{a^p},$$ adică definiția puterii cu exponent rațional nu depinde de scrierea aleasă pentru fracție. (5 p) b) Verifică rezultatul pe exemplul $a=64$, cu fracțiile $\frac{2}{6}$ și $\frac{1}{3}$. (3 p)

Itemul 11 (8 puncte)

a) Calculează $E={\left(3+2\sqrt{2}\right)}^{\pi }\cdot {\left(3-2\sqrt{2}\right)}^{\pi }$. (4 p) b) Se știe că $2^x=3$, unde $x$ este un număr real. Calculează $2^{3x+1}$ și $4^{-x}$. (4 p)

Itemul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează că, pentru $\alpha >0$, funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{\alpha }$, este strict crescătoare. Poți folosi lema: dacă $t>1$ și $\alpha >0$, atunci $t^{\alpha }>1$. (5 p) b) Deduce că ecuația $x^{\sqrt{2}}=3$ are exact o soluție în $(0,+\infty )$ și scrie această soluție sub formă de putere. (3 p)

Itemul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) a) Arătați că ${\left(2^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}\cdot 2^{-1}=4$. (3 p) b) Determinați numărul real $x$ pentru care ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{27}{8}$. (5 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Itemul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Prin definiție, $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$. Se extrage întâi radicalul, apoi se ridică la putere — e drumul cu numere mici. Varianta A vine din greșeala de a înmulți baza cu exponentul, iar D din confuzia cu $8^2$.

b) C. Exponentul negativ răstoarnă fracția, iar exponentul $\frac{3}{4}$ înseamnă „radical de ordinul $4$, apoi la puterea a treia": $${\left(\frac{16}{81}\right)}^{\frac{3}{4}}={\left(\sqrt[4]{\frac{16}{81}}\right)}^3={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}⟹{\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{3}{4}}=\frac{27}{8}.$$ Varianta B este imposibilă: o putere cu bază strict pozitivă nu poate fi negativă.

c) D. Exponentul $-\frac{2}{3}$ este neîntreg și negativ, deci, după tabelul domeniilor, domeniul maxim este $(0,+\infty )$. Valoarea $x=0$ se exclude pentru că exponentul e negativ (ar apărea un numitor nul), iar valorile negative se exclud pentru că exponentul e neîntreg.

Itemul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p aducerea la formă convenabilă, 1 p rezultatul).

a) $0,4=\frac{2}{5}$, deci $32^{0,4}=32^{\frac{2}{5}}={\left(\sqrt[5]{32}\right)}^2=2^2=4$.

b) Exponentul negativ răstoarnă baza: $${\left(\frac{1}{125}\right)}^{-\frac{2}{3}}=125^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{125}\right)}^2=5^2=25.$$

c) Radicalii imbricați se contopesc, ordinele se înmulțesc: $$\sqrt[3]{\sqrt{64}}={\left(64^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=64^{\frac{1}{6}}=2,\text{pentru ca˘ }{2}^6=64.$$

d) La numărător exponenții se adună și radicalii se anulează reciproc: $$\frac{5^{\sqrt{3}}\cdot 5^{2-\sqrt{3}}}{25}=\frac{5^{\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}}{25}=\frac{5^2}{25}=1.$$

Itemul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) F. Radicalul de ordin impar dintr-un număr negativ există și este $-2$, dar puterea cu exponent rațional se definește numai pentru bază strict pozitivă. Dacă am accepta baze negative, am obține o contradicție: din $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ ar rezulta $$(-8{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2\text{și}(-8{)}^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=2,$$ adică același număr ar fi simultan $-2$ și $2$. De aceea bazele negative se resping din start, la fiecare exercițiu cu puteri: ele nu intră niciodată în domeniul de lucru. Scrierea corectă rămâne $\sqrt[3]{-8}=-2$, ca radical, nu ca putere.

b) A. Orice putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă: la exponent rațional, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ este radical dintr-un număr pozitiv, deci pozitiv; la exponent irațional, numărul este încadrat de puteri raționale, toate pozitive. În particular, ecuațiile $a^x=0$ și $a^x=-5$ nu au soluții.

c) F. Nu există regulă pentru sume. Contraexemplu cu $a=b=2$: $$(2+2{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2,\text{iar}{2}^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}\approx 2,83.$$ Cele două valori sunt diferite.

d) F. Funcțiile au domenii diferite: $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ are exponentul neîntreg și pozitiv, deci domeniul maxim $[0,+\infty )$, pe când $g(x)=\sqrt[3]{x}$ este definită pe tot $\mathbb{R}$ (de exemplu $g(-8)=-2$). Ele coincid doar pe $[0,+\infty )$, iar două funcții sunt egale numai dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași lege.

Itemul 4. (6 p)

a) (3 p) Scriem radicalii ca puteri: $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[4]{3}=3^{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$. Numitorul comun al exponenților este $12$ (1 p), deci $$2^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{12}}=\sqrt[12]{16},3^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{3}{12}}=\sqrt[12]{27},2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{6}{12}}=\sqrt[12]{64}$$ (1,5 p). Radicalii au acum același ordin, deci se compară radicandele: $16<27<64$, prin urmare $$\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}<\sqrt{2}$$ (0,5 p).

b) (3 p) Baza este $\frac{1}{2}$, adică subunitară, deci ordinea exponenților se răstoarnă în ordinea puterilor (1 p). Cum $\sqrt{3}\approx 1,732>1,7$ (1 p), rezultă $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\sqrt{3}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,7}$$ (1 p). (Control: $\sqrt{3}>1,7$ pentru că $3>2,89=1,7^2$.)

Itemul 5. (8 p) — câte 2 puncte (1 p regula aplicată, 1 p rezultatul).

a) Puterea unei puteri: exponenții se înmulțesc, ${\left(2^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=2^3=8$.

b) Câtul puterilor cu aceeași bază: exponenții se scad, $$\frac{7^{\sqrt{2}+1}}{7^{\sqrt{2}-1}}=7^{(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)}=7^2=49.$$

c) Produsul puterilor cu aceeași bază: exponenții se adună, $${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2-\sqrt{2}}={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2.$$

d) Puterea unui produs, citită invers: $2^{\pi }\cdot 3^{\pi }=(2\cdot 3{)}^{\pi }=6^{\pi }$, deci $$\frac{6^{\pi }}{2^{\pi }\cdot 3^{\pi }}=\frac{6^{\pi }}{6^{\pi }}=1.$$

Itemul 6. (7 p)

a) (4 p) Baza $2$ este supraunitară, deci puterile păstrează ordinea exponenților. Din $1,7<\sqrt{3}<1,8$ rezultă $$2^{1,7}<2^{\sqrt{3}}<2^{1,8}$$ (1,5 p). Rămâne de arătat că $2^{1,7}>3$ și $2^{1,8}<4$, iar asta se face ridicând la puteri naturale, ca să dispară radicalii (0,5 p). Prima inegalitate: $2^{1,7}=2^{\frac{17}{10}}=\sqrt[10]{2^{17}}$, iar $3=\sqrt[10]{3^{10}}$; cum $$2^{17}=131072>59049=3^{10},$$ avem $2^{1,7}>3$ (1 p). A doua inegalitate: $2^{1,8}=2^{\frac{9}{5}}=\sqrt[5]{2^9}$, iar $4=\sqrt[5]{4^5}$; cum $$2^9=512<1024=4^5,$$ avem $2^{1,8}<4$ (1 p). În concluzie, $3<2^{1,7}<2^{\sqrt{3}}<2^{1,8}<4$.

b) (3 p) Fie $0<a<1$ și $x<y$. Scriem $a^y=a^x\cdot a^{y-x}$ (1 p). Exponentul $y-x$ este strict pozitiv, iar o bază subunitară ridicată la o putere strict pozitivă dă un număr subunitar, adică $a^{y-x}<1$ (1 p). Cum $a^x>0$, înmulțind inegalitatea $a^{y-x}<1$ cu $a^x$ obținem $a^y<a^x$, adică exact $a^x>a^y$. Aplicație: $\pi \approx 3,14>3$ și baza $0,3$ este subunitară, deci $(0,3{)}^{\pi }<(0,3{)}^3$ (1 p).

Itemul 7. (7 p)

a) (4 p) — câte 1 punct. – $f(x)=(x-3{)}^{\frac{2}{5}}$: exponentul $\frac{2}{5}$ este neîntreg pozitiv, deci condiția este $x-3\ge 0$, adică $D_f=[3,+\infty )$. – $g(x)=(2x-1{)}^{-\frac{3}{4}}$: exponentul $-\frac{3}{4}$ este neîntreg negativ, deci condiția este $2x-1>0$ (strict!), adică $D_g=\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$. – $h(x)=x^{-4}$: exponent întreg negativ, deci $D_h={\mathbb{R}}^{\ast }$. – $k(x)=x^5$: exponent natural nenul, deci $D_k=\mathbb{R}$.

b) (3 p) Exponentul $\frac{1}{2}$ este neîntreg și pozitiv, deci condiția pusă bazei este $x^2-4\ge 0$ (1 p). Rezolvăm inecuația: $x^2\ge 4\iff |x|\ge 2$ (1 p), prin urmare $$D_u=(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$$ (1 p). (Atenție: condiția se pune asupra bazei, nu asupra lui $x$ direct.)

Itemul 8. (6 p)

a) (3 p) Aici bazele diferă, dar exponentul este același, deci decide semnul exponentului (0,5 p). – Exponentul $0,7$ este pozitiv, deci funcția putere $t\mapsto t^{0,7}$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$; din $3<4$ rezultă $3^{0,7}<4^{0,7}$ (1,25 p). – Exponentul $-0,7$ este negativ, deci funcția $t\mapsto t^{-0,7}$ este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$; din $3<4$ rezultă $3^{-0,7}>4^{-0,7}$ (1,25 p). (A doua se poate deduce și din prima: $t^{-0,7}=\frac{1}{t^{0,7}}$, iar la numere pozitive inversul răstoarnă ordinea.)

b) (3 p) Funcția $x\mapsto x^{\frac{3}{2}}$ este bijectivă de la $(0,+\infty )$ la $(0,+\infty )$, deci ecuația are exact o soluție (0,5 p). Ridicăm ambii membri la puterea $\frac{2}{3}$ (1 p): $${\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}⟺x={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=4$$ (1 p). Verificare: $4^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=2^3=8$ ✓ (0,5 p).

Itemul 9. (6 p)

a) (3 p) Baza $5$ este strict pozitivă și diferită de $1$, deci funcția exponențială de bază $5$ este injectivă și putem egala exponenții (1 p): $$x^2-1=3x-3⟺x^2-3x+2=0.$$ Cu $\Delta =9-8=1$ obținem $x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$, adică $x_1=1$ și $x_2=2$ (1,5 p). Ecuația nu are condiții de existență de pus (exponenții sunt definiți pentru orice $x$ real), deci ambele soluții se acceptă. Verificare: pentru $x=1$, ambii exponenți sunt $0$; pentru $x=2$, ambii exponenți sunt $3$ ✓ (0,5 p).

b) (3 p) Exponentul $\alpha =\frac{5}{3}$ este strict pozitiv, deci $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, prin urmare injectivă (1 p). Este și surjectivă: pentru orice $y>0$, numărul $x=y^{\frac{3}{5}}$ este strict pozitiv și $$f(x)={\left(y^{\frac{3}{5}}\right)}^{\frac{5}{3}}=y^{\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{3}}=y$$ (1 p). Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă, iar inversa ei este $f^{-1}:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f^{-1}(y)=y^{\frac{3}{5}}$ (1 p).

Itemul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Notăm $A=\sqrt[n]{a^m}$ și $B=\sqrt[q]{a^p}$. Cum $a>0$, ambele numere sunt strict pozitive (0,5 p).

Ideea demonstrației: arătăm că $A$ și $B$ au aceeași putere de exponent $nq$ și folosim faptul că funcția $t\mapsto t^{nq}$ este injectivă pe $(0,+\infty )$ (fiind strict crescătoare, ca funcție putere cu exponent natural nenul) (1 p).

Calculăm prima putere, folosind ${\left(\sqrt[n]{u}\right)}^n=u$ pentru $u>0$ (1 p): $$A^{nq}={\left({\left(\sqrt[n]{a^m}\right)}^n\right)}^q={\left(a^m\right)}^q=a^{mq}.$$ Analog (1 p): $$B^{nq}={\left({\left(\sqrt[q]{a^p}\right)}^q\right)}^n={\left(a^p\right)}^n=a^{pn}.$$ Din ipoteza $\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$, prin înmulțire cu $nq\ne 0$, rezultă $mq=pn$ (1 p), deci $A^{nq}=B^{nq}$. Cum $A,B>0$ și funcția $t\mapsto t^{nq}$ este injectivă pe $(0,+\infty )$, obținem $A=B$. $■$ (0,5 p)

b) (3 p) Avem $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, iar $$64^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{64^2}=\sqrt[6]{4096}=4\text{(pentru ca˘ }{4}^6=4096\text{)}$$ (1,5 p) $$64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4\text{(pentru ca˘ }{4}^3=64\text{)}$$ (1,5 p). Cele două scrieri ale aceleiași fracții dau, într-adevăr, același număr.

Itemul 11. (8 p)

a) (4 p) Exponentul fiind același, folosim regula puterii unui produs, citită de la dreapta la stânga (1,5 p): $$E={\left[\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\right]}^{\pi }.$$ Produsul din paranteză se calculează cu formula diferenței de pătrate (1,5 p): $$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=9-8=1.$$ Prin urmare $E=1^{\pi }=1$ (1 p). (Observație: ambele baze sunt strict pozitive, pentru că $2\sqrt{2}\approx 2,83<3$, deci puterile au sens.)

b) (4 p) Descompunem exponenții ca să apară $2^x$ (1 p): $$2^{3x+1}=2^{3x}\cdot 2={\left(2^x\right)}^3\cdot 2=3^3\cdot 2=27\cdot 2=54$$ (1,5 p); $$4^{-x}={\left(2^2\right)}^{-x}={\left(2^x\right)}^{-2}=3^{-2}=\frac{1}{9}$$ (1,5 p).

Itemul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Fie $0<x_1<x_2$. Notăm $t=\frac{x_2}{x_1}$; cum $x_2>x_1>0$, avem $t>1$ (1 p).

Din lemă, pentru $t>1$ și $\alpha >0$ rezultă $t^{\alpha }>1$ (1 p). Folosind regula puterii unui cât (1 p): $$\frac{f(x_2)}{f(x_1)}=\frac{x_2^{\alpha }}{x_1^{\alpha }}={\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}^{\alpha }=t^{\alpha }>1.$$ Cum $f(x_1)=x_1^{\alpha }>0$, putem înmulți inegalitatea $\frac{f(x_2)}{f(x_1)}>1$ cu $f(x_1)$, păstrând sensul (1,5 p), și obținem $$f(x_2)>f(x_1).$$ Așadar, din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)<f(x_2)$, adică $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$. $■$ (0,5 p)

b) (3 p) Cum $\sqrt{2}>0$, funcția $f(x)=x^{\sqrt{2}}$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, deci injectivă: ecuația nu poate avea două soluții distincte (1 p). Este și surjectivă spre $(0,+\infty )$, deci ecuația $x^{\sqrt{2}}=3$ are exact o soluție (1 p). Ridicând la puterea $\frac{1}{\sqrt{2}}$: $$x=3^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=3^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ (1 p). Verificare: ${\left(3^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^{\sqrt{2}}=3^{\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}}=3^1=3$ ✓.

Itemul 13. (8 p)

a) (3 p) Aplicăm regula puterii unei puteri (1,5 p): $${\left(2^{\sqrt{3}}\right)}^{\sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=2^3=8.$$ Prin urmare $8\cdot 2^{-1}=8\cdot \frac{1}{2}=4$ ✓ (1,5 p).

b) (5 p) Aducem membrul drept la baza $\frac{2}{3}$ (1 p). Observăm că $$\frac{27}{8}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}$$ (2 p), pentru că exponentul negativ răstoarnă fracția. Ecuația devine $${\left(\frac{2}{3}\right)}^x={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}.$$ Baza $\frac{2}{3}$ este strict pozitivă și diferită de $1$, deci funcția exponențială de această bază este injectivă și putem egala exponenții (1,5 p): $$x=-3.$$ Verificare în ecuația inițială: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{27}{8}$ ✓ (0,5 p).